课件15张PPT。角的平分线的性质
1、在准备好的角上标好字母:A,O,B, 把∠ AOB对折，使得这个角的两边重叠。结论：折痕是 ∠ AOB的角平分线。试一试,你能获得成功! 1、如右图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC，将点A放在角的顶点,使AB和AD沿着角的两边放下,沿线段AC画一条射线AE,那么AE就是角平分线:
A议一议：为什么 AE一定是∠A的角平分线,你能说明它的道理吗?探究：根据角平分仪器，如何使用
尺规作角的平分线？观察领悟作图技巧，探索思考证明方法：AＢ画法： １．以Ｏ为圆心，以任意长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于． ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求的射线．O尺规作角的平分线AＢ为什么OC是角平分线呢？ O想一想：已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB 按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC ,在折痕（即平分线）上任意找一点P。过P点作PD垂直于OA，垂足为D。
作PE垂直于OB、垂足为E ，并度量所画垂线段PD、PE是否等长？画一画同学甲、乙谁的画法是正确的?（×）（√）议一议：由此你可得到什么猜想？角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．∵点P是∠AOB平分线上的一点
且PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD=PE
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
证明线段相等有角的平分线，有垂直距离应用定理的前提条件是：
定理的作用：已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE证明： ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO∠AOC= ∠BOCOP=OPC ∴ △PDO≌ △PEO (AAS)∴ PD=PE角平分线的性质的 证明：例1： 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，
垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
且PE ⊥BC ,PD⊥AB
∴PD=PE
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
DEF应用迁移，巩固提高3：已知：在等腰直角△ABC中，AC ＝ BC，∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。
求证：BD＋DE ＝AC变式： 已知AB ＝15cm,
求△DBE的周长。点评：解题思路的突破口ACBDE综合探究、拓展提高如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，
EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD，
求证: （1）OD=OC ；
（2）∠ECD=∠EDC
老师期望:
做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去. OADEBCF回味无穷定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
∵点P是∠AOB平分线上的一点
且PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD=PE
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
用尺规作角的平分线.作业：启东作业本作业8。感谢光临!请多指教！谢谢大家！学科
数学
年级
八年级上学期人民教育出版社
课题
角的平分线的性质
教
学
目
标
知识与技能
1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。
2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．
过程与方法
1.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。
2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.
3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.
情感态度与价值观
1. 使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；
2.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
重点
1、利用尺规作图作已知角的平分线。
2、角平分线的性质定理及其应用。
难点
1、根据角的平分仪器提炼出角的尺规画法。；
2、角的平分线的性质的探究。
教法
问题情景——建立模型——解释、应用与拓展——体验成功
教具
一张矩形纸片，自制作的角平分仪器， 多媒体课件，学生准备尺规作图工具
活动流程图
活动内容和目的
活动1 折纸法确定角的平分线方法
体验角平分线的简易作法，为下一部设置问题墙。
活动2 探究与实验
通过探究与实验，掌握如何将一个不能折叠的角平分
活动3 探索作已知角的平分线的方法
掌握角的平分线的作法
活动4 探究角的平分线的性质
从折纸的过程探究角平分线的性质，在动手操作的过程中培养学生的几何直觉。
活动5 实践与应用
拓展与提高
运用三角形全等的有关知识，归纳、证明角的平分线的性质。通过举例，证明角的平分线的性质在生活、生产中的应用，提高学生解决问题的能力。
活动6 小结与作业
总结、反思、高将所学知识纳入学生的知识体系。
教学设计流程安排
教学过程设计
问题与情景
师生行为
设计意图
[活动1]
如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？
学生实验：
通过折纸的方法作角的平分线
教师与学生一起动手操作，。
展示学生作品。
体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题墙。
通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论．教师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间．
建立模型
师生行为
设计意图
[活动2]
对这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
教师课件展示实验过程
学生将实物图抽象出数学图形
学生独立运用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线。
本次活动中，教师重点关注：
(1)学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形；
(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE是∠BAD的平分线。
说明用其他实验的方法可以将一个角平分。
培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能力。
让学生体验成功
这个提问设置为例1的出现做好铺垫，同时例1的证明又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验．
将实际问题转化为数学问题，从而顺利解决．
[活动3] 问题
(1)从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么？求作什么？
(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?
(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画
(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗?
(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?
(6)归纳角平分线的作法
教师提问,学生与老师一起完成探究过程.
从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.
培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.让学生体验成功
学生独立说明,学生相互讨论,交流,归纳后教师归纳展示作法.
探究新知
师生行为
设计意图
[活动4]
(1)在已画好的角的平分线OC上任意找一点P,过P点分别作OA、OB的垂线交OA、O于D、E。 PE、PD的长度是∠AOB的平分线上一点到 ∠AOB两边的距离。量出它们的长度，你发现了什么？
(2)你能归纳角的平分线的性质吗?
学生实验
学生分组讨论,教师引导得出结论
学生分析已知条件,利用(AAS)证明.
本次活动中,教师重点关注(1)学生能否从实验中探索、发现角的平分线的性质;(2)学生能否独立运用三角形全等的条件证明两个三角形全等;(3)说明射线OP是是∠AOB的平分线吗?
从实验探索中发现角的平分线的性质。
培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.
让学生体验成功
应用新知
师生行为
设计意图
[活动5]
如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于一点O，求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等．
②如图:△ABC中,
∠C=900，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证CF=EB。
学生独立练习，同组同学交流，抽学生上来展示分析过程。
并形成知识结论。
学生独立练习，同组同学交流，老师根据学生的学习情况适当加以指导，获得正确的结论。抽学生上来展示分析过程。
通过学生对角的平分线的知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力。
让学生体验成功
矫正，提高
本次活动中,教师重点关注：(1)不同层次的学生对角的平分线的性质的理解程度; (2)对学生在练习中的问题进行针对性的分析、讲解。
③(备选)画一个任意三角形，并作出两个角的平分线，观察交点与这个三角形三条边的距离，你发现了什么？
学生独立练习，同组同学交流，老师根据学生的学习情况适当加以指导，获得正确的结论。
重视培养学生思维的广阔性，鼓励学生积极思考，勇于探索．
拓展提高
师生行为
设计意图
解决问题: 已知：在等腰直角△ABC中，AC ＝ BC，∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。AB=15cm,
求△DBE的周长
学生根据上一问题的解决过程独立解决本问题，在必要时教师适当引导．
在已有成功经验的基础上，继续探究与应用，提升分析解决问题的能力并增进运用数学的情感体验．
在说理的过程中加深对角平分线性质、判定定理的理
解
总结反思
师生行为
设计意图
活动[6]
小结：我们这节课学习了那些知识？
作业：启东中学作业本：角平分线的性质。
教师引导学生自己归纳，同学之间互相讨论，总结知识要点、数学思想方法、形成知识体系。
通过小结归纳，完善学生对知识的梳理
教
学
反
思
本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性．教学始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，而后设计了第一个学生活动——折纸，让学生体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出了进一步的猜想，紧接着推出了第二个学生活动——尺规作图，以达到复习旧知和再次验证猜想的目的，猜想是否正确?还得进行证明，从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣，使教学目标顺利达成．整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终，在教学过程中给学生的思考留下足够的时间和空间，由学生自己去发现结论，学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中，对角平分线性质有了更深刻的认识，培养了学生动手、合作、概括能力，同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识．
