本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
3.2.3 二倍角的正弦、余弦、正切（3）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（3）
二、教学目标：1.复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练，培养综合运用公式的能力；
2.能推导和了解半角公式、和差化积及积化和差公式。
三、教学重、难点：掌握三个公式的推导方法，使学生体会到角的三角函数与的三角函数的内在联系，，角的三角函数与角的三角函数之间的内在联系；
四、教学过程：
（一）复习：
1．二倍角公式
【练习1】化简：[来源:21世纪教育网]
（1）； 21世纪教育网
（2）． （（1）（2）两题答案：）．
总结：一般地，．
2．二倍角公式反映的是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值。在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的，从而有降幂公式：
，，．
（二）新课讲解：
1．半角公式：
，，．
说明：（1）只要知道角终边所在象限，就可以确定符号；
（2）公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切；
（3）还有一个有用的公式：（下面给出证明）。21世纪教育网
2．例题分析：
例1：求证： ．
证法一： ．
证法二：
∴．
又由知与同号，且，
∴， 同理．
【练习2】已知，且，求的值。
（略解）原式．
（解法2）原式．
例2：求证：（1）；（2）．
证明：（1）将公式与公式的左边、右边分别相加，得
所以，．
（2）在（1）题中，令，则，．
把，的值代入，就有，
所以，．
五、课堂练习：
六、小结：1．巩固倍角公式，会推导了解半角公式、和差化积及积化和差公式。
七、作业：
补充：1．化简．
2．已知，且，求的值。
3．已知，且，求的值。
4．已知，且x是锐角，求的值。21世纪教育网
5．已知，且，求的值。[来源:21世纪教育网]
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1.2.3 三角函数的诱导公式（1）
一、课题：三角函数的诱导公式（1）
二、教学目标：1.理解正弦、余弦的诱导公式二、三的推导过程；
2.掌握公式二、三，并会正确运用公式进行有关计算、化简；
3.了解、领会把为知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。
三、教学重、难点：1．诱导公式二、三的推导、记忆及符号的判断；
2．应用诱导公式二、三的推导。 21世纪教育网
四、教学过程：
（一）复习：
1．利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值；21世纪教育网
2．诱导公式一及其用途：
．
问：由公式一把任意角转化为内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？
我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想。
（二）新课讲解：
1．引入：对于任何一个内的角，以下四种情况有且只有一种成立（其中为锐角）：
所以，我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。
2．诱导公式二：
提问：（1）锐角的终边与的终边位置关系如何？
（2）写出的终边与的终边与单位圆交点的坐标。
（3）任意角与呢？
通过图演示，可以得到：任意与的终边都是关于原点中心对称的。
则有，由正弦函数、余弦函数的定义可知：
， ；
， ．
从而，我们得到诱导公式二： ；．
说明：①公式二中的指任意角；
②若是弧度制，即有，；
③公式特点：函数名不变，符号看象限；
④可以导出正切：．
（此公式要使等式两边同时有意义）
3．诱导公式三：21世纪教育网
提问：（1）的终边与的终边位置关系如何？从而得出应先研究；
（2）任何角与的终边位置关系如何？
对照诱导公式二的推导过程，由学生自己完成诱导公式三的推导，
即得：诱导公式三：；．
说明：①公式二中的指任意角；
②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③公式特点：函数名不变，符号看象限（交代清楚在什么情况下“名不变”，以及符号确定的具体方法）；
④可以导出正切：．
4．例题分析：
例1 求下列三角函数值：（1）； （2）．
分析：先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角函
数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内角
的三角函数的值。
解：（1）（诱导公式一）21世纪教育网
（诱导公式二）
．
（2）（诱导公式三）
（诱导公式一）
（诱导公式二）
．
方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；21世纪教育网
②化为内的三角函数；
③化为锐角的三角函数。
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。
例2 化简．
解：原式
．
五、课堂练习：
六、小结：1．简述数学的化归思想；
2．两个诱导公式的推导和记忆；
3．公式二可以将范围内的角的三角函数转化为锐角的三角函数；
4．公式三可以将负角的三角函数转化为正角的三角函数。
七、作业：
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 4 课时：§2.2.3 向量的线性运算（三）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；
2.让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；
二、过程与方法
1. 教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积
2. 三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律），在此基础上得到数乘运算的几何意义；
3.为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
三、情感、态度与价值观
通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.
【教学重点与难点】：
重点：实数与向量积的定义及几何意义.21世纪教育网
难点：实数与向量积的几何意义的理解.
【学法与教学用具】：
1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
质点从点出发做匀速直线运动，若经过1的位移对应的向量用表示，那么在同方向上经过3的位移所对应的向量可用3来表示。21世纪教育网
●这里，3是何种运算的结果？
二、研探新知
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；
当 时，．（请学生自己解释其几何意义）21世纪教育网
实数与向量相乘，叫做向量的数乘
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）； ①
（2）（第一分配律）； ②
（3）（第二分配律）． ③
【思考】：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1）已知向量和向量，求作向量和向量2-3。
例2 （教材例2）计算：
（1）3(-)-2(+2)； （2）2(2+6-3)-3(-3+4-2)
【思考】：向量数乘有哪些相同点和不同点？
【举一反三】
计算：（1）； （2）； （3）．
解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．
四、巩固深化，反馈矫正
（教材）练习1至5题
五、归纳整理，整体认识
实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；实数与向量的积的运算律21世纪教育网
六、承上启下，留下悬念
1．当时，验证：(+)=+
证：当=0时，左边=0 (+)= 右边=0 +0 = 分配律成立当为正整数时，令=, 则有：
(+)=(+)+(+)+…+(+)=++…+++++…+=+
即为正整数时，分配律成立[21世纪教育网
当为负整数时，令=（为正整数），有(+)=[(+)]=[()+()]
=()+()=+()=,分配律仍成立
综上所述，当为整数时，(+)=+恒成立
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第四章 三角函数
一 任意角的三角函数
【考点阐述】
角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα，tanαcotα=1．正弦、余弦的诱导公式．
【考试要求】
（1）了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．21世纪教育网
【考题分类】21世纪教育网
（一）选择题（共4题）
1.若且是，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】,在三、四象限；，在一、三象限，∴选C
2. 等于（ ）
A． B． C． D．
解：[来源:21世纪教育网]
3.若，则的取值范围是 ( )[来源:21世纪教育网]
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵ ∴ ，即
又∵ ∴，∴ ，即 故选C；
【考点】：此题重点考察三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用，以及正余弦函数的图象；
4．已知，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
解：选C．
（二）填空题（共1题）
1. 9．若角的终边经过点，则的值为 ．[来源:21世纪教育网]
【解析】【答案】
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 12 课时：§ 2.5 向量的应用
【三维目标】：
一、知识与技能
1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力
2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力
二、过程与方法
1.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题
2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.21世纪教育网
三、情感、态度与价值观
1.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力.
2.通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.
【教学重点与难点】：
重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”。
难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用。用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.
【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主性学习法+探究式学习法
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.21世纪教育网
【授课类型】：新授课21世纪教育网
【课时安排】：1课时
【教学思路】：一、创设情景，揭示课题
1.向量既有大小又有方向的量，在实际问题中有很多这样的量，它既有代数特征，又有几何特征；今天，我们就来用向量知识研究解决一些实际问题。
2.研究的方法：用数学知识解决实际问题，首先要将实际问题转化成数学问题，即将问题中各量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究来解决实际问题中的有关量。通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化，所以向量是数形结合的桥梁；向量也是解决许多物理问题的有力工具。
二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材例1）如图了-5-1（1）所示，无弹性的细绳的一端分别固定在处，同质量的细绳下端系着一个称盘，且使得，试分析三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？
解：设三根绳子所受力分别是，则，的合力为，如上右图，在平行四边形中，因为, ，所以,,即，所以细绳受力最大．
例2（教材例2）已知：,，求证：．
【思考】：你能说出该命题的几何意义吗？
例3（教材例3）已知直线经过点，用向量方法求的方程。[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
分析：设是直线上任意一点，由与共线的条件可推导得直线方程。
解：设是直线上的任意一点，则，
∵三点都在直线上，∴与是共线向量，
∴即为所求直线的方程．
【思考】：把改为,我们如图可以得到证明三点共线的一种方法.
四、巩固深化，反馈矫正
1.已知作用于点的力的大小分别为6,8，且两力间的夹角为，则两力合力的大小为__
2.在四边形中，·,,则四边形是_______（直角梯形、菱形、矩形、正方形）
3.在梯形中，,,,,则，梯形的面积是_____
4.设是边长为1的正三角形，点为平面内任一点，则
5.已知两点,，试用向量的方法证明以线段为直径的圆的方程为
6.在四边形中，,·,,试证明四边形是菱形
7.已知向量、、满足++=，==，求证：是正三角形
8.一条河两岸平行，河宽，一艘船从处出发航行到河的正对岸的处，船航行速度，水速
（1）求与的夹角（精确到）及船垂直到达对岸所用的时间（精确到）
（2）要使船垂直到达对岸所用的时间最少，与的夹角是多少？
五、归纳整理，整体认识
1.如何把几何学问题转化为向量问题？2.如何把物理学问题转化为数学问题？
3.如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成。
六、承上启下，留下悬念
在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？
解：如图：船航行的方向是与河岸垂直方向成30夹角，即指向河的上游
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
A B
D C
30
上游
下游
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 2 课时：§3.1.2 两角和与差的正弦（一）
【三维目标】：
一、知识与技能
1. 能由两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式，并从推导的过程中体会到化归思想的作用
2. 能用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形，并能熟练进行公式正逆向运用。
3. 揭示知识背景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，引发学生学习兴趣；培养学生的推理能力，提高学生的数学素质.21世纪教育网
二、过程与方法
通过创设情境：通过两角差的余弦函数导出两角和与差的正弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.
三、情感、态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.
【教学重点与难点】：21世纪教育网
重点: 公式的推导、应用.
难点: 公式的推导.
【学法与教学用具】：
1. 学法：21世纪教育网
(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.
(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.
(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1. 公式；
2．化简：（1）；（2）；
（3）．
二、研探新知
1．诱导公式
（1）；
（2）把公式（1）中换成，则．
即： ．
2．两角和与差的正弦公式的推导
即： （）
在公式中用代替,就得到： （）
说明：（1）公式对于任意的都成立。
（2）,的三角函数等于的余名三角函数，前面再加上一个把看作锐角原三角的符号
（3）诱导公式用一句话概括为奇变偶不变，符号看象限。
【练习】：补充证明：； 21世纪教育网
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1：求值(1)； (2)； （3）．
解：（1）= ；
（2）
；
（3）．
例2（教材例1）已知，求，求的值
【思考】：上例中求：，,
例3 已知，求及的值
解：，∴在二，三象限，当在第二象限时，，21世纪教育网
∴，
，
当在第三象限时，，
∴，
．
例4（教材例2）已知，，均为锐角
例5（教材例3）求函数的最大值
四、巩固深化，反馈矫正
1. 求sin13cos17+cos13sin17值
2.求证：cos+sin=2sin(+)
3.已知sin(+)=,sin()= 求的值
4.已知sin（）=1，求证：sin（2）= sin
五、归纳整理，整体认识
由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
注意：两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式”
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 1 课时：§3.1.1 两角和与差的余弦
【三维目标】：
一、知识与技能21世纪教育网
1.掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，进一步体会向量方法的作用；
2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；
3.能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明
二、过程与方法
1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数的联系；
2.通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量法作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数；讲解例题，总结方法，巩固练习.
三、情感、态度与价值观
1.创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
2.通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.
【教学重点与难点】：
重点: 两角和与差的余弦公式的推导及其应用.
难点: 两角差的余弦公式的推导.
【学法与教学用具】：21世纪教育网
1. 学法：
(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.[21世纪教育网
(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.
(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教法：启发式教学
3.教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1．数轴两点间的距离公式：．
2．点是终边与单位圆的交点，则．21世纪教育网
二、研探新知
两角和的余弦公式的推导（向量法）：
把看成两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。
在直角坐标系中，以轴为始边分别作角，其终边分别与单位圆交于,，则由于余弦函数是周期为的偶函数，所以，我们只需考虑的情况。
设向量=,=,
则 =||||=
另一方面，由向量数量积的坐标表示，有=,所以
=
这就是两角差的余弦公式。
【探究】：
如图3-1-2，在直角坐标系中，单位圆与轴交于，以为始边分别作出角，其终边分别和单位圆交于，由，你能否导出两角差的余弦公式？
在公式中用代替，就得到．（）
这就是两角和的余弦公式
【说明】：
公式对于任意的都成立。
【思考】：
“用代替”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义？你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材例1）利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）； （2）
例2（教材例2）利用两角和（差）的余弦公式，求。
【举一反三】：
1. 求值：（1） （2）
（1）
（2）．21世纪教育网
【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.
【思考】：你会求① cos105、②sin、③cos、④coscossinsin的值吗
例3（教材例3）已知，求的值
【思考】：在上例中，你能求出的值吗？
【举一反三】：
1.已知cos , ,求cos的值.
2.已知，是第三象限角，求的值.
提示：注意角、的象限，也就是符号问题.
3. 已知cos(2α-β)=-,sin (α-2β)=,且<α<,0<β<,求cos(α+β)的值
四、巩固深化，反馈矫正
教材练习第2题，第3题
五、归纳整理，整体认识
本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式的推导，能熟练运用公式，注意公式的逆用。在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
六、承上启下，留下悬念
1.用两点距离公式推导两角和与差的余弦公式。
2.预习两角和与差的正弦
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 2 课时：§1.1.2 弧度制
【三维目标】：
一、知识与技能
1.使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数
2.了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应关系。
3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题；
二、过程与方法
1.通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念，比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；
2.以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；以具体的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器.
3.通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
三、情感、态度与价值观
1. 通过弧度制的学习，使学生理解并认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；
2.在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；
3.通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
4.教师可以向学生介绍或让学生查阅弧度制的历史和有关欧拉的资料，这有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性。欧拉的有关事迹有助于陶冶学生情操，培养学生坚韧不拔的意志、实事求是的科学态度和勇于创新精神。
【教学重点与难点】：[来源:21世纪教育网]
重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
难点：弧度的概念
关键：弄清1弧度的角的含义是建立弧度概念的关键
【学法与教学用具】：
1. 学法：在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。
在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；
2. 教学用具：计算器、多媒体、实物投影仪、三角板.
【教学方法】：
通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢 （周角的为1°的角）
这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad，读作弧度．
二、研探新知
长度等于半径的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，记作1 。用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制（radian measure）。
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0。若圆的半径为，圆心角所对的圆弧长为，则其弧度数就是；若半径为，圆心角所对的圆的弧长为，则其弧度数就是，故有
度
【探究】：如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.
弧的长 旋转的方向 的弧度数 的度数
逆时针方向
逆时针方向
【注意】：（1）用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位。例如1 ，2 ，，可以分别写成1，2，，sin表示 角的正弦；
（2）一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π
角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 21世纪教育网
弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/221世纪教育网 5π/3 7π/4 11π/6 2π
（3）应确立如下的概念：角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
任意角的集合 实数集R
弧长公式：
由公式： （比公式简单）
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
扇形面积公式： 其中是扇形弧长，是圆的半径。
（．这比扇形面积公式 要简单）
说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的必须为弧度单位．
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材例1）把下列各角从弧度化为度：（1） （2）
解：（1） （2）
【举一反三】
1.将化为角度制是_____，5是第____象限角。
2.若为第四象限角，则为第____象限角
3.有以下四组角：①；②；③；④,，其中终边相同的是（ ） .①和② .①、②和③ .①、②和④ .①、②、③和④
例2（教材例1）把下列各角从度化为弧度：（1）；（2）
【举一反三】
1.将化为弧度制是____
2.比较大小：3_____, _____
3.集合，，则（ ）
. . . .
【触类旁通】
1. 在同一直角坐标系中用阴影画出集合：，
,并写出和
2.已知集合，，试求
例3 （教材例3）已知扇形的周长为8，圆心角为2，求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为，弧长为，则有，解得，故扇形的面积为
【举一反三】
1．地球的赤道半径为6370千米，则赤道上1度的圆心角所对的弧长是_____，1弧度的圆心角所对的弧长是_____
2．若1弧度的圆心角所对的弧长为2，则此圆心角所夹的扇形的面积等于_____
3．一个半径为的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？
例4 已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.
【举一反三】
现有一根长为的铁丝，学生甲用它围成一个面积最大的矩形，学生乙用它围成一个面积最大的扇形，则两人围成的图形中，哪个面积较大？试说明理由。
四、巩固深化，反馈矫正
1．把45°化成弧度。解：45°＝×45rad＝rad.
2．把rad化成度。解：rad＝×180°＝108°.
3.将下列各角化成2k+（k的形式。（1）； （2）
4.写出阴影部分的角的集合：
5．圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。
6．已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
7．若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．
五、归纳整理，整体认识
1.本节主要学习了弧度制的定义；弧度制与角度制的区别，角度与弧度的换算公式，使角的集合与实数集之间建立起一一对应关系；特殊角的弧度数；弧度制下的弧长公式、扇形面积公式
2.在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
六、承上启下，留下悬念
1．时钟的分针经过40分钟时间旋转的角度是______
2．把化成的形式是______
3．集合和关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．集合的关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）以上都不对。
5．已知集合，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）或
6．下列各对角中终边相同的角是（ ）
A.（ｋ∈Ｚ） B. －和π C.－和 D.
7．设，则的取值范围是_______[来源:21世纪教育网]
8．将下列各角化成的形式，并确定其所在的象限
（1）；（2）21世纪教育网
9．已知集合，试求，,试求
10．一个扇形周长等于它的弧所在圆的周长的一半，若圆的半径为，求扇形的面积。
11．2弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长，及圆心角所夹扇形面积（要求作图）。
12．已知扇形的周长为30，当它的半径和圆心角各取多少值时，扇形面积最大，最大值为多少？
13．（1）已知扇形的圆心角为，半径，求弧长及扇形面积。
（2）已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？
预习提纲：锐角三角函数是用边的比来定义的，任意角的三角函数是怎样定义的
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
正角
零角
负角
正实数
零
负实数
A
B
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.4 向量的数量积（1）
一、课题：向量的数量积（1）
二、教学目标：1．理解平面向量数量积的概念；
2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围；
3．掌握两向量共线及垂直的充要条件；
4．掌握向量数量积的性质。
三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。
四、教学过程：
（一）引入：
物理课中，物体所做的功的计算方法：
（其中是与的夹角）．
（二）新课讲解：
1．向量的夹角：
已知两个向量和（如图2），作，，则[来源:21世纪教育网]
（）叫做向量与的夹角。
当时，与同向；
当时，与反向；
当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．
2．向量数量积的定义：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即．
说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角
有关；
②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实
数与向量的积是一个向量；
③规定，零向量与任一向量的数量积是．
3．数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
如图，，，过点作垂直于直线，垂足为，则．
叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它
是一负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是．
（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影
的乘积。
【练习】：①已知，，与的夹角，则；21世纪教育网
②已知，在上的投影是，则 8 ；
③已知，，，则与的夹角．
（3）数量积的性质：
设、都是非零向量，是与的夹角，则
①；
②当与同向时，；当与反向时，；
特别地：或；
③；
④；
若是与方向相同的单位向量，则
⑤．
4．例题分析：
例1 已知正的边长为，设，，，求．21世纪教育网
解：如图，与、与、与夹角为，
∴原式
．
例2 已知，，，且，求．
解：作，，
∵， ∴，
∵且，21世纪教育网
∴中，， ∴，∴，，
所以，．
五、课后练习：
补充：1．若非零向量与满足，则 0 ．
六、课堂小结：1．向量数量积的概念；21世纪教育网
2．向量数量积的几何意义；
3．向量数量积的性质。
七、作业：
（图1）
（图2）
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 1 课时：§2.1 向量的概念及表示
【三维目标】：
一、知识与技能
1.了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；
2.理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念
4.通过教师指导发现知识，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
二、过程与方法
1.通过实例，引导学生了解向量的实际背景，让学生认识到向量在刻画数学问题和物理问题中的作用，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；
2.通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质。
3.通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.
三、情感、态度与价值观
1. 通过向量（包含大小、方向）概念的学习，感知数学美；
2.向量的方向包含正反两个方面，正反关系的对照培养学生辩证唯物主义思维.
【教学重点与难点】：
重点：向量、相等向量、共线向量的概念
难点：向量概念的理解及向量的几何表示.
【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主性学习+探究式学习法；
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
2.教法： 采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。
3.教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
【问题1】：下列物理量中，哪些量分别与位移和距离这两个量类似：
（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；
（2）物体所受重力；
（3）物体的质量为千克；
（4）1月1日的4级偏南风的风速。
【问题2】：上述的物理量中有什么区别吗？
二、研探新知
1．概念辨析
（1）向量的定义：既有大小又有方向的量称为向量
（2）向量的表示：向量通常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。以为起点、为终点的向量记为。向量也可以用小写字母,,来表示。
（3）向量的大小及表示：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作||
（4）零向量：长度为0的向量称为零向量，记作
（5）单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
【思考】：①温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
②与是否同一向量？ 答：不是同一向量。
③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
【注意】：
1）强调学生书写向量时一定要带上箭头，这是学生最易犯的错，且错了很难改；
2）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；21世纪教育网
3）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 起点一定写在终点的前面。
4）零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 与0的含义与书写区别. 的方向是任意的；
5）向量模是可以比较大小的。
【思考】：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？
2.关系探究
【问题】：在平行四边形中，向量与，与有什么关系？
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若,,是一组平行向量，则可以记作∥∥.我们规定与任一向量平行.
（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。规定：=.若向量与相等，记作＝
（3）相反向量：长度相同且方向相反的向量叫相反向量
（4）共线向量：任作一条与所在直线平行的直线,在上取一点Ｏ，则可在上分别作出=,=,=．这就是说，任一组平行向量都可移到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．
（5）共线向量与平行向量关系
①平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关），要区别于两平行线的位置关系；
②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
【几点说明】：
1.向量有三个要素：起点、方向、长度；
2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模)可以比较大小；
3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减法，这是错误的。实数与向量之间不能相加减，但可相乘，相乘的意义就是几个相等向量相加；
4.向量与实数；
5.零向量与实数0；
6.注意下列写法是错误的：－＝0；++＝0；＋0＝；||－||＝.
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1）如图，设是正六边形的中心，在图2-1-6所标出的向量中：（1）试找出与共线的向量；（2）确定与相等的向量；（3）与相等吗？
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（，，）
例2 判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3 （教材例2,详见教材）
四、巩固深化，反馈矫正
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形是平行四边形当且仅当＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上； [来源:21世纪教育网]
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定；
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确。如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
【评述】：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
2．下列各种情况中，向量的终点各构成什么图形？
（1）把所有单位向量平移到同一个起点．（一个半径为１的圆）
（2）把平行于某一直线的所有单位向量平移到同一个起点．（两个点）
（3）把平行于某一直线的所有向量平移到同一个起点．（一条直线）[来源:21世纪教育网]
3.判断下列说法是否正确：
五、归纳整理，整体认识
1．正确理解向量的概念，并会用数学符号和有向线段表示向量；（描述向量的两个指标：模和方向）
2．明确向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、共线向量和相等向量的意义。
3.向量的图示，要标上箭头和始点、终点.
4.回顾本节所学向量的有关概念，构建知识结构图
六、承上启下，留下悬念
21世纪教育网21世纪教育网
【探究】：如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
A(起点)
B
（终点）
A
D
B
C
a
b
c
C O B A
D
E
O
A
B
C
F
平行向量
（共线向量）
零向量与
单位向量
向量的表示：或
向量
有向线段
向量的大小
（长度、模）
向量的方向
相等向量
相反向量
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 4 课时：§3.1.3 两角和与差的正切（一）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系，并从推导过程中体会到化归思想的作用；
2.能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；掌握公式的正、逆向及变形运用，选用恰当的公式解决问题；
3.能将简单的几何问题化归为三角问题，培养学生的数学转换能力及分析问题的能力。
二、过程与方法
1.借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；（在教师的点拨、提示下，学生自行完成证明）
2.揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
3.讲解例题，总结方法，巩固练习.
三、情感、态度与价值观
1.通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；
2.理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力；能将简单的几何问题化归为三角问题，培养学生的数学转换能力及分析问题的能力。
【教学重点与难点】：
重点：公式的运用。21世纪教育网
难点：公式的推导及运用，选用恰当的方法解决问题。21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
【学法与教学用具】：
1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
复习两角和与差的正、余弦公式：公式。
二、研探新知
1．两角和的正切
∵, =
当时, 分子分母同时除以得：
即： （）
2．两角差的正切
以代得：
即： （）
【说明】：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
②公式的变形：
③注意公式的结构，尤其是符号
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
公式的正用：例1 求值：（1）；（2）．
解：（1）；
（2）．[21世纪教育网
公式的逆用：例2（教材例2）：求证：。
解：=．
【说明】：在解三角函数题目时，要注意“1”的妙用.
相关例题：（1） （2）
公式的变用：例3：求值。
解：原式
．
凑角：例4 已知，求
例5 （教材例1）已知是方程的两个根为，求的值。
一般情况：已知一元二次方程的两个根，求的值。
解：由和一元二次方程根与系数的关系，得， 又，
所以，．
例6（教材例3）. 如图，三个相同的正方形相接，求证：．
解：由题意：， ，
∴，
， ∴，所以，．
四、巩固深化，反馈矫正
1．已知，且是方程的两个根，求．
2.已知，，求的值。
解：．
【变题】：已知，求的值。
解：， ∴，
∴
五、归纳整理，整体认识
1．掌握公式及它的变形公式；
2.对公式要灵活进行正用、逆用及变形使用,正切的和、差角公式以及它们的等价变形，即：21世纪教育网
这些公式在化简、求值、证明三角恒等式时都有不少用处.根据题中给定条件及所求的结论，认真分析题意，寻找恰当的方法，实现条件到结论的转化。
六、承上启下，留下悬念
1．已知锐角满足，，求；
2．求证：；
3．求值：．
4.已知tan=1，tan=，tan，，，均为锐角，求证：++=
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
tan(+)=
tan()=
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
3.2.2 二倍角的正弦、余弦、正切（2）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（2）
二、教学目标：1.能顺向、逆向、变形运用倍角公式进行求值、化简；
2.结合三角函数值域求函数值域问题。
三、教学重、难点：1.公式的逆向运用及变式训练。
2.结合三角函数求值域。
四、教学过程：
（一）复习：
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式。21世纪教育网
2．练习：
①．21世纪教育网
②若，求的值。
（解答：）．[来源:21世纪教育网]
（二）新课讲解：
例1：利用三角公式化简：．
解：原式
．
例2：求证．
证明：原式等价于，
即： （*）
而（*）式右边
左边，
所以，（*）式成立，原式得证。
【变式练习】已知，求证：．
例3：求函数的值域。[来源:21世纪教育网]
解：，令，
则有，，
∴， 所以，函数的值域为．
例4：求的值域。
解：
（其中）
∵，
所以，的值域为．
五、课堂练习：求下列函数最大值和最小值：
①； （答案：）
②； （答案：）
③； （答案：）21世纪教育网
六、小结：1.解题的关键是公式的灵活运用，特别是二倍角余弦公式形式多样，在解题中应予以重视；
2.结合三角函数求值域的常用方法。
七、作业：
补充：1．求值；
2．若，求为何值时，的值最小？
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.4 向量的数量积（2）
一、课题：向量的数量积
二、教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。
三、教学重、难点：向量数量积的运算律和运算律的理解；
四、教学过程：
（一）复习：
1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质；
2．判断下列各题正确与否：
①若，则对任一向量，有； ( √ )
②若，则对任一非零向量，有； ( × )
③若，，则； ( × )21世纪教育网[21世纪教育网
④若，则至少有一个为零向量； ( × )
⑤若，则当且仅当时成立； ( × )
⑥对任意向量，有． ( √ )
（二）新课讲解：
1．交换律：21世纪教育网
证：设夹角为，则，
∴．
2．
证：若，，
， ，
若，，
，
．
3．．
在平面内取一点，作, ，，
∵（即）在方向上的投影等于
在方向上的投影和，
即：
∴，
∴ 即：．21世纪教育网
4． 例题分析：
例1 已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。解：由题意可得： ①
②
两式相减得：， 代入①或②得：，
设的夹角为，则
∴，即与的夹角为．
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
证明：如图： ABCD，，，，
∴，
而，
∴，
所以， + = = ．
例3 为非零向量，当的模取最小值时，
①求的值； ②求证：与垂直。
解：①，
∴当时, 最小；
②∵，
∴与垂直。
21世纪教育网
例4 如图，是的三条高，求证：相交于一点。
证：设交于一点，,
则
∵
∴得，
即， ∴，
又∵点在的延长线上，∴相交于一点。
五、小结：数量积的运算律和垂直充要条件的应用。
六、作业： 课本 习题5.6 第2，4题。
补充：1．向量的模分别为，的夹角为，求的模；
2．设是两个不相等的非零向量，且，求与的夹角。
3．设，是相互垂直的单位向量，求．
1
2
A
B
O
A1
B1
C
A B
D C
A
B
C
D
E
F
H
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
3.3 几个三角恒等式
三维目标
知识与技能
掌握和差化积、积化和差公式的推导方法．
过程与方法
通过和差化积和积化和差公和公式的推导，提高学生三角变换的能力．
情感、态度、价值观
让学生经历数学探索和发现的欲望和信心，体验成功的感觉．
重点难点
重点：积化和差、和差化积公式的推导方法．
难点：三角恒等式的证明．
教学过程
一、创设情境
sin(＋)＝sincos＋cossin．
sin(－)＝sincos－cossin．
以上是用，的正余弦表示它们和或者差的正弦，反之，sincos如何用sin(＋)和sin(－)来表示呢？
二、讲解新课
数学理论：
sincos＝[sin(＋)＋sin(－)]，
cossin＝[sin(＋)－sin(－)]，
coscos＝[cos(＋)＋cos(－)]，
sinsin＝－[cos(＋)－cos(－)]．21世纪教育网
以上这些表达式把三角函数的乘积化为同名的三角函数的和或者差，统称积化和差公式，对于这些结论不必加以记忆和运用．
问题：由sin(＋)＋sin(－)＝2sincos试推导sin＋sin．
令A＝＋，B＝－，可得
sinA＋sinB＝2sincos，
sinA－sinB＝2cossin，
cosA＋cosB＝2 coscos，
cosA－cosB＝－2sinsin．
以上过程体现的换元的数学方法，这些表达式把同名的三角函数的和或者差化为三角函数的乘积，统称和差化积公式，对于这些结论也不必加以记忆和运用．
例题讲解：
例1 运用三角函数变换证明：tan＝＝．
证明：tan＝ eq \f(sin, cos)＝＝．
tan＝＝＝．21世纪教育网
例2 已知sin(＋)＝，sin(－)＝，求的值．
解：由已知可得21世纪教育网
sincos＋cossin＝，
sincos－cossin＝．
两式相加得
sincos＝，
相减得
cossin＝．
＝＝＝＝5．
课堂训练：
1．设，，＋均为锐角，a＝sin(＋)，b＝sin＋sin，c＝cos＋cos，则( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a[21世纪教育网]
答案：A．
2．已知是第三象限角，且sin＝－，则tan的值为 ( )
A． B． C．－ D．－
答案：D．
3．在△ABC中，求证：sin2A＋sin2B－sin2C＝2sinAsinBsinC．
证明：sin2A＋sin2B－sin2C
＝sin2(B＋C)＋－21世纪教育网
＝sin2(B＋C)＋(cos2C－cos2B)
＝sin2(B＋C)＋sin(B＋C)sin(B－C)
＝sin(B＋C)[sin(B＋C)＋sin(B－C)]
＝sinA·2sinBsinC＝2sinAsinBsinC．
三、课堂小结
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 6 课时：§2.3.1 向量的坐标表示（一）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.了解平面向量的基本定理及其意义.
2.通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量；[21世纪教育网]
3.能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题。
二、过程与方法
1.在实际问题中经历和感受平面内任何一个向量都可以由不共线的另外两向量来表示。
2.通过练习使学生对平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
3.通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
三、情感、态度与价值观
通过平面向量基本定理内容的推导让学生不断了解数学，走进数学，增强学生的数学素养
【教学重点与难点】：
重点：平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示
难点：平面向量基本定理的理解.
【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
【问题1】:（教材例1）：平行四边形的对角线和交于点，,,试用向量,表示,,,。
结论：由作图可得+
【问题2】：对于向量,和是否是惟一的一组？21世纪教育网
二、研探新知
1.共面向量定理
【探索】：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一的？
（2）对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？
教师引导学生分析设，是不共线向量，是平面内任一向量
= = ==+=+
= =
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使+．我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面向量定理.
【注意】：
（1）,均非零向量，必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底.
（2）基底不惟一，当基底给定时，分解形式惟一；，是被，，唯一确定的数量
（3）由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
（4）时，与共线；时，与共线；时，．
基底：我们把不共线的向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
正交分解：一个平面向量用一组基底,表示成+的形式，我们称它为向量的分解，当,所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解。
【思考】：平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？21世纪教育网
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例2）如图2-3-4，质量为的物体静止地放在斜面上，斜面与水平的夹角为，求斜面对物体的磨擦力
例2 已知向量，求作向量25+3
作法：（1）取点，作=25 =3
（2）作 ，即为所求25+321世纪教育网
例3．（教材例3）设,是平面内的一组基底，如果=3-2，=4+,
=8-9求证：、、三点共线
【举一反三】
1.设是两个不共线的向量，已知=2+,=+3,=2-，若，，三点共线，求的值。21世纪教育网
解：=(2-)-(+3)=-4,∵，，三点共线，∴与共线，即存在实数，使得=， 即是.
由向量相等的条件，得 ，∴．
例4．如图，、不共线，,
用、表示
变式1：（例4改编）如图：，不共线，点在上，求证：存在实数使
变式2：设,不共线，点在、、所在的平面内，且
.求证：、、三点共线.
四、巩固深化，反馈矫正
教材练习
五、归纳整理，整体认识
1．熟练掌握平面向量基本定理，平面向量基本定理的理解及注意的问题.；
2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表 示。
六、承上启下，留下悬念
1．已知在四边形中，=+2，-4-，-5-3,求证：是梯形。
证明：显然
+++2(-4-)=2
∴， 又点不在 ∴是梯形。
2 已知梯形中，||=2||，，分别是、的中点，若，，用，表示、、．
解：（1）===
（2）=-=-
（3）连接，则，
=++
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
O
N
B
MM
CM
O
B
A
P
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 2 课时：§ 2.2.1 向量的线性运算（一）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。21世纪教育网
2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解决问题的能力；
3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
4.初步体会数形结合在向量解题中的应用.
二、过程与方法
教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法。最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
三、情感、态度与价值观
通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性。[来源:21世纪教育网]
【教学重点与难点】：
重点：如何作两个向量的和向量
难点：对向量加法定义的理解.
【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2.学法指导
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法；借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义；结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
【复习】：1.向量的概念
2.平行向量、相等向量的概念。
【情景设置】：利用向量的表示，从景点到景点的位移为，从景点到景点的位移为，那么经过这两次位移后游艇的合位移是
●这里，向量,,三者之间有什么关系？21世纪教育网
二、研探新知
1.向量的加法
向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：=．
规定：零向量与任一向量，都有．
【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
作法：在平面内任意取一点，作=，=，则=+=+
21世纪教育网
2.向量的加法法则
（1）共线向量的加法：
同向向量 反向向量
（2）不共线向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示：=．
平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作平行四边形，则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
如图，已知向量、在平面内任取一点，作=，，则向量叫做与的和，记作+，即+
【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的
特殊情况：[来源:21世纪教育网]
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|||+||;
（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||,当与反向时，若||||,则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||||,则+的方向与相同，且|+|=||-||.
（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到个向量连加
3.向量加法的运算律
（1）向量加法的交换律：+=+
（2）向量加法的结合律：(+) +=+(+)
证明：如图：使, , 则
(+)+=+，+ (+)=,∴(+)+=+(+)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
例如：；．
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1）如图，为正六边形的中心，作出下列向量：
（1）+ （2）+ （3）+
例2．如图，一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为，求船实际航行的速度的大小与方向。
解：设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以,
为邻边作平行四边形，则就是船实际航行的速度,在
中，，，所以。
因为
例3 已知矩形中，宽为，长为，，=，=，试作出向量，并求出其模的大小。
例4 一架飞机向北飞行千米后，改变航向向东飞行千米，则飞行的路程为 400千米 ；两次位移的和的方向为北偏东，大小为千米．
例5 （教材例2）在长江南岸某渡口处，江水以的速度向东流，渡般的速度为，渡般要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
【举一反三】
若渡般以的速度按垂直于河岸的航向航向航行，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？
四、巩固深化，反馈矫正
1.一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度。
2.一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速。
3.一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和
4.一艘船以5的速度在行驶，同时河水的流速为2，则船的实际航行速度大小最大是，最小是.
五、归纳整理，整体认识
1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则、三角形法则和向量加法运算律.
六、承上启下，留下悬念
1.已知两个力，的夹角是直角，且知它们的合力与的夹角是，牛，求和的大小。
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
A
B
O
+
O
A
B
O
A
B
+
+
+
A
B
C
A
B
C
D
三角形法则
平行四边形法则
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 7 课时：§2.3.2 向量的坐标表示（二）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标来表示；掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；
2.能正确理解向量加、减法、数乘的坐标运算法则，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；
3.通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.
二、过程与方法
1. 教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；
2.最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.
三、情感、态度与价值观
1. 通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；
2.设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点.
【教学重点与难点】：
重点：平面向量线性运算的坐标表示.
难点：对平面向量的坐标表示的理解。
【学法与教学用具】：
1.学法：(1)自主性学习+探究式学习法：21世纪教育网
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.21世纪教育网
2.教法：引导发现、合作探究.
3.教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数,使
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？[来源:21世纪教育网]
3.若向量以原点为起点，则如何用坐标刻画向量：若向量不以原点为起点呢？
4.两个向量相等的条件是什么？（两个向量坐标相等）
二、研探新知
1.平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得=+
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，
【说明】：（1）对于，有且只有一对实数与之对应
（2）相等向量的坐标也相同；
（3），，；
（4）从原点引出的向量的坐标就是点的坐标。
【问题】：已知，，你能得出,,的坐标吗？
解：
即．同理：．
【结论】：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
2．由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：
（1）两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；
（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；
（3）一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。
3．向量的坐标计算公式：
已知向量，且点，，求的坐标．
=-=
【结论】：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；
（2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。
4．实数与向量的积的坐标：
已知和实数，求
【结论】：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 21世纪教育网
例1 如图，用基底，分别表示向量、、、， 并求出它们的坐标。
解：由图知：；
；
；
．
例2（教材例2）已知，求向量,,,的坐标。
例3. 已知，，求，，的坐标．
解：=；；
．
例4.（教材例3）用向量的坐标运算解2.3.1小节例2
例5. （教材例4）已知，是直线上一点，且
，求点的坐标。
例6 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为、、，求顶点的坐标。
解：设顶点的坐标为．∵，,由，得．∴，，∴顶点的坐标为．
例7 （1）已知的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为______
（2）已知，，，且，求，．
解：（1），．
（2）由题意，，
∴ ∴．
四、巩固深化，反馈矫正
1．已知向量与相等，其中，，求；
2．已知，且，则
3.与向量平行的单位向量为_____
4.已知，且,，求点,和的坐标；
5．已知点，请以,为一组基底来表示++[来源:21世纪教育网]
6.已知是坐标原点，,若点满足+，其中，且，求点的轨迹方程；
7.已知点，及=+，试问：
（1）当为何值时，点在轴上；在轴上；在第二象限？
（2）四边形能否为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由。
五、归纳整理，整体认识
1．正确理解平面向量的坐标意义；
2．掌握平面向量的坐标运算；（向量加法运算、减法运算、实数与向量的积的坐标表示）
3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题
六、承上启下，留下悬念
预习向量共线
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 3 课时：§ 2.2.2 向量的线性运算（二）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；
2.掌握向量减法与加法的逆运算关系，能准确作出两个向量的差向量，并且能掌握差向量的起点和终点的规律；
3.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量，了解向量方程，并会用几何法解向量方程；
4.对学生渗透化归、类比和数形结合的思想，继续培养学生识图和作图的能力，及运用图形解题的能力。
二、过程与方法
向量减法运算可以转化成向量的加法运算，通过知识发生发展过程教学使学生感受和领悟数学发展的过程及其思想；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
三、情感、态度与价值观
1.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。
2.通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
【教学重点与难点】：
重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
难点：减法运算时方向的确定.
【学法与教学用具】：
1.学法： (1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2.学法指导：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.21世纪教育网
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.向量的加法定义、法则和运算律
2.数的运算：减法是加法的逆运算
二、研探新知
向量的减法是向量加法的逆运算。
1.向量减法的定义
若+=，则向量叫做与的差，记为-，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.表示：-=+（-）
2.向量减法的法则
根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量-的作图方法[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
【思考】：已知,，怎样求作-？
（1）三角形法则：已知,，在平面内任取一点，作，，则．21世纪教育网
即-可以表示为从（减向量）的终点，指向（被减向量）的终点的向量．(强调：，同起点时，-是连结，的终点，并指向“被减向量”的向量．)
（2）平行四边形法：在平面内任取一点O，作，，则由向量加法的平行四边形法则可得=+（-）=-.
【思考】：从向量的终点指向向量的终点的向量是什么？（ -）
【探究】：如右图，∥时，怎样作出-呢？
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1）如图2-2-7（1），已知向量，不共线，求作向量-
【思考】：你能画图说明-=+（-）吗？
例2 如图，是平行四边形的对角线的交点，
若，,，试证明：+-=
例3 用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形
例4 试证：对任意向量，都有．
证明：（1）当，中有零向量时，显然成立。（2）当，均不为零向量时：
①与共线，即。当，同向时，；当，反向时，．
②，不共线时，在中，，则有
．∴
其中：当，同向时，，
当，同向时，．
【思考】：任意一个非零向量是否一定可以表示为两个不共线的向量的和？
四、巩固深化，反馈矫正
教材练习：第1至6题
五、归纳整理，整体认识
1．掌握向量减法概念并知道向量的减法的定义是建立在向量加法的基础上的；
2．会作两向量的差向量；
3．能够结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量。
六、承上启下，留下悬念
1．已知正方形的边长等于1，，，，求作向量：（1） （2）；
2．已知向量，的模分别是3，4，求的取值范围。
3．预习向量的数乘
七、板书设计（略）21世纪教育网
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
B
O
A
-
O
A
B
A
B
C
D
O
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§1.1（2）弧度制
1、1弧度的定义：_____________________________________________
2、圆心角弧度公式：圆半径为r,圆心角所对弧长为，则___________________21世纪教育网
3、弧度制与角度制换算关系
4、21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
5、特殊角的弧度数
6、满足下列条件的角的集合的弧度制表示
终边落在x轴正半轴上： 终边落在y轴正半轴上：
终边落在x轴负半轴上： 终边落在y轴负半轴上：
终边落在x轴上： 终边落在y轴上：
终边落在坐标轴上：21世纪教育网
7、象限角的集合表示
第一象限角 第二象限角
第三象限角 第四象限角
例题1、扇形的圆心角为，弧长为，扇形的面积为_____________
例题2、一个扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
21世纪教育网
思考：已知角，试分析所在象限
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 9 课时：§1.3.2 三角函数的图象和性质（一）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；
2.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系；记住正弦、余弦函数的特征；
3.会用五点画正弦、余弦函数的图象；
4.通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
二、过程与方法21世纪教育网
借助单位圆，利用三角函数线，作出正弦函数图象；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。
三、情感、态度与价值观
1.通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习精神；
2.会用联系的观点看问题，培养学生的数形结合思想，渗透由抽象到具体思想，使学生理解动与静的辩证关系.，激发学生的学习积极性；
3.培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
【教学重点与难点】：
重点：用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线.
难点：正弦曲线、余弦曲线的画法。
教具：多媒体、实物投影仪
【学法与教学用具】：
1.学法：在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当角是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。
2.教学用具：多媒体、实物投影仪、三角板.
3.教学模式：启发、诱导发现教学.[来源:21世纪教育网]
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
问题：怎样作出三角函数的图象？
二、研探新知
用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．
1.函数y=sinx的图象（几何法）
用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．
第一步：在直角坐标系的轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与轴的交点起把圆分成(这里=12)等份.把轴上从0到2π这一段分成 (这里=12)等份.（预备：取自变量值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与轴上相应的点重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. [21世纪教育网]
第三步：连线。用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数，∈[0，2π]的图象．
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到，∈R的图象.
把角的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与轴上相应的点重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数的图象.
2.余弦函数的图象
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过作与轴的正半轴成角的直线，又过余弦线的终点作轴的垂线，它与前面所作的直线交于′，那么与′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线 “竖立”起来成为′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与轴上相应的点重合，则终点就是余弦函数图象上的点．
也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把角 的余弦线按逆时针方向旋转到位置，则与长度相等，方向相同.）
[来源:21世纪教育网]
根据诱导公式,还可以把正弦函数=sin的图象向左平移单位即得余弦函数的图象.
正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数，∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)
用五点法作图象，；
自变量
函数值 y 0 1 0 －1 0
也同样可用五点法作图： [0,2]的五个点关键是
(0,1)，(,0)，(,-1)，(,0)，(2,1)21世纪教育网
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数的简图，要求熟练掌握．优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以。
在描点作图时要注意到，被这五个点分隔的区间上函数变化情况，在附近函数增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在附近，函数变化慢一些，曲线变得“平缓”，这种作图法叫做五点法。
作三角函数图象的方法一般有两种：(1)描点法；(2)几何法(利用三角函数线)．但描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确．几何法则比较准确．
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1）用“五点法”画下列函数的图象：
（1） （2）
【举一反三】
1.作出下列函数的简图：
（1） （2）
例2．（教材例2）求下列函数的最大值及取得最大值时自变量的集合
（1） （2）
【举一反三】
1.求下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？
（1） （2）
2.利用正弦函数和余弦函数和图象，求满足下列条件的集合
（1） （2）
四、巩固深化，反馈矫正
1.用五点作图：
（1）； （2）；
（3）； （4）
2.求函数值域并求出此时自变量的集合
（1）；（2）；（3）
五、归纳整理，整体认识
1.正弦、余弦函数的图象的几何作法；
2.“五点法”作图；
3.运用函数图象求解函数定义域
4.本节课所涉及到的主要数学思想方法有那些？
六、承上启下，留下悬念
1．预习三角函数的性质
七、板书设计（略）
八、课后记：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
1
y
y
x
o
1
-1
x
－1
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第四章 三角函数
三 三角函数的图像和性质
【考点阐述】
正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．21世纪教育网的图像和性质．已知三角函数值求角．
【考试要求】
（5）理解正弦函数、余弦函数、21世纪教育网的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义．
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示．
【考题分类】
（一）选择题（共21题）
1.函数图像的对称轴方程可能是（ ）
A． B． C． D．
解：的对称轴方程为，即，
2.已知函数，则是（ ）
A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数
C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数
【解析】,选D.
3.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ ）
A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3
解：由图象知函数的周期，所以
4.函数的最小值和最大值分别为（ ）
A. －3，1 B. －2，2 C. －3， D. －2，
【标准答案】：Ｃ
【试题解析】：∵
∴当时，，当时，；故选Ｃ；
【高考考点】三角函数值域及二次函数值域
【易错点】：忽视正弦函数的范围而出错。
【全品备考提示】：高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可。
5.函数在区间上的最大值是( )
A.1 B. C. D.1+
【答案】C
【解析】由,
故选C.
6.函数在区间内的图象是
【解析】D. 函数
7.函数是
A．以为周期的偶函数 B．以为周期的奇函数
C．以为周期的偶函数 D．以为周期的奇函数
【解析】
8.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
【解析】.A. 只需将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.
9. 是（ ）
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数
10.为得到函数的图象，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
11.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】在同一坐标系中作出及在的图象，由图象知，当，即时，得，，∴
【高考考点】三角函数的图象，两点间的距离
【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题
12.函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】，所以最大值是
【高考考点】三角函数中化为一个角的三角函数问题
【备考提示】三角函数中化为一个角的三角函数问题是三角函数在高考中的热点问题
13.设，其中，则是偶函数的充要条件是( )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵是偶函数
∴由函数图象特征可知必是的极值点，
∴ 故选D
【点评】：此题重点考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系；
【突破】：画出函数图象草图，数形结合，利用图象的对称性以及偶函数图象关于轴对称的要求，分析出必是的极值点，从而；
14.设函数，则是
(A) 最小正周期为的奇函数 (B) 最小正周期为的偶函数
(C) 最小正周期为的奇函数 (D) 最小正周期为的偶函数
解析：是周期为的偶函数，选B．
15.已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令，则
(A) (B) (C) (D)
解析：，
因为，所以，所以，选A．
16.把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A． B．
C． D．
解析：选C,
．
17.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：，因为，所以，选D．
18.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为：
=作出原函数图像，
截取部分，其与直线的交点个数是2个.
19.函数的最小正周期是
（A） （B） （C） （D）
解析：本小题主要考查正弦函数周期的求解。原函数可化为：，故其周期为
20.函数f(x)=() 的值域是
（A）[-] (B)[-1,0] （C）[-] （D）[-]
解：特殊值法， 则f(x)=淘汰A，
令得当时时所以矛盾淘汰C， D
21.函数f(x)=(0≤x≤2)的值域是
(A)[-] (B)[-] (C)[-] (D)[-]
【答案】C
【解析】本小题主要考查函数值域的求法。令，则，当时，，当且仅当时取等号。同理可得当时，，综上可知的值域为，故选C。
（二）填空题（共8题）
1.已知函数，，则的最小正周期是 ．
【解析】,此时可得函数的最小正周期。
2. 的最小正周期为，其中，则 。
【解析】本小题考查三角函数的周期公式.【答案】10
3.已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________．
解析：本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性。依题且在区间有最小值,无最大值,∴区间为的一个半周期的子区间，且知的图像关于对称，∴,取得答案：
4.设，则函数的最小值为 ．
解析：本小题主要考查三角函数的最值问题。21世纪教育网
取的左半圆,作图(略)易知 答案：
5.函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是
【答案】
【解析】由.
6.方程在区间内的解是 .[来源:21世纪教育网]
解析：原方程就是，所以
故在区间内的解是。
7．已知函数 在单调增加，在单调减少，则 。
解：由题意
又，令得。（如，则，与已知矛盾）
8．函数的最大值是____________．
解： 因为，， ，正好时取等号。（另在时取最大值）
（三）解答题（共16题）
1.已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数在区间上的值域
解：（1）
由
函数图象的对称轴方程为
（2）
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以 当时，取最大值 1
又 ，当时，取最小值
所以 函数 在区间上的值域为
2.已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
解：（Ⅰ）．
因为函数的最小正周期为，且，
所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为，所以，所以，
因此，即的取值范围为．
3.已知函数，的最大值是1，其图像经过点．
（1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．
【解析】（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；
（2）依题意有，而，，
。
4.已知函数
（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；
（Ⅱ）求函数的值域.
解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）
21世纪教育网
＝
（Ⅱ）由得
在上为减函数，在上为增函数，
又（当），
即
故g(x)的值域为
5.已知函数
（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；
（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值
解：(Ⅰ).
故的周期为｛k∈Z且k≠0｝.
(Ⅱ)由π≤x≤π，得.因为f(x)＝在[]上是减函数，在[]上是增函数.
故当x=时，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，
所以当x=π时，f(x)有最大值－2.
6.已知函数.
（I）求函数的最小正周期；
（II）当且时，求的值。21世纪教育网
解：由题设有．
（I）函数的最小正周期是
（II）由得即
因为,所以
从而
于是
7..如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。[来源:21世纪教育网]
（1） 求的值；
（2） 求的值。
【试题解析】先由已知条件得，第（1）问求的值，运用正切的和角公式；第（2）问求的值，先求出的值，再根据范围确定角的值。
【标准答案】（1）由已知条件即三角函数的定义可知，
因故，从而
同理可得 ，因此.
所以=;
（2）,
从而由 得 .
8.已知，
（1）求的值；
（2）求函数的最大值．
解：（1）由得，
于是=.
（2）因为所以
的最大值为.
9.已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
解：（Ⅰ）
．
因为为偶函数，所以对，恒成立，
因此．
即，
整理得．
因为，且，所以．
又因为，故．所以．
由题意得，所以．故．
因此．
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．
所以．
当（），
即（）时，单调递减，
因此的单调递减区间为（）．
10.已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间．
解：（Ⅰ）
．
因为为偶函数，所以对，恒成立，
因此．
即，
整理得．因为，且，所以．
又因为，故．所以．
由题意得，所以．故．因此．
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，
所以．
当（），
即（）时，单调递减，
因此的单调递减区间为（）．
11.已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
解：（Ⅰ）．
的最小正周期．
当时，取得最小值；当时，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．
．
函数是偶函数．
12.已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
解：（Ⅰ）．
的最小正周期．
当时，取得最小值；当时，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．
．函数是偶函数．
13.已知函数f(x)＝sin2x，g(x)＝cos(2x+)，直线x＝t（t∈R）与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点
⑴当t＝时，求|MN|的值
⑵求|MN|在t∈[0,]时的最大值
【解】（1）…………….2分
………………………………5分
（2）……...8分
…………………………….11分
∵ …………13分
∴ ｜MN｜的最大值为. ……………15分
14.求函数的最大值与最小值。【解】：
由于函数在中的最大值为
最小值为
故当时取得最大值，当时取得最小值
【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；
【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，复合函数中间变量的范围是关键；
15.已知.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
解：（Ⅰ）因为，所以，于是
（Ⅱ）因为，故
所以
16.已知函数的最小正周期是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．
本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：
由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
