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1.2.4 诱导公式（三）
一、学习目标
1．通过本节内容的教学，使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
二、教学重点、难点
重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
三、教学方法
复习课。通过由浅入深的例题，讲练结合。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习提问： 四组诱导公式的内容 老师提问，学生回答。 温故知新
例题讲授 例1．求下列三角函数的值(1) sin240 ； (2)；(3) cos(－252 )；(4) sin（－）解：（1）sin240 =sin(180 +60 )＝－sin60 =(2) =cos==；(3) cos(－252 )=cos252 = cos(180 +72 )=－cos72 =－03090；(4) sin（－）=－sin=－sin=sin=例2．求下列三角函数的值(1)sin(－119 45′)；(2)cos；(3)cos(－150 )；(4)sin解：(1)sin(－119 45′)=－sin119 45′=－sin(180 －60 15′)= －sin60 15′=－08682(2)cos=cos()=cos=(3)cos(－150 )=cos150 =cos(180 －30 ) =－cos30 =；(4)sin=sin()=－sin=例3．求值：sin－cos－sin略解：原式=－sin－cos－sin =－sin－cos+sin =sin+cos+sin =++03090=13090 例4．求值：sin(－1200 )·cos1290 +cos(－1020 )·sin(－1050 )+tan855 解：原式＝－sin(120 +3·360 )cos(210 +3·360 )+cos(300 +2·360 )[－sin(330 +2·360 )]+tan(135 +2·360 )＝－sin120 ·cos210 －cos300 ·sin330 +tan135 ＝－sin(180 －60 )·cos(180 +30 )－ cos(360 －60 )·sin(360 －30 )+=sin60 ·cos30 +cos60 ·sin30 －tan45 =·+·－1=0例5．化简：略解：原式===1例6．化简：解：原式== = =例7．求证：证明：左边= === =，右边==，所以，原式成立．例8．求证证明：左边＝ ＝＝tan3α＝右边，所以，原式成立．例9．已知．求：的值．解：已知条件即， 又，所以：=例10．已知,求:的值解：由，得，所以故 ==1＋tan＋2tan2=1+例11．已知的值．解：因为，所以：=＝－m由于所以于是：=，所以：tan= 例12．已知cos，角的终边在y轴的非负半轴上，求cos的值．解：因为角的终边在y轴的非负半轴上，所以：=，于是 2（）=从而 ===三、课堂练习：1．已知sin(+π)＝ －，则的值是（ ）（A） (B) －2 (C)－ (D)±2．式子的值是 （ ）（A） (B) (C) (D)－ 3．，β，γ是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ）（A）sin(+β)+sinγ (B)cos(β+γ)－ cos(C)sin(+γ)－cos(－β)tanβ (D)cos(2β+γ)+ cos24．已知：集合，集合，则P与Q的关系是 （ ）．（A）PQ (B)PQ (C)P=Q (D)P∩Q=φ5．已知对任意角均成立．若f (sinx)=cos2x，则f(cosx)等于（ ）．（A）－cos2x (B)cos2x (C) －sin2x (D)sin2x6．已知，则的值等于 ．7．= ．8．化简：所得的结果是 ．9．求证．10．设f(x)=， 求f ()的值．答案与提示1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．± 7．0 8．－2cosα9．提示：左边利用诱导公式及平方关系，得，右边利用倒数关系和商数关系，得，所以左边=右边．10．．提示：分n=2k，n=2k+1(k∈z)两种情况讨论，均求得f(x)=sin2x．故f()=．四、小结 四组诱导公式的作用：任意一个角都可以表示为的形式。这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到之间角的三角函数求值问题。五、课后作业： 学生先做，老师对答案。重点问题 重点讲解。21世纪教育网21世纪教育网[来源:21世纪教育网]学生观察分析，老师启发，边讲边练。 说明：本题是诱导公式二、三的直接应用．通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本例中的（3）可使用计算器或查三角函数表．说明：本题是公式二，三的直接应用，通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本题中的（1）可使用计算器或查三角函数表．说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧度制与角度制的换算，是一道比例1略难的小综合题．利用公式求解时，应注意符号．说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三以及同角三角函数的关系．与前面各例比较，更具有综合性．通过本题的求解训练，可使学生进一步熟练诱导公式在求值中的应用．说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型．说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5．求解时应注意从所涉及的角中分离出2的整数倍才能利用诱导公式一．说明：例7和例8是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性．尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左、右两边三角式的化简．说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题．由于给出了角的范围，因此，的三角函数的符号是一定的，求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号，又要注意根据的范围确定三角函数的符号．说明：本题也是有约束条件的三角函数式的求值问题，但比例9要复杂一些．它对于学生熟练诱导公式及同角三角函数关系式的应用．提高运算能力等都能起到较好的作用．[来源:21世纪教育网]说明：通过观察，获得角与角之间的关系式=－（），为顺利利用诱导公式求cos()的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于引导学生观察，充分挖掘的隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都有较高的要求，给我们全新的感觉，它对于培养学生思维能力、创新意识，训练学生素质有着很好的作用．说明：本题求解中，通过对角的终边在y轴的非负半轴上的分析而得的=，还不能马上将未知与已知沟通起来．然而，当我们通过观察，分析角的结构特征，并将它表示为2（）后，再将=代入，那么未知和已知之间随即架起了一座桥梁，它为利用诱导公式迅速求值扫清了障碍．通过本题的求解训练，对于培养学生的观察分析能力以及思维的灵活性和创造性必将大有裨益．[来源:21世纪教育网]
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2.2.1平面向量基本定理(人大附中 乜全力)
一、教学目标
1。知识与技能
（1）了解平面向量基本定理及其意义，并利用其进行正交分解；
（2）理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量表达式。
2。过程与方法
通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。
3。情感态度与价值观
通过本节课的教学，培养学生严肃认真的科学态度与积极探索的良好学习品质．
二、教学重点与难点
重点：平面向量基本定理的应用；
难点：平面向量在给定基向量上分解的唯一性．
三、教学方法
探究学习——本节课的教学内容是在学生已经学过向量加法与减法，以及平面向量线性运算的基础上，通过研究向量的分解，探究平面向量基本定理，为向量的坐标运算构建理论基础．
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
设计问题情景引入课题 1、已知非零向量，点C在直线OA上.问向量是否可以用来表示呢？2、一物体从O点出发，以初速度作平抛运动，落地点为C．如何研究它运动的位移？ 1.存在唯一实数，使=.21世纪教育网2. 为水平方向和竖直方向上的位移. 需用两个不共线的向量就可以表示平面内的向量——引入课题
探究归纳定理 1. 如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量,,,.(详见课本P96图2-34)2. 设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，请作出该平面内给定的向量a在e1、e2两个方向上分解得到的向量，并说明作图方法． 1.2. 自主探索作图的方法. 总结作图步骤，投影展示作图结果） 在平面内任取O，作，，．过C作CM//OB与直线OA交于M，过C作CN //OA与直线OB交于N）得
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
探究归纳定理[来源:21世纪教育网] 3. 根据作出的图形，提出以下问题：（1）向量a是否可以用含有e1、e2的式子来表示呢？怎样表示？（2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？请说明理由.说明：①e1、e2是两个不共线的向量②a是平面内的任一向量③实数，唯一确定 3.∵∴存在实数，使,. 于是 设存在实数使，只要证且（证明可选讲，详见课本P96） 归纳总结平面向量基本定理如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数a1、a2，使
应用举例(Ⅰ) 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设，，试用基底{}表示,,,（课本P97例1） 提问：,与那些向量有关？生：教师提问：能否用表示，？ 通过分步设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生分析问题和解决问题的能力。
应用举例(Ⅱ) 例 2. 已知是l上任意两点，O是l外一点如图，求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使关于基底{}的分解式为[来源:21世纪教育网] 根据平面向量基本定理，同一平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已知可得： = 反问，给出解答使学生理解证明三点共线的方法，介绍向量参数式方程线段中点M的向量表达式
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引导学生正交分解 概念1、如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直概念2、如果两个基向量e1、e2互相垂直，则称为正交基底概念3、若向量e1、e2为单位正交基底，且则称（x，y）为向量a的坐标 若取平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的单位向量作为基底，向量a分解的结果是什么？21世纪教育网 向量a与实数对建立了一一对应关系，使向量用坐标表示成为可能，这又提供了表示向量a的另一种方法——坐标
应用举例(Ⅲ) 课本P100例1 指导学生自己完成 初步了解向量坐标，为下节课学习坐标运算奠定基础
课堂练习 课本P98A2，3，5 学生独立完成，教师点评 巩固本节所学知识
归纳小结 本节课研究的问题是怎样表示平面向量a 平面向量基本定理给出了一种用基底表示a的方法. 同时有且只有一对实数，向量a与实数对建立了一一对应关系。． 向量用坐标表示，这又提供了表示向量a的另一种方法。关于向量的坐标运算，下一节课我们再详细研究.
作业 1．课本P99B1，2，52已知向量，求的坐标 教师检查批改作业并讲评 加深巩固21世纪教育网承上启下
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A
B
P
O
用基底表示a
形
平面向量a
平面向量基本定理的应用
用坐标表示
实数对
数
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2.1.2向量的加法
向量线性运算（二）(地质附中 刘文君)
一 教学目标
1 知识与技能；
（1）进一步理解掌握向量加法及减法运算法则。
（2）熟练掌握向量加法与减法法则及运算律
（3）掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
（4）掌握实数与向量的积的运算律；
2 过程与方法
（1）通过几何直观得出各个运算法则，体会向量运算的几何意义；
（2）由实例体验向量的运算在实际问题中的应用
3 情感，态度，价值观：
通过本节的学习，让学生认识到向量在加，减和数乘运算中的联系，体现事物普遍联系的观点
二 教学重点与难点
1 教学重点————向量的加减和数乘运算；
2 教学难点————对向量运算法则的理解
三 教学方法
采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。
四 教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习旧知识例题选讲练习引出数乘向量例题选讲巩固练习小结作业 （1）向量加法运算法则几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）（2）加法的运算律：向量加法的交换律：+=+向量加法的结合律：(+) +=+ (+)（3）向量减法法则：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a b = a + (b) 即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量例题1： 用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形。 已知：，，求证：四边形是平行四边形。 证明：设，，则， ∴， ∴，又∵点不在 ∴平行且等于 所以，四边形是平行四边形．例题2：（选讲）试证：对任意向量，都有．21世纪教育网 证明：（1）当，中有零向量时，显然成立。 （2）当，均不为零向量时： ①，，即时，当，同向时，； 当，异向时，． ②，不共线时，在中，， 则有．∴其中： 当，同向时，， 当，同向时，．练习：已知非零向量，作出++和()+()+() [来源:21世纪教育网]==++=3==()+()+()=3（1）3与方向相同且|3|=3||；（2）3与方向相反且|3|=3||定义：实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|=|λ|||（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=数乘向量运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ) ①第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ②第二分配律：λ(+)=λ+λ ③例题3：计算：（1）； （2）； （3）．解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．例题4：若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.解：记3m＋2n＝a ① m－３n＝b ②3×②得３m－９n＝３b ③①－③得11n＝a－３b. ∴n＝a－b ④将④代入②有：m＝b＋３n＝a＋b评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.1．如图，在△ABC中，=, = ，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量解法一：∵=, = 则==21世纪教育网∴=+=+而=∴=+解法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F ∵△AEF∽△ABC， == == == ∴=+=+实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广.启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般.在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用. 书89页A 组2，3 B 组1补充：在 ABCD中，设对角线=，=试用, 表示，解法一：== ==∴=+===+=+=+解二：设=，=则+= ，即 += ；= ，即= ∴ =()， =(+)即 =() =(+)[来源:21世纪教育网] 教师提出问题学生认真思考后回答通过例题进一步体会向量加法与减法的运算法则，以及运算律的使用利用练习找出三种运算的关系，引出数乘运算引导学生探究、验证运算律（3）,教师投影展示学生的验证结果，说明运算律的合理性，让学生总结运算规律.教师适当点拨，学生通过交流完成启发学生将所学的三种运算结合起来解决问题21世纪教育网分层次留作业，学生分层完成 通过对旧知识的复习，使得学生能够对旧知识形成更加深刻地印象。通过学生练习，由向量加法得出数乘向量的公式和运算律，并且比较记忆学生独立完成巩固运算律，检验定义的使用，让学生体验成功.对教材的知识适当深化有利于提高学生的认知水平通过适当的练习熟练掌握运算法则及运算律
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D
A
EM
CM
a
b
BM
FM
GM
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3.1.3两角和与差的正切
一、教学目标：
1、知识与技能：
⑴掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。
⑵培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力；自学能力。
2、过程与方法：由学生熟知的两角和与差的正弦、余弦公式，引导学生推导出两角和与差的正切公式，通过教师的提问，学生观察，分析，讨论及练习。及时搜集反馈信息，动态调整教学过程，引导学生攻克难点，掌握重点。
3、情感态度、价值观：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质。
二、教学重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值。
教学难点：公式的逆向和变形应用。
三、教学过程：
1、复习引入
复习：两角和与差的正、余弦公式S+ ,S , C+ ,C
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提出问题：复角与单角，的正弦、余弦函数存在以上关系，那么能否用来表示呢？
2、两角和与差正切公式的推导及理解 T+ ,T
⑴tan(+)公式的推导（让学生回答）
∵cos (+)0
tan(+)= 当coscos0时
分子分母同时除以coscos得：
以代得：
⑵思考讨论：
①公式是如何推导出来的？有什么限制条件？[来源:21世纪教育网]
②公式有何特点？如何记忆？
③公式有何用处？有何变形？
⑶注意：
1、必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。
2、注意公式的结构，尤其是符号。
3、公式的变形：
思考：公式cot=？
3．公式的应用
例1.求下列各式的值：
①tan15，
②tan75，
③
解： tan15= tan(4530)=
tan75= tan(45+30)=
例2.不查表求值
①
②tan17+tan28+tan17tan28
③
解：①
②tan17+tan28+tan17tan28=
③21世纪教育网
巩固练习：P140练习A1，2，3
例3. 如图，三个相同的正方形相接，求证：．
解：由题意：， ，
∴，
， ∴，所以，．
例4：已知，，求的值。
解：．
【变题】：已知，求的值。
解：， ∴，
∴
．
巩固练习：P141练习B1，2，3
四、小结：
１．公式（）的结构类似，应注意符号的差别，可以用类比的方法记忆．这两个公式的作用在于用单角、的正切来表达复角的正切．
２．有关两角和差的余切问题，一般都是将它由同角公式的倒数关系化为两角和差的正切，用公式来解决．
３．“化未知为已知”是推导公式和数学解题的常用方法；“公式的逆用”与“１的变式”是数学解题中常用的技巧。我们应该熟练掌握这些方法和技巧．
五、作业： P141 练习3-1A中5 P142 习题3-1B 1，4，5，6，7 [来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
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姓名 学校 组别号
2.4.2 向量在物理中的应用
学习目标以物理问题为载体，进一步复习、巩固所学向量知识和向量法21世纪教育网通过一些物理问题的解决，使学生经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题，理解用向量知识研究物理中的“四环节”通过用向量知识解决物理和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用在探究问题解决方法的过程中，展示学生的思维过程，发展学生的思维能力和解决问题的能力
重点难点教学重点是利用向量方法解决与物理相关的实际问题[来源:21世纪教育网]教学难点是选择适当的物理题和恰当的方法——建立以向量为主题的数学模型，将物理问题转化为数学问题
三、教学内容安排1．复习引入， 首先提出下列思考问题：回顾用向量法解决平面几何问题的基本思维过程（三步曲），为学习用向量法解决物理及生活中的问题，奠定理论和方法的基础；2．回顾情景，观察思考，探索思路 然后，再就课前预习作业：情景1、情景2得体会，针对情景3为例，引导学生从数学的角度解释这些现象。（即：首先在探讨用向量知识表示物理量的前提下，再利用数学中向量的线性关系表示问题所涉及到的物理量（矢量）之间的关系（这里不妨设）情景1：两个同学共同提一较重的物体（一个旅行包，一筒水，一摞书等）。两位同学手臂间的夹角的变化与两人用力大小变化间的关系（体会夹角越大越省力）情景2：在单杠上做引体向上运动（同上）情景3：教具演示：详见《参考样例》P223．启发联想、拓展思维详见《参考样例》P224．深化练习、总结规律问题1详见《参考样例》P22问题2详见《参考样例》P22由于课本中的例题，对一部分学习能力强的同学可能会觉得课堂密度不够（新高一一开学，物理就讲力学。所以到了数学讲向量时，数学书上地例题就显得太简单了）补充问题3：模块：物理1第一章 运动的描述（高一 上学期 第一学段）第二节 时间和位移位移的概念是学生学习高中物理遇到的第一个矢量，这个阶段由于初步接触矢量，所以主要解决一条直线上的矢量运算中的减法，位移：即初位置到末位置的有向线段，物理课本上，先介绍位置，位置用坐标系中的坐标表示（本节主要是一维问题），位移就定义为：坐标的差值。规定正方向之后，用“+”“-”号表示位移的方向。第三节 运动快慢的描述——速度速度：是矢量，但是此时还不涉及其运算问题，只是让学生知道：速度是矢量；第五节 速度变化快慢的描述——加速度加速度：是矢量，但是此时仍不涉及其运算问题，只是让学生知道：加速度也是矢量；实例1：从高出地面3m的位置竖直向上抛出一个小球，它上升5m后回落，最后到达地面（如图）。分别以地面和抛出点为原点建立坐标系，方向均以向上为正，填写以下表格。坐标原点的设置出发点的坐标最高点的坐标落地点的坐标上升过程的位移下落过程的位移全过程的总位移以地面为原点以抛出点为原点[来源:21世纪教育网]分析：根据题目要求，画出示意图。得结果如下表：坐标原点位置出发点坐标落地点坐标上升过程中的位移（m）下落过程中的位移(m)全过程总位移(m)以地面为原点3821世纪教育网5m-8m-3m以抛出点为原点0-35m-8m-3m补充问题4：第四章 牛顿运动定律（高一 上学期 第一学段）例题：一个滑雪人，质量m=75kg，以v0=2m/s的初速度沿山坡匀加速下滑，山坡的倾角=300，在t=5s时间内滑下的路程为X=60m，求：滑雪人受到的阻力（包括摩擦和空气阻力，重力加速度g的值取10）分析：由于要求滑雪者所受的f, 首先对其进行受力分析：由于f与支持力N和重力G不共线且N的大小不知，所以利用平衡条件，采用正交分解法，以f所在直线为x轴，垂直于f，即N所在直线为y轴建立平面直角坐标系，将G分解为x、y轴方向。由平衡条件可布列方程组。解法如下：解：如图，受力分析：重力G，支持力N, 阻力f。建坐标如图，将重力G分解：根据运动学规律：，求得加速度为：，代入上述动力学方程（1）求得：注：本题主要是运用矢量的加法和加法解决运动合力的关系问题。较多地运用正交分解法和同一直线上的矢量加减法。解决此问题，首先要受力分析；然后求合力，而求合力的是需要先将力正交分解，把一个平面矢量的合成问题转化为两条直线上的矢量加法问题，使运算更简单，这个方法在物理中经常使用
四、教学资源建议（1）多媒体教学系统（展示相关图片或视频资料）（2）电脑和几何画板软件（画图并演示物理现象和建模后的几何图形的性质）（3）引导学生通过联系实际、网络等途径，进一步了解向量在物理方面的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野（4）及时与相关学科保持联系，最好选用与其同期的例题。特别是物理，地理，生物等学科。不仅能培养学生应用数学解决问题的意识，使学生体会学以至用的乐趣，更有利于培养成学生自觉应用数学解决问题习惯，也能更好地为今后学好数学树立信心。
五、教学方法与学习指导策略建议本部分教学，宜采用引导、探究、合作等教学方法，教学要重心前移（突出解决物理问题中的数学方法）详见《参考样例》P22—23
六、课堂评价建议（略）
[来源:21世纪教育网]
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1．2．1（第一课时）三角函数的定义（一）
1、 学习目标
1.理解并掌握任意角三角函数的定义.?[来源:21世纪教育网]
2.理解三角函数是以实数弦、余弦、正切函为自变量的函数.?
3.掌握正数的定义域.
二、重点难点
教学重点：三角函数的定义和定义域。
教学难点：根据任意角三角函数定义求三角函数值
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
三、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数: 教师提出问题：初中是如何定义角的？师:前面我们对角的概念进行了扩充,并学习了弧度制,知道角的集合与实数集是一一对应的,在这个基础上,今天我们来研究任意角的三角函数. 温故知新
概念形成 1．用坐标形式表示出中所学的锐角三角函数设点P（x,y）是锐角终边上的任意一点，记OP=r(r≠0),则，，2．任意角的三角函数设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P(x,y)则P与原点的距离根据三角形的相似知识得到均为定值。21世纪教育网比值叫做的正弦,记作：比值叫做的余弦,记作：比值叫做的正切,记作：(4)角的其它三种三角函数比值叫做的余切,记作：比值叫做的正割,记作：比值叫做的余割,记作： 以坐标原点为锐角的顶点,以Ox轴为角的始边,则角的终边落在直角坐标系的第一象限内,若设点P(x,y)始终边上的任意一点,记OP=r(r≠0),试将角的三角函数用x,y,y表示出来.学生作图,教师在此过程中要引导学生在坐标系中做出符合锐角三角函数定义要求的直角三角形.该过程中要适时指点学生,并加强学生与学生之间的讨论与交流.回答问题:教师通过多媒体将此过程展示给学生,明确坐标与三角函数的关系.教师提出问题:问题1：根据刚才我们在直角坐标系中讨论的锐角三角函数，你能给出任意角的三角函数定义吗 由学生讨论回答.问题2: 角的三角函数值不受终边上的点P的位置的影响吗？这是一个较有思考价值的问题,教师要注意正确地引导和必要地提示,锐角三角函数的大小仅与锐角的大小有关,与直角三角形的大小无关,类似地-…问题3: 依据函数的定义，这几个比值可以分别构成函数吗？若能构成，他们的自变量是什么？x还是y？r还是？ 将初中定义的锐角三角函数放到坐标系中的讨论，指明研究函数问题的工具，完成从三角形到坐标系的转化，为后面在直角坐标系中定义任意角的三角函数搭建平台。2．通过对比，让学生对知识进行类比、迁移及联想，树立他们勇于探索的信心。通过讨论，充分发挥学生学习的主动性
概念深化 1。角是“任意角”，当β=2kπ+α(k∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值都相等。2．定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没用说α的终边在什么位置（终边在坐标轴上的除外），即函数的定义与α的终边位置无关。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。3．三角函数是以“比值”为函数值的函数4．对于正弦函数sinα=，因为r>0所以恒有意义，即α取任意实数，恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域R;类似地可写出余弦函数的定义域；对于21世纪教育网tanα=,因为x=0时，无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x=0，所以当α的终边不在纵轴上时，恒有意义。现将它们列表如下:三角函数定义域21世纪教育网sinαRcosαRtanα{α|α≠kπ+,k∈Z } 对于第1到第3点教师要点拨,学生思考.对于第4点教师提出问题:谈到函数,定义域要先行.在此,对三角函数的定义与要进一步地明确,确定三角函数的定义域的依据就是任意角的三角函数的定义.三角函数是以角为自变量的函数,如何去确定这些函数定义域 他们的定义域是什么 由学生讨论回答 让学生明确定义是对任意角而言的，OP是角的终边，至于是转了几圈,安什么方向旋转的不清楚,也只有这样,才能说明角是任意的.使学生明确任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:任意角的三角函数包含锐角三角函数.实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的,锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例.所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的。让学生掌握正弦函数、余弦函数、21世纪教育网的定义域。
应用举例 例1.已知角的终边过点P(2,-3)，求的六个三角函数值.例2.求下列各角的六个三角函数值（1）0（2）π（3） 21世纪教育网 学生板演，教师对学生在解题思路和规范性方面进行指导 让学生巩固六种三角函数概念，感受三角函数的定义在三角函数求值中的应用。
归纳小结 1。知识：三角函数的定义及其定义域2．数学思想方法：数形结合思想；类比法。 让学生学会学习学会反思，学会总结，重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用
布置作业 层次一：教材练习A,1~3 使学生进一步巩固和应用所学知识
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1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标
1．知识目标：
① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
② 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
2. 能力目标：
①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.
②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
③ 通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力.
3．情感目标：使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解.
二、教学重点、难点
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念及其与角度的关系.
三、教学方法
自学—讨论—讲授—练习
先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1、复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系.2、复习角的概念推广：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．角分为正角、负角、零角。 教师提出问题：①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？学生回答：② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？学生回答：③ 角的范围是什么？如何分类的？ 温故而知新
概念形成 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？通过自学，老师引导，总结1弧度角的定义、角的弧度与角的关系。①1弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 1．学生自学课本第7、8页.通过自学回答老师提出的以下问题：① 角的弧度制是如何引入的？② 为什么要引入弧度制？好处是什么？③ 1弧度是如何定义的？④角度制与弧度制的区别与联 1．引导学生切身感受角的弧度制引入的必要性.2．通过学生自学、老师引导加深学
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概念形成 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．②平角、周角的弧度数：平角= rad、周角=2 rad③正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0④角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）3．角度制与弧度制的换算： ∵ 360=2 rad ∴180= rad ∴ 1=用弧度制表示弧长及扇形面积公式：① 弧长公式：由公式： 比公式简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 ②扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径5．角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系[来源:21世纪教育网] 系.2．学生动手画图来探究：①平角、周角的弧度数②角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？③角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？3．角度制与弧度制如何换算？21世纪教育网4．初中学过用角度制计算弧长及扇形面积，现在用角的弧度制如何计算弧长及扇形面积呢？21世纪教育网5．角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，虽然单位、进制不同，但反映了事物的本质属性不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 生对弧度制的理解。3．学生亲手作图，感受角的弧度制与角度制都是角的度量单位，都可以刻画角的大小，与角所在圆的半径无关。引导学生从弧度定义出发归纳出角度制与弧度制的换算公式。4．进一步巩固弧度定义，从不同角度加深学生对弧度制的理解。
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应用举例 例1：（1）把化成弧度（精确到0.001）（2）把化成弧度（用π表示）解：（1）n＝，π＝3.1416； （2）n＝＝67.5； （3）a＝≈0.0175； （4）α＝na＝1.18125 ∴ α≈1.18125 rad 例2： 把化成度解：例3：填写下表：角度0°30°45°60°90°120°弧度角度135°150°180°210°225°240°弧度21世纪教育网角度270°300°315°330°360°弧度例4：直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵ 解： ⑴ ⑵ 1．例1的第（1）问由老师板书，并归纳出算法步骤。把角度值n换算为弧度制的算法步骤如下：① 给变量n和圆周率π的近似值赋值；② 如果角度值n是以“度、分、秒”形式给出的，先把n化为以“度”为单位的10进制表示；③ 计算（把1°换算为弧度值），得出的结果赋给变量a；④ 计算na，赋值给变量α.α就是这个角的弧度值.2．例1的第（2）问由一个学生板书，教师及时指出解题过程中出现的问题.3．例2由学生回答，老师板书。4．例3学生自行完成，若有错误，由学生检查订正.5．例4由学生完成，老师指导 1．让学生跟随老师规范书写格式，加强算法训练。21世纪教育网2．让学生掌握换算过程并提高学生计算的准确性.3．弧度制换算为角度制比较简单，注意书写规范一些特殊角的弧度数应加强记忆.5．巩固公式，加强计算。
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应用举例 ∴例5： 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l，半径为r，由题意： ∴ 或 ∴ =3 或 6．师生共同分析，寻找解决问题的方法 6．弧长公式、扇形面积公式中涉及四个量α、l、r、S 知二求二.让学生学会学习，学会反思，学会总结，重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用。
归纳小结 从知识和方法两个方面对本节课进行归纳总结 1．1弧度的定义2．弧度与角度的换算公式（注意算法）3．弧长及扇形面积公式4．引入弧度制的必要性及角的集合与实数集的一一对应关系 学生跟随老师回顾本节课的重点内容
布置作业 练习A的2、3的（1）、（3）、（5）练习B的3、4（2）、5（3）（4）思考：习题1—1B的4、5 巩固本节课所学过的重点内容。 通过完成作业巩固本节知识点，并加强书写训练及提高计算的准确性。
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正角
零角
负角
正实数
零
负实数
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2.4.1 向量在平面几何中的应用
一、教学目标
1．知识与技能：
运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题21世纪教育网
2．过程与方法：
通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法
3．情感、态度与价值观：
通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点
重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.
难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.
三、教学方法
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
四、教学内容安排：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习准备 课前复习任务（由学生总结成书面材料）（1）向量的线性运算是怎样的 （2）平面向量共线的含义及条件是什么？（3）平面向量的基本定理及向量的坐标运算有哪些？（4）平面向量的数量积中有哪些主要内容？ 讨论：（1）若O为重心,则++= （2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系 让学生回顾学过的知识有力于本节课的进行
新课引入 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行中，设＝,＝，则（平移），，（长度）．向量，的夹角为 讨论（让学生回顾学过的知识，有利于本课的顺利进行）：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．（3）向量平行、垂直的判定方法 让学生掌握用向量方法解平面几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量．通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果＂翻译＂成几何关系．
应[来源:21世纪教育网]用21世纪教育网举例 例1：如图2-55，已知平行四边形ABCD中，E、F在对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平行四边形。21世纪教育网小结：本题的关键选择适当的基底，把四边形AECF的一组对边表示出来 问题1 证明AECF是平行四边形的方法有什么？学生思考，回答问题2 选择合适的方法，问如何转化为向量条件表示？学生思考，回答，完成证明（选一名学生板书）问题3 由学生总结解题方法 通过分步设问，引导学生展开思维过程，让学生体会分析、解决问题的方法
例2：求证平行四边形对角线互相平分．小结：法一注重向量的坐标运算和解析法的运用：法二选取基底和，设未知数，列向量方程，解方程组的待定系数得结论，体现了方程思想的运用。 问题4 如何证明？学生思考，回答老师点评学生思路：要证明两条对角线互相平分，可以证明，或。前一种方法可以建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示后即可；后一种方法就是课本提供的方法。师生共同讨论交流，由教师给出证明过程 本题所用方法比较特殊，学生不易想到，教师在分析学生提供的思路的基础上，点出方法，又不直接说怎么做，引导学生再去探索，让学生体验思路的形成过程，学会分析问题的方法。
例3：已知正方形ABCD（图2-57），P为对角线AC上任意一点，于点E，于点F，连接DP，EF。求证DPEF。小结：结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。 问题5 如何证明？能否用坐标法完成？学生思考，回答 老师点评学生思路：要证明两条直线（段）互相垂直，可以证明=，也可以证明两向量数量积为0。前一种方法可以建立平面直角坐标系，点用坐标表示用斜率公式即可；后一种方法就是课本提供的方法，将向量用坐标表示后进行向量的数量积运算即可。 师生共同讨论交流，由教师指导学生给出证明过程 本题用坐标法。尤其是第二种方法用向量坐标法证明比较简单，可见选定方法是关键，学生可从中体会，形成思维习惯。
课堂练习 练习1． 求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．练习2．如图，在平行四边形中，，，，求证四边形为矩形 由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积要证四边形为矩形，只需证一角为直角． 进一步巩固所学知识，归纳方法
归纳小结 本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤 师生交流共同完成 帮助学生总结知识，归纳方法
布置作业 练习：A组1、2及B组1作业：习题2-4A1及习题2-4B1 学生独立完成 巩固所学方法，规范解题步骤
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案例 3.1.1两角和与差的余弦
（一）教学目标
知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力．
情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．
（三）学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
探究 提出问题并引入新课 师：探究生：反例：问题：的关系？ 创设问题的情景，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动
复习 复习有关知识，寻求解决问题的思路 复习：1。余弦的定义 在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为P,等于角与单位圆交点的横坐标 2．能否用向量的方法求角的余弦？ 师：M、N是两边上任一点，（显然为了简化计算，取M、N为两边与单位圆的交点， 此时有） 通过复习相关知识为下面公式的推导做好铺垫。
公式的推导 公式的推导证明公式理解和基本掌握。 如图构造角，终边与单位圆交于Q, , 21世纪教育网 师：指出角与关系：生：则师：写出点P、Q坐标生: 带领学生推导公式：（板书）因为： 所以：公式记号 通过定义的复习，在坐标系中找到差角的几何表示，利用以上的铺垫引导学生试探采用向量方法去解决问题，同时也体会到向量的工具性作用。
公式的深化 对公式进行更深层次的认识 思考并讨论：（投影）问题解决的思路与方法体现了α与β的任意性吗？21世纪教育网3）探究 cos()的公式由学生回答上述问题，教师点评：结论如下1）主要利用了向量这个工具，体会其作用与便利之处.。回归到余弦的定义，数形结合，利用单位圆简化了计算。[来源:21世纪教育网]2）α与β有任意性，有 说一该公式具有一般性。3）把公式Cα-β中的β换成-β，则有板书：cos［α-（-β）］=cosα·cos（-β）＋sinα·sin（-β）＝cosα·cosβ-sinα·sinβ，即cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ（α，β∈R）．公式记号师：公式有何特点？如何记忆生： 公式的结构和特点：“同名异和差”主要是公式右端中间的“＋、-”号与公式左端α与β间的“-、＋”号正好相反． 对推导过程进行回顾，彻底理清解决问题的思路，体会用到的数学思想及方法。同时通过对问题的讨论，让学生对公式对有一个清晰完整的认识，为公式的灵活运用打下基础，进一步培养学生探索的能力。对公式进行深挖掘，显示其“辐射”的作用培养学生的分析、联想能力、优化思维品质。
公式的应用 例1、利用和、差角余弦公式求及的值 学生练习、板演，教师讲评注意将一般角转化为特殊角的和或差，可以不查表求值 让学生初步掌握公式的应用，，并进一步熟悉公式的特征，为以后灵活应用作铺垫。
归纳小结 从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结 公式推导中向量的应用公式的结构特征在三角变换时，本公式应用中，首先应考虑根据题目的条件与结论来进行角的变换 使学生对本节知识有一个清晰完整地认识，并点出问题解决的基本思路与方法。
布置作业 教材习题3.1.1练习A 1,2,3[来源:21世纪教育网]练习B 1 思考题： 巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，给学有余力的学生留出自由发展的空间
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2.3.2 向量数量积的坐标运算
一、教学目标
1.知识与技能：
掌握平面向量的数量积坐标运算及应用
2.过程与方法：
（1）通过平面向量数量积的坐标运算，体会向量的代数性和几何性；
（2）从具体应用体会向量数量积的作用
3.情感、态度与价值观：
学会对待不同问题用不同的方法分析的态度
二、教学重点、难点
重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式
难点：条件和公式的应用
三、教学方法
用学过的知识带动学生探求新知识
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 平面向量基本定理及向量的坐标表示向量数量积的定义及性质、运算率 学生思考回答上节课内容 温故知新21世纪教育网
定义形成 向量具有几何性和代数性，上节课根据向量的几何性定义出了数量积的运算，并掌握了运算率及性质。那么这一定义如何由它的代数性反映出来？ 那么向量数量积的性质如何由它的坐标表示出来？结论：已知两个非零向量，则从中总结出三个公式（向量的长度、距离、夹角公式）及一个条件（向量垂直的充要条件）向量的长度、距离和夹角公式（1）设，则或(长度公式)（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(距离公式)[来源:21世纪教育网](3) cos =（）(夹角公式)向量垂直的充要条件设，，21世纪教育网则 教师引导学生，从向量的坐标出发，根据数量积的定义推导出数量积的坐标运算 。从而很容易推导出三个公式和一个条件 让学生自己联系旧知识推导新内容，体会自己创作的乐趣
定义深化 对于从前的射影的概念，我们进行重新的认识向量在轴上的正射影：作图 定义：||cos叫做向量在所在轴上的正射影正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为0；当 = 0时正射影为||；当 = 180时正射影为||21世纪教育网挖掘向量在轴上的正射影的定义，和我们这两节的向量数量积有什么关系？（或找出其本质）练习：P108 例1 学生主导发现问题，教师引导提出和解决问题注意：射影是可正可负可为零的 教学中，学生不太容易理解的，也不经常用到的概念，变作例题形式有利于加深印象
应用举例 例1.已知=（3，-1），=（1，-2），求，||，||，<,>例2.求证菱形的两条对角线互相垂直.练习.已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证例3.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求的正弦值练习.已知=(3,4)，求：（1）的单位向量；（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量 主要体会向量代数运算的方便和简便，以及几何性质的直观 熟练准确的运用向量数量积进行运算，并对某些结论性的内容有所了解
课堂小结 1.数量积的定义、性质、运算率 2.几种特殊情况的讨论（注意事项）教师提出问题：向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘及数量积的运算，那么它们的区别和联系是什么？尤其是数乘和数量积的运算，同是乘法，有何区别？ 主要学生总结，教师不做过多引导 让学生掌握最主要的内容；让大多数学生知道还有某些注意事项
作业 看书总结平面向量数量积的注意事项（分别从定义、运算率、性质、与数乘的区别总结）总结一些你认为很有用的式子（可以从例题、习题总结）
注意：
1、 找向量夹角时，向量必须同起点；
2、 定义中注意垂直时数量积为0；
3、 两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“· ”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”
4、 数量积不满足结合率和消去率：
在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cos有可能为0
已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c但是ab = bc a = c
在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc)
5、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
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§3．3三角函数的积化和差与和差化积
（一）教学目标
1．知识目标：了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化.
2．能力目标：能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明.
3．情感目标：通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点.
（二）教学重点、难点[来源:21世纪教育网]
本节重点是公式的推导与应用，难点是公式的灵活应用.
（三）教学方法
观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
[来源:21世纪教育网]复习引入 复习两角和与差的正弦和余弦公式 让学生将两角和与差的正弦、余弦公式写出来.①②③④ 复习旧知识，同时为推导积化和差公式作准备.
积化和差公式的推导 推导积化和差公式：=[]；=[]；=[];=[]. 师：考察写出来的两角和与差的正弦、余弦这四个公式，你能否用，，，来表示，，，.生：①与②式两边分别相加和相减除以2得到：=[];=[];③与④式两边分别相加和相减除以2得到：=[ ];=[ ].师：这组公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将 “积式”化为“和差”，有利于简化计算. 培养学生应用已有知识分析问题的能力和问题探究的能力，同时也使学生认识到了新公式产生的根源.
积化和差公式的应用 教材练习A第2题. 学生做练习教师巡视检查. 让学生初步学会应用公式.
和差化积公式的推导 推导和差化积公式：＝＝；；. 师：从上面的积化和差公式变形可以得到：=2coscos;=－2;=2;=2.左边是和差的形式，右边是积的形式，设，后请学生自己将上面的四个式子加以整理，把用换下来.学生整理后得到和差化积公式.师：下面同学们看课本中的“探索与研究”，同学们讨论一下如何运用向量的知识来推导和差化积的公式.组织学生讨论.师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用. 引导学生由积化和差公式推导和差化积公式，在推导过程中运用了代换法进行角的转化.通过组织学生讨论探究，逐步培养学生团结协作的思想品质，提高学生综合运用知识思考问题解决问题的能力.
和差化积公式的应用 例1 化为积的形式.巩固练习：练习A,1,3.[来源:21世纪教育网]练习B，1.例2 已知A+B+C=180,求证＝.巩固练习：练习B， 3. 利用和差化积这四个公式和其他三角函数关系式，我们可以把某些三角函数的和差化成积的形式.老师指导学生做例1，并检查学生做的情况，用投影仪订正.并强调说明化积的最后结果必须是几个三角函数积的形式，但这样显然不符合要求，最后结果应为.例2是一道综合性较强的证明题，要用到诱导公式、二倍角的正弦公式、和差化积公式，教师要板演整个解题过程，并在解题过程中主要引导学生思考. 例1是和差化积公式的直接应用，要让学生明确化积问题对最后结果的要求.例2这是一道典型的综合性问题，对于它的解题过程的深入探讨，有益于启发学生思维，提高学生分析问题和解决问题的能力.
小结 从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结. 本节课的重点学习了两组公式，对于公式不要求记住，但要学会运用这些公式进行三角函数和差与积的互化，并能够运用公式解决一些求值、化简和证明问题；把一个式子化为积的形式是一类重要题型，尤其是要注意其最后结果的形式是否符合要求；在公式的推导过程中我们用到了换元法，要注意该方法在解题中的应用. 让学生明确本节课的重点和要达到的要求.
布置作业 教材习题3－3 A组 3，4.[来源:21世纪教育网] 对本节内容及时巩固.
[来源:21世纪教育网]
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1.1.1角的概念的推广
一、学习目标：
1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法
3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
二、教学重点、难点
重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
难点：终边相同的角的表示.
三、教学方法：
讲授法、讨论法、媒体课件演示
四、内容分析：
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.
五、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1、角的概念[0 ,360 ]2、从实例出发，发现很多问题中角的范围发生了变化。 1、初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”2、生活中很多实例会不在该范围体操运动员转体720 ，跳水运动员向内、向外转体1080 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动） 1、引导学生通过切身感受来认识角的概念推广的必要性。2、为引入正角与负角的概念做好准备。
新概念产生 1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210 ，β=-150 ，γ=660 ， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或 可以简记成⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了1 角有正负之分 如：=210 =150 =6602 角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080）3 还有零角21世纪教育网 一条射线，没有旋转角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样． 1、教师用多媒体演示角的形成。21世纪教育网2、教师指导学生依定义分别作出大小和方向不同的角，并指出角的“顶点”“始边”“终边”3、教师设计以下问题组织学生讨论思考回答：（1）正角与负角有何本质区别？（2）正角与负角的实际意义有何不同？（3）角的概念推广以后应该包括哪些角？4、教师应注意指明：正角与负角是具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好像与正数、负数的规定一样，零角无正负。 1、使学生通过亲手作图获取对新概念的直观印象。2、促使学生从本质上认识角的形成以及角的分类。3、通过观察旋转绝对量的变化学习角的加减运算。4、让学生清楚角的正负规定纯系习惯。
新概念形成 2．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，300、60是第Ⅳ象限角，585、1180是第Ⅲ象限角，2000是第Ⅱ象限角等 提出问题，学生讨论回答：21世纪教育网（1）在坐标系中表示角时，对角的顶点与角的始边有什么要求？（2）你对“角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限”这句话是怎么理解的？（3）分别举出几个第一、二、三、四象限角的例子。 学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对于新概念的理解与掌握。
新概念形成 3．终边相同的角 ⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和： 390=30+360 330=30360 30=30+0×360 [来源:21世纪教育网] 1470=30+4×360 1770=305×360 ⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和⑷注意以下四点：(1) (2) 是任意角；(3)与之间是“+”号，如-30 ，应看成+(-30 )；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360 的整数倍 引导学生观察分析：（1）终边相同的角有何特点？（相差整数个周角）。（2）试表示出与30终边相同的角。（3）用集合表示终边相同的角请注意以下问题：①；②是任意角；③终边相同的角不一定相等，但是相等的一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍。 从观察分析入手，通过具体例子，归纳总结出终边相同的角的表示方法，并初步认识用集合表示终边相同的角需注意的几个问题。
讲解范例 例1 在0 到360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角解：⑴∵-120 =-360 +240 ，∴240 的角与-140 的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640 =360 +280 ，∴280 的角与640 的角终边相同，它是第四象限角．⑶∵-950 12’=-3360 +129 48’，∴129 48’的角与-950 12’的角终边相同，它是第三象限角．例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来： 解：(1) S中在-360 ～720间的角是-1×360 +60 =-280 ；0×360 +60 =60 ；1×360 +60 =420 ．(2) S中在-360 ～720间的角是0×360 -21 =-21 ；1×360 -21 =339 ；2×360 -21 =699 ．(3) S中在-360 ～720 间的角是-2×360 +363 14’=-356 46’；-1×360 +363 14’=3 14’；0×360 +363 14’=363 14’． 1、选例1的第一小题板书来示范解题的步骤，其他例题请几个学生板演，，其他学生在下面自己完成，针对板演同学所出现的步骤上的问题及时给予更正，教师要适时引导学生做好总结归纳。2、例2可以组织学生讨论，然后让学生回答，互相更正，对出现的错误进行纠正讲解，并要求学生熟练掌握这些常见角的集合的表示方法。 1、例1主要让学生学会如何在0 到360 范围内，找出与某个角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角。2、例4主要想解决：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。在这里：①；②是任意角；③终边相同的角不一定相等，但是相等的一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍。
课堂练习 1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90 的角是锐角吗？0 ～90 的角是锐角吗？(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90 的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0 ～90 的角可能是零角，故它也不一定是锐角．)总结有关角的集合表示． 锐角：{θ|0 ＜θ＜90 }，0 ～90 的角：{θ|0 ≤θ≤90 }；小于90 角：{θ|θ＜90 }．21世纪教育网2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420 ，(2)-75 ，(3)855 ，(4)-510 ． (答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角) 课堂练习的目的是对本节课的内容进行综合回顾，教师可以放手让学生自行解决，然后教师加以点拨。
归纳小结 ?从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结。 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90 的角”“第一象限角”“0 到90 的角”和“锐角”的不同意义. 请学生在教师的叙述回顾中再现本节的核心内容。
课后作业 1.下列命题中正确的是( )A.终边在y轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ·360 （ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.与120 角终边相同的角是( )A.－600 ＋k·360 ，ｋ∈Ｚ B.－120 ＋k·360 ，ｋ∈ＺC.120 ＋(2k＋1）·180 ，ｋ∈Ｚ D.660 ＋k·360 ，ｋ∈Ｚ3.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180 B.α＋β＝0 C.α－β＝ｋ·360 ，ｋ∈Ｚ D.α＋β＝ｋ·360 ，ｋ∈Z4.与1840 终边相同的最小正角为 ，与－1840 终边相同的最小正角是 .5.今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 .6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).7.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360 (2)720 (3)1080 (4)1440 8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0 到90 的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90 的角｝．求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ. 9.将下列各角表示为α＋ｋ·360 （ｋ∈Ζ，0 ≤α＜360 ）的形式，并判断角在第几象限.(1)560 24′ （2）－560 24′ （3）2903 15′(4)－2903 15′ （5）3900 （6）－3900 本次作业主要涉及以下重要内容：1、正角、负角、象限角的基本概念；2、终边相同的角的概念及终边相同的角的集合表示法。这些内容对以后的学习有很重要的作用，请同学们认真落实完成。 通过作业让学生巩固以下三点：1、角的概念推广后的范围；2、弄清角的分类；3、终边相同的角的集合表示法。
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2.1.3向量的减法
向量线性运算（二）
一 教学目标
1 知识与技能；
（1）进一步理解掌握向量加法及减法运算法则。
（2）熟练掌握向量加法与减法法则及运算律
（3）掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
（4）掌握实数与向量的积的运算律；
2 过程与方法
（1）通过几何直观得出各个运算法则，体会向量运算的几何意义；
（2）由实例体验向量的运算在实际问题中的应用
3 情感，态度，价值观：
通过本节的学习，让学生认识到向量在加，减和数乘运算中的联系，体现事物普遍联系的观点
二 教学重点与难点
1 教学重点————向量的加减和数乘运算；
2 教学难点————对向量运算法则的理解
三 教学方法
采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。
四 教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习旧知识例题选讲21世纪教育网练习引出数乘向量例题选讲巩固练习小结作业 （1）向量加法运算法则几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）（2）加法的运算律：向量加法的交换律：+=+向量加法的结合律：(+) +=+ (+)（3）向量减法法则：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a b = a + (b) 即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量例题1： 用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形。 已知：，，求证：四边形是平行四边形。 证明：设，，则， ∴， ∴，又∵点不在 ∴平行且等于 所以，四边形是平行四边形．例题2：（选讲）试证：对任意向量，都有． 证明：（1）当，中有零向量时，显然成立。 （2）当，均不为零向量时： ①，，即时，当，同向时，； 当，异向时，． ②，不共线时，在中，， 则有．∴其中： 当，同向时，， 当，同向时，．练习：已知非零向量，作出++和()+()+() ==++=3==()+()+()=3（1）3与方向相同且|3|=3||；（2）3与方向相反且|3|=3||定义：实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|=|λ|||（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=数乘向量运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ) ①第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ②第二分配律：λ(+)=λ+λ ③例题3：计算：（1）； （2）； （3）．解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．[来源:21世纪教育网]例题4：若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.解：记3m＋2n＝a ① m－３n＝b ②3×②得３m－９n＝３b ③①－③得11n＝a－３b. ∴n＝a－b ④将④代入②有：m＝b＋３n＝a＋b评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.1．如图，在△ABC中，=, = ，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量解法一：∵=, = 则==∴=+=+而=∴=+解法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F ∵△AEF∽△ABC， == == == ∴=+=+实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广.启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般.在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用. 书89页A 组2，3 B 组1补充：在 ABCD中，设对角线=，=试用, 表示，解法一：== ==∴=+===+=+=+解二：设=，=则+= ，即 += ；= ，即= ∴ =()， =(+)即 =() =(+) 教师提出问题学生认真思考后回答通过例题进一步体会向量加法与减法的运算法则，以及运算律的使用利用练习找出三种运算的关系，引出数乘运算引导学生探究、验证运算律（3）,教师投影展示学生的验证结果，说明运算律的合理性，让学生总结运算规律.教师适当点拨，学生通过交流完成启发学生将所学的三种运算结合起来解决问题分层次留作业，学生分层完成 通过对旧知识的复习，使得学生能够对旧知识形成更加深刻地印象。21世纪教育网21世纪教育网通过学生练习，由向量加法得出数乘向量的公式和运算律，并且比较记忆学生独立完成巩固运算律，检验定义的使用，让学生体验成功.对教材的知识适当深化有利于提高学生的认知水平21世纪教育网通过适当的练习熟练掌握运算法则及运算律
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FM
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3．2．2半角的正弦、余弦和正切
（1） 教学目标
1． 知识目标：掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。
2． 能力目标：通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系， 培养逻辑推理能力。
3． 情感目标：培养用联系的观点看问题的观点。
（二）教学重点、难点
本节重点是公式的推导与应用，难点是半角与倍角的联系及符号的判断。
（三）教学方法
观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习倍角公式、、 先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意。既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 以旧引新，设疑创设情境，引导学生展开积极的思维活动21世纪教育网
半角公式的推导及理解 推导半角公式： 由学生根据推导，老师巡视并帮助有困难的学生，之后对照课本P145检查过程和结果。思考讨论：①公式是如何推导出来的？有何限制条件？ ②公式有何特点？如何记忆？③公式如何变形？有何用处？ 先有学生回答问题，然后老师明确，结论如下：① 由 得所以两式相除得 ((2k+1) )②与结构相同，一号之差，是由 与推出的③ 平方后是降幂公式，用于变形、求值、证明 培养学生运用已有知识获得新知识的能力和问题探究的能力，同时也使学生认识到了新公式的来源。通过讨论，使学生对公式有一个清晰完整的认识，为公式的灵活应用打下基础，逐步培养自学能力。
半角公式的深化 “倍”与“半”是相对的，公式不仅仅适用于具有“”与“”特征的角，而且更广泛地适用于具有倍半关系的角。 思考① 21世纪教育网② ③ 若是的一半，试尽可能多地写出联系与的三角恒等式（倍角，半角公式） 通过对公式深挖掘，显示其强大作用，培养学生分析、联想能力，优化思维品质
半角公式的运用 会用半角公式解决实际问题例1：求，，的值例2：求证例3：等腰三角形顶角的余弦值为，求它的底角的正弦、余弦和正切[21世纪教育网巩固练习① P146 A组1② P146 B组1③ P147 A组2④ P147 B组3(3) 师生共同分析解决：例1：15 角在第一象限，直接用公式；若所在象限已知，你会判断所在象限吗？（教会判断方法，并记住结论）若为第一象限的角，则=2k+1,kZ,且0〈1<,于是，，当k为偶数时，在第一象限，当k为偶数时，也在第一象限，同理：若为第二象限的角，在一或三象限若为第三象限的角，在二或四象限若为第四象限的角，在二或四象限例2：半角正切的表达式是有理表达式，符号由算式决定，无须先判断；第二个表达式分母为“单项式”更易使用，但由余弦求正弦还须开方，就不合适了。21世纪教育网例3、注意判断三角形的角以及这些角的一半的范围， 让学生初步学会应用公式。通过组织学生讨论探究，逐步培养学生发现新知识的能力。发掘例题的功能，把知识引向深入
归纳小结 从知识、方法两个方面来对本节课进行归纳总结。 学生接力式总结，老师补充 让学生明确本节课的重点,并判断自己达到的要求。
布置作业 P146 A组2P147 A组1P147 B 组3(4) 及时巩固，加深理解。
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板书设计一 2.2.2平面向量的正交分解及其坐标表示例1 例3例2
板书设计二 2．2．3用平面向量坐标表示向量共线条件向量共线条件： 平面基本定理介绍例1 例321世纪教育网例2 例4归纳小结： 归纳小结：
（四）教学资源建议
教材、电子版教参中提供的教学课件、人教社网站（）
（五）教学方法与学习指导策略建议
将平面向量的基本定理的内容后置的相关考虑：
（1）平面向量的基本定理由原实验教材的“掌握”变成了新课标中的“了解”。这一基本定理是正交分解的理论基础，是向量恒等变形中“消元”的基本依据，应用这一基本定理可以更加灵活的解决一些向量问题.“了解”更适应数学基础课的要求，适应所有学生的学习要求。
（2）从教学功能上，平面向量的正交分解可以替代基本定理。正交分解可以直接证明，方法及思想与基本定理相同；同样包含了“消元”的基本思想方法（平面中任一向量都能表示成两个基底的线性组合）；正交分解同样有多种选择性。
(3)从学生的主体作用看，先有平面向量的正交分解，再有基本定理，更适合从特殊到一般的研究规律。有学生前面一维向量（轴上向量）的坐标表示，以及平面直角坐标系与数轴的相关研究过程，平面向量用两个互相垂直的单位向量表示，比两个不平行的向量表示应该更自然；基本定理作为所有学生要了解的内容，也是部分同学可以有所拓展的内容，有了之前的正交分解的研究作为基础，更容易通过类比加深理解。
（4）如果允许，可以用三课时完成这部分内容的教学。基础差的班级可以介绍平面向量基本定理，并落实巩固正交分解的方法以及向量平行条件的坐标表示；基础好的班级可以适当拓展非正交分解的思想方法
（六）备注：文中“向量AB”，符号不规范（少上面的前头线），需用正常的公式编辑器修改，为修改方便均在前面注明了“向量”或者“基底｛｝”。
《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析21世纪教育网 《大纲》相应的要求
①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件． ①如：某人在静水中游泳，速度为每小时，水流的速度为每小时，如果他要垂直游到对岸，则他的实际速度是多少？（实际速度的正交分解）21世纪教育网②如：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B（3，4），C（-1，3），则顶点D的坐标为___________．（向量的坐标表示）③如：已知，且点在的平分线上，若，则向量_________．（定比分点）④已知向量，，且A，B，C三点共线，则_________．（向量共线） ①了解平面向量的基本定理②理解平面向量的坐标的概念 ③掌握平面向量的坐标运算④理解两个向量共线的充要条件
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[来源:21世纪教育网]
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1．相关名词介绍
插入课本图2－38
2．坐标表示的向量
3．向量坐标运算的性质
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2.3.1 平面向量数量积的物理背景与定义
一、教学目标
1.知识与技能：
掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义
2.过程与方法：
（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系
（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别
（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法
3.情感、态度与价值观：
通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
二、教学重点、难点
重点：平面向量数量积的定义
难点：数量积的性质及运算率
三、教学方法：
探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入 以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角 教师提出问题，学生思考 由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系21世纪教育网
定义形成 问题：给一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角说明：（1）当θ＝０时，a与b同向； [来源:21世纪教育网]（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0 教师引导学生，注意：1.两向量必须同起点；2.的取值范围；3.数量积的定义公式形式；4.注意特殊向量零向量 让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性
定义深化 问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1、ea = ae =|a|cos2、ab ab = 03、 aa = |a|2或4、cos =5、|ab| ≤ |a||b|问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？如何验证。（不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c) ）结论：向量数量积满足的运算率：[来源:21世纪教育网]；[来源:21世纪教育网]； 学生自己回顾、探索、根据已有知识得到问题的答案 养成学生自己动脑、动手探索总结的习惯
应用举例 已知|a|＝5，|b|＝4，
=，求a·b练习1、 已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b练习2、判断正误，并简要说明理由（若易混淆可调整顺序）a·＝；②0·a＝０；③－＝；④|a·b|＝|a||b|；⑤若a≠，则对任一非零b有a·b≠０；⑥a·b＝０，则a与b中至少有一个为；⑦对任意向量a，b，c都有（a·b）c＝a（b·c）；⑧a与b是两个单位向量，则求证：（1）.;(2).；(3).例3、ABC为等腰直角三角形，且斜边AC=，求的值练习：P109 练习A（分组做） 学生自己动手简单应用以及总结数量积的运算规律（类比多项式的运算） 让学生由理论到实际操作，逐步熟悉、深入
课堂小结 平面向量的数量积的定义、性质及相关注意事项；平面向量的数量积的运算性质（注意结合率和消去率不成立）对于平面向量的几种运算进行比较总结 让学生写出基本框架，然后添加具体内容 进一步体会数学的严谨性，培养学生思考的能力和习惯
作业 看书反思本节内容；P111 练习A---1、2、3 练习B---2 养成学生看书的习惯
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1.2.3同角三角函数的基本关系式
1、 教学目标
知识目标：
1、利用单位圆推导出sin2α+cos2α=1和tanα=，并让学生在推导过程中体会数形结合的思想的应用21世纪教育网
2、能让学生学会利用同角三角函数关系式求值、化简、证明
能力目标：
培养学生用数学的思想方法分析和解决数学问题的能力并发展学生的推理能力和运算能力
3、情感目标：
通过关系式的推导和应用让学生自己发现：世界万物之间内在联系
2、 教学重点难点
重点：同角三角函数基本关系式的推导及其应用21世纪教育网
难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活性的培养
3、 教学方法
本节课采用启发探究教学的方法，通过设置问题引导学生导出公式，近而应用，在应用中注意学生的书写及选择公式是否恰当，通过例题和习题的解决和处理深化对公式的理解记忆及应用的灵活性
4、 教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1让学生自己画单位圆给出任意角画出正弦线余弦线2回顾三角函数的定义 师：哪两位同学主动到黑板上画出单位圆中的正余弦线和写出三角函数定义式生甲，生乙 温故知新，通过设疑引导学生思维，为下面公式的推导做好铺垫
21世纪教育网公式推导 引导学生自己导出今天的两个重要的三角函数关系式平方关系sin2α+cos2α=1 商数关系tanα= 师：首先观察单位圆正余弦线段和半径所处的三角形形状？生：直角三角形师：那么直角三角形中有什么重要的定理？生：勾股定理：导出平方关系sin2α+cos2α=121世纪教育网师：这个公式还有另外的推导方法吗？生：用定义也可以导出，有学生自己推导，并板书师：tanα和相等吗？生：相等，由定义直接可以得到 利用单位圆推导关系式让学生体会什么是数形结合的思想，该思想在高中课程中无处不在，也让学生体会积极的思维劳动给他们带来的快乐
公式深化理解 1注意是否同角2注意公式的限制条件3公式可以灵活变形 师：sin2α+cos2β =1成立吗？[来源:21世纪教育网]生：不一定成立，因为α和β可能相等也可能不等师：sin24α+cos24α=1成立吗？生：成立师：tanα=有限制条件吗？有：cosα≠0即α≠，K∈Z师：另外公式还可以做一些变形 1强调公式中的同角的重要性否则公式可能不成立，2注意同角不要拘泥与形式α，，6α等等都可以3注意商数关系在应用时的限制条件
公式的应用 例1、已知sinα=，且α是第二象限的角，求cosα,tanα的值例2、已知tanα=-，且α是第二象限的角，求sinα，cosα的值例3、化简例4、求证：练习：选择书上的A、B组题目 例1让学生板书，老师注意提醒学生书写规范特别是在特定象限内函数值的符号取舍例2稍难一些，老师板书并讲解如学生能力强可以把平方关系的另外两个公式给学生以节省时间例3让学生板书过程，教师讲解化简的原则，告诉学生何为最简。例4恒等式证明由教师板书 强调特定象限内函数值的符号取舍题目设置贯彻方程的思想强化学生的运算能力给出恒等式证明的方法让学生体会恰当选用，让学生了解何为分析法证明及证明步骤4、在应用中理解记忆公式
归纳小结 在知识和思想方法两方面进行总结（也可以让学生简单总结这两方面） 在课堂上师生在语言和形体语言上多交流，提问覆盖面要尽量做到少留死角，让你的关注和爱滋润你的每一个教育对象 1让学生清楚我们今天学习了什么2用到了什么数学的思想方法3学习过程中需要注意什么
课后作业 P25A组练习 1、3、4思考：1+tan2α、1+cot2α、sec2α、csc2α这四个式子是否存在相等关系？
课后反思 课后填写
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课题 向量数量积的坐标运算和度量公式
教学目标 1、知识与技能21世纪教育网21世纪教育网 掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，度量公式的推导应用（1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角．[来源:21世纪教育网]（2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直． 21世纪教育网（3）掌握平面内两点间的距离公式
2、过程与方法 通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识．
3、情感、态度、价值观 通过本节内容的启发探研式学习，培养学生的动手能力和探索精神．
教学重点 向量数量积的坐标运算和度量公式向量垂直的坐标表示的充要条件．
教学难点 平面向量数量积的两种形式的内在联系及灵活运用坐标运算与度量公式解决有关问题。
教学方法 设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究,使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习提问 提问1：如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？向量的运算律有哪些？ 由学生口答，教师板书向量数量积的定义及向量的运算律公式 为数量积的坐标运算及度量公式的推导证明打好理论基础
练习2：已知|a|=1，|b|=，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角.练习3：设i，j为正交单位向量，则 ①i·i=_______ ② j·j=________③ i·j=________ 学生板书，教师分析，引导学生复习前课重点……两个向量的数量积的运算性质
引入新课及公式推导 向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？问题1如果已知a=(x1, y1)，b=(x2, y2) ，怎样用a 、b 的坐标表示a·b 呢？ 推广1：设a=(x, y)，则|a|2=x2+y2或(长度公式)推广2：设A(x1, y1) 、B(x2, y2)，则(距离公式)推广3： cos =（）(夹角公式) 学生独立进行每个公式的证明，教师个别指导 教师小结：（1）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即(2) 向量的长度、距离和夹角公式 在充分复习的基础上，培养学生用旧知解决新问题的能力，独立思考探索的意识
问题2 内积为何值时说明两个向量是垂直的？ a⊥bx1x2+y1y2=0 教师小结：向量垂直的充要条件设，，则
应用举例 设a = (3, 1)，b = (1, 2)，求ab，|a|，|b|，和 教师演示第一问，强调先写公式，后计算，学生完成全题。 巩固向量数量积的坐标运算和度量公式的基本应用
已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形 （1）教师引导，师生共同完成。(2)教师提问：该题还有其他证明方法吗？（提示可计算 、 、 ，然后用勾股定理验证） 运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决问题；培养学生灵活运用所学公式解决问题的能力
已知A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的值。 教师引导，师生共同完成。 应用夹角的坐标公式，揭示向量与三角的联系,训练学生的运算能力
已知a=(4,2) ，求与a 垂直的单位向量 教师讲解，学生归纳方法
课堂练习 练习A 1（1），（2） 学生独立完成，教师指导 巩固新知
归纳小结 1、向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式（1）用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角. （2）两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如 与 总是垂直的。2、平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用。 师生共同完成 使学生养成归纳总结的习惯，主动独立思考问题的能力
布置作业 练习A 1（3）（4）,2,3练习B 1 学生独立完成 巩固新知
教学资源建议 教材、教参、多媒体、尺规
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1.3.3已知三角函数值求角
一、教学目标
1．知识目标：使学生理解符号，，的意义
2．能力目标：
（1）会用符号，，表示角；
（2）当为特殊的三角函数值时，会求符号，，的值；
（3）使学生更加深刻地认识函数与方程的关系；
（4）培养学生运用数学结合的思想直观地解决数学问题。
3．情感目标：
通过本节的学习，让学生认识到事物间是相互联系、相互依存的关系，抓住了事物间的内在联系，就能更加清楚地认识事物的有序结构。
二、教学重点、难点
本节的重点是已知三角函数的值求角，难点是符号，，所表示的意义及利用其意义求它们的特殊值。
三、教学方法：
利用数形结合思想，从特殊过渡到一般的方法，重点突破用如何来表示角的意义，再运用类比的思想，让学生自主探究符号，，所表示角的意义
四、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
直接引入 师：我们知道，任意给定一个角，可以唯一地确定其正弦值；反之，我知道角的正弦值，能否确定角？
概念的深化 利用所表示角的意义求值： 生：让学生练习课本P60练习A组第3题（1）、（2）。 巩固符号所表示角的意义
应用举例[来源:21世纪教育网] 例1、比较与的大小。解：，，又：内单调递增，。例2、谈论函数的性质解析： 1．由函数的定义域知，将看作一个整体；2．求函数的定义域；（P71练习3）3．值域如何？在回答此问题之前先思考函数与函数的图象之间的关系？（左右平移）——值域不变：R；21世纪教育网4．周期呢？不变：π；5．单调性如何？（整体来看：化复杂（）为简单（））6．奇偶性如何？由定义判断它是非奇非偶函数；进一步：函数与函数有何关系？（倒数） 1、引导学生实践，简单利用函数的性质解决问题；21世纪教育网2、通过一个简单的问题，探索整个函数的各种性质，让学生自主的解决、评价等，复习巩固刚学的新知识。 21世纪教育网学生通过自己的实践，真确地体会函数的性质，强化对新建构的知识的理解与掌握。
概念的深化 利用所表示角的意义求值： 生：让学生练习课本P60练习A组第3题（1）、（2）。 巩固符号所表示角的意义
概念的形成概念的形成 1．教师给出例1：已知，1），求；2），求；3），求；2．引导学生运用已学过的三角函数线和三角函数图像求解，让学生讨论解决。3．对于上例的3）问，教师利用几何画板制作的课件演示函数与图像交点，分析交点的结构，并求出所有角。4．教师给出例2：引出用反正弦符号表示角。已知，，求；5．更一般地性况：的解决，给出反正弦符号：及所表示角的意义：在范围内，正弦值为的角。 生：教师给出实例，让学生讨论解决。 引导学生运用已学过的三角函数线和三角函数图像求解。师：我们可以用正弦函数图像来求角，也就是在函数图像上找出正弦值为的点所对应的角，即求函数与图像交点横坐标。教师利用几何画板制作的课件演示函数与图像交点。分析交点的结构：一个角在增区间上，另一个角在减区间上；而恰好为正弦函数的一个周期长度，利用三角函数的周期性，只要表示出两个角，再在这两个角的基础上加周期的整数倍，从而就能表示出所有的角。而关于对称，所以，因此只要表示出在增区间上的，就能表示出，所以只要求出了增区间上的，就能求出，从而能求出所有的角。此时为特殊角的正弦值，所以满足的所有角可表示为或师：教师利用几何画板制作的课件，移动直线，演示函数与图像交点。学：让学生观察满足条件的角的个数以及所有角的相互关系，引导学生得出以下结论：表示出了增区间上的角，利用对称性就能表示出减区间上的，再在这两个角的基础上加周期的整数倍，从而就能表示出所有的角。师：此时为非特殊值，因此所求角不为特殊角，那么此时增区间上的角该如何表示呢？我们用表示在增区间上的角，那么满足的角怎样用符号表示呢？学：让学生用符号表示所有角。 师：一般性况下，该如何表示满足的角？ 教师利用几何画板制作的课件，移动直线，演示函数与图像交点。师：设问：1）满足条件的角有多少个？2）这些角之间有什么关系？3）这些角中我们可以把哪个角作为关健的角？ 4）你该如何表示这个关健的角？生：学生回答以上问题，并表述符号的意义，并求的范围。 复习三角函数线及函数与方程的关系；[来源:21世纪教育网]培养学生运用数形结合的思想方法解决数学问题；由特殊到一般的过渡，让学生更容易理解
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1.2.2 单位圆与三角函数线
一、学习目标
(一)知识目标?
1.单位圆的概念.?
2.有向线段的概念.?
3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.?
(二)能力目标?
1.理解并掌握单位圆、有向线段的概念.?
2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、21世纪教育网值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.?
(三)德育目标?
通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.
二、教学重点、难点
重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值
难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值
三、教学方法
（一）讲授法?
讲清楚单位圆的概念，有向线段的概念，本节内容中的有向线段与坐标轴是平行的，使学生弄清楚线段的正负与坐标轴正反方向之间的对应，以及线段的数量与三角函数值之间的对应.对于理解正弦线、余弦线、正切线是突破难点的关键所在.?
（二）教具准备?
幻灯片1张：?
多媒体课件：课本P19?图1—13，在平面直角坐标系中，作出单位圆，角α的终边，标出单位圆与角α的终边的交点P(x，ｙ），过P向x轴作垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线与角α的终边或终边的反向延长线交于点T(利用现代教育技术手段的优势，边讲述边作图，使学生看得清楚，听得明白).?
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
课题导入 前面我们研究了三角函数在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0°到360°角的三角函数的一组公式，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、21世纪教育网的另一种表示方法——几何表示法? 可以通过提问与学生自查相结合的形式，对所学知识加以回顾，进而加深对已有知识的巩固和提高，为下一步的学习做好知识储备。 三角函数线的位置与角所在的象限有很大关系，因此在讲解新课之前做好知识的准备是十分必要的。
新概念教学 我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。设P 点为转轮边缘上的一点，它表示座椅的位置，记，则由正弦函数的定义可知，为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位长——如1 cm、1 dm、1 m、1 km等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长).?（使用多媒体课件，教师边叙述边作图).?在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，ｙ），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于ｙ轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.?显然，线段OM的长度为｜x｜，线段MP的长度为｜ｙ｜，它们都只能取非负值.?当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：?如果x＞0，OM与x轴同向(利用多媒体课件的优势，将①图、④图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴同向)，规定此时OM具有正值x；如果x＜0，OM与x轴正向相反(即反向)，(将课件上②图、③图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.?如果ｙ＞0，把MP看作与ｙ轴同向，规定此时MP具有正值ｙ；如果ｙ＜0，把MP看作与ｙ轴反向，规定此时MP具有负值ｙ，所以不论哪一种情况，都有MP＝ｙ(与前面所述相同，谈到MP与ｙ轴同向或反向时，仍作从M到P的演示，让学生观察)，由上面所述，OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段?于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有?这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.?类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据21世纪教育网的定义和相似三角形的知识，就有这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角α的正切线.?注意：(1)当角α的终边在ｙ轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.?(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.?(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.?(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点.21世纪教育网(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.? 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.? 充分发挥多媒体教学的优势，既有教师的动画演示，又有教师与学生之间的互动，尽可能多的调动学生的积极性，多动手，多思考，多探索，多尝试。 1、用现实中的例子引入本节内容，学生不仅可以看到三角函数还可以用一条（有向）线段表示，而且可以感受到数学知识在现实生活中的巨大作用，从而激发他们学习数学的浓厚兴趣。21世纪教育网21世纪教育网2、单位圆是三角函数线建立的基石，离开单位圆就谈不上三角函数线，因此单位圆概念的建立是前提。单位圆的概念要着重理解“一个单位”的含义。3、单位圆中的三角函数线是用轴上的向量表示的，要明确轴上向量是既有大小又有方向的线段，用轴上向量的数量表示三角函数值，其长度表示三角函数的绝对值，其方向表示三角函数的正负号。4、结合图形，引导学生弄清以下几点：（1）三角函数线的位置；（2）三角函数线的方向；（3）三角函数线的正负；
例题讲解 例题：分别作出和的正弦线、余弦线和正切线。 因此在教学时仍以教师画图演示、讲解为主，同时更多的请学生参与作图，加深印象。 此例题主要目的还是进一步巩固学生对于三角函数线的理解，21世纪教育网
课堂练习 分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线：（1）（2）（3）（4） 在前面详细讲解的基础上，此题主要是学生完成，鼓励学生独立完成，对于个别有困难的学生，可以小组为单位共同完成。 加深理解三角函数线的有关知识。
课时小结 ?本节课我们学习了单位圆的概念，有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示. 以提纲形式对本节重点内容再总结。 学习单位圆的目的在于利用它解决问题，在教学中，应尽量引导学生借助单位圆的直观，探索三角函数的有关性质，这样，不仅有助于加深对于三角函数线的理解，对后续内容的学习也有很大的促进作用。
课后作业 课本第21页A组练习2 本次作业只针对三角函数线知识进行巩固，因此，要求学生保质保量认真完成。 落实本课时的重点，突破难点，抓落实。
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1.3.1正弦函数的图象与性质(2)
教学目标：
1．知识与技能
（1）理解正弦函数的性质
（2）理解周期函数与最小正周期的意义
2．过程与方法
通过正弦函数的图像，进一步体会数形结合的思想方法。
3．情感、态度与价值观
通过正弦函数性质的学习，培养学生“看图说话”的能力，即图形语言、文字语言与符号语言的转换，从而达到从直观到抽象的飞跃。
教学重点：正弦函数的性质
教学难点：正弦函数的周期性
教学方法：引导学生正弦函数的图像，观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。首先由形及数，数形结合，通过设置问题引导学生观察、分析、归纳正弦函数的性质，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数的性质的全面的理解与认识。
教学过程：
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复习引入 复习的图像函数的性质有哪些？ 教师提出问题，学生回答。 为学生认识函数的性质作好准备。
性质教学 正弦函数的值域与最值正弦函数的图像 值域：观察正弦曲线分布在两条平行直线和之间，这表明最值：当且仅当时，正弦函数取得最大值；
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性质教学 动态演示正弦线的运动：21世纪教育网 当且仅当时，正弦函数取得最大值；观察正弦线的变化得：值域：正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度，这表明最值：当角的终边与轴的正半轴重合时，正弦函数取得最大值，即当且仅当时，正弦函数取得最大值；当角的终边与轴的负半轴重合时，正弦函数取得最小值，即当且仅当时，正弦函数取得最小值； 从正弦曲线与正弦线两种途径探索正弦函数的性质，加深对二者的巩固与复习，体会数形结合思想在函数中的作用
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
性质教学 正弦函数的周期性正弦曲线连续不断无限延伸的形状图（1）图（2）图（3） 演示前一节所做图象并提出问题(1)：上节课我们研究的正弦曲线和以往的函数图象有什么不同？正弦图象和图（2）、（3）有什么相同点和不同点？如何描述图(1)、图（3）的图象特征教师结合课件提问，从具体到抽象从特殊到一般。观察图（1）可知：观察图（3）可知： （1）引导学生进入探究的思维场（2）对比思维
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
性质教学 定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.说明：正弦函数是一个周期函数，都是它的周期，是其最小正周期 由图（2）的分析可知：当自变量的值每增加或减少的整数倍时，正弦函数的值重复出现.在单位圆中,当角的终边绕原点转动回到原处时,正弦线的数量(长度和符号)不发生变化。师生共同总结函数周期性的定义。 从感性认识向理性认识从过渡最后抽象概括并渗透三种语言的转化
性质教学 正弦函数的奇偶性 教师提出问题：1．如何判断函数的奇偶性？[来源:21世纪教育网]2．正弦函数具有奇偶性吗？21世纪教育网3．如何判断它的奇偶性？学生回答：1．偶函数图像关于轴对称；奇函数图像关于成中心对称。 21世纪教育网
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性质教学 正弦函数的图像 正弦函数的单调性正弦函数的一个周期内的图像中，如图： 正弦函数具有奇偶性。方法一：由诱导公式可知，正弦函数是奇函数。方法二：正弦函数的图像关于原点成中心对称可知，正弦函数是奇函数。方法三：由正弦线知，角的正弦线知，，故正弦函数是奇函数。教师引导学生观察正弦曲线在一个周期的图像，可以看出：当由增加到时，由增加到；当由增加到时，由减小到。教师根据学生的回答，得出左边的表格，直观体现变化趋势。 教师引导学生从诱导公式、正弦曲线、正弦线三种角度探究正弦函数的奇偶性，温故知新。从正弦曲线及正弦线双重角度体会正弦函数的单调性，进一步体会三角函数线及正弦曲线的工具性。
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性质教学 动态演示正弦线的运动： 随着正弦线的变化，体会正弦函数的单调性。学生总结正弦函数的单调性：单调递增区间：单调递减区间：
应用举例 例1．设，求的取值范围。例2．求使下列函数取得最大值和最小值的的取值范围，并说出最大值和最小值是什么：（1）（2）（3）例3．求下列函数的周期（1）（2）例4．不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零：（1）；（2） 师：例1中体现出什么基础知识？例2（1）中体现什么基本方法？例2（2）中为什么与同时取得最大值？例2（3）通过观察题目结构可以利用什么方法转化成什么问题？例3 基本三角函数的最小正周期是什么？怎样利用换元法解决（1）（2）的周期？对一般的函数如何求出周期？ 使学生巩固掌握正弦函数的性质。从特殊到一般，类比思维
归纳小结 1．知识：正弦函数的性质。2．思想方法：数形结合思想、换元法、类比法。 学生反思本节内容，对知识进行总结，教师对思想方法进行提炼。 让学生学会学习，学会总结。
布置作业 层次1：43页A中3、5；B中3。层次2：43页A中4。 层次1要求所有学生完成；层次2要求中等以上水平完成。 使学生进一步巩固和应用所学知识。
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图（2）
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1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标：
1．知识目标：
（1）1弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。
2．能力目标：
（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。
3．情感目标：
（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点：
重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；
难点：理解弧度制与角度制的区别。
三、教学方法：
通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。
四、教学过程：
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复学引入 复习上节课所学角的概念。初中所学的角度制。 师：上节课我们把角的概念进行了扩充，角分为几类？（正角、负角、零角） 师：在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？ 答：周角的1/360为1度的角。师：这种用角作单位来度量角的制度叫做角度制，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。（板书课题） 共同回顾角度制，从而为下面角度制与弧度制的比较埋下伏笔。
概念形成概念形成 圆心角、弧长和半径之间的关系：在同心圆中，同一圆心角所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个常数，即定值.定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。与角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；（2）1弧度是弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小；（3）弧度制是十进制，而角度制是六十进制；（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。公式：，表示的是在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是 rad。 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，如图所示，但都对应同一个圆心角。教师用多媒体演示，引导学生思考=定值，并与学生一起探究相等的原因：设，弧长为，半径为，则，可以看出，等式右端不含半径，表示弧长与半径的比值跟半径无关，只与的大小有关。结论：可以用圆的半径作单位去度量角。在给出弧度的定义之后，请同学们讨论弧度制与角度制的区别和联系，教师加以概括总结。用公式求圆心角时，应强调其结果是圆心角的弧度数，并要求学生掌握此公式的变形形式：和。 1．边演示边说明，使学生通过图像来获取对新概念的直观印象。[21世纪教育网]2．通过和学生一起探究，使学生明白新概念的由来，从而加深理解。3．通过对比，让学生对知识进行类比、迁移和联想，加深对概念的理解；通过分组讨论，加强学生间的交流和合作，发挥他们学习的主动性。4．由于在物理上计算角速度时要经常用到此公式，因此要求学生掌握它及其两个变形。
弧度制与角度制的换算弧度制与角度制的换算 用角度制和弧度制度量角，零角既是角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的。周角的弧度数：21世纪教育网 rad换算公式： rad=, rad.4．特殊角的角度数与弧度数的对应表5．角的集合与实数集R之间建立起一种一一对应关系。21世纪教育网6．把角度值换算为弧度值的一个“算法”：（1）给变量和圆周率的近似值赋值；（2）如果角度值是以“度、分、秒”形式给出，先把化为以“度”为单位的10进制表示；（3）计算，得出的结果赋给变量；（4）计算，赋值给变量。 由上面的公式可以计算给定弧长和半径的圆心角的弧度，请同学们考虑一下，人给一个角度时怎么换算成弧度呢？反过来又该怎么做呢？先引导学生计算周角的弧度数，在此基础上再来考虑换算问题，并和学生一起推导出两个换算公式。补充负角所对应的弧度数。通过学生的实际计算和运用，让学生熟练掌握特殊角的角度和弧度的对应表。21世纪教育网同学分组讨论一下角的集合与实数集的对应关系。答：一一对应。问：在这两种单位制下都是一一对应吗？由于每一个角都有唯一的一个实数（角度数或弧度数）与它对应，反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应，因此，无论用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立起一种一一对应关系。5．根据上面的公式，带领学生写出由角度换算为弧度的算法，让学生自己写出由弧度换算角度的算法。 1．让学生意识到相互转换得必要性和重要性，激发学生积极思考问题。2．从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展。3．观察分析和小组讨论相结合，进一步加深学生对新知识的理解和掌握。4．写算法一方面训练学生的逻辑思维能力，另一方面也为后面学习算法打下基础。
典型例题 （1）把化成弧 度（精确到0.001）； （2）把化成弧度（精确到）。把化成度。扇形AOB中，所对的圆心角是，半径是50米，求的长（精确到0.1米）。利用弧度制推导扇形面积公式其中是扇形的弧长，是扇形的半径。 例1、例2学生板书，教师指导。例3、例4教师讲解并板书，在解题步骤的规范性上为学生做好榜样。关于例4，请学生思考：把扇形面积公式和三角形面积公式进行类比，你会产生什么联想？ 通过例1和例2 让学生掌握弧度和角度换算的方法，例3 是弧长公式的应用，例4是推导扇形面积公式，从而对相关问题的解决提供工具。
归纳小结 1．1弧度的角和弧度制的定义；2．弧度与角度的换算；3．弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。 让学生谈谈本节课的收获，教师归纳。 注重学生学习的自主性，发表本节课的体验和收获。
布置作业 层次一：教材练习A，2，4，5。层次二：教材练习B，4；习题1-1A，2。 层次一的题目要求所有学生完成，层次二的题目要求中等以上水平的学生完成。 通过分层作业，使不同层次的学生进一步巩固本节课所学知识。
附录（表格和图）：
度
弧度
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2.1.1 向量的概念
1. 学习目标
1.关于向量的概念
(1)了解向量产生的物理背景,理解共线向量,相等向量等概念,理解向量的几何
表示;
(2)经历向量概念的形成过程,体会由实例引入概念的方法,并通过实例,体验用
向量表示点的位置的方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
(3)通过学习,使学生认识到向量在刻画现实问题,物理问题和数学问题中的作
用,培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,激发学生的学习兴趣和
钻研精神.
2.关于向量的线性运算
(1) 通过实例,掌握向量加法,减法,向量数乘的运算,并理解其几何意义;
(2) 让学生能由数的运算律类比向量的运算律,并结合图形验证相关的运算律,强化对知识的形成过程的认识,并正确表述探究的结果.
(3) 通过学习向量的线性运算,初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题.
2. 重点难点
1.关于向量的概念
(1)重点是向量的概念,相等向量的概念和向量的几何表示;
(2)难点是对向量概念的理解;
2.关于向量的线性运算
(1)重点是向量的加法运算,向量的减法运算,向量的数乘运算,法则的理解
及其几何意义;
(2)难点是对减法定义的理解及正确运用法则,运算律进行向量的线性运算,
并利用向量方法解决几何问题.
3. 教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入新课 对向量全章的的介绍:通过对书上章前话的解读,让学生体会向量的丰富实际背景,了解向量的研究对象和研究方法,初步了解向量与几何代数之间的关系.(2)概念引入与形成 概念应用（1）通过具体的例题1体会向量的概念和几何表示;通过例题2和例题3巩固向量的几何表示,相等,共线向量等概念 让学生了解大致内容和小学习本章的重要性
概念形成 1从常见的物理量力,位移等了解它们的特征是既有大小又有方向的量,建立向量的认知基础,自然引出向量概念;2类比学生熟悉的数量如温度,身高,体积,风速,时间,通过比较,使学生在比较中加深对概念的认识. 3让再举出几个既有大小又有方向的量,以准确抓住向量的特点.(3)表示方法再次类比数的表示方法,引出用有向线段表示向量;(几何表示)用有向线段的方向和长度分别表示向量的方向和大小,赋予向量的几何意义;提出字母表示方法,明确书写上的要求,为向量的运算做好准备.21世纪教育网 (4)相关概念辨析从向量的模引出零向量和单位向量的概念;让学生了解相等向量规定的合理性,可利用计算机演示向量的平行移动,体会向量的相等,体会向量与有向线段之间的关系;由向量的平行移动体会平行向量和共线向量的等价性;[来源:21世纪教育网] 例1船向南航行100海里和向西航行100海里的位移相等吗 选择适当的比例尺,用有向[来源:21世纪教育网]线段表示这两次航行.例2某人从点出发向西走200到达点,然后朝西偏北45方向走300 到达点,最后又向东走200到达点. (1)按1:10000的比例作出向量和;（2）求和的值.(精确到1)例3在图中的4的方格纸中有一个向量,分别以图中的格点为向量的起点和终点作向量.[来源:21世纪教育网](1)其中与相等的向量有几个 （2）与长度相等的共线向量有多少个
归纳小结：向量的简单应用，找相等向量和用向量表示点的位置
作业：P79练习A,B
2.1.2向量的线性运算
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入新课 1)引入 数因为有了运算而使数的威力无穷,与数的运算类比,向量是否也能进行运算呢 从向量的物理背景和数的运算中应该可以得到一些启发[21世纪教育网]探究向量加法的定义法则 ①教师提出问题:怎么定义任意二个向量的和？（教师在黑板上画出二个自由向量），让学生小组讨论以后,出现两种不同定义方式三角形法则和平行四边形法则. ②针对两种方式,教师引导学生理解它们的本质的一致性;③同时提出思考问题那种定义更加严密？根据学生的回答，启发学生注意到平行四边形法则对于二个向量不能构成平行四边形时要增加补充说明，即二向量共线时的向量和如何？④最后看书上相关内容,补充对零向量的运算规定.(5) 向量加法定义的运算律请学生类比实数加法运算律，猜测一下运算律是什么？由学生提出探究的途径,并分组验证,交流作图思路教师投影学生设计，并根据情况进行归纳点评,总结探究过程和探究结论,让学生有一个完整的认识. (6)应用举例通过例5体会向量加法的实际应用;通过例6体会向量加法在几何中的应用.例5一架飞机向南飞行400,然后改变方向向东飞行300,试求飞机飞行的路程和位移.例6在平面内能否构造三个非零向量 使.根据构造结果还可以继续提出若,则三点共线是否正确 3.关于向量的减法运算部分教学内容(1)类比数的减法运算,提出相反向量的概念,定义减法运算;(2)根据减法的定义,探索做出两个向量的差的方法,总结出向量减法的三角形法则;(3)比较加法和减法的三角形法则的区别(4)应用举例通过例7体会向量的加法和减法的三角形法则的混合应用;通过例8体会向量减法的实际应用.例7在五边形中, 若,,求作向量例8已知一艘船从点出发,以的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度为4,求河水的流速的大小. 实验准备 情景1:让两个学生中的甲从教室的某地位移到地,再从地位移到地,乙从直接到达地,观察比较.结论:前者是位移的合成, 两次位移的结果为,而与后者从点直接到点的位移相同;情景2:观看事前由学生做的力的合成的实验经过要求①用二个互相垂直的力把橡皮条拉长一定的距离，再撤去，用一个力作用在橡皮条上，使橡皮沿着相同的方向伸长相同的长度，记录的大小和方向;②改变的大小和方向，重复以上实验，探究与的关系.③得出结论：排除误差，合力的方向在以为邻边的平行四边形的对角线上，且大小等于平行四边形该对角线的长.例4如图，已知向量，，用三角形法则和平行四边形法则求作向量 通过实际例子，使学生学会用向量解决实际问题的方法
归纳小结：使学生理解并掌握向量加法的几何意义。
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2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐运算
（1） 教学目标
1． 知识与技能：
(1)掌握平面向量的坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算;
( 2 )会用坐标表示平面向量共线条件.
2.过程与方法：(1)通过在直角坐标系中求向量的坐标,让学生体会向量正交分解的几何意义;
(2)通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用;
3.情感、态度与价值观：通过本节学习,培养学生的理性与探索精神.
（2） 教学重点、难点
教学重点是向量的直角坐标运算与用平面向量坐标表示向量共线条件;
教学难点是应用向量直角坐标运算的法则解决具体问题
（3） 教学方法
本节内容是在学面向量的基本定理和向量的正交分解的基础上,进一步学习向量的直角坐标运算,以及用平面向量坐标表示向量共线条件,教学中引导学生联系已有知识，类比平面直角坐标系，通过探究平面向量的坐标表示，体现数形结合思想。
（4） 教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习提问 平面向量基本定理向量的正交分解 学生回答 复习旧知识,引出新知识
定理形成 设a=(a1,a2),b=(b1,b2), 求a+b的值。a+b=( a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=( a1+ b1) e1+( a2+ b2) e2即 a+b=( a1+ b1，a2+ b2)用同样的方法可以证明a－b=( a1－b1，a2－b2),λa=λ(a1, a2)=(λa1, λa2)说明：两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。 教师提出问题，学生动手解题。教师完善。 通过学生动手实践、观察、比较得出向量的线性运算法则，发展学生的理性思维能力。
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应用举例 例2已知A（x1,y1）,B( x2,y2),求向量 的坐标解： =－=( x2,y2) －（x1,y1）=（x2 －x1，y2 －y1）。说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。例3在直角坐标系xOy中，已知点A（x1,y1）B( x2,y2),求线段AB中点的坐标。说明：设M(x,y)是线段AB的中点，则=1/2（+） = 1/2[（x1,y1）+( x2,y2)]即 x=y=小结：例3得到的公式，叫做线中点的坐标公式，简称中点公式。 教师提问：如果要求向量BA的坐标， 学生：BA=（x1 － x2， y1 － y2） 体会数形结合思想
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应用举例 例6已知A(－2，1)，B（1，3）求线段AB中点M和三等分点坐标P，Q的坐标（教材P102图2－44）。[来源:21世纪教育网]说明：(1) 求中点M的坐标，利用例3得到的公式可知M(－1/2，2) (2) 因为 =－ =（1，3）－(－2，1) =（3，2）=+1/3 = (－2，1)+1/3（3，2） =（－1，5/3）=+2/3 = (－2，1)+ 2/3（3，2） = (0，7/3)所以P（－1，5/3），Q(0，7/3) 教师做出图象，指导学生学生找出解题思路，师生共同完成例3，例6， 应用向量直角坐标运算的法则解决具体问题，进一步渗透数形结合思想的应用。
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课堂练习 P101 例4在直角坐标系xOy中，已知点A(3,2), B（－2，4）求向量 +的方向和长度（教材P101图2－42）。说明：设=+= (3,2)+（－2，4）= (1,6) 所以「」=√12+62 =√37 设的相对x轴正向的转角为 a，则tan a=6，得a=arctan 6.P101例5 已知 ABCD的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3,4)，求顶点D的坐标（图2－43）。21世纪教育网说明：解题的关键是找到向量OD与向量OA、OB、OC的等量关系，然后用向量的线性运算求出来。 让学生做草图，通过图象来独立完成。学生动手解题。 让学生及时巩固所学方法。培养学生独立分析问题、解决问题的能力
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应用举例 回忆两个向量平行的条件：a=λb，b≠0.那么当向量a的坐标为a（a1,a2）,b的坐标为（b1,b2）时，代入上式，得 （a1,a2）=λ（b1,b2），（a1,a2）=（λb1, λb2）即 a1=λb1 ， a2=λb2a1b2－ a2b1=0 ⑴⑴式就是两个向量平行的条件，那么当向量b不平行于坐标轴时，即b1≠0，b2≠0时，⑴式可化为：a1/b1= a2/b2 ⑵⑵式用语言可表示为，两个向量平行的条件是，相应坐标成比例。 教师提问：两个向量平行的条件：a=λb 如果a（a1,a2）,b（b1,b2），那么如何用坐标来表示两个向量平行。学生完成，教师指导，指出要注意零向量可与任一向量平行。 体会几何问题代数化，如何用数量来判断平面内的几何关系
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课堂练习 P104 例1 已知向量 =（2，5）和向量a(1,y),并且向量 ∥a，求a的纵坐标y。解：利用⑴式可求出y的值，21世纪教育网1×5－2×y=0 所以y=5/2。 在直角坐标系xOy内，已知A(－2,－3)、B(0,1)、C(2,5)，求证：A、B、C三点共线。 说明：利用向量的线性运算求出向量AB、AC的坐标，再利用⑴式 ，就可知A、B、C三点共线。 例1 学生独立完成，例2教师通过做图讲解利用共线条件证明三点共线。 巩固所学知识方法
归纳小结 ⑴学习了向量的坐标运算，可使平面内的几何问题代数化、数量化，将数与形紧密的联系起来；⑵学习了运用平面向量坐标表示向量共线的条件，能判定给定向量平行，还可利用共线条件证明三点共线。 师生共同完成 使学生养成归纳总结的习惯，不断提高自己的反思、构件能力
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布置作业 P103教材练习B，2，4P105教材练习B，1，2 学生独立完成 巩固所学知识方法
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2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算
(1) 教学目标
1.知识与技能:
(1)理解掌握向量共线的条件(平行向量基本定理)及其应用;
(2)了解单位向量、轴上向量、基向量、轴上向量的坐标等概念;
(3)理解掌握轴上向量的坐标公式、数轴上两点间距离公式及公式的应用.
2.过程与方法:
(1) 借助几何直观引导学生理解平行向量基本定理和轴上向量的坐标运算;
(2) 通过平行向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法;
(3) 通过解题实践,体会平行向量基本定理的应用.
3.情感、态度与价值观:
通过本节课的学习,使学生体会到向量的深刻的几何背景,它是解决几何问题的有力工具,从而激发学生的学习兴趣.
(2) 教学重点、难点
教学重点是平行向量基本定理.
教学难点是平行向量基本定理的应用.
(3) 教学方法
在平行向量基本定理的教学中,利用几何直观让学生观察、抽象、概括的方式,得出定理;
在定理的运用中,引导学生分析思路,体验解题方法.
(4) 教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习提问 1 共线向量、零向量2 两个向量平行与几何中两直线平行有何区别 3 数乘向量的定义4 零向量与任何向量平行吗 学生回答 复习旧知识,引出新知识
定理形成 引例:几何直观,教材中图2－25,2－26平行向量基本定理:如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b,且b≠0,则一定存在唯一一个实数λ,使a=λb 教师提问:通过几何直观;再由向量平行和数乘向量的定义可得出什么呢 学生思考,回答.教师完善 通过学生观察,比较,抽象,概括得出定理,让学生体会由特殊到一般的思维方法.
应用举例 例1 如图2－28,M,N是△ABC的中位线,求证:MN=BC且MN∥BC 教师提问:此题是一道几何题,同学们考虑可否用今天学的有关向量知识解决呢 学生思考,回答,师生共同完成,并归纳解题方法 通过分步设问,引导学生体会解题思路的形成过程,体会平行向量基本定理在解几何题中的应用.
课堂练习 练习A 2 学生独立完成 及时巩固所学知识
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应用举例 例2 已知:a=3e,b=－2e,试问向量a与b是平行 并求∣a∣∶∣b∣ 教师提问:根据刚学的定理,如何判断两个向量平行呢 引导学生做出此题. 巩固平行向量基本定理的应用
课堂练习 练习A 1 学生独立完成 及时巩固所学知识
概念介绍 1单位向量:给定一个非零向量a,与a同方向且长度等于1的向量,叫作向量a的单位向量.2 轴:规定了方向和长度单位的直线叫做轴(图2－29)3 基向量.轴上向量的坐标在轴l上取单位向量e,使e的方向与l同方向,对轴上任意向量a,一定存在唯一实数x, 使a=xe,x叫做a在l上的坐标.当a与e同方向时,x是正数, 当a与e反方向时, x是负数;e叫做轴l的基向量.a叫轴l的轴上向量.小结:实数与轴上的向量建立起一一对应关系.于是可用数值表示向量.4 轴上两个向量相等的条件轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和. 教师用几何直观讲解这些概念提问轴与数轴的区别21世纪教育网教师提问:实数与数轴上的向量建立了什么关系 学生回答.向量可用什么表示 学生回答.教师板书推理过程:设a=x1e,b=x2e;如果a=b,则x1=x2反之, 如果x1=x2, 则a=b另外;a+b=x1e+x2e=(x1+x2)e 几何直观讲解便于理解.这些概念为学习后面的三个公式做准备.21世纪教育网21世纪教育网搞清实数与轴上向量的关系.21世纪教育网利用前面学过的概念定理推出新的结论,说明向量是可以进行推理运算的.
轴上向量坐标公式.数轴上两点间距离公式 公式(1) AB+BC=AC公式(2) AB=x2－x1(轴上向量坐标公式)即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标公式(3) |AB|=|x2－x1| 教师采用几何直观按照教材的方法推导出公式(1)注意:的坐标又常用AB表示教师采用几何直观讲解并板书公式(2)的推导:设e是轴x的基向量, 向量a平行于x轴,以原点O为始点作=a,则点P的位置被向量a所唯一确定则=xe(平行向量基本定理)x是点P的位置向量在x轴上的坐标;反之亦然.在数轴x上,已知点A的坐标为x1,点B的坐标为x2(如图2－32)由公式(1)得AB=AO+OB=－OA+OB=x2－x1 为公式(2)的推导做准备体现本节课的重点难点内容, 平行向量基本定理的应用;还有公式(1) 的应用.
公式应用 例3 已知数轴上三点A,B,C的坐标分别是4,－2,－6,求,,的坐标和长度(图2－33) 教师提问:这个题目是不是符合我们刚学过的公式.学生完成题目.教师小结:在用公式时,要特别注意终点坐标减去始点坐标 轴上向量坐标公式, 数轴上两点间距离公式即公式(2), 公式(3)的应用.
课堂练习 练习A 4 学生独立完成 及时巩固所学知识
归纳小结 本节课主要的内容1平行向量基本定理及应用2轴上向量坐标公式, 数轴上两点间距离公式即公式(2), 公式(3)的应用. 师生共同总结 引导学生养成归纳总结的习惯,体会知识的形成,发展,应用的过程.
布置作业 习题2－1A 7, 8 学生独立完成 巩固所学知识,养成及时复习的好习惯
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§3.2.1倍角公式
(一)教学目标：
1.知识目标：
(1)掌握公式的推导，明确的取值范围；
(2) 能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。
2.能力目标：
(1)通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理内容能力；
(2)通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
3.情感目标：
引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.
(二)教学重点、难点
重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用。
难点：理解二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用。
(三)教学方法
本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，进行教学活动。通过设置问题让学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的。对于二倍角公式的灵活运用，采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解,从而能灵活地运用二倍角公式解题。
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习两角和与差的三角函数公式。 师：我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，请同学们回答这组公式。生：[来源:21世纪教育网]师：今天，我们继续学习二倍角的正弦、余弦、正切公式。 以旧引新，让学生明确学习的内容
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
公式的推导21世纪教育网 探索，，的表达式21世纪教育网 师：在公式 中对如何合理赋值，才能出现的表达式，并请同学们把对应的等式写在黑板上。生 ：在中，令，就可以求出的表达式，对应的表达式为：sin2=sin（+）= sincos+cossin = 2sincos；cos2=cos（+）= coscos+sinsin = cos2－sin2； .即：sin2=2sincoscos2= cos2-sin2。教师提出问题：若利用，如何用表示？学生回答，得出二倍角的正切公式。 1.引导学生运用已学过的两角和的三角函数公式推导得二倍角公式，使学生理解二倍角公式就是两角和的三角函数公式的特例，这样有助于公式的记忆。2.问题的提出可以让学生了解公式的不同推导方法，有助于学生发散思维的培养。
公式的深化理解教学环节 1.二倍角的公式的适用范围教学内容 师：请同学们思考二倍角公式中的有限制条件吗？生：公式中，角可以是任意角，但公式只有当和有意义，即，和有意义的时候才成立。师生互动 掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的适用范围，加深对公式的认识和理解。设计意图
2.二倍角余弦公式的不同表达形式。 即即时才成立，否则不成立.师：注意公式中的 与2 是单角与二倍角关系. 例如2 与4 ，，等都满足这种关系. 例如: .师：对于cos2= cos2-sin2，还有没有其他的形式？生：有利用公式sin2 + cos2=1变形可得： sin2= 1－cos2 ， cos2= 1－sin2这样，cos2 = cos2－sin2=cos2－（1－cos2）=2cos2－1cos2 = cos2－sin2=（1－sin2 ）－sin2 =1－2sin2因此，cos2还可以变形为下述表达形式： 正确的理解单角与二倍角的关系，从而能灵活的运用二倍角公式解题。
公式的应用教学环节 例1．教学内容 例1.已知，求sin2，cos2，tan2的值教师分析题意，学生思考并解答。解：∵ ∴∴sin2 = 2sincos = 21世纪教育网 师生互动 例1是二倍角公式的应用求值问题，同时复习了同角三角函数的基本关系式及三角函数在各个象限的符号问题。21世纪教育网设计意图
巩固练习一：练习A 2，3。例2巩固练习二：练习A 1例3巩固练习三：练习A 4；习题3-2 A3(1),(2),(3). cos2 = tan2 = 例2.不查表．求下列各式的值(1)； (2)；(3)； (4)．教师分析题意，学生学会公式的逆用解决有关问题.解: (1)=； (2)＝； (3)＝； (4)＝．例3.证明恒等式师：证明恒等式有哪些途径？生：一是由左边证到右边或者从右边证到左边；二是从繁到简；三是左右归一。证明：左边= = =右边。 例2让学生学会利用二倍角公式的逆用解决有关问题.例3是一个三角恒等式的证明问题，让学生学会用二倍角公式的各种形式进行证明。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
归纳小结 从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结。 引导学生总结回顾，采用提问的方式进行。二倍角公式及其推导；二倍角公式的适用范围；二倍角公式的变形形式；二倍角公式的应用。 让学生系统地总结回顾本节课所学的内容，有助于学生形成清晰的知识网络。
布置作业 层次一：练习B 1,2 习题3-2 B 1.层次二：练习B 1,2,3 习题3-2 B 1,3(1)(2)(3). 作业分两个层次，第一个层次要求所有学生都要完成，第二层次要求学有余力的同学完成。 通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容，并为有余力的同学的发展提供更加广阔的空间。
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cos2 = 2cos2-1
cos2 =1-2sin2
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3.1.2 两角和与差的正弦
一、教学目标 ⒈知识目标：掌握两角和与差公式的推导过程；⒉能力目标：培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；⒊情感目标：发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。
二、教学重点、难点 重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina＋bCosa为一个角的三角函数的形式。
三、教学方法 温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习：⑴Cos(αβ)=？⑵Sin(π/2－α)= ⑶任意角三角函数的定义：若p(x，y) ︱op︱=r则Sinα= Cosα= 学生回答 为证明Sin(αβ)作好准备。
公式推导及理解 例：求证：Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβ证明：（略）[来源:21世纪教育网]求证：Sin(α－β)=SinαCosβ－CosαSinβ 分析：等式两边的特征？如何由左→右把α+β的正弦化成α、β的正、余弦？联系所学知识，已学过的哪一个公式可把α+β的三角函数化成α、β的函数形式？（学生回答）故需要把（α+β）的正弦化成与α+β的相关的余弦形式即可。问：Sin(α+β)应化成哪个角的余弦形式？问：Cos[－(α+β)]又如何展开才可得到α、β的正、余弦形式？学生证明 注重分析，使学生理解知识间的相互转化。巩固Sin(α+β)的推导过程。
公式的深化 （标题）两角和与差的正弦Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβSin(α－β)=SinαCosβ－CosαSinβ公式的特征及与两角和与差的余弦的区别公式的作用正用：求非特殊角的正弦值。如：求Sin75°=？ Sin15°=？逆用：把具有角α、β的正余弦交叉积的形式化简求值。如Sin22°Cos38°＋Cos22°Sin38°= 练习：P138/2⑴—⑸，3 巩固公式
公式的应用 例1：已知向量=(3，4)逆时针旋转45°到的位置，求点p’(x’，y’)的坐标。解：（略）例2：已知点P（x，y）与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到点p’(x’，y’)21世纪教育网求证：x’=xCosθ－ySinθy’=xSinθ＋yCosθ证明：（略）注：这个结论叫旋转变换公式练习：P139/2例3：求函数y=aSinx+bCosx的最大值和最小值，其中a，b是不同时为零的实数。解：（略）21世纪教育网注：凡形如的相关问题，一般提出去处理。21世纪教育网练习：(1)求y=Sinx＋Cosx的最值和周期(2)p138例5 问题：求点p’(x’，y’)的坐标必须知怎样的条件？由所给点P的坐标可知哪些结论？师生共同完成解答过程若把向量=(3，4)改为=(x，y)，结论变吗？再把45°改为θ，对结论有影响吗？学生证明。问：公式的记忆规律？问题：欲求函数y=aSinx+bCosx的最值和周期，必须化成什么形式？已知表达式中的Sinx、Cosx系数变成同一个角θ的余弦、正弦方可。设P(a，b)，则设以op为终边的一个角为θ，则Cosθ、Sinθ即可用a、b表示此时需对y=aSinx+bCosx做怎样的变形？问题：y=aSinx＋bCosβ还可提吗？学生练习学生看书 培养学生的分析能力和运算推理能力
归纳小结 本节所学知识：Sin(α±β)公式的推导及Sin(α±β)的应用。 师生一起总结 培养学生的归纳整理的学习习惯
作业 P139/A 4，B 1，3
备注：
⑴注重教学过程，注重探索，应贯穿于每一节课的始终。
⑵充分挖掘知识之间、例题之间、例题与练习之间的内在联系，创设问题情景，激发学生的学习兴趣。
⑶通过不断地提出问题、解决问题，逐步培养学生的分析问题解决问题的能力。
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3.3 三角函数的积化和差与和差化积
（1） 教学目标
1． 知识目标：了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化。
2． 能力目标：能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明
3． 情感目标：通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点。
（二）教学重点、难点
重点：公式的应用。难点：公式的灵活应用。
（三）教学方法
观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 通过做过的作业，习题3－1A 2(2)的结果，对两个角的正弦之和的形式进行讨论 师：右边的两个角如何用左边的两个角表示？引导学生观察等式两边角度之间的关系，右边的两个角分别是左边两个角的和、差的一半。师：通过类比，对任意两个角，应该等于什么？运用已知的公式加以推导验证。 从做过的练习出发，引导学生进一步思考，培养学生从特殊到一般的思想方法。
解决问题 由两角和与差的三角函数公式，使用换元法得到两角的正弦之和可化成另两个角的三角函数的乘积的形式。 两式相加得：21世纪教育网 (1)设，，则，，公式(1)可以写成： 培养学生运用已有知识分析问题的能力和问题探究的能力，体会换元思想在解题中的应用。
总结方法提出新问题 总结推导过程所用的方法，实际上公式（1）还隐含着积化和差的公式。 师：公式(1)实际上还可以变形成两角的正弦与余弦的乘积可以转化成另两个角的正弦的和。让学生通过类比，猜测任意两个角的其它三角函数的积、和的规律并在下一步加以证明。 培养学生经常对方法进行总结和运用类比，在一个问题的基础上提出新的问题的能力。
积化和差公式的推导 推导积化和差公式。 回忆两角和与差的三角函数公式：由公式（1）的推导过程，请学生进行类比，写出所有的积化和差的公式： 21世纪教育网师：这组公式称为三角函数的积化和差公式。只要求熟悉公式结构，不要求记忆。其特点是化成和之后都是同名的三角函数，注意每个公式前面的系数。 巩固旧知识，通过恒等变形，培养学生严谨地考虑问题。
积化和差公式的应用 例1 把下列各积化成和差的形式。[来源:21世纪教育网](1)(2)(3)(4) 学生做练习教师巡视检查。 让学生初步学会应用公式。
和差化积公式的推导 推导和差化积公式 由积化和差公式，变形可以得到：，再通过换元，请学生自行整理和差化积公式。师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。 引导学生由积化和差公式推导和差化积公式，在推导过程中运用了换元法进行角的转化。通过组织学生讨论探究，逐步培养学生团结协作的思想品质，提高学生综合运用知识思考问题解决问题的能力。
和差化积公式的应用 例2 把下列各式化成积的形式：(1)(2)(3)(4)(5)例3 已知A＋B＋C＝180，求证： 利用四个和差化积的公式和其他三角函数关系式，我们可以把某些三角函数的和差化成积的形式。在投影仪上，将例1与练习A的第1,3题，打出来，让学生做，教师巡视检查完成情况，并订正。提醒学生注意，化积问题的结果必须是几个三角函数的积的形式。 例1和练习A的第1,3题是和差化积公式的直接应用，注意化积后是几个三角函数的积。例2是一道典型的综合性问题，对于它的解题过程的深入探讨，有益于启发学生思维，提高学生分析问题和解决问题的能力。
巩固练习 练习1．把下列各式化成积的形式（1）（2）2．求证下列各恒等式（1） 练习1和2的第（1）小题先做示范讲解，让学生独立完成第（2）小题。再次提醒学生，化成积的时候一定要写成几个三角函数的积的形式。 练习1的两道化积题，学生可能比较难想到要将常数化成某个特殊角的三角函数，对于它们的解题过程的思考有助于学生开阔思维，培养学生灵活运用知识的能力。
小结 从知识、方法两个方面来对本节课进行归纳总结。 （1）本节重点学习了两组公式，不要求记住这两组公式，但要学会运用这些公式进行三角函数和差与积的互化，并能够运用公式解决求值、化简和证明等问题。（2）化积的问题注意最后结果的形式要写成几个三角函数的积的形式。（3）推导公式的过程中用了换元法，这是一种很常用的方法，要注意该方法在解题中的应用。 让学生明确本节课的重点和要达到的要求。
布置作业 习题3－3A 2,3，4 对本节内容及时巩固。
[来源:21世纪教育网]
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1.3.2余弦函数、21世纪教育网的图像与性质
(第一课时)余弦函数的图象及性质
一、教学目标
1.知识目标
（1）学会利用平移变换的方法和五点作图法作出余弦函数的图象；
（2）根据余弦函数图象的特征，结合正弦函数的性质学习余弦函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
2、能力目标
（1）让学生进一步学会作图；
（2）引导学生利用类比的思想分析同类函数的图象与性质；
（3）培养学生独立研究问题，提炼性质的能力。
3、情感目标
（1）渗透数形结合的数学思想；
（2）培养学生静与动的辨证思想；
（3）培养学生欣赏数学美的素质。
二、教学重、难点
重点：本节内容旨在利用正弦函数的特征来学习余弦函数的图象、性质，引导学生学会应用旧知解决新问题。
难点：从正弦函数到余弦函数的变换；学生自主探究余弦函数性质。
三、教学方法
结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识。适当借助多媒体等教学辅助手段。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1、正弦函数的图象——解决的方法：用单位圆中的正弦线（几何画法）。2、 “五点描图法”作图。21世纪教育网3、 1、教师提问，学生回答；2、学生在草稿纸上推理。 1、引导学生复习巩固“五点描图法”作图；2、回顾诱导公式；3、回顾平移。21世纪教育网
概念形成 1、利用五点描图法画出的图象。 2、图象向两边延伸于是得到余弦函数的图象。余弦函数的图象叫做余弦曲线。通过观察图象，我们不难发现，起着关键作用的点是五个点：(0，1)，(，0)、(π，－1)，(，0)，(2π，1).3、类比正弦函数的性质及余弦函数的图象，得余弦函数图象的性质：(1) 定义域： y=cosx的定义域为R(2) 值域： ①引导回忆单位圆中的三角函数线，结论： |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论：值域为[－1，1]②对于y=cosx 当且仅当x=2k kZ时 ymax=1当且仅当x=2k+ kZ时 ymin=－1③观察R上的y=cosx的图象可知当2k－0当2k+应用举例 例1、求下列函数的最值 （1）y=－9cosx+1； （2）解：(1) ∵ －1≤cosx≤1，∴ －8≤－3cosx+1≤10.即, .(2) ∵ －1≤cosx≤1，∴ 当cosx=时，，当cosx=－1时，.练习：课本A组练习4。例2、判断下列函数的奇偶性 （1）y=cosx+2； （2）y=cosxsinx. 解：（1）f(－x)=cos(－x)+2 =cosx+2=f(x),∴ 函数y=cosx+2是偶函数.(2) f(－x)=cos(－x)sin(－x) =－cosxsinx=－f(x). ∴ 函数y=cosxsinx是奇函数.21世纪教育网例3、求函数的最小正周期解：.∴ 最小正周期是6π练习：课本练习A 5小结：例4、求函数的单调区间（解答由学生自主完成并有学生评价。） 1、学生分析解答；2、学生相互评价；3、先引导学生分析问题，在引导学生回忆正弦函数相关的性质，然后得到关于周期的一般性结论。 1、考察学生对基本性质的掌握；2、让学生体验成功的快乐，利于培养学生学习数学的兴趣；3、通过学生之间的交互活动，可以培养学生的协作精神；4、学生用自己的语言来表达对知识的认识，反映了学生获取知识的自然过程。
归纳小结 请同学们观察正余弦函数的图象，讨论解决以下几个问题，稍后请两组各推选一名代表作总结。定义域分别是什么？值域是什么？最大值、最小值是多少，此时自变量x等于什么？奇偶性如何？为什么？单调性如何？它有什么特殊的地方？为什么会有这种周期性？（图象本身或者说函数本身就存在周期性） （5）它与其他函数有什么不一样的性质。 让学生提问，学生来回答（可以一小组之间的对抗赛的形式展开） 1、自己归纳总结，寻找知识建立的支点，利于学生对知识的掌握；2、通过学生的自我总结，可以帮助学生逐渐养成和提升抽象问题的能力。
布置作业 作业：课本 练习A 4、5 练习B 2、3 课后笔记总结。 学生课后独立自主完成，教师批改讲评。 复习巩固知识，培养学生的实战能力。
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