相似教案
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第二十七章 相似
27．2．1图形的相似（一）
一、教学目标
1.会识别相似图形.
2.通过观察、测量让学生了解线段的比、成比例线段的概念.
3.会求线段的比，会判断已知线段是否成比例.
二、教学重难点
教学重点：对线段的比的理解及会判断成比例线段.
教学难点：掌握成比例线段的特点，欣赏生活中的数学美.
三、教学方法
多媒体教学——创设情境，以境激趣
探索教学法——调动学生主动参与探索知识、运用知识过程
四、教学用具
多媒体电教及教学软件
五、教学过程设计
1、创设情境，设疑激趣
（多媒体演示）
自然界中美丽的蝴蝶、一片树叶，生活中的蒙娜丽莎像、五角星图以及古希腊的雅典帕德嫩神庙、埃及的金字塔等都给人以最优美、最令人赏心悦目的视觉，为什么它们能令人有如此的感觉呢？
（欣赏完图片，学生讨论并引入课题）
两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些
不是呢？相似图形有什么主要特征呢？
（通过多媒体的直观演示，设置问题情境，营造良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣。）
2、探索研究，揭示概念
线段的比和成比例线段
（1）做一做：
下图是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形。设在大地图中有A、B、C三地，在小地图中的相应三地记为A′、B′、C′，试用刻度尺量一量两张地图中AB、BC、与A′B′、B′C′的图上距离.
思考与讨论
① AB=__________cm，BC=____________cm；
A′B′=__________cm，B′C′=_____________cm
②分别计算等于多少？
（小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A′B′、B′C′与AB、BC的长度相比都“同样程度”地缩小了．）
③显然两张地图中AB和A′B′、BC和B′C′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？
（通过学生的交流,培养他们的合作精神和欣赏他人的意识.）
显然，我们能发现：
结论
线段的比：如果选用同一个长度单位度量两条线段AB、CD的长度，它们的长度比就是这两条线段的比.
成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
（2）议一议：
①请量一量AC= cm , A′C′= cm ,再计算你又发现什么？
②AB、BC、AC和A′B′、B′C′、A′C′中，哪四条线段分别成比例？请分别写它们的比例式.
③如果在这两张地图中,你猜猜会出现什么情况
④如果在测量时,AB的长度单位采用厘米而A′B′的长度单位采用分米,那么它们的比有没有变化
⑤两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系
（3）说一说：请举出生活中利用线段比的事例．如：按比例绘制地图等．
（通过相关练习,巩固概念.）
知识的迁移
例．下图是一幅浙江省地图．比例尺是1：6000000，用尺子量得图上从绍兴市到温州市的距离为17.8cm，求南京到北京的实际距离大约是多少千米？（精确到1）
解: 设南京到北京的实际距离大约为xcm，据比例尺定义得
x=17.8×6000000
x= 106800000
所以 106800000厘米=1068千米
答：南京到北京的实际距离大约为1068千米．
（动手操作,体验数学活动的探索性和创新性.）
3、反馈练习，思维拓展
（1）基础练习：
①如图，☆与 △ 的个数比为 ．
②一条线段的长度是另一条线段长度的3倍，则这两条线段的比是
．
③等腰三角形两腰的比是 ，直角三角形斜边上的中线与斜边的比是 ．
④如果线段a、b、c、d成比例，且b=3cm,c=2cm,d=6cm则线段a= ．
⑤A、B两地的实际距离为250m，画在图上的距离A′B′为5 cm,则图上距离与实际距离的比是 ．
（2）提高练习：
在比例尺为１:8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1cm2cm,矩形运动场的实际尺寸是多少
（3）思维拓展：
画家一般是这样画一幅壁画的：开始先画一个小的画，然后把一个正方形的网格放在上面，再把要画壁画的地方分成一个大的网格，最后一个方格一个方格地把原图画到对应的大的网格的对应位置上．请你根据这个过程，放大左边的图案．
（通过知识的综合应用，拓宽学生的视野，提高他们灵活运用知识的能力，培养学生的发散思维。）
4、回顾反思，整体评价
今天我们认识了线段的比，如何求线段的比？成比例线段有什么特征？
（让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
5、课外作业与拓展
① 英才点津第一课时．
② 思考：如何利用影长测量学校旗杆的高度？（提示：相同时刻物高与影长成比例）
第二十七章 相似
27．2．1图形的相似（二）
一、教学目标
1.经历自主探索相似图形的特征的过程，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例的关系．
2.通过实践，掌握利用相似图形的特征计算边的长度或角的度数．
3.培养学生“观察－猜想－验证－实践”的研究问题的思维方式.
二、教学重难点
教学重点：探索并掌握相似图形的特征.
教学难点：探索与研究问题的思维方式.
三、教学方法
多媒体教学——创设情境，以境激趣
探索教学法——调动学生主动参与探索知识、运用知识过程
四、教学用具
多媒体电教及教学软件
五、教学过程设计
1、创设情境，设疑激趣
（多媒体演示）
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场上的旗杆到底有多高呢？
通常一种简便的方法是：如下图所示，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度OC、旗杆的影子长度OA，再量出你的身高CD，根据三角形OCD与三角形OAB相似,就可以计算出旗杆的高度AB了．
如果测得OC= 0.8米，OA=5米，CD=1.6米,如何求AB的高呢
下面我们一起来研究、解决这个问题．
（通过多媒体的直观演示，设置问题情境，营造良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣。）
2、探索研究，揭示特征
相似图形的特征
（1）提出猜想：
上节课我们研究了P67两张相似地图中的对应线段AB与A′B′、BC与B′C′、AC与A′C′的比相等，即
请你由此猜想两张相似地图中的对应线段有什么关系？
――显然，两张相似地图中的对应线段都是成比例的．
这个结论对一般的相似多边形是否成立呢？我们不妨通过下面测量与计算来说明．
（2）进行验证：
仔细观察下面两幅图形，量一量、算一算它们的对应边之间是否有以上的关系？对应角之间又有什么关系呢？
通过测量与计算，我们可得：
图（一）中：
且 ∠A=∠A′ ∠B=∠B′∠C=∠C′∠D=∠D′
图（二）中：
且 ∠A=∠A′ ∠B=∠B′∠C=∠C′∠D=∠D′∠E=∠E′
即：相似四边形、相似五边形的对应边各成比例，对应角各相等．
思考与讨论
①由此可知两个相似多边形的特征是什么？
（对应边成比例，对应角相等．）
②由相似多边形的特征可否得到识别两个多边形是否相似的方法？举例说明．
（如果两个多边形的对应边成比例且对应角相等，那么这两个多边形相似．）
实践运用
议一议 观察下面两组图形，各组图形是否相似？为什么？与同伴交流．
（通过学生的交流,培养他们的合作精神和欣赏他人的意识.）
思考: 如果两个多边形不相似,那么它们的对应角有可能都相等吗 对应边有可能都成比例吗
做一做 一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示,镶在其外围的木质边框宽7.5m.边框的内外边缘所成的矩形相似吗 为什么
（动手操作,体验数学活动的探索性和创新性.）
算一算： （1）测量旗杆的问题：如图，三角形OCD与三角形OAB相似，由相似多边形的特征可得：
即： AB=10（米）
答：旗杆的高度AB为10米．
（2）例1．在下图所示的相似四边形中求未知边x、y的长度和角度a的大小．
分析：由相似多边形的特征可得：，则可分别求出x、y．再由相似多边形的对应角相等及四边形的内角和为360 ，即可求出角度的大小．
（让学生板书）
解：（略）（通过知识的直接运用及训练巩固，使知识融会贯通。）
3、知识迁移，拓展思维
基础练习：
思维拓展：
（1）讨论：①两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？
②所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？
（2）思考：工人师傅按照比例尺为1:2的图纸制作三角形零件．如图所示，该零件的横截面为△ABC，画在图纸上是△DEF，CH、FG分别是它们的高。
①找出图中的相似三角形，并简述理由．
②CH与FG的比是多少？
③你发现了什么？与同伴交流。
（通过知识的综合应用，拓宽学生的视野，提高他们灵活运用知识的能力，培养学生的发散思维。）
4、回顾反思，整体评价
今天我们掌握了相似多边形的特征，如何利用这个特征求线段的长度？又如何判别两个多边形相似呢？（让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
5、课外实践，布置作业
① 英才点津第二课时．
②思考：如图，BC与EF在一条直线上，AC∥DF．将图（2）的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形．如何截法？与同伴交流．
第二十七章 相似
27．2．1相似三角形的判定（一）
〔教学目标〕
1． 了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入：复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义↓相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）↓相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。 从相似多边形的概念及全等三角形的概念两个以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：如图27·2-1，在 ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ADE与 ABC有什么关系？
分析：观察27·2-1易知AD=，AE=，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=即可，学生不难想到过E作EF∥AB。↓ ADE∽ ABC，相似比为。延伸问题：改变点D在AB上的位置，先让学生猜想 ADE与 ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。↓归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 通过观察特殊平行条件（经过三角形一边的中点平行于另一边）下两三角形的相似关系，引导学生思考一般平行条件（平行于三角形一边的直线和其他两边相交）下两三角形的相似关系，进一步体会事物间特殊到一般的关系。通过几何画板演示，培养学生的实验探究意识。
探究方法：探究1在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。分析：作A1D=AB，过D作DE∥B1C1，交A1C1于点E A1DE∽ A1B1C1。用几何画板演示 ABC平移至 A1DE的过程 A1D=AB，A1E=AC，DE=BC A1DE≌ ABC ABC∽ A1B1C1↓归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。若则 ABC∽ A1B1C1 学生通过作图，动手度量三角形的各边长及三角形的角，在动手实践中探究几何结论成立与否，加深了学生对定理的重发现体验。通过几何画板演示让学生从中体会到把不熟悉的几何问题（如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形是否相似？）转化为熟悉的几何问题（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）的过程。 对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。突出几何定理的图形语言﹑符号语言可以帮助学生完成几何定理的建模。
运用提高：P47练习题1（2）。P47练习题2（2）。 运用两个三角形相似的判定方法（1）进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。 让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：必做题：P55习题27·2题2（1），3（1）。选做题： P55习题27·2题4，5。备选题：如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ） A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：C
设计思想：
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”“类比”“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。
第二十七章 相似
27．2．1相似三角形的判定（二）
〔教学目标〕
4． 掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
5． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
6． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法2及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法2的过程
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入：复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系： SSS↓如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程↓探究两个三角形相似判定方法2的途径 从回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程及复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系两个角度来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：利用刻度尺和量角器画 ABC与 A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？ （学生独立操作并判断）↓分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。 延伸问题：改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）若∠A=∠A1，==k则 ABC∽ A1B1C1辨析：对于 ABC与 A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。） 学生通过作图，动手度量三角形的各边的比例以及三角形的各个角的大小，从尺规实验的角度探索命题成立的可能性，丰富学生的尺规作图与尺规探究经验。改变∠A或k值的大小再作尺规探究，可以培养学生在变化中捕捉不变因素的能力。对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。通过辨析，使学生对两个三角形相似判定方法2的判定条件- -“并且相应的夹角相等”具有较深刻的认识，培养学生严谨的思维习惯。
应用新知：例1：根据下列条件，判断 ABC与 A1B1C1是否相似，并说明理由：（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm， ∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm， ∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。分析: （1）==,∠A=∠A1＝1200 ABC∽ A1B1C1（2）==,∠B=∠B1＝1200但∠B与∠B1不是AB ﹑AC﹑ A1B1 ﹑A1C1的夹角，所以 ABC与 A1B1C1不相似。 让学生了解运用相似三角形的判定方法2进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法SAS进行相关证明与计算的雷同性。让学生注意到：两个三角形相似判定方法2的判定条件“角相等”必须是“夹角相等”。
运用提高：P47练习题1（1）。P47练习题2（1）。 运用相似三角形的判定方法2进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。 让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：必做题：P55习题27·2题2（2），3（2）。选做题：P56习题27·2题8。备选题：已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：x=2cm
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。
第二十七章 相似
27．2．1相似三角形的判定(三)
〔教学目标〕
7． 掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
8． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
9． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入：复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系： SSS ↓如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）SAS↓如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法2） 从复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）及两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题： 观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。↓如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？延伸问题：作 ABC与 A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算﹑﹑，你有什么发现？（学生独立操作并判断）↓分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足∠C=∠C1，==。↓分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。） 通过观察同样角度的两副三角尺，可以发现：两个三角尺大小可能不同，但它们的形状相同。学生从实物的比较中容易直观地得到：如果两个三角形有两组角对应相等，它们很可能相似。作图并动手进行尺规实验来探索命题成立的可能性，让学生经历定理的重发现过程，有助于对定理的理解。 让学生进行协同式小组合作可以提高实验的效率，并培养学生的合作能力。
归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成） 若∠A=∠A1，∠B=∠B1则 ABC∽ A1B1C1 把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究结合起来，丰富学生的探究体验，帮助学生深入理解定理的内涵。对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
应用新知：如图27·2-7，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD。分析：欲证PA·PB=PC·PD，只需，欲证只需 PAC∽ PDB，欲证 PAC∽ PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。 让学生了解运用相似三角形的判定方法3进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法AAS﹑ASA进行相关证明与计算的雷同性。
运用提高：P49练习题1。P49练习题2。 运用相似三角形的判定方法3进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。 让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：必做题：P55习题27·2题2(3)。选做题：P57习题27·2题11。备选题：如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数有 对。 分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：6
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法3，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1﹑判定方法2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。
第二十七章 相似
27．2．2相似三角形应用举例
〔教学目标〕
1．让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题。
2．培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力。
3．让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。
〔教学重点与难点〕
重点：运用两个三角形相似解决实际问题
难点：在实际问题中建立数学模型
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入：复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义回顾相似三角形的概念及判定方法 以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系。
提出问题： 利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题？（学生小组讨论）↓ “相似三角形对应边的比相等”四条对应边中若已知三条则可求第四条。一试牛刀： 例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。 如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO。分析：BF∥ED∠BAO=∠EDF 又∠AOB=∠DFE=900 AB∽ DEF二试牛刀：例4：如图27．2-9，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ。分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P PQR∽ PST，即，，。解得PQ=90三试牛刀：例5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？分析：AB∥CD， AFH∽ CFK。，即，解得FH=8。 让学生了解：利用三角形的相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。通过解决“泰勒斯测量金字塔的高度”问题，培养学生学习数学的兴趣，让学生在浓厚的数学文化熏陶中探究解决问题的方法。让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型，通过建模培养学生的归纳能力。数学建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明问题中的数量关系与位置关系，进而形成解题思路。
运用提高：P51练习题12．P51练习题2 让学生在练习中熟悉利用三角形的相似去解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。
课堂小结：说说你在本节课的收获。 让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：必做题：P56习题27·2题9，10，11。选做题：P57习题27·2题15。备选题：已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：x=2
设计思想：
本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。因此在教学设计中突出了“审题画示意图明确数量关系解决问题”数学建模过程，学生可以从中锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，另外，学生在富有故事性或现实性的数学情景问题中，探究解决问题的方法，这一过程有利于培养学生的数学学习兴趣。
第二十七章 相似
27．2．3相似三角形的周长与面积
〔教学目标〕
1． 经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。
2．理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
3．探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。
〔教学重点与难点〕
重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入：1．回顾相似三角形的概念及判定方法。2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。 以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系。
提出问题： 如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论） ↓ ABC∽ A1B1C1，相似比为kAB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1相似三角形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比延伸问题： 探究：如图27．2-11（1）， ABC∽ A1B1C1，相似比为k1 ，它们的面积比是多少？
（1） （2）图27．2-11分析：如图27．2-11（1），分别作出 ABC和 A1B1C1的高AD和A1D1。∠ADB=∠A1D1B1=900又∠B=∠B1 ABD∽ A1B1D1=k12相似三角形面积比等于相似比的平方（2）如图27．2-11（2），四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1，相似比为k2，它们的面积比是多少？分析： k22 k22相似多边形面积比等于相似比的平方应用新知：例6：如图27．2-12，在 ABC和 DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D， ABC的周长是24，面积是48，求 DEF的周长和面积。图27．2-12分析： ABC和 DEF中，AB=2DE，AC=2DF又∠A=∠D ABC∽ DEF，相似比为 DEF的周长=24=12，面积=248=12。 让学生经历从特殊到一般的过程，体会有限数学归纳法的魅力，学生以小组讨论的形式开展学习有利于丰富学生的探究经验。让学生经历从“相似三角形周长的比与相似比的关系到相似三角形面积比与相似比的关系”的过程，体会它们之间的形式雷同性与认知结构雷同性。让学生再次经历从特殊到一般的过程，进一步体验有限数学归纳法的魅力。让学生了解运用“相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方”的常见解题思路。
运用提高：P54练习题1P54练习题2 让学生在练习中熟悉利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，解决简单的问题。
课堂小结：说说你在本节课的收获。 让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：必做题：P54练习题3，4选做题：P57习题27·2题12，13，14。3．备选题：如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.（1）求证：△APE∽△ADQ；（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明） 分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：（1）证∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.注意到△APE∽△ADQ与△PDE∽△ADQ，及S△PEF=，得S△PEF==. ∴当，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值.（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.
设计思想：
本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想，学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解决简单的问题。因此本教学设计突出了“相似比相似三角形周长的比相似多边形周长的比”、“相似比相似三角形面积的比相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程，以让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
第二十七章 相似
27．2．1图形的相似（一）
一、教学目标
1.会识别相似图形.
2.通过观察、测量让学生了解线段的比、成比例线段的概念.
3.会求线段的比，会判断已知线段是否成比例.
二、教学重难点
教学重点：对线段的比的理解及会判断成比例线段.
教学难点：掌握成比例线段的特点，欣赏生活中的数学美.
三、教学方法
多媒体教学——创设情境，以境激趣
探索教学法——调动学生主动参与探索知识、运用知识过程
四、教学用具
多媒体电教及教学软件
五、教学过程设计
1、创设情境，设疑激趣
（多媒体演示）
自然界中美丽的蝴蝶、一片树叶，生活中的蒙娜丽莎像、五角星图以及古希腊的雅典帕德嫩神庙、埃及的金字塔等都给人以最优美、最令人赏心悦目的视觉，为什么它们能令人有如此的感觉呢？
（欣赏完图片，学生讨论并引入课题）
两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些
不是呢？相似图形有什么主要特征呢？
（通过多媒体的直观演示，设置问题情境，营造良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣。）
2、探索研究，揭示概念
线段的比和成比例线段
（1）做一做：
下图是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形。设在大地图中有A、B、C三地，在小地图中的相应三地记为A′、B′、C′，试用刻度尺量一量两张地图中AB、BC、与A′B′、B′C′的图上距离.
思考与讨论
① AB=__________cm，BC=____________cm；
A′B′=__________cm，B′C′=_____________cm
②分别计算等于多少？
（小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A′B′、B′C′与AB、BC的长度相比都“同样程度”地缩小了．）
③显然两张地图中AB和A′B′、BC和B′C′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？
（通过学生的交流,培养他们的合作精神和欣赏他人的意识.）
显然，我们能发现：
结论
线段的比：如果选用同一个长度单位度量两条线段AB、CD的长度，它们的长度比就是这两条线段的比.
成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
（2）议一议：
①请量一量AC= cm , A′C′= cm ,再计算你又发现什么？
②AB、BC、AC和A′B′、B′C′、A′C′中，哪四条线段分别成比例？请分别写它们的比例式.
③如果在这两张地图中,你猜猜会出现什么情况
④如果在测量时,AB的长度单位采用厘米而A′B′的长度单位采用分米,那么它们的比有没有变化
⑤两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系
（3）说一说：请举出生活中利用线段比的事例．如：按比例绘制地图等．
（通过相关练习,巩固概念.）
知识的迁移
例．下图是一幅浙江省地图．比例尺是1：6000000，用尺子量得图上从绍兴市到温州市的距离为17.8cm，求南京到北京的实际距离大约是多少千米？（精确到1）
解: 设南京到北京的实际距离大约为xcm，据比例尺定义得
x=17.8×6000000
x= 106800000
所以 106800000厘米=1068千米
答：南京到北京的实际距离大约为1068千米．
（动手操作,体验数学活动的探索性和创新性.）
3、反馈练习，思维拓展
（1）基础练习：
①如图，☆与 △ 的个数比为 ．
②一条线段的长度是另一条线段长度的3倍，则这两条线段的比是
．
③等腰三角形两腰的比是 ，直角三角形斜边上的中线与斜边的比是 ．
④如果线段a、b、c、d成比例，且b=3cm,c=2cm,d=6cm则线段a= ．
⑤A、B两地的实际距离为250m，画在图上的距离A′B′为5 cm,则图上距离与实际距离的比是 ．
（2）提高练习：
在比例尺为１:8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1cm2cm,矩形运动场的实际尺寸是多少
（3）思维拓展：
画家一般是这样画一幅壁画的：开始先画一个小的画，然后把一个正方形的网格放在上面，再把要画壁画的地方分成一个大的网格，最后一个方格一个方格地把原图画到对应的大的网格的对应位置上．请你根据这个过程，放大左边的图案．
（通过知识的综合应用，拓宽学生的视野，提高他们灵活运用知识的能力，培养学生的发散思维。）
4、回顾反思，整体评价
今天我们认识了线段的比，如何求线段的比？成比例线段有什么特征？
（让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
5、课外作业与拓展
① 英才点津第一课时．
② 思考：如何利用影长测量学校旗杆的高度？（提示：相同时刻物高与影长成比例）
第二十七章 相似
27．2．1图形的相似（二）
一、教学目标
1.经历自主探索相似图形的特征的过程，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例的关系．
2.通过实践，掌握利用相似图形的特征计算边的长度或角的度数．
3.培养学生“观察－猜想－验证－实践”的研究问题的思维方式.
二、教学重难点
教学重点：探索并掌握相似图形的特征.
教学难点：探索与研究问题的思维方式.
三、教学方法
多媒体教学——创设情境，以境激趣
探索教学法——调动学生主动参与探索知识、运用知识过程
四、教学用具
多媒体电教及教学软件
五、教学过程设计
1、创设情境，设疑激趣
（多媒体演示）
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场上的旗杆到底有多高呢？
通常一种简便的方法是：如下图所示，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度OC、旗杆的影子长度OA，再量出你的身高CD，根据三角形OCD与三角形OAB相似,就可以计算出旗杆的高度AB了．
如果测得OC= 0.8米，OA=5米，CD=1.6米,如何求AB的高呢
下面我们一起来研究、解决这个问题．
（通过多媒体的直观演示，设置问题情境，营造良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣。）
2、探索研究，揭示特征
相似图形的特征
（1）提出猜想：
上节课我们研究了P67两张相似地图中的对应线段AB与A′B′、BC与B′C′、AC与A′C′的比相等，即
请你由此猜想两张相似地图中的对应线段有什么关系？
――显然，两张相似地图中的对应线段都是成比例的．
这个结论对一般的相似多边形是否成立呢？我们不妨通过下面测量与计算来说明．
（2）进行验证：
仔细观察下面两幅图形，量一量、算一算它们的对应边之间是否有以上的关系？对应角之间又有什么关系呢？
通过测量与计算，我们可得：
图（一）中：
且 ∠A=∠A′ ∠B=∠B′∠C=∠C′∠D=∠D′
图（二）中：
且 ∠A=∠A′ ∠B=∠B′∠C=∠C′∠D=∠D′∠E=∠E′
即：相似四边形、相似五边形的对应边各成比例，对应角各相等．
思考与讨论
①由此可知两个相似多边形的特征是什么？
（对应边成比例，对应角相等．）
②由相似多边形的特征可否得到识别两个多边形是否相似的方法？举例说明．
（如果两个多边形的对应边成比例且对应角相等，那么这两个多边形相似．）
实践运用
议一议 观察下面两组图形，各组图形是否相似？为什么？与同伴交流．
（通过学生的交流,培养他们的合作精神和欣赏他人的意识.）
思考: 如果两个多边形不相似,那么它们的对应角有可能都相等吗 对应边有可能都成比例吗
做一做 一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示,镶在其外围的木质边框宽7.5m.边框的内外边缘所成的矩形相似吗 为什么
（动手操作,体验数学活动的探索性和创新性.）
算一算： （1）测量旗杆的问题：如图，三角形OCD与三角形OAB相似，由相似多边形的特征可得：
即： AB=10（米）
答：旗杆的高度AB为10米．
（2）例1．在下图所示的相似四边形中求未知边x、y的长度和角度a的大小．
分析：由相似多边形的特征可得：，则可分别求出x、y．再由相似多边形的对应角相等及四边形的内角和为360 ，即可求出角度的大小．
（让学生板书）
解：（略）（通过知识的直接运用及训练巩固，使知识融会贯通。）
3、知识迁移，拓展思维
基础练习：
思维拓展：
（1）讨论：①两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？
②所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？
（2）思考：工人师傅按照比例尺为1:2的图纸制作三角形零件．如图所示，该零件的横截面为△ABC，画在图纸上是△DEF，CH、FG分别是它们的高。
①找出图中的相似三角形，并简述理由．
②CH与FG的比是多少？
③你发现了什么？与同伴交流。
（通过知识的综合应用，拓宽学生的视野，提高他们灵活运用知识的能力，培养学生的发散思维。）
4、回顾反思，整体评价
今天我们掌握了相似多边形的特征，如何利用这个特征求线段的长度？又如何判别两个多边形相似呢？（让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
5、课外实践，布置作业
① 英才点津第二课时．
②思考：如图，BC与EF在一条直线上，AC∥DF．将图（2）的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形．如何截法？与同伴交流．
第二十七章 相似
27．2．1相似三角形的判定（一）
〔教学目标〕
1． 了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入：复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义↓相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）↓相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。 从相似多边形的概念及全等三角形的概念两个以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：如图27·2-1，在 ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E ， ADE与 ABC有什么关系？
分析：观察27·2-1易知AD=，AE=，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=即可，学生不难想到过E作EF∥AB。↓ ADE∽ ABC，相似比为。延伸问题：改变点D在AB上的位置，先让学生猜想 ADE与 ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。↓归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 通过观察特殊平行条件（经过三角形一边的中点平行于另一边）下两三角形的相似关系，引导学生思考一般平行条件（平行于三角形一边的直线和其他两边相交）下两三角形的相似关系，进一步体会事物间特殊到一般的关系。通过几何画板演示，培养学生的实验探究意识。
探究方法：探究1在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。分析：作A1D=AB，过D作DE∥B1C1，交A1C1于点E A1DE∽ A1B1C1。用几何画板演示 ABC平移至 A1DE的过程 A1D=AB，A1E=AC，DE=BC A1DE≌ ABC ABC∽ A1B1C1↓归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。若则 ABC∽ A1B1C1 学生通过作图，动手度量三角形的各边长及三角形的角，在动手实践中探究几何结论成立与否，加深了学生对定理的重发现体验。通过几何画板演示让学生从中体会到把不熟悉的几何问题（如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形是否相似？）转化为熟悉的几何问题（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）的过程。 对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。突出几何定理的图形语言﹑符号语言可以帮助学生完成几何定理的建模。
运用提高：P47练习题1（2）。P47练习题2（2）。 运用两个三角形相似的判定方法（1）进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。 让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：必做题：P55习题27·2题2（1），3（1）。选做题： P55习题27·2题4，5。备选题：如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ） A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：C
设计思想：
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”“类比”“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。
第二十七章 相似
27．2．1相似三角形的判定（二）
〔教学目标〕
4． 掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
5． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
6． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法2及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法2的过程
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入：复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系： SSS↓如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程↓探究两个三角形相似判定方法2的途径 从回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程及复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系两个角度来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：利用刻度尺和量角器画 ABC与 A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？ （学生独立操作并判断）↓分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。 延伸问题：改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）若∠A=∠A1，==k则 ABC∽ A1B1C1辨析：对于 ABC与 A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。） 学生通过作图，动手度量三角形的各边的比例以及三角形的各个角的大小，从尺规实验的角度探索命题成立的可能性，丰富学生的尺规作图与尺规探究经验。改变∠A或k值的大小再作尺规探究，可以培养学生在变化中捕捉不变因素的能力。对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。通过辨析，使学生对两个三角形相似判定方法2的判定条件- -“并且相应的夹角相等”具有较深刻的认识，培养学生严谨的思维习惯。
应用新知：例1：根据下列条件，判断 ABC与 A1B1C1是否相似，并说明理由：（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm， ∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm， ∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。分析: （1）==,∠A=∠A1＝1200 ABC∽ A1B1C1（2）==,∠B=∠B1＝1200但∠B与∠B1不是AB ﹑AC﹑ A1B1 ﹑A1C1的夹角，所以 ABC与 A1B1C1不相似。 让学生了解运用相似三角形的判定方法2进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法SAS进行相关证明与计算的雷同性。让学生注意到：两个三角形相似判定方法2的判定条件“角相等”必须是“夹角相等”。
运用提高：P47练习题1（1）。P47练习题2（1）。 运用相似三角形的判定方法2进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。 让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：必做题：P55习题27·2题2（2），3（2）。选做题：P56习题27·2题8。备选题：已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：x=2cm
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。
第二十七章 相似
27．2．1相似三角形的判定(三)
〔教学目标〕
7． 掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
8． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
9． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入：复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系： SSS ↓如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）SAS↓如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法2） 从复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）及两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题： 观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。↓如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？延伸问题：作 ABC与 A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算﹑﹑，你有什么发现？（学生独立操作并判断）↓分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足∠C=∠C1，==。↓分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。） 通过观察同样角度的两副三角尺，可以发现：两个三角尺大小可能不同，但它们的形状相同。学生从实物的比较中容易直观地得到：如果两个三角形有两组角对应相等，它们很可能相似。作图并动手进行尺规实验来探索命题成立的可能性，让学生经历定理的重发现过程，有助于对定理的理解。 让学生进行协同式小组合作可以提高实验的效率，并培养学生的合作能力。
归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成） 若∠A=∠A1，∠B=∠B1则 ABC∽ A1B1C1 把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究结合起来，丰富学生的探究体验，帮助学生深入理解定理的内涵。对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
应用新知：如图27·2-7，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD。分析：欲证PA·PB=PC·PD，只需，欲证只需 PAC∽ PDB，欲证 PAC∽ PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。 让学生了解运用相似三角形的判定方法3进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法AAS﹑ASA进行相关证明与计算的雷同性。
运用提高：P49练习题1。P49练习题2。 运用相似三角形的判定方法3进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。 让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：必做题：P55习题27·2题2(3)。选做题：P57习题27·2题11。备选题：如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数有 对。 分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：6
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法3，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1﹑判定方法2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。
第二十七章 相似
27．2．2相似三角形应用举例
〔教学目标〕
1．让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题。
2．培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力。
3．让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。
〔教学重点与难点〕
重点：运用两个三角形相似解决实际问题
难点：在实际问题中建立数学模型
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入：复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义回顾相似三角形的概念及判定方法 以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系。
提出问题： 利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题？（学生小组讨论）↓ “相似三角形对应边的比相等”四条对应边中若已知三条则可求第四条。一试牛刀： 例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。 如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO。分析：BF∥ED∠BAO=∠EDF 又∠AOB=∠DFE=900 AB∽ DEF二试牛刀：例4：如图27．2-9，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ。分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P PQR∽ PST，即，，。解得PQ=90三试牛刀：例5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？分析：AB∥CD， AFH∽ CFK。，即，解得FH=8。 让学生了解：利用三角形的相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。通过解决“泰勒斯测量金字塔的高度”问题，培养学生学习数学的兴趣，让学生在浓厚的数学文化熏陶中探究解决问题的方法。让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型，通过建模培养学生的归纳能力。数学建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明问题中的数量关系与位置关系，进而形成解题思路。
运用提高：P51练习题12．P51练习题2 让学生在练习中熟悉利用三角形的相似去解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。
课堂小结：说说你在本节课的收获。 让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：必做题：P56习题27·2题9，10，11。选做题：P57习题27·2题15。备选题：已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：x=2
设计思想：
本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。因此在教学设计中突出了“审题画示意图明确数量关系解决问题”数学建模过程，学生可以从中锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，另外，学生在富有故事性或现实性的数学情景问题中，探究解决问题的方法，这一过程有利于培养学生的数学学习兴趣。
第二十七章 相似
27．2．3相似三角形的周长与面积
〔教学目标〕
1． 经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。
2．理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
3．探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。
〔教学重点与难点〕
重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入：1．回顾相似三角形的概念及判定方法。2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。 以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系。
提出问题： 如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论） ↓ ABC∽ A1B1C1，相似比为kAB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1相似三角形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比延伸问题： 探究：如图27．2-11（1）， ABC∽ A1B1C1，相似比为k1 ，它们的面积比是多少？
（1） （2）图27．2-11分析：如图27．2-11（1），分别作出 ABC和 A1B1C1的高AD和A1D1。∠ADB=∠A1D1B1=900又∠B=∠B1 ABD∽ A1B1D1=k12相似三角形面积比等于相似比的平方（2）如图27．2-11（2），四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1，相似比为k2，它们的面积比是多少？分析： k22 k22相似多边形面积比等于相似比的平方应用新知：例6：如图27．2-12，在 ABC和 DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D， ABC的周长是24，面积是48，求 DEF的周长和面积。图27．2-12分析： ABC和 DEF中，AB=2DE，AC=2DF又∠A=∠D ABC∽ DEF，相似比为 DEF的周长=24=12，面积=248=12。 让学生经历从特殊到一般的过程，体会有限数学归纳法的魅力，学生以小组讨论的形式开展学习有利于丰富学生的探究经验。让学生经历从“相似三角形周长的比与相似比的关系到相似三角形面积比与相似比的关系”的过程，体会它们之间的形式雷同性与认知结构雷同性。让学生再次经历从特殊到一般的过程，进一步体验有限数学归纳法的魅力。让学生了解运用“相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方”的常见解题思路。
运用提高：P54练习题1P54练习题2 让学生在练习中熟悉利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，解决简单的问题。
课堂小结：说说你在本节课的收获。 让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：必做题：P54练习题3，4选做题：P57习题27·2题12，13，14。3．备选题：如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.（1）求证：△APE∽△ADQ；（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明） 分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：（1）证∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.注意到△APE∽△ADQ与△PDE∽△ADQ，及S△PEF=，得S△PEF==. ∴当，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值.（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.
设计思想：
本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想，学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解决简单的问题。因此本教学设计突出了“相似比相似三角形周长的比相似多边形周长的比”、“相似比相似三角形面积的比相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程，以让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网