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算法的概念（两个课时）
教学目标: (1)了解算法的含义，体会算法的思想。(2)能够用自然语言叙述算法。(3)掌握正确的算法应满足的要求。(4)会写出解线性方程（组）的算法。(5)会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
教学重点: 算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。.
教学难点: 把自然语言转化为算法语言。.
学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。
教学过程
一、章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系，它们的基础都是“算法”。[来源:21世纪教育网]
算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。(古代的计算工具：算筹与算盘. 20世纪最伟大的发明：计算机，计算机是强大的实现各种算法的工具。)
例1：解二元一次方程组：
分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加减消元法写出它的求解过程.
解：第一步：② - ①×2，得： 5y=3； ③
第二步：解③得 ； 第三步：将代入①，得 .
学生探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？
老师评析：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组的解的算法：
例2：写出求方程组的解的算法.
解：第一步：②×a1 - ①×a2，得： ③ 第二步：解③得 ；第三步：将代入①，得
算法概念：
在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
2. 算法的特点:
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.
(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
例题讲评：
例3、任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.
分析：（1）质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.
（2）要判断一个大于1的整数n是否为质数，只要根据质数的定义，用比这个整数小的数去除n，如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数.
解：算法：第一步：判断n是否等于2.若n=2，则n是质数；若n＞2，则执行第二步.
第二步：依次从2~（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数.若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数.[来源:21世纪教育网]
说明：本算法是用自然语言的形式描述的.设计算法一定要做到以下要求：
（1）写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用.（2）要使算法尽量简单、步骤尽量少.
（3）要保证算法正确，且计算机能够执行.
利用TI-voyage200图形计算器演示：(学生已经被吸引住了)
例4、.用二分法设计一个求方程的近似根的算法.
分析：该算法实质是求的近似值的一个最基本的方法.
解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：
第一步：令.因为，所以设x1=1，x2=2.
第二步：令，判断f（m）是否为0.若是，则m为所求；若否，则继续判断大于0还是小于0.21世纪教育网
第三步：若，则x1=m；否则，令x2=m.
第四步：判断是否成立？若是，则x1、x2之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步.
练习1：写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法。[来源:21世纪教育网]
练习2、求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。
练习3、有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题。
小结
1、算法概念和算法的基本思想
（1）算法与一般意义上具体问题的解法的联系与区别；（2）算法的五个特征。
2、利用算法的思想和方法解决实际问题，能写出一此简单问题的算法
3、两类算法问题
（1）数值性计算问题，如：解方程（或方程组），解不等式（或不等式组），套用公式判断性的问题，累加，累乘等一类问题的算法描述，可通过相应的数学模型借助一般数学计算方法，分解成清晰的步骤，使之条理化即可。（2）非数值性计算问题，如：排序、查找、变量变换、文字处理等需先建立过程模型，通过模型进行算法设计与描述。
作业： [来源:21世纪教育网]
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§1.3 基本算法语句——条件语句
学习目标
（1）正确理解条件语句的步骤、结构及功能，并掌握其结构；
（2）能正确地使用条件语句表示选择结构．
学习重点
条件语句的步骤、结构及功能．
学习难点
使用条件语句表示选择结构．
学习过程
一、问题情境
1．问题1：某居民区的物业管理部门每月按以下方法收取卫生费：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．试设计算法，根据输入的人数计算应收取的卫生费？
二、学生活动
学生思考后得出：21世纪教育网
若用（单位：元）表示应收取的费用，表示住户的人口数，则．
具体算法步骤如下：
三、建构数学
1．条件语句：
条件语句的一般形式为：If—then—Else（如图1所示），对应的程序框图为图2。
[来源:21世纪教育网]
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“条件A”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件A时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件A时执行的操作内容；End if表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对If后的条件进行判断，如果符合条件A，则执行Then后面的语句1；若不符合条件A，则执行Else后面的语句2。
问题1中的选择过程用条件语句可以表示为：
Read
Print
四、数学运用
1．例题：
例1．写出输入两个数a和b，将较大的数打印出来的算法，写出伪代码，并画出流程图．
解：
例2．儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1 m，则无需购票；若身高超过1.1 m到不超过1.4 m，可买半票；若超过1.4 m，应买全票．试设计一个购票的算法，写出伪代码，并画出流程图．
解：
说明：从本例可以看出，条件语句“If—then—Else”可以嵌套．
思考：写出“输入一个正整数，如果大于100，就将其输出”的算法的伪代码．21世纪教育网
解：
例3．已知函数，试写出计算值的一个算法．
解：
2．练习：
补充：用算法语句表示：输入一个数，如果不为0，则输出，否则，重新输入．
解：
五、回顾小结：
1．条件语句的步骤、结构及功能．
六、课外作业：
课本第20页 练习第2、3题．
课本第24页 习题1.2第2、3、5题．
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www.
否
是
满足条件？
语句1
语句2
（图2）
If 条件A then 语句1
Else 语句2
End if
（图1）
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课题： 3．4 互斥事件
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；
（2）概率的几个基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A+B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A+B为必然事件，
所以P(A+B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
2、过程与方法：
通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。
3、情感态度与价值观：
通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习 数学的情趣。
教学重点：
概率的加法公式及其应用
教学难点：
事件的关系与运算
教学过程：
一、问题情境
体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班５０名学生参加了体育考试，结果如下：
优 85分及以上 9人
良 75~84 15人
中 10~74 21人
不及格 60分以下[来源:21世纪教育网] 5人
体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ．
（１）在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？
（２）从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？
二、建构数学
1．即事件Ａ 与Ｂ 是不可能同时发生的．不能同时发生的两个事件称为互斥事件。
2．事件Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，其中任意两个都是互斥的．一般地，如果事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ中的任何两个都是互斥事件，就说事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ彼此互斥．
3．设Ａ，Ｂ 为互斥事件，当事件Ａ，Ｂ 有一个发生，我们把这个事件记作Ａ＋Ｂ．在上述关于体育考试成绩的问题中，事件Ａ＋Ｂ 就表示事件“优”或“良”，那么，事件Ａ＋Ｂ 发生的概率是多少呢？
由以上分析不难发现，概率必须满足如下第三个基本要求：
如果事件Ａ，Ｂ 互斥，那么事件Ａ＋Ｂ 发生的概率，等于事件Ａ，Ｂ 分别发生的概率的和，即
Ｐ(Ａ＋Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)．
一般地，如果事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ两两互斥，则
Ｐ(Ａ１＋Ａ２＋ … ＋Ａｎ)＝Ｐ(Ａ１)＋Ｐ(Ａ２)＋ … ＋Ｐ(Ａｎ)．
两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件Ａ 的对立事件记为．
对立事件与Ａ必有一个发生，故＋Ａ是必然事件，从而
Ｐ（）＋Ｐ（Ａ）＝Ｐ（＋Ａ）＝１．
由此，我们可以得到一个重要公式：
Ｐ（）＝１－Ｐ（Ａ）．
三、数学运用
1．例题
例1 一只口袋内装有大小一样的４只白球与４只黑球，从中一次任意摸出２只球．记摸出２只白球为事件Ａ，摸出１只白球和１只黑球为事件Ｂ．问：事件Ａ 与Ｂ 是否为互斥事件？是否为对立事件？
例2 某人射击１次，命中７～１０环的概率如表所示：
命中环数 10环 9环21世纪教育网 8环 7环
概率 0.12 0.18 0.28 0.32
（１）求射击１次，至少命中７环的概率；
（２）求射击１次，命中不足７环的概率．
例3 黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：
血型 A B AB O
该血型所占比% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以输血，Ｏ 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给 ＡＢ型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是Ｂ型血，若小明因病需要输血，问：
（１）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
（２）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
例4 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件 哪些是对立事件
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.
例5 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=，P(B)=，求出“出现奇数点或偶数点”．
例6 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
21世纪教育网
例7 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
2．练习
课本第108页 练习 1，2，3，4
备用：
1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；21世纪教育网
2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，求出现奇数点或2点的概率之和。
3．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率。
4．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
参考答案：
1．解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件。（3）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件。
2．解：“出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，“出现奇数点或2点”的概率之和为P(C)=P(A)+P(B)=+=
3．解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。
4．解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为+=
四、回顾小结
1．当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A+B)= P(A)+ P(B)；
2．若事件A与B为对立事件，则A+B为必然事件，所以
P(A+B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
3．互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：
（1）事件A发生且事件B不发生；
（2）事件A不发生且事件B发生；
（3）事件A与事件B同时不发生，
而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；
（1）事件A发生B不发生；
（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
五、课外作业
课本第108页 练习 1，2，3，4，5，6，7，8
同步导学 3．4节
六、教学后记：
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1.3基本算法语句复习
学习目标
（1）进一步巩固基本算法语句：赋值语句、输入输出语句、条件语句、循环语句的概念，并掌握其结构；
（2）会灵活应用基本算法语句编写程序．
学习重点21世纪教育网
各种算法语句的表示方法、结构和用法．
学习难点
灵活应用各种算法语句编写程序．
学习过程
一、例题分析：
1．例题：
例1．编写函数的算法，根据输入的的值，计算的值．
分析：这是分段函数，计算前，先对的值进行判断，再确定计算法则．
解：例2．试用算法语句表示：使成立的最小正整数的算法过程．
解：
例3．读入80个自然数，统计出其中奇数的个数，用伪代码表示解决这个问题的算法过程．
解：
变式：若本例中还要将所有奇数输出呢？以上伪代码该作何修改？
例4．《中华人民共和国个人所得税法》第十四条有下表（部分）
个人所得税税率表—（工资、薪金所得使用）
级数 全月应纳税所得额 税率（%）
1 不超过500元部分 5
2 超过500元至2000元部分 10
3[来源:21世纪教育网] 超过2000元至5000元部分 15
4 超过5000元至20000元部分 20
……
目前，上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去800元后的余额．若工资、薪金的月收入不超过800元，则不需纳税．
某人月工资、薪金收入不超过20800元，试给出一个计算其月工资、薪金收入为元时应缴纳税款额的算法并用伪代码表示这个算法．
解：
[来源:21世纪教育网]
2．练习：
（1）下面的程序段中，语句Print I*J执行的次数是 次．
For I From 1 To 3
For J From 5 To 1 Step -1
Ptint I*J
End For
End For
End
二、回顾小结：
1．各种算法语句的表示方法、结构和用法；
2．灵活应用各种算法语句编写程序．
三、课外作业：补充：
1．用秦九韶算法计算多项式，当时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是 ， ．[来源:21世纪教育网]
．下面的程序运行的结果是 ．
N←0
I←0
While I<30
I←(I+1)*(I+1)
N←N+1
End While
Print N
End
4．下面这个算法的效果是 （ ）21世纪教育网
X←23.4
Print Int(x+0.5)
A.将X加0.5后输出 B. 将X加0.5后四舍五入 C.求绝对值 D.对X四舍五入
5．已知函数，实数，，，试设计求的算法，画出流程图，并用伪代码表示该算法．
6．用循环语句设计一个算法，在有限个实数中找出最大的一个数．
7．发动机的推力与温度的关系是，试编写根据温度计算发动机的推力的伪代码．
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www.
3．右面的伪代码输出的结果是（ ）．
A 3 B 5 C 9 D 13
S←0
For I from 1 to 11 step 2
S←2S+3
If S>20 then
S←S-20
End If
End For
Print S
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内容： 3．3 几何概型
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式：21世纪教育网
P（A）=；
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
（4）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
2、过程与方法：
（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；
（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：[来源:21世纪教育网]
本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
教学重点：
几何概型的概念、公式及应用；
教学难点：
利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．
教学过程：
一、问题情境
1．取一根长度为３ｍ 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１ｍ 的概率有多大？
2．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为 １２２ｃｍ，靶 心 直 径 为 １２．２ｃｍ．运 动 员 在 ７０ｍ 外 射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
3．两个人约定在8：00至9：00之间到某地点约会，规定先到的人等十分钟后离开，问两人能见面的概率是多大？
二、建构数学
从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样。
一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
在几何区域 Ｄ 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域内”为事件Ａ，则事件Ａ发生的概率：
Ｐ（Ａ）＝．21世纪教育网
这里要求Ｄ的测度不为０，其中“测度”的意义依Ｄ确定，当Ｄ分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．21世纪教育网
三、数学运用
1．例题
例1 取一个边长为２ａ的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．
思考：由此例可知，豆子落入圆内的概率，我们可用Ｅｘｃｅｌ来模拟撒豆子的试验，以此来估计圆周率，请你设计出相关算法。
例2 在１Ｌ高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出１０ｍＬ，含有麦锈病种子的概率是多少？
例3 在等腰直角三角形 ＡＢＣ 中，在斜边 ＡＢ 上任取一点 Ｍ，求ＡＭ 小于ＡＣ 的概率．
例4 利用随机模拟的方法计算曲线，，和所围成的图形的面积。
例5 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
例6 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．
2．练习
课本第103页 练习 1，2，3，4，5
备用：
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
3．用计算机模拟的方法求曲线与轴、直线所围成的区域A的面积。
参考答案
1．C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004）
2．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）==
3．略。
四、回顾小结
1．几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；21世纪教育网
2．均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．
五、课外作业
课本第103页 习题 1，2，3，4，5，6
同步导学 材3．3节
六、教学后记：
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1．4．1 算法案例(1)
教学目标
（1）介绍中国古代算法的案例－韩信点兵－孙子问题；
（2）用三种方法熟练的表示一个算法；
（3）让学生感受算法的意义和价值．
教学重点、难点:不定方程解法的算法．
教学过程21世纪教育网
一、问题情境(韩信点兵-孙子问题)：
韩信是秦末汉初的著名军事家。据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数。
韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行。[来源:21世纪教育网]
在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2333人。众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的。同学们，你知道吗？
背景说明:
1．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十三」”
2．孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位；
3．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。在中国还流传着这么一首歌诀：21世纪教育网
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆月正半，
除百零五便得知。
它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止。 所得结果就是某数的最小正整数值。
用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：
2×70+3×21+2×15=233，
233－105×2=23，
即所求物品最少是23件。
二.算法设计思想:
“孙子问题”相当于求关于的不定方程组的的正整数解；
设所求的数为，根据题意应该同时满足下列三个条件：
用自然语言可以将算法写为：
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三.流程图和伪代码:21世纪教育网
四、回顾小结：
1．中国数学在世界数学史上的巨大贡献；
2．实际问题的分析和解决问题过程；
3．算法的表示及语句的运用；
五、课外作业：
课本第31页第3题．
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统 计
抽样方法
1.抽样方法：(1)简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；（2）系统抽样也叫等距离抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；（3）分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同点：每个个体被抽到的概率都相等，体现了抽样的客观性和平等性。
如（1）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95。为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，把这种抽样记为A；某中学高中一年级有12名女排运动员，要从中选取3人调查学习负担的情况，把这种抽样记为B，那么完成上述两项调查应分别采用的抽样方法：A为_______，B为_____。（答：分层抽样，简单随机抽样）；
（3）某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n= _______（答：200）；
（4）容量为100的样本拆分成10组，前7组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频数组成等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组中频数最大的一组的频率是______（答：0.16）；
（5）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，则某一个体“第一次被抽到的概率”，“第一次未被抽到，第二次被抽到的概率”，“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是______________（答：）；
2.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）；用样本方差估计总体方差（方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差或标准差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定）。一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。总体估计要掌握：(1)“表”(频率分布表)；（2）“图”(频率分布直方图)。
频率分布直方图的特征：
（1）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。
（2）从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
频率直方图的作法：
（1）算数据极差
（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
提醒：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率。组数的决定方法是：设数据总数目为n，时，分为组；时，分为组.
如（1）一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下： (10,20],2；(20,30],3；(30,40],4；(40,50],5；(50,60],4；(60,70],2；则样本在区间上的频率为
A．5% B．25% C．50% D．70%（答：D）；
（2）已知样本：10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12 ，那么频率为0.3的范围是
A．5.5～7.5 B．7.5～9.5
C．9.5～11.5 D．11.5～13.5（答：B）；
（3）观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿的体重在[2700，3000]的频率为_______（答：0.3）；
（4）如图,是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是_____（答：120）；
(5) 有同一型号的汽车100辆,为了解这种汽车每蚝油1L所行路程的情况,现从中随即抽出10辆在同一条件下进行蚝油1L所行路程实验,得到如下样本数据（单位:km）:13.7,12.7,14.4,13.8,
13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4，其分组如下:
分组 频数 频率
[12.45,12.95） 21世纪教育网
[12.95,13.45）
[13.45,13.95）
[13.95,14.45）
合计 10 1.0
（1）完成上面频率分布表；
（2）根据上表,在给定坐标系中画出频率分布直线图,并根据样本估计总体数据落在[12.95,13.95）中的概率；
（3）根据样本,对总体的期望值进行估计
解：（1）频率分布表：
分组 频数 频率
[12.45,12.95） 2 0.2
[12.95,13.45） 3 0.3
[13.45,13.95） 4 0.421世纪教育网
[13.95,14.45） 1 0.1
合计 10 1.0
（2）频率分布直方图：
估计总体数据落在[12.95,13.95）中的概率为0.7
（3）＝13.4
因此，总体的期望值进行估计约为13.4. 21世纪教育网
(6)为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
(1) 第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2) 若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由。
分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为：
又因为频率=,所以
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。
3、样本平均数： 。
如有一组数据：x1,x2,…,xn(x1≤x2≤…≤xn)，它们的算术平均值为20，若去掉其中的xn，余下数据的算术平均值为18，则xn关于n的表达式为 （答：）。
4、样本方差：；
样本标准差：。
如（1）甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的应是 （答：甲）；
（2）已知实数的期望值为，方差为，，若，则一定有
A． B． C． D．与无法比较大小（答：B）；
（3）某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
则全班的平均分为_______，方差为______（答：85,51）
提醒：若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为。
如已知数据的平均数，方差，则数据的平均数和标准差分别为
A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22，36 （答：B）
5.茎叶图
(1) 茎叶图的画法：
①将每个数据分为茎（高位）与叶（低位）两部分，②将最大茎和最小茎之间的数按大小顺序排成一列，③将各数据的叶依先后次序写在其茎的左（右）两侧.
统计量组别 平均分 方差
第1组 80 16
第2组 90 36
(2)茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
6. 独立性检验
独立性检验是检定两个事件间是否独立的统计方法，是卡方检验的一个应用.
卡方检验是对样本的频数分布所来自的总体分布是否服从某种理论分布或某种假设分布所作的假设检验.即根据样本的频数分布来推断总体的分布，卡方独立性检验的零假设是各事件之间相互独立.卡方值永远大于零. χ2的两个临界值分别是3.841，与6.635.≤3.841时，接受假设即两事件无关.
相关系数是测定变量之间相关密切程度和相关方向的代表性指标。相关系数用符号“r ”表示，其特点表现在：参与相关分析的两个变量是对等的，不分自变量和因变量，改变两变量的地位并不影响相关系数的数值，因此相关系数只有一个；相关系数有正负号反映相关系数的方向，正号反映正相关，负号反映负相关；
回归和相关都是研究两个变量相互关系的分析方法。相关分析研究两个变量之间相关的方向和相关的密切程度。但是相关分析不能指出两变量相互关系的具体形式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化关系。回归方程则是通过一定的数学方程来反映变量之间相互关系的具体形式，以便从一个已知量来推测另一个未知量。为估算预测提供一个重要的方法。
相关性检验的步骤是：(1)做统计假设：x与Y不具备线性相关关系.(2)根据小概率0.05与查出r的一个临界值.（3）根据样本相关系数公式计算出r的值.（4）作统计推断：如果表明95%的把握认为x与Y之间具备线性相关关系，如果接受假设.
提醒：A与B有关并不意味着A的发生必然导致B的发生.
7.回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个或两个以上变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定一个相应的数学表达式，以便从一个已知量来推测另一个未知量，为估计预测提供一个重要的方法。在回归分析中，由X推算Y与由Y推算X的回归方程是不同的，不可混淆: .与相关分析相比，回归分析的特点是：两个变量是不对等的，只能用自变量来估计因变量，而不允许由因变量来推测自变量,必须区分自变量,一般说，事物的原因作自变量X.
回归分析和相关分析是互相补充、密切联系的。相关分析需要回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则应该建立在相关分析的基础上。依靠相关分析表明现象的数量变化具有密切相关，进行回归分析求其相关的具体形式才有意义。
如（1）在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520个女性中6人患色盲，
（1）根据以上的数据建立一个2×2的列联表；
（2）若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率会是多少
解：（1）
患色盲 不患色盲 总计
男 38 442 480
女 6 514 520
总计 44 956 1000
（2）假设H ：“性别与患色盲没有关系”
先算出K 的观测值：
则有
即是H 成立的概率不超过0.001,
若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.001
（2）一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒) 16 14 12 8
每小时生产有缺点的零件数y（件） 11 9 8 5
（1）画出散点图（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程； （3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
答案：（2）y=0.7286x-0.8571
（3）x小于等于14.9013
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O
2400
2700
3600
3300
3000
3900
体重(g)
0.001
分数
频率/组距
0
20
40
60
80
100
0.018
0.012
0.009
0.006
0.005
90
100
110
120
130
140
150
次数
o
0.004
0.008
0.012
0.016
0.020
0.024
0.028
频率/组距
0.032
0.036
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第8课时：线性回归方程
【目标引领】
1． 学习目标：
了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握
回归直线方程的求解方法。
2． 学法指导：
①求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．
②求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．
③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识．
【教师在线】
1． 解析视屏：
1．相关关系的概念
在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：
一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积S与其边长之间的函数关系（确定关系）；
一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系）
相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
相关关系与函数关系的异同点：
相同点：均是指两个变量的关系。
不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。
2．求回归直线方程的思想方法
观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？
引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征：即n个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：
设所求的直线方程为，其中a、b是待定系数。
则，于是得到各个偏差。
显见，偏差的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和
表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。
记。
上述式子展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a，b的值，即
其中
以上方法称为最小二乘法。
2． 经典回放：
例1：下列各组变量哪个是函数关系，哪个是相关关系？
（1）电压U与电流I[来源:21世纪教育网]
（2）圆面积S与半径R
（3）自由落体运动中位移s与时间t
（4）粮食产量与施肥量
（5）人的身高与体重
（6）广告费支出与商品销售额
分析：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。
解：前三小题中一个变量的变化可以确定另一个变量的变化，两者之间是函数关系。
对于粮食与施肥量，两者确实有非常密切的关系，实践证明，在一定的范围内，施肥量越多，粮食产量就越高，但是，施肥量并不能完全确定粮食产量，因为粮食产量还与其他因素的影响有关，如降雨量、田间管理水平等。因此，粮食与施肥量之间不存在确定的函数关系。
人的身高与人的体重也密切相关，一般来说，一个人的身高越高，体重也越重，但同样身高的人，其体重不一定相同，身高和体重这两个变量之间并不是严格的函数关系。
广告费支出与商品销售额有密切的关系，但广告费的支出不能完全决定商品的销售额。由此可见，后三小题各对变量之间的关系是相关关系。
点评：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是上，两个变量间可能毫无关系。比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。
例2：已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：
ｘ 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50
y 6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49[来源:21世纪教育网] 6.20 6.55 7.72
ｘ（血球体积，ｍｍ），ｙ（血红球数，百万）
(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形。
解：（１）见下图
（２）
设回归直线为，
则，
所以所求回归直线的方程为，图形如下:
点评：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a、b的计算公式，算出a、b．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．求线性回归方程的步骤：计算平均数；计算的积，求；计算；将结果代入公式求ａ；用 求ｂ；写出回归方程。
【同步训练】
1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
A．角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积
C．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高
2．某市纺织工人的月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y=50+80x，则下列说法中正确的是 （ ）
A．劳动生产率为1000元时，月工资为130元
B．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为130元
C．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为80元
D．月工资为210元时，劳动生产率为2000元
3．设有一个回归方程为y=2-1.5x，则变量x每增加一个单位时，y平均 （ ）
A．增加1.5单位 B．增加2单位 C．减少1.5单位 D．减少2单位
4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为y=0.72x-58.5。张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在 kg左右。
5.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：21世纪教育网
施化肥量x 15 20 25 30 35 40[来源:21世纪教育网] 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形
【拓展尝新】
6．在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：
时间t(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120
深度y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46
(1)画出散点图；
(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。
【解答】[来源:21世纪教育网]
1． D 2．C 3．C 4．69.66
5．解：(1)散点图（略）．
(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格
i 1 2 3 4 5 6 7
xi 15 20 25 30 35 40 45
yi 330 345 365 405 445 450 455
xiyi 4950 6900 9125 12150 15575 18000 20475
,
故可得到。
6．解：(1)散点图略，呈直线形.
(2)经计算可得：
故所求的回归直线方程为。
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第4课时：总体分布的估计（一）
【目标引领】
1． 学习目标：
体会分布的意义和作用，学会列频率分布表，会画频率分布条形图、直方图，会用频率分布表或分布条形图、直方图估计总体分布，并作出合理解释。在解决问题过程中，进一步体会用样本估计整体的思想，认识统计的实际作用，初步经历收集数据到统计数据的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异。
2． 学法指导：
当总体中的个体取不同数值很少时，可用频率分布表或频率分布条形图估计总体分布；当总体中的个体取不同数值较多，甚至无限时，可用频率分布表或频率分布直方图估计总体分布。
【教师在线】
1． 解析视屏：
（1） 频率分布表：当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布来估计总体的频率分布。我们把反映总体频率分布的表格为频率分布表。
（2） 编制频率分布表的步骤：
① 求全距，决定组数和组距，组距=；
② 分组，区间一般左闭右开（为了遵循统计分组穷尽和互斥原则，所以统计上规定，凡是总体某一个单位的变量值是相邻两组的界限值，这一个单位归入作为下限值的那一组内，即所谓“上限不在内”原则）；
⑶ 登记频数，计算频率，列出频率分布表。
（3） 条形图：条形图是用宽度相同的条形的高度或长度来表示数据变动的图形。条形图可以横置也可以纵置，纵置时又称为柱形图，也就是说，当各类别放在纵轴时，称为条形图；当各类别放在横轴时，称为柱形图。
（4） 频率分布直方图：直方图是用矩形的宽度和高度来表示频率分布的图形（在平面直角坐标中，横轴表示数据分组，即各组组距，纵轴表示频率）。
（5）直方图与条形图的不同点：
① 条形图是用条形的长度表示各类别频数的多少，其宽度（表示类别）是固定的；直方图是用面积表示各组频率的多少，矩形的高度表示每一组的频率除以组距，宽度则表示各组的组距，因此其高度与宽度均有意义。
② 此外，由于分组数据具有连续性，直方图的各矩形通常是连续排列，而条形图则是分开排列。
2． 经典回放：
例1 ：为检测某产品的质量，抽取了一个容量为30的样本，检测结果为一级品5件，二级品8件，三级品13件，次品4件。
⑴ 列出样本的频率分布表；
⑵此种产品为二级品或三级品的概率？
⑶能否画出样本分布的条形图？
分析：当总体中的个体取不同数值很少时，可用频率分布表或频率分布条形图估计总体分布。解：频率分布表如下：
产品 频数 频率
一级品 5 0.17
二级品 8 0.27
三级品 13 0.43
次品 4 0.13
合计 30 1
频率分布条形图：
点评：频率分布表中通常有频数、累计频数，频率、累计频率等。其中所有频数的和即样本容量的大小，而所有频率的和恰好为1。
例2：为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5岁~18岁的男生的体重情况,结果如下(单位:kg)
56.5 69.5 65 61.5 64.5 66.5 64 64.5 76 58.5
72 73.5 56 67 70 57.5 65.521世纪教育网 68 71 75
62 68.5 62.5 66 59.5 63.5 64.521世纪教育网 67.5 73 68
55 72 66.5 74 63 60 55.5 70 64.5 58
64 70.5 57 62.5 65 69 71.5 73 62 58
76 71 66 63.5 56 59.5 63.5 65 70 74.5
68.5 64 55.5 72.5 66.5 68 76 57.5 60 71.5
57 69.5 74 64.5 59 61.5 67 68 63.5 58
59 65.5 62.5 69.5 72 64.5 75.5 68.5 64 62
65.5 58.5 67.5 70.5 65 66 66.5 70 63 59.5
试根据上述数据画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计
解:按照下列步骤获得样本的频率分布.
(1)求最大值与最小值的差.在上述数据中，最大值是76，最小值是55，它们的差(又称为极差)是76—55=21)所得的差告诉我们，这组数据的变动范围有多大.
(2)确定组距与组数.如果将组距定为2，那么由21÷2=10.5，组数为11，这个组数适合的.于是组距为2，组数为11.
（3）决定分点.根据本例中数据的特点，第1小组的起点可取为54.5，第1小组的终点可取为56.5，为了避免一个数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样，所得到的分组是
［54.5，56.5），［56.5，58.5），…，［74.5，76.5）.
（4）列频率分布表,如表① 频率分布表
分组 频数累计 频数 频率
［54.5，56.5） 2 2 0.02
［56.5，58.5） 8 6 0.06
［58.5，60.5） 18 10 0.10
［60.5，62.5） 28 10 0.10
［62.5，64.5） 42 14 0.14
［64.5，66.5） 58 16 0.16
［66.5，68.5） 71 13 0.13
［68.5，70.5） 82 11 0.11
［70.5，72.5） 90 8 0.08
［72.5，74.5） 97 7 0.07
［74.5，76.5） 100 3 0.03
合计 100 1.00
（5）绘制频率分布直方图.频率分布直方图如图所示
在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作出估计.例如可以估计体重在［64.5，66.5）kg的学生最多，约占学生总数的16%；体重小于58.5kg的学生较少，约占8%；等等
点评：由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积反映了数据落在各个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面，频率分步表比较准确，频率分布直方图比较直观，它们起着相互补充的作用.
【同步训练】
1.在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是（ ）
Ａ．总体容量越大，估计越精确 Ｂ．总体容量越小，估计越精确Ｃ．样本容量越大，估计越精确 Ｄ．样本容量越小，估计越精确
2. 一个容量为ｎ的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为50和0.25，则ｎ＝ ．
3. 一个容量为32的样本，已知某组的样本的频率为0.25，则该组样本的频数为（ ）21世纪教育网
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８
4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ）
0.6小时 0.9小时
1.0小时 1.5小时
5.（江西卷）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为（ ）
A．0,27,78 B．0,27,83
C．2.7,78 D．2.7,83
6．用条形图表示下表中关注不同广告的人数、频率。
广告类型 人数 比例 频率%
商品广告 112 0.560 56
服务广告 51 0.255 25.521世纪教育网
金融广告 9 0.045 4.5
房地产广告 16 0.080 8
招生招聘广告 10 0.050 5
其他广告 2 0.010 1
合计 200 1.000 100
【拓展尝新】
7．下表给出了某学校120名12岁男生的身高统计分组与频数（单位：cm）．
区间 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158)
人数 5 8 10 22 33 20 11 6 5
（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）；
（2）画出频率分布直方图；
（3）根据累积频率分布，估计小于134的数据约占多少百分比．
【解答】
1．Ｃ 2．200 3．Ｂ 4．B
5．A 6．解：人数分布条形图如下
频率分布条形图如下
7．解：（1）样本的频率分布表与累积频率表如下：
区间 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158)
人数 5 8 10 22 33 20 11 6 5
频率
累积频率 1
（2）频率分布直方图如下：
（3）根据累积频率分布，小于134的数据约占．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
0.5
人数(人)
时间(小时)
20
10
5
0
1.0
1.5
2.0
15
0.3
0.1
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
视力
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2.4线性回归方程(1)
教学目标
（1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；
（2）在两个变量具有线性相关关系时，会在散点较长中作出线性直线，会用线性回
归方程进行预测；
（3）知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．
教学重点
散点图的画法，回归直线方程的求解方法．
教学难点
回归直线方程的求解方法．
教学过程
一、问题情境
1．情境：
客观事物是相互联系的 过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系 比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说 事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度 所以说，函数关系存在着一种确定性关系 但还存在着另一种非确定性关系——相关关系
2．问题：
某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
气温/C 26 18 13 10 4
杯数 20 24 34 38 50 64
如果某天的气温是，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？
二、学生活动
为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标表示气温，纵坐标表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).
从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系
我们有多种思考方案:
(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取这两点的直线；
（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；
（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；
………………
怎样的直线最好呢
三、建构数学
1．最小平方法：
用方程为的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。那么，怎样衡量直线与图中六个点的接近程度呢？
我们将表中给出的自变量的六个值带入直线方程,得到相应的六个的值:
.这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和
是直线与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线与图中六个点的接近程度,所以,设法取的值,使达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) .
先把看作常数,那么是关于的二次函数.易知,当时, 取得最小值.同理, 把看作常数,那么是关于的二次函数.当时, 取得最小值.因此,当时，取的最小值，由此解得.所求直线方程为.当时,,故当气温为时,热茶销量约为杯.
2．线性相关关系：
像能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系.
3．线性回归方程：
一般地,设有个观察数据如下：
…
…
当使取得最小值时,就称为拟合这对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.
上述式子展开后，是一个关于的二次多项式，应用配方法，可求出使为最小值时的的值．即
,（*） ,
四、数学运用
1．例题：
例1． 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．
机动车辆数／千台 95 110 112 120 129 135 150 180
交通事故数／千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13
解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．计算相应的数据之和：
，
将它们代入（）式计算得，
所以，所求线性回归方程为．
2．练习：
（1）第75页练习1、2
（2）下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ D ）
A．角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积
C．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高
（3）给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x 15 20 25 30 35 4021世纪教育网 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形
解：(1)散点图（略）．
(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格
i 1 2 3 4 5 6 7
xi 15 20 25 30 35 40 45
yi 33021世纪教育网 345 365 405 445 450 455
xiyi 4950 6900 9125 12150 15575 18000 20475
,
故可得到
从而得回归直线方程是．(图形略)
五、回顾小结：
1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数的计算公式，算出．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．求线性回归方程的步骤：计算平均数；计算的积，求；计算；将结果代入公式求；用 求；写出回归方程
六、课外作业：
课本第75页习题2.4第1、2、3题．
2.4 线性回归方程（2）
教学目标
（1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法；
（2）掌握散点图的画法及在统计中的作用；
（3）掌握回归直线方程的求解方法．
教学重点
线性回归方程的求解．21世纪教育网
教学难点
回归直线方程在现实生活与生产中的应用．
教学过程
一、复习练习
1．三点的线性回归方程是 （ Ｄ ）
A B
C D
2．我们考虑两个表示变量与之间的关系的模型，为误差项，模型如下：
模型１：；模型２：．
（１）如果，分别求两个模型中的值；21世纪教育网
（２）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．
解：（１）模型１：；
模型２：
（２）模型１中相同的值一定得到相同的值，所以是确定性模型；模型２中相同的值，因的不同，所得值不一定相同，且为误差项是随机的，所以模型２是随机性模型．
二、数学运用
1．例题：
例1．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：
零件个数（个） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
加工时间（分） 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
请判断与是否具有线性相关关系，如果与具有线性相关关系，求线性回归方程．
解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：
∴
，因此，所求线性回归方程为
例2．已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：
45 42 46 48 42 35 58 40 39 50
6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.59 8.72
(血球体积)，（红血球数，百万）
（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线度且画出图形．
解：（1）图略
（2）
=
设回归直线方程为，则，=
所以所求回归直线的方程为 图形：（略）
点评：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数的计算公式，算出．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误，求线性回归方程的步骤：计算平均数；计算与的积，求；计算；将结果代入公式求；用求；写出回归直线方程．
例3．以下是收集到的新房屋销售价格与房屋的大小的数据：
房屋大小（） 80 105 110 115 135
销售价格（万元） 18.4 22 21.6 24.8 29.2
（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（３）计算此时和的值，并作比较．
解：（１）散点图（略）
（２）
[来源:21世纪教育网]
所以，线性回归方程为．
（３），由此可知，求得的
是函数取最小值的值．
五、回顾小结：
1．求线性回归方程的步骤：
(4)将上述有关结果代入公式，求，写出回归直线方程．
六、课外作业：
1．课本第82页第9题．
2．已知关于某设备的使用年限与所支出的维修费用（万元），有如下统计资料：
使用年限 2 3 4 5 6
维修费用 2．2 3．8 5．5 6．5 7．0
设对程线性相关关系．试求：（1）线性回归方程的回归系数；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用多少？
答案：；（2）12.38
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总体特征数的估计（二）
【目标引领】
1． 学习目标：
理解样本数据的方差，标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差，并使学生领会通过合理的抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想。掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算方差，标准差，并对总体稳定性水平估计的方法。
2． 学法指导：
①．方差和标准差计算公式：
设一组样本数据，其平均数为，则
样本方差：s2=〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕
样本标准差：s=
②．方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。标准差大说明波动大。
【教师在线】
1． 解析视屏：
①若给定一组数据，方差为s2，则的方差为
②若给定一组数据，方差为s2，则的方差为；特别地，当时，则有的方差为s2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；
③方差刻画了数据相对于均值的平均偏离程度；对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差越大；
④方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响。
2． 经典回放：
例1： 要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm）：
甲 755 752 757 744 743 729 721 731 778 768 761 773 764 736 741
乙 729 767 744 750 74521世纪教育网 753 745 752 769 743 760 755 748 752 747
如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？
解：甲≈750.2
乙≈750.6
s甲≈16.4
s乙≈9.6
甲乙两名跳远运动员的平均成绩相差无几，乙的成绩较稳定，所以选拔乙去参加运动会比较合适。
点评：总体平均数描述一总体的平均水平，方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳定程度。
例2：证明方差的两个性质
①．若给定一组数据，方差为s2，则的方差为
②．若给定一组数据，方差为s2，则的方差为；
解：设一组样本数据，其平均数为=，则
样本方差：s2=〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕
另一组样本数据，其平均数为=a,则
样本方差=〔（ax1—a）２+（ax2—a）2+…+（axn—a）2〕
=a2〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕
=.
同样：另一组样本数据，其平均数为
=a+b,
样本方差=〔（ax1+b—a-b）２+（ax2+b—a-b）2+…+（axn+b—a-b）2〕
= a2〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕
=.
点评：特别地，当时，则有的方差为s2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性。
【同步训练】
1．若的方差为3，则的方差为.
2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ）
A． B． C． D．
3. 从甲乙两个总体中各抽取了一个样本：
甲 6 5 8 4 9 6
乙 8 7 6 5 8 2
根据以上数据，说明哪个波动小？
4.甲乙两人在相同条件下个射击20次，命中的环数如下：
甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 5 6 6 7 8 7 9 10[来源:21世纪教育网] 9 6
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 9 6 5 8 6 9 6 8 7 7
问谁射击的情况比较稳定？21世纪教育网
5．为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：21世纪教育网
甲 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11
乙 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16
哪种小麦长得比较整齐？
6．从A、B两种棉花中各抽10株，测得它们的株高如下：(CM)
A、 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
B、 27 16 44 27 44 16 40 16 40 40
(1) 哪种棉花的苗长得高？
(2) 哪种棉花的苗长得整齐？
【拓展尝新】
7．“用数据说话”，这是我们经常可以听到的一句话，但数据有时也会被利用，从而产生误导。例如，一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入可以达到几十万元。这时年收入的平均数会比中位数大得多。尽管这时中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问。你认为“我们单位的收入比别的单位高”这句话应当怎么理解？
【解答】
1．12 2．D
3．甲波动小 4．乙情况比较稳定 5．甲种小麦长得比较整齐
6．乙种棉花的苗长得高，甲种棉花的苗长得整齐。
7．从收入的平均数及数据的稳定程度（两极分化的程度）来分析。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
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§1.2 第2课时 流程图与顺序结构
教学目标：1.了解流程图的概念，了解常用流程图符号（输入输出框、处理框、判断框、起止框、流程线等）的意义；
2.能用程序图表示顺序结构的算法；
3.发展学生有条理的思考与表达能力，培养学生的逻辑思维能力.
教学重点：运用流程图表示顺序结构的算法．
教学难点：规范流程图的表示．
教学过程：
一．问题情境
1．情境：回答下面的问题：
（1） ；
（2） ；
2．问题：已知，求的最小值，试设计算法．
二．学生活动
学生讨论，教师引导学生进行表达．
解： 取；
计算；
若，则输出；否则，使，转．
上述算法可以用框图直观地描述出来：
教师边讲解边画出第7页图．
这样的框图我们称之为流程图．
三．建构数学
1．流程图的概念：
流程图是用一些规定的图形、指向线及简单的文字说明来表示算法几程序结构的一种图形程序．它直观、清晰，便于检查和修改.
其中，图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线（指向线）表示操作的先后次序．
2．构成流程图的图形符号及其作用（课本第7页），结合图形讲解．
3．规范流程图的表示：
①使用标准的框图符号；[来源:21世纪教育网]
②框图一般按从上到下、从左到右的方向画，流程线要规范；
③除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点.
④在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚.21世纪教育网
4．从流程图可以看出，该算法步骤中，有些是按顺序执行，有些需要选择执行，而另外一些需要循环执行．事实上，算法都可以由顺序结构、选择结构、循环结构这三块“积木”通过组合和嵌套表达出来．
5．顺序结构的概念：
依次进行多个处理的结构称为顺序结构．
四．数学运用
1．顺序结构举例
例1．写出作的外接圆的一个算法．
解： 作的垂直平分线；
作的垂直平分线；
以与的交点为圆心，为半径作圆，圆即为的外接圆．
说明：1．以上过程通过依次执行到这三个步骤，完成了作外接圆这一问题，这种依次进行多个处理的结构就是顺序结构．
2．上述算法的流程图如下图1所示，它是
一个顺序结构．
图1 图2
例2．已知两个单元分别存放了变量和的值，试交换这两个变量值．
说明：1．在计算机中，每个变量都分配了一个存储单元，它们都有各自的地址．[来源:21世纪教育网]
2．为了表达方便，我们用符号“”表示“把赋给”（见教材第1页）21世纪教育网
解：为了达到交换的目的，需要一个单元存放中间变量．
算法是：
； 先将的值赋给变量，这时存放变量的单元可作它用
； 再将的值赋给，这时存放变量的单元可作它用
． 最后将的值赋给，两个变量和的值便完成了交换
说明：上述算法的流程图如上图2所示，它是一个顺序结构．
例3．半径为的圆的面积计算公式为，当时，写出计算圆面积的算法，画出流程图．
解：算法如下：
；
； [来源:21世纪教育网]
输出．
说明：上述算法的流程图如右图所示，它是一个顺序结构．
2．练习：课本第9页练习第1、2题．
五．回顾小结
1．流程图的概念：
流程图是用一些规定的图形、指向线及简单的文字说明来表示算法几程序结构的一种图形程序．它直观、清晰，便于检查和修改.
2．画流程图的步骤：
首先用自然语言描述解决问题的一个算法，再把自然语言转化为流程图；
3．顺序结构的概念：
依次进行多个处理的结构称为顺序结构．
六．课外作业：
课本第14页习题第1，3题．
补充：
已知华氏温度与摄氏温度的转换公式是：，写出一个算法，并画出流程图，使得输入一个华氏温度，输出其相应的摄氏温度．
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www.
作的垂直平分线
作的垂直平分线
以与的交点为圆心，为半径作圆
输出
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2.2 总体分布的估计
教学目标
1．会绘制频率分布直方图，并且能读懂频率分布直方图，能根据频率分布直方图解决一些问题．
2．会绘制频率分布折线图，并且能读懂频率分布折线图，能根据频率分布折线图解决一些问题．
3．了解茎叶图的制作，并能通过茎叶图读懂某些数据．
重点难点
频率分布直方图和频率分布折线图的绘制，读图．
第二课时
教学过程
一、频率分布表、频率分布直方图、频率折线图
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出。某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么a定为多少比较合理？
分析：假设通过抽样，我们获得了100位居民的月均用水量（单位：t）
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6
3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4
3.2 2.7 2.3 2.1 1.6[来源:21世纪教育网] 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8
3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6[来源:21世纪教育网] 4.1
3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3
3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0
2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3
2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4
2.5 2.6 2.3 2.1 1.6[21世纪教育网] 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4
2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
1．编制频率分布表
极差＝4.3－0.2＝4.1；
如果取区间[0.15，4.35]，则全距为4.2；分10组，组距为0.42，为了方便起见，组距尽可能“取整”，因此定为0.5，因此分9组，全距为4.5，取区间[0,4.5] ．
2．绘制频率分布直方图
从图中我们可以看到,月均用水量在区间[2，2.5)内的居民最多，在[1.5，2)内次之，大部分居民的月均用水量都在[1，3)之间.
说明1：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的图的性状也会不同。不同的形状给人不同的印象，这种印象会影响我们对总体的判断，例如
说明2：直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到分布表中看不清楚的数据模式，但是直观图也丢失了一些信息，例如，原始数据不能在图中表示出了.
3．频率折线图
如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图．
频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势．如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折线将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分布的密度曲线．
( http: / / www. / / )
二、茎叶图
初中统计部分曾学过用平均数、众数和中位数反映总体的水平，用方差考察稳定程度．我们还有一种简易的方法，就是将这些数据有条理地列出来，从中观察分布情况．这种方法就是画茎叶图．
例 某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况如下：
12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
从这张图可以粗略地看出，该运动员平均得分及中位数、众数都在20到40之间，且分布较对称，集中程度高，说明其发挥比较稳定．
高考资源网
1．茎叶图的画法是：
将所有的两位数的十位数字作为＂茎＂，个位数字作为＂叶＂，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出．
2．茎叶图的优缺点：
优点是所有的信息都可以从茎叶图中得到，便于记录和表示．但茎叶图表示三位或三位以上的数据时不够方便．
练习：
1．某医院的发热门诊部对一天接待的16名病人的体温进行了测量，得到以下数据：
37.5，38.0，39.2，38.5，39.5，37.8，39.1，38.2，
37.6，39.2，38.1，39.5，37.8，38.5，38.7，39.321世纪教育网
请作出当天病人体温的茎叶图，并计算出病人的平均体温．
2．有一个容量为50的样本，其数据的茎叶图表示如下：
1 34566678888999
2 0000112222233334455566667778889
3 01123
将其分成7组并要求：(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图、频率分布折线图．
三、回顾小结
1．频率折线图和总体分布的密度曲线；
2．茎叶图的制作和阅读．
四、作业
略
25
45
116679
49
50
1
2
3
4
5
←叶：表示个位数字
茎：表示十位数字→
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1．4．3 算法案例(3)
教学目标
（1）二分法主要是采用了循环结构处理问题要会分析类似的问题；
（2）GoTo语句的认识及其他语句的进一步熟悉；
（3）能由流程图分析出期所含有的结构并用为代码表示出相应的算法．
教学重点
二分法的算法思想和算法表示．
教学过程
一、问题情境
必修1中我们学习了二分法求方程的近似解，大家还能想起二分法的求解步骤吗？
二、案例讲解：
案例：写出用区间二分法求解方程在区间内的一个近似解（误差不超过0.001）的一个算法．
（１）算法设计思想：
如图，如果估计出方程在某区间内有一个根，就能用二分法搜索求得符合误差限制的近似解．
21世纪教育网
（２）算法步骤可以表示为：
（4）伪代码1：
Read a，b，c
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While And
If <0 Then
Else
End If
End While
Print
伪代码2：
10 Read
20
30
40
50 If Then GoTo 120
60 If Then
70
80 Else
90 21世纪教育网
100 End If
110 If Then GoTo 20
120 Print
二分搜索的过程是一个多次重复的过程，故可以用循环结构来处理（代码1），课本解法是采用语句实现的（代码2）。
三、回顾小结：
1．二分法的算法和用伪代码表示该算法；
2．语句的使用；21世纪教育网
3．解决实际问题的过程：分析－画流程图－写伪代码。21世纪教育网
四、课外作业：课本复习题的第1题,课本复习题的第10题
补充．一个三位数的十位和个位的数字互换，得到的一个新的三位数，新、旧两个三位数都能被4整除；设计一个算法，求满足条件的三位数的个数，并写出伪代码。
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结束
开始
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3.1.1 简单随机抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤；
2、过程与方法：
（1）能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；
（2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。
3、情感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性。
4、重点与难点：正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。
教学设想：
假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做？
显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。（为什么？）那么，应当怎样获取样本呢？
【探究新知】
一、简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。[来源:21世纪教育网]
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。
思考？
下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。
（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。
二、抽签法和随机数法
1、抽签法的定义。
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
【说明】抽签法的一般步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）连续抽签获取样本号码。
思考？
你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？
2、随机数法的定义：
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。
怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799。
第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）。
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 6221世纪教育网
87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
90 52 84 77 27 08 02 73 43 2821世纪教育网
第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567，199，507，…，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本。
【说明】随机数表法的步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）在随机数表中选择开始数字。
（3）读数获取样本号码。
【例题精析】
例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？
[分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。[来源:21世纪教育网]
例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
[分析] 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴的直径。
解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本。
【课堂练习】P
【课堂小结】
1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法。
2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。
3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开业，避免在解题中出现错误。
【评价设计】
1、为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是21世纪教育网
A．总体是240 B、个体是每一个学生
C、样本是40名学生 D、样本容量是40
2、为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是 （ ）
A、总体 B、个体是每一个学生
C、总体的一个样本 D、样本容量
3、一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 。
4、从3名男生、2名女生中随机抽取2人，检查数学成绩，则抽到的均为女生的可能性是 。
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细说“三种椭机抽样”
一、简单随机抽样
从个体数为N的总体中不重复地取出n个个体（），每个个体都有相同的机会被取到．这样的抽样方法称为简单随机抽样．
1．简单随机抽样的特点
（1）适用于被抽取的样本总体的个数不多，否则较难“搅拌均匀”．
（2）每个个体被抽到的机会都是均等的；
（3）从总体中不放回地逐个抽取；
（4）做到了抽样的客观性和公平性，抽样方法简便易行，是其他较为复杂抽样方法的基础．
2．常用的简单随机抽样方法
（1）抽签法
一般地，用抽签法从个体数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤为：①将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N）；②将1到N这N个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）；③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；④从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次；⑤从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出．
抽签法的优点是简便易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平．
（2）随机数表法
按一定的规则到随机数表中选取号码，这样的抽样方法叫做随机数表法．[来源:21世纪教育网]
随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字组成，表中每一个数字都是用随机方法产生的（称为“随机数”）．随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．
用随机数表法抽样的步骤：①将总体的个体编号（每个号码位数一致）；②在随机数表中选择开始数字；③从选定的数开始，确定一个读取方向（向左、向右、向上、向下均可），读数获取样本号码，如果有重复的或已取出的数要舍去，直到取满为止．
随机数表法的优点与抽签法相同，缺点是当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，这两种方法都只适用于总体容量较少的抽样类型．
二、系统抽样
1．定义：当总体的个数较多时，采用简单随机抽样太麻烦，这时可将总体分成均衡的部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样称为系统抽样，又叫等距抽样．
2．步骤：①采用随机的方式将总体中的N个个体编号；②将整体按编号均衡分段，确定分段间隔k，当是整数时，；当不是整数时，从N中剔除一些个体，使其为整数，将剩下的总体重新编号；③在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号；④按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号l加上间隔k得到第2个个体编号，再加上k得到第3个个体编号，这样继续下去，直到获取整个样本．
例1 从的总体中采用系统抽样，抽取一个容量的样本，写出抽取过程．[21世纪教育网
解：抽样过程具体如下：21世纪教育网
第一步：将总体的103个个体按随机方式编号001，002，003，…，103；
第二步：抽取容量为10的样本，因为不是整数，所以应从总体中剔除3个（剔除方法可用随机数表法：如以随机数表的第20行第9列的4开始向右连续取表数字．在读取时，以3个数为一组，遇到大于103的数时，将它舍去）；
第三步：将余下的100个重新编号00，01，02，03，…，99；分成10段，每段10个；在第一段00，01，…，09这十个编号中，随机定一起始数，则为所抽取的样本号码．如，则被抽取的样本号码为：3，13，23，33，43，53，63，73，83，93．
三、分层抽样
1．定义：一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样（stratified sampling），其中所分成的各个部分称为“层”．
分层抽样的步骤是：①将总体按一定标准分层；②计算各层的个体数与总体的个体数的比；③按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；④在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）．
2．关于分层抽样的几点说明：
（1）适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
（2）在每一层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；
（3）分层抽样要充分利用样本特征，合理分层，分多少层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，而层与层之间的差异尽可能地大，否则将失去分层的意义．
例2 某校有在校高中生共1600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人．如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到学生因年级不同，消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，问应当采用怎样的抽样方法？高三学生中应抽查多少人？
解：因为不同年级的学生消费情况有明显的差别，所以应采用分层抽样．
由于，于是将80分成比例为的三部分，设三部分抽取的个体数分别为，由，解得，故高三年级中应抽查29×1=29人．
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生活中的抽样方法
在现实生活中，由于资金、时间有限，人力、物力不足，再加上不断变化的环境条件，做普查往往是不可能的，因此，我们一般是把数据的收集限制在总体的一个样本上．由于总体的复杂性，在实际操作中，为了使样本具有代表性，通常要同时使用几种抽样方法．
例1 某学校有职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员21人．为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本．试分别用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法抽取样本．
分析：结合简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的含义和特点求解．
解：三种抽样方法依次如下：
（1）将140人从1～140编号，然后制作出有编号1～140的形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱子里搅拌均匀，然后从中抽出20个号签，编号与号签相同的20个人被选出．
（2）将140人分成20组，每组7人，并将每组7人按1～7编号，在第一组采用抽签法抽出k号（1≤k≤7），其余各组k号也被抽出，20个人被选出．
（3）按的比例，从教师中抽出13人，从教辅行政人员中抽出4人，从总务后勤人员中抽出3人．从各类人员中抽出所需要人员时，均采用随机数表法，可抽到20人．
评注：该例中用简单随机抽样抽取样本时采用了抽签法，同学们可试着用随机数表法抽取样本，本例主要考查对三个抽样概念的理解以及灵活运用的能力．
例2 选择合适的抽样方法，写出抽样过程．
（1）有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样．
（2）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样．
（3）有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样．21世纪教育网
（4）有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样．
分析：应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况，灵活使用各种抽样方法解决问题．
解：（1）总体由差异明显的几个层次组成，需选用分层抽样法．
第一步：确定抽取个数，由于，所以应抽取甲厂生产的篮球（个），乙厂生产的篮球（个）；
第二步：用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本．
（2）总体容量较小，可以采用抽签法，具体步骤如下：
第一步：将30个篮球编号，编号为00，01，02，，29；
第二步：将以上30个编号分别写在一张小纸条上，揉成小球，制成号签；
第三步：把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；
第四步：从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；
第五步：找出和所得号码对应的篮球．
（3）总体容量较大，样本容量较小宜用随机数表法．
第一步：将300个篮球用随机方式编号，编号为001，002，，300；
第二步：在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“7”开始，任选一个方向作为读数的方向，比如向右读；
第三步：从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．
（4）总体容量较大，样本容量也较大宜用系统抽样法．
第一步：将300个篮球用随机方式编号，编号为000，001，002，，299，并分成30段；
第二步：在第一段000，001，002，，009这10个编号中用简单随机抽样抽出一个（如002）作为起始号码；
第三步：将编号为002，012，022，，292的个体抽取，组成样本．
评注：三种抽样方法的共同特点就是总体中每个个体被抽到的可能性相等，这样样本的抽取体现了公平性和客观性．21世纪教育网
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《古典概型》的教学设计
一、内容和内容解析
内容：古典概型的概念及概率计算公式。21世纪教育网
内容解析：本节课是高中数学（必修3）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是学生在初中阶段学习了概率初步，在高中阶段学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下进行教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它曾是概率论发展初期的主要研究对象，在概率论中占有相当重要的地位，它的引入，使我们可以解决一类随机事件（等可能事件）的概率，而且可以得到概率精确值，同时避免了大量的重复试验。学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，有利于理解概率的概念，并能够解释生活中的一些问题。21世纪教育网
本课题中古典概型是核心概念，但基本事件也是一个很重要的概念，它对学生正确认识与获得古典概型的概念起着十分关键的作用。
基本事件概念中有如下的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
古典概型概念中的核心是它的两个特征，（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），尤其是特征（2），所以教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的古典概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化古典概型的两个特征及概率计算公式。同时使学生初步能够把一些实际问题转化为古典概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。
教学重点：理解古典概型及其概率计算公式。
二、目标和目标解析
目标：理解古典概型及其概率计算公式，并能计算有关随机事件的概率。 21世纪教育网
目标解析：
1、借助掷硬币、骰子及例1的试验，使学生初步理解基本事件的两个特点，并由学生举例，通过比较、分析引导学生发现随机试验中出现的基本事件有等可能，也有不等可能的情形。
2、引导学生从具有等可能的基本事件的试验中概括出古典概型的两个特征。
3、从掷硬币、骰子试验的有关概率计算中归纳出古典概型的概率计算公式。
4、借助问题背景及动手操作，让学生不断体验基本事件与古典概型的特征充分认识到它们在运用古典概型概率计算公式中的重要性。
4、体验将问题转化为古典概型中的思想，尝试用概率知识解析实际问题，并积极探究有关概率中较复杂的问题，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神。
三、教学问题诊断分析
学生在初中阶段学习了概率初步，在高中阶段学了随机事件的概率，并亲自动手操作了掷硬币、骰子（包括同时掷两个）的试验，由此归纳出古典概型的两个特征不是难点，关键是以下问题：
1、学生在解决古典概型中有关概率计算时，往往会忽视古典概型的两个特征，错用古典概型概率计算公式，因此在教学中结合例2与问题2进行深入讨论，加深对基本事件（相对性）的理解，让学生真正体会到判断古典概型的重要性，其中可以利用试验、统计、列举等手段来帮助学生解决问题。
2、在归纳概率计算公式时，很多学生可能会不重视，想当然地得出结论，教学中应引导学生揭示公式得出的过程，尤其是基本事件的等可能性（可以借助图形引导学生直观认识），并学会从特殊到一般研究问题的方法。
3、学生初步学习概率，较难将实际问题模型（古典概型）化，因此在教学应重视培养学生建模的意识的能力。
教学难点：如何判断一个试验是否为古典概型， 如何将实际问题转化为古典概型问题。
四、教学支持条件分析
为了有效实现教学目标，条件许可准备投影仪、多媒体课件，学生准备硬币、骰子数枚。
五、教学过程设计
1、形成概念
（1）基本事件
分析抛掷一枚质地均匀的硬币与骰子的试验结果的特点：相互之间是互斥关系；任何事件都可以表示为它们的和。从而归纳出基本事件的概念。
例1 （1）从字母A、B、C、D中任意取出一个字母的试验中，有哪些基本事件？（2）任意取出两个不同字母呢？
设计意图：使学生了解基本事件及列举法（画树状图是列举法的基本方法），列出所有基本事件，并为归纳古典概型提供更多背景。
由学生举例：说出试验中的基本事件，并补充一些不等可能的背景：如在掷一枚质地均匀骰子（其中四个面分别标有1、2、3、4，另两个面标有5）的试验中，基本事件分别是什么？
设计意图：让学生深入理解基本事件的意义，体会随机思想，并能认识到基本事件之间有等可能，也有不等可能，这里可以借助图形（如图：用一个圆表示必然事件，若等可能就将它等分，否则不等分）来直观说明。
（2）古典概型
问题1 在掷一枚质地均匀的硬币或骰子及例1的试验中，基本事件分别有几个，它们之间有什么共同特征？
设计意图：借助具体试验中的基本事件，发现它们的共同特征，概括出古典概型的定义。
师生活动：通过引导，使学生逐步归纳出它们间的共性：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）
定义：我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型(classical models of probability)，简称古典概型。
设计意图：使学生进一步理解古典概型概念中的两个特征的含义。
师生活动：由学生来判断并说明理由。
2、归纳公式
问题2 我们知道：抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上的概率为，抛掷一枚质地均匀的骰子出现“1点”的概率为，由此能否得出古典概型中任何事件的概率计算公式？
设计意图：使学生从特殊问题入手（借助图形），归纳出古典概型概率计算公式。
师生活动：引导学生从特殊试验中发现任意两个基本事件都是互斥且等可能，从而可以得出任一基本事件的概率，又因为任何事件（包括必然事件）都可以表示为基本事件的和，利用概率的加法公式可以得出结果，并从中体会从特殊到一般归纳问题的思想。
古典概型计算任何事件A的概率计算公式为：
3、应用举例
例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案，请大家完成：
Throw two coins of the same quality with both appearing frontage to face ,the probability is （ ）
(A) (B) (C) (D)
设计意图：先统计全班学生选择A、B、C、D的人数（统计思想），再由学生判断该概率模型（只针对选择A、B、C、D）是不是古典概型，并发现：如果掌握了考察的内容，他可以选择唯一正确的答案；如果掌握了考察的部分内容，他可以提高选择的正确率；假设考生不会做，他只能随机选择一个答案（如某人没有学过英语，他只能猜），答对的概率最低（此时为古典概型），通过亲身感受使学生进一步体验统计与古典概型的意义，同时让学生充分认识到掌握知识的重要性。
探究：在物理考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？
设计意图：使学生通过相似问题背景的比较，进一步理解古典概型在解决概率问题中有关的思想方法。
师生活动：主要解决基本事件的个数，这里可以结合例1的结果。
问题3 抛掷一枚质地均匀的骰子，由骰子的点数为奇数还是偶数来决定乒乓球比赛中的发球权，公平吗？同时抛掷两枚质地均匀的骰子，由两枚骰子的点数之和为奇数还是偶数来决定乒乓球比赛中的发球权，公平吗？
设计意图：通过动手操作并利用统计手段（统计思想），使学生深入理解在使用古典概型的概率公式时，首先要正确认识试验中的基本事件（相对于研究问题而言），并判断该概率模型是不是古典概型，然后要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。
师生活动：向每位学生分发一枚质地均匀的骰子，同桌合作做试验，结合试验中的统计数据，通过交流与讨论，尝试解决此问题。在分析此问题时，要引导学生充分认识到：解决同一问题可能有多个角度确定基本事件，但并不是都等可能，只有当它们符合古典概型时，才能运用概率计算公式。
[来源:21世纪教育网]
例3 假设某人的储蓄卡的密码是由6个数字组成（每个数字可以是0，1，2，…，9中的任意一个），如果他完全忘记了密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？若他知道最后两个数字是自己的生日，结果又会怎样呢？
设计意图：使学生能将实际问题转化（化归思想）为古典概型，了解概率在实际中的应用及其中的化归思想。
练习 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测到不合格产品的概率有多大？
设计意图：继续培养与提高学生能将实际问题转化为古典概型的能力，不断了解概率在实际中的广泛应用。
探究 随着检测听数的增加，查出不合格产品的概率怎样变化？为什么质检人员一般都采用抽查的方式而不采用逐个检查的方法？
4、总结提高
（1）本节课学习的主要内容是什么？
（2）在应用古典概型解决概率问题时，应注意什么？21世纪教育网
（3）学习了古典概型后，你觉得有哪些收获？
六、目标检测设计
1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率为_________.
2、 在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率为_________.
3、 从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字，
（1）2个数字都是奇数的概率为_________；
（2）2个数字之和为偶数的概率为_________.
4、某人有4把钥匙，其中2把能打开门。现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是多少？，若试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？
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1．4．2 算法案例(2)
教学目标：
（1）理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；
（2）基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序；
教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法
教学难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言．
教学过程
一、问题情境
在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？
我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容．
二、算法设计思想：
1.辗转相除法：
例1．求两个正数8251和6105的最大公约数．
（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）
解：8251＝6105×1＋2146
显然8251和的2146最大公约数也必是2146的约数，同样
6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数．
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数．
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法．也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的．利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
第一步：用较大的数除以较小的数得到一个商和一个余数；
第二步：若，则为的最大公约数；若，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；
第三步：若，则为的最大公约数；若，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；
依次计算直至，此时所得到的即为所求的最大公约数．
练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数
解：
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2.更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术．
更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．
翻译出来为：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数．
例2． 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：
练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
[来源:21世纪教育网]
3.比较辗转相除法与更相减损术的区别21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显．
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到．
三. 辗转相除法的流程图及伪代码
利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设计出程序框图以及BSAIC程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数，下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果．
（1）辗转相除法的程序框图及程序
程序框图：
伪代码:
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用较大的数除以较小的数，得到除式，直到.
四、回顾小结：
1．辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理及算法语言的表示；
2．函数的含义．
五、课外作业：
课本第31页第2 ；课本第35页第13．
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2.3 总体特征数的估计
教学目标
1．通过实例理解样本的数字特征，如平均数，方差，标准差．
2．能根据实际问题的需求合理地选取样本，从数据样本中提取基本的数字特征，并作出合理的解释．
重点难点
重点（1）用算术平均数作为近似值的理论根据．（2）方差和标准差刻画数据稳定程度的理论根据．
难点：（1）平均数对总体水平进行评价时的可靠性(和中位数和众数之间的联系)．（2）通过实例使学生理解样本数据的方差，标准差的意义和作用．
教学过程
一．算术平均数和加权平均数
[21世纪教育网
（一）问题情境
某校高一(1)班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度．全班同学两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据(单位：ｍ／s2)：
9．62 9．54 9．78 9．94 10．01 9．66 9．88
9．68 10．32 9．76 9．45 9．99 9．81 9．56
9．78 9．72 9．93 9．94 9．65 9．79 9．42 9．68 9．70 9．84 9．90
问题1：怎样用这些数据对重力加速度进行估计？
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数的中位数（median）．
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数的中位数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数的众数，
算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数．
问题2：用这些特征数据对总体进行估计的优缺点是什么？
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用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系．对这些数据所包含的信息的反映最为充分，因而应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要作用，但计算较繁琐，并且易受极端数据的影响．
用众数作为一组数据的代表，可靠性较差，但众数不受极端数据的影响，并且求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”．
用中位数作为一组数据的代表，可靠性也较差，但中位数也不受极端数据的影响，也可选择中位数来表示这组数据的“集中趋势”．
平均数、中位数、众数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”，它们各自特点如下：
任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具备的性质，也正是这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.
问题3：我们常用算术平均数(其中ai(i＝1，2，…，n)为n个实验数据)作为重力加速度的近似值，它的依据是什么呢？
处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差尽可能地小，我们考虑(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，当x为何值时，此和最小．
(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋ a12＋a22＋…＋an2．
所以当x＝时离差的平方和最小．
（二）数学理论
故可用x＝作为表示这个物理量的理想近似值，称其为这ｎ个数据a1＋a2＋…＋an的平均数或均值一般记为：
＝．
（三）数学应用
例1 某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150分），试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好一些．21世纪教育网
甲班：
112 86 106 84 100 105 98 102 94 107
87 112 94 94 99 90 120 98 95 119
108 100 96 115 111 104 95 108 111 105
104 107 119 107 93 102 98 112 112 99
92 102 93 84 94 94 100 90 84 114
乙班
116 95 109 96 106 98 108 99 110 103
94 98 105 101 115 104 112 101 113 96
108 100 110 98 107 87 108 106 103 97
107 106 111 121 97 107 114 122 101 107
107 111 114 106 104 104 95 111 111 110
分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的水平，因此，分别求得甲、乙两个班级的平均分即可．
解：用科学计算器分别求得
甲班的平均分为101．1，
乙班的平均分为105．4，
故这次考试乙班成绩要好于甲班．
此处介绍Excel的处理方法．
例2：已知某班级13岁的同学有4人，14岁的同学有15人，15岁的同学有25人，16岁的同学有6人， 求全班的平均年龄．
解：
＝13×＋14×＋15×＋16×
这里的，，，，其实就是13，14，15，16的频率．
[数学理论]一般地若取值为x1，x2，…xn的频率分别是p 1，p2，…pn，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn．
睡眠时间 人 数 频 率
[6，6．5) 521世纪教育网 0．05
[6．5，7) 17 0．17
[7，7．5) 33 0．33
[7．5，8) 37 0．3721世纪教育网
[8，8．5) 6 0．06
[8．5，9] 2 0．02
合计 100 121世纪教育网
例3．下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表(单位：h)，试估计该校学生的日平均睡眠时间．
分析：要确定这100名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间．由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围，可以用各组区间的组中值近似地表示．
解法1：总睡眠时间约为
6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6
＋8.75×2＝739（ｈ）．
故平均睡眠时间约为7.39ｈ．
解法2：求组中值与对应频率之积的和
原式＝6.25×0.05＋6.75×0.17＋7.24×0.33
＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39（ｈ）．
答 估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39ｈ．
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例4．某单位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之间的职工所占的比分别为10％，15％，20％，25％，15％，10％和5％，试估计该单位职工的平均年收入．
分析：上述比就是各组的频率．
解 估计该单位职工的平均年收入为
12500×10％＋17500×15％＋22500×20％＋27500×25％＋32500×15％
＋37500×10％＋45000×5％＝26125（元）．
答估计该单位人均年收入约为26125元．
例5．小明班数学平均分是78分，小明考了80分，老师却说他是倒数几名，你觉得这可能吗？(再看书P64思考)
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二．方差与标准差
（一）问题情境
为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要进口一批规格为75g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同鸡腿的品质也相近．质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量(单位：g)如下：
甲厂 75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
乙厂 75 78 72 77 74 75 73 79 72 75
80 71 76 77 73 78 71 76 73 75
二、数学理论
实际生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于“平均水平”的偏离情况．方差与标准差就是刻画数据的离散程度的统计量．
一般地，设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，则称为这个样本的方差．
因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差开方后的值称为这组数据的标准差，即
三、数学应用
例6．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶．图11是其中的甲、乙段台阶路的示意图．你认为哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
例7： 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．
解 各组中值分别为165，195，225，255，285，315，345，375，
由此算得平均数约为
165×1％ ＋195×11％ ＋225×18％ ＋255×20％ ＋285×25％ ＋315×16％ ＋345×7％ ＋375×2％＝267．9≈268(天)．
将各组中值对于此平均数求方差得
×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋
20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋
7×(345－268)2＋2× (375－268)2］
＝2128．60，
≈46．
答．估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天．
补充说明：kan＋b的平均数和方差．
已知a1，a2，…an的平均数是3，方差是2，则ka1＋b，ka2＋b，…kan＋b的平均数是3k＋b；a1＋b，a2＋b，…an＋b的方差是2；ka1＋b，ka2＋b，…kan＋b的方差是2k2．
三、回顾小结
1．算术平均数与加权平均数；
2．方差和标准差．
四、作业
略
乙厂
甲厂
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3.2 古典概型（第四、五课时）
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
（3）了解随机数的概念；
（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．
三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学设想：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=．
3、例题分析：
课本例题略
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）====0.5
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则21世纪教育网
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解：具体操作如下：
键入21世纪教育网
反复操作10次即可得之
小结：利用计算器产生随机数，可以做随机模拟试验，在日常生活中，有着广泛的应用。
例5 某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？
分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数。
我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。
例如：产生20组随机数：21世纪教育网
812，932，569，683，271，989，730，537，925，
907，113，966，191，431，257，393，027，556．
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%。
小结：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题。
（2）对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。
（3）随机函数RANDBETWEEN（a,b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。
例6 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：（1）每次按SHIFT RNA# 键都会产生一个0~1之间的随机数，而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同的。
（2）还可以使用计算机软件来产生随机数，如Scilab中产生随机数的方法。Scilab中用rand（）函数来产生0~1之间的随机数，每周用一次rand（）函数，就产生一个随机数，如果要产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand（）*（b－a）+a得到．
4、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。
5、自我评价与课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A． B． C． D．
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
5．利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数。
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。
6、评价标准：
1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为，因此选B.]
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）==.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－=.]
3．[提示；记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
4.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为.
[来源:21世纪教育网]
5．解：具体操作如下
键入
[来源:21世纪教育网]
反复按 键10次即可得到。
6．解：具体操作如下：
键入
7、作业：根据情况安排
PRB
RAND RANDI
STAT DEC
ENTER
RANDI（1，100）
STAT DEG
ENTER
RAND （1,100）
3．
STAT DEC
PRB
PAND RANDI
STAT DEG
ENTER
PANDI（1,20）
STAT DEG
ENTER
PANDI（1,20）
3．
STAT DEG
ENTER
PRB
PAND RANDI
STAT DEG
ENTER
PANDI（0,1）
STAT DEG
ENTER
PANDI（0,1）
0
STAT DEG
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§1.2 第5课时 流程图复习课
教学目标：1.能运用流程图表示顺序、选择、循环这三种基本结构；能识别简单的流程图所描述的算法；
2.训练有条理的思考与准确表达自己想法的能力，提高逻辑思维能力.
教学重点：运用流程图表示顺序、选择、循环这三种基本结构．
教学难点：循环结构算法的流程图．
教学过程：
一．学法指导：
流程图结构的选择方法：
若不需判断，依次进行多个处理，只要用顺序结构；
若需要先根据条件作出判断，再决定执行哪个后继步骤，必须运用选择结构；
若问题的解决需要执行许多重复的步骤，且有相同的规律，就需要引入循环变量，应
用循环结构．
二．数学运用
例1．已知，写出求的一个算法，并画出流程图．
解： ；
；
；
； 21世纪教育网
；
若，转，否则输出．
练习1．已知一列数，，，…，，…且
，，（），
这个数列叫做斐波那契数列．写出求该数列
第10个数的一个算法，并画出流程图．
解：算法如下：
；
；
；
；
；
；21世纪教育网
21世纪教育网
若，转，否则输出．
例2．高一某班一共有50名学生，设计
一个算法，统计班上数学成绩良好
（分数大于80且小于90）和优秀
（分数大或等于90）的学生人数，
并画出流程图．
解：算法如下：21世纪教育网
，，；
输入成绩；
若，则，转；
若，则； 21世纪教育网
；
若，转，
否则，输出和；
例3．（第1课补充练习）写出求
的一个算法，
并画出流程图．
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www.
输出
开始
结束
输出、
， ，
输入成绩
结束
开始
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§1.1 第1课时 算法的含义
教学目标：1.通过实例体会算法思想，了解算法的含义与主要特点；
2.能按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程学；
3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.
教学重点：将问题的解决过程用自然语言表示为算法过程．
教学难点：用自然语言描述算法．
教学过程
一．序言
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机理论和技术的核心．在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具．听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域．那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力．
在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想．
阅读教材第4页．21世纪教育网
二．问题情境
1．情境：介绍猜数游戏（见教材第5页）．
2．问题：解决这一问题有哪些策略，哪一种较好？
三．学生活动
学生容易说出“二分法策略”，教师要引导学生进行算法化（按步骤）的表达．
说明：以上过程实际上是按一种机械的程序进行的一系列操作．
四．建构数学
在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法．
1．广义的算法——某一工作的方法和步骤，例如：歌谱是一首歌曲的算法，空调说明书是空调使用的算法．
在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序．
2．本章主要讨论的算法（计算机能够实现的算法）——对一类问题的机械的、统一的求解方法．例如：解方程（组）的算法，函数求值的算法，作图问题的算法等．
3．本节采用自然语言来描述算法．
五．数学运用
1．算法描述举例
例1．给出求1+2+3+4+5的一个算法．
解： 算法1 按照逐一相加的程序进行．
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15．
算法2 运用公式直接计算．
第一步：取=5；
第二步：计算；
第三步：输出运算结果．
算法3 用循环方法求和．
第一步：使，；
第二步：使；
第三步：使；
第四步：使；
第五步：如果，则返回第三步，否则输出．
说明：①一个问题的算法可能不唯一．
②若将本例改为“给出求的一个算法”，则上述算法2和算法3表达较为方便．
例2．给出求解方程组的一个算法．
分析：解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法（即先将方程组化为一个三角形方程组，在通过回代过程求出方程组的解）解线性方程组．
解：用消元法解这个方程组，步骤是：21世纪教育网
第一步：方程①不动，将方程②中的系数除以方程①中的系数，得到乘数；
第二步：方程②减去乘以方程①，消去方程②中的项，得到
；
第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到，．
所以原方程组的解为．
说明：（1）．从例1、例2可以看出，算法具有两个主要特点：
①有限性：一个算法在执行有限个步骤后必须结束．
“有限性”往往指在合理的范围之内，如果让计算机执行一个历时1000年才结束的算法，这虽然是有限的，但超过了合理的限度，人们也不把它视作有效算法．“合理限度”一般由人们的常识和需要以及计算机的性能而定．
②确定性：算法的每一个步骤和次序应当是确定的．
例如，一个健身操中一个动作“手举过头顶”，这个步骤就是不确定的、含糊的．是双手都举过头，还是左手或右手？举过头顶多少厘米不同的人可以有不同的理解．算法中的每一个步骤不应产生歧义，而应当是明确无误的．
（2）．一般来说，算法应有一个或多个输出，算法的目的是为了求解，没有输出的算法是没有意义的．
2．练习：课本第6页练习第1、2、3题．
练习1答案：第一步 移项得；
第二步 两边同除以2得．
练习2答案：第一步：使
第二步：使；
第三步：使；
第四步：使；
第五步：如果，则返回第三步，否则输出．
练习3答案：第一步 计算斜率；
第二步 用点斜式写出直线方程．
补充：
1．一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法．
解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河；
S2 人自己返回；
S3 人带一只羚羊过河；
S4 人带两只狼返回；
S5 人带两只羚羊过河；
S6 人自己返回；
S7 人带两只狼过河；
S8 人自己返回；
S9 人带一只狼过河．
2．写出求的一个算法．
解：第一步：使，；
第二步：使；
第三步：使；
第四步：使；
第五步：使；
第六步：如果，则返回第三步，否则输出．
六．回顾小结
1．算法的概念：对一类问题的机械的、统一的求解方法．算法是由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题．
2．算法的重要特征：21世纪教育网
（1）有限性：一个算法在执行有限步后必须结束；
（2）确切性：算法的每一个步骤和次序必须是确定的；[来源:21世纪教育网]
（3）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件．所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件．
（4）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果．没有输出的
算法是毫无意义的．
七、课外作业：
课本第6页第4题，
补充：21世纪教育网
1． 有A、B、C三个相同规格的玻璃瓶，A装着酒精，B装着醋，C为空瓶，请设计一个算法，把A、B瓶中的酒精与醋互换．
2．写出解方程的一个算法．
3．已知，，写出求直线AB斜率的一个算法．
4．“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目：
“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
请你先列出解决这个问题的方程组，并设计一个解该方程组的算法．
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§1.3 基本算法语句——赋值、输入、输出语句
教学目标
（1）正确理解赋值语句、输入语句、输出语句的结构；
（2）让学生充分地感知、体验应用计算机解决数学问题的方法；
（3）通过实例，使学生理解3种基本的算法语句（输入语句、输出语句和赋值语句）的表示方法、结构和用法，能用这三种基本的算法语句表示算法，进一步体会算法的基本思想．21世纪教育网
教学重点
正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用．
教学难点
准确写出输入语句、输出语句、赋值语句．
教学过程
一、问题情境
1．问题1：已知我班某学生上学期期末考试语文、数学和英语学科成绩分别为80、100、89，试设计适当的算法求出这名学生三科的平均分．
二、学生活动
1．学生讨论，教师引导学生写出算法并画出流程图．
21世纪教育网
2．怎样将以上算法转换成计算机能理解的语言呢？[来源:21世纪教育网]
下面我们将通过伪代码学习基本的算法语句．
三、建构数学
1．伪代码的概念：
21世纪教育网
2．赋值语句：
赋值语句是将表达式所代表的值赋给变量的语句．例如：“”表示将的值赋给，其中是一个变量，是一个与同类型的变量或表达式．
说明：
①赋值语句中的赋值号“”的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；
②赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或表达式；
③对于一个变量可以多次赋值．
例1．写出求时多项式的值的算法．
3．输入、输出语句：
输入、输出语句分别用“Input”（或者“Read”）和“Print”来描述数据的输入和输出．
（1）输入语句与赋值语句的区别在于：赋值语句可以将一个代数表达式的值赋于一个变量，而输入语句由于要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式，因此输入语句只能将读入的具体数据赋给变量．
（2）输出语句的主要作用是：①输出常量、变量的值和系统信息；②输出数值计算的结果．
例如：可以将问题1中的算法改进为求任意三门功课的平均值的算法．
流程图：
[来源:21世纪教育网]
说明：输入语句“Read a，b”表示输入的数据依次送给a，b；“Print A”表示输出运算结果A．
四、数学运用
1．例题：
例2．“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
请你先列出解决这个问题的方程组，并设计一个解二元一次方程组的通用算法，并画出流程图，写出伪代码．
解：
2．练习：课本第17页 练习1题．
五、回顾小结：
1．赋值语句、输入语句、输出语句的结构和作用．
六、课外作业：
课本第17页 练习2、3题；课本第24页习题1.2 第1题．
补充：
1．将五进制数化为十进制数的方法是“按权展开”，如将化为十进制数为．试用输入输出语句、赋值语句表示将五进制数化为十进制数的算法．
2．请用伪代码编写程序，实现三个变量的值按顺序互换，即之间的交换．
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§1.2 第3课时 选择结构
教学目标：1. 进一步理解流程图的概念，了解选择结构的概念，能运用流程图表达选择结构；
2.能识别简单的流程图所描述的算法；
3.发展学生有条理的思考与表达能力，培养学生的逻辑思维能力.
教学重点：运用流程图表示选择结构的算法．
教学难点：规范流程图的表示以及选择结构算法的流程图．
教学过程：21世纪教育网
一．问题情境
1．情境：
某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为
其中（单位：）为行李的重量．
试给出计算费用（单位：元）的一个算法，并画出流程图．
二．学生活动
学生讨论，教师引导学生进行表达．
解：算法为：
输入行李的重量；
如果，那么，
否则；
输出行李的重量和运费．
上述算法可以用流程图表示为：
教师边讲解边画出第9页图．
在上述计费过程中，第二步进行了判断．
三．建构数学
1．选择结构的概念：
先根据条件作出判断，再决定执行哪一种
操作的结构称为选择结构．
如图：虚线框内是一个选择结构，
它包含一个判断框，当条件成立
（或称条件为“真”）时执行，
否则执行．
2．说明：（1）有些问题需要按给定的条件进行分析、比较和判断，并按判断的不同情况进行不同的操作，这类问题的实现就要用到选择结构的设计；21世纪教育网
（2）选择结构也称为分支结构或选取结构，它要先根据指定的条件进行判断，再由判断的结果决定执行两条分支路径中的某一条；
（3）在上图的选择结构中，只能执行和之一，不可能既执行，又执行，但或两个框中可以有一个是空的，即不执行任何操作；
（4）规范流程图图框的形状要规范，判断框必须画成菱形，它有一个进入点和两个退出点．
3．思考：教材第7页图所示的算法中，哪一步进行了判断？
四．数学运用
1．选择结构举例
例1．（教材第10页例3）设计求解一元二次方程的一个算法，并画出流程图．
分析：由于一元二次方程未必总有实数根，因此，求解时，要先计算判别式，然后比较与的大小，再决定能否用求根公式求解．所以，在算法中应含有选择结构．解：算法如下：
输入；
；
如果，则输出“方程无实数根”，否则
，，
并输出，．
算法流程图如右．
思考：如果要输出根的详细信息（区分是两个
相等的实数根还是不等的实数根），如何
修改上述算法和流程图？
例2．设计一个求任意数的绝对值的算法，并画出流程图．
解： 输入任意实数；[21世纪教育网]
若，则；否则；
输出．
算法流程图如右．
21世纪教育网
2．练习：课本第11页练习第1、2、3题．
五．回顾小结[来源:21世纪教育网]
1．选择结构的概念：
先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构．
2．理解选择结构的逻辑以及框图的规范画法，选择结构主要用在判断、分类或分情况的问题解决中．
说明：表示不大于的最大整数（或称的整数部分），如：．作业中可以使用此符号．
六．课外作业：
课本第14页习题第2，5题．
补充：
1．已知函数，写出当为整数时求的算法，并画出流程图．
2．任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的流程图．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
输入
输出
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