抛物线定义及标准方程（一）教学设计及课后反思

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抛物线定义及标准方程（一）教学设计及课后反思
一、教学目标：
1、 让学生掌握抛物线的定义及其标准方程；
2、 让学生掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标和准线方程的关系；
3、 对学生进行运动变化、对立统一的辨证唯物主义思想教育。
二、教学重点：
1、抛物线的定义及焦点与准线的知识；
2、抛物线的四种标准方程形式和P的几何意义及应用。
三、教学难点：
1、建立恰当坐标系，推导出抛物线的标准方程；
2、抛物线标准方程的另外三种形式与其图形的对应关系；
3、抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。
四、教学方法：
启发引导式，通过回忆椭圆与双曲线第二定义引入抛物线。同时辅以多媒体教学课件为依托，采取实验探索、类比法、图表法。
五、教具准备：
Powerpoint幻灯片18张、Flash课件2个（画抛物线，飞机投弹）、
几何画板课件1个（求最小值）、一个大三角板和一个圆规。
六、教学过程：
1、课题引入：我们前面已学过，到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。当常数01时，轨迹是（双曲线）;那么当e=1时，轨迹又是什么曲线呢？（请学生回答，学生通过预习基本上都能认为是抛物线）。那为什么是抛物线呢？（学生基本上无言以对），为了解决这个问题，本节课我们就来专门研究抛物线的定义及其标准方程。
2、新课讲解：
（1）首先请同学们按事先分好的学习小组互相配合作课本中的小实验。
把一根直尺固定在图板上直线的位置（如图），把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条抛物线。
（此实验教师用Flash课件演示，边演示边提醒学
生仔细观察，多演示几次后，请学生说出这条曲线上的
点有何特征？）
从图中可以看出，这条曲线上任意一点P到F的
距离与它到直线的距离相等。
即有|PC|=|PF|；|OK|=|OF|。
（但O，K不标出，竖着的宽的黑色部分表钢笔）。
我们把这样的曲线叫做抛物线，由此我们得到
抛物线的一般定义。
（2）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直 线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
下面我们根据抛物线的定义来求其方程，以便我们通过方程研究抛物线的更多知识，那么请同学们回忆一下用坐标法求曲线方程的一般步骤：（（1）建系设点；（2）找出适合题意的曲线上任意点的关系式；（3）将关系式坐标化为方程；（4）化简方程；（5）说明。）
（3）讨论探究如何建立坐标系。（遵循简单性原则）
（学生分组讨论）
同学们可以以F点为原点，也可以以F到的垂线的垂足为原点，但都没有以抛物线的顶点为原点的方程更简单。由定义可知，抛物线关于过F点做的垂线对称，因此我们过点F做FK于K，取KF所在直线为X轴，KF线段的中点为原点建立坐标系。
（4）推导标准方程：由于F为焦点，为准线，所以|FK|为焦准距，
设为p(p>0),则F（，0），l：x = -，设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知|MF|=|MN|，，化简得y2 = 2px（p＞0），我们把它叫做抛物线的标准方程。它表示焦点在X轴上，焦点在（，0），准线为x = -的抛物线。
“标准方程”的含义是：顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴的抛物线的方程。
但同一条抛物线，由于它在坐标平面的位置不同，方程也不同，所以抛物线的方程还有其他的几种形式。刚刚我们推出了顶点在坐标原点，对称轴为X轴，焦点在X轴的正半轴上的抛物线的标准方程，同学们自然会想，如果焦点在X轴的负半轴上，或者焦点在Y轴的正、负半轴上的标准方程、焦点坐标、准线方程又是什么样的呢？
（学生分三组推导开口向左，开口向上、开口向下抛物线的标准方程。3分钟后每组选一个代表起来填写下表：
同一条抛物线的标准方程的四种形式对比
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 = 2px（p＞0） （，0） x = -
(5)学生相互合作探究提炼：
学生通过观察、思考、相互合作总结、提炼抛物线的开口方向、对称轴、焦点位置与其标准方程中的一次变量之间有什么关系？
结论：第一、一次项的变量为X（或Y），则X（或Y）轴为抛物线的对称轴，焦点始终在对称轴上，准线方程中的字母是X（或Y）；
第二、一次项系数决定了开口方向，系数为正（负），开口向着对称轴的正（负）方向，焦点就在正（或负）半轴上；
第三、焦点的非零坐标始终等于一次项系数的1/4。准线中的X（或Y）的值始终等于焦点的非零坐标的相反数。
（6）典型范例1：（我们利用刚刚提炼的知识来看一组典型例题）
例1、 求下列抛物线的焦点、准线方程。
(1)y2=6x （2）x=ay2(a≠0)
分析：（1）利用以上结论直接口答；
（2）抛物线方程化为：y2 = x，然后利用以上结论直接得出以下结果：
抛物线x=ay2的焦点坐标为(,0)，准线方程为 x=-。
(可在黑板上先讨论a>0,a<0两种情况，结果仍然与上面一样)
（7）练一练 《A组题》
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程。（请学生直接口答）
①y2=20x ②x2+8y=0
题号 焦点坐标 准线方程
（1） （5，0） x=-5x
（2） （0，-2） y=2
(8) 典型范例2：（刚才我们是已知抛物线方程求其焦点坐标和准线方程，接下来我们再看已知焦点坐标等条件来求抛物线方程）
例2：根据条件，求抛物线方程。
（1）焦点坐标是F（0，-2）； （2）抛物线经过点A（-3，2）。
分析：（1）先判断是哪一种形式的抛物线方程，然后利用结论可直接回答；
（2）抛物线的标准方程有四种形式，本题有几种可能呢？先让学生动手在草稿本上画一画，并相互交流一下得出有开口向上和开口向左两种可能情况，然后用待定系数法求出结果为：或。
（9）做一做 《B组题》
根据下列条件写出抛物线的标准方程。
（1）焦点为F（3，0）； 答案：。
（2）焦点到准线的距离为2。 答案： 。
（注意提醒学生本题无特别限制有四种形式，不要漏解）。
（10）拓展训练 《C组题》
抛物线上的任意一点P到定点A（3，1）和到抛物线焦
点F的距离之和的最小值是 。
（说明：最小值几个字链接已做好的几何画板课件，如上图所示：开始图中无的垂线PQ、AB线段）。
分析：先使P点在抛物线上来回滑动，让学生观察。
可能有学生会将两距离之和用距离公式表示出来，但一般是可以表示而不能求解；可让学生走点弯路以加深印象。然后让学生分组合作探究，讨论出利用抛物线定义将|PF|转化为P到准线的距离|PQ|。接着再让P点运动起来，使学生直观看出P点在何处时能使两距离之和最小。最后再给出严格的证明。
证明：过P点作PQ⊥于Q点，过A点作AB⊥于B点，连接AQ。
因为|PF|=|PQ|，所以|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|≥|AQ|，而|AQ|≥|AB|，因此|PA|+|PF|≥|AB|，当且仅当A、P、Q三点共线，即重合于AB时取得最小值。而B（-1，1），A（3，1），AB=4，所以所求距离和的最小值为4。
3、小结：
（好了，下面请同学们回顾一下本节课学了些什么内容，然后我请一位同学起来回答）
（1）、抛物线的定义及活用定义解题。
（2）、抛物线的标准方程。
（3）、已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程，或已知焦点、准线方程求其标准方程，都应先“定位”，后“定量”。（类比前面所学的椭圆、双曲线知识：即先确定抛物线的焦点位置，设出其标准方程，然后再根据已知条件确定里面的未知量）。
4、探索：
（本节课我们学习了抛物线的定义及其标准方程，现在同学们根据我们刚刚所学的知识来一起探索这样一个问题。）
如图：已知抛物线和它的准线，请用尺规作图法找出它的焦点。
（先让学生独立思考3分钟看能否作出，若无人能作出，
可让学生们按原来所分好的学习小组集体进行探讨交流，
然后再请同学起来分析回答。）
分析：根据抛物线的定义，抛物线上任何一点到它的焦点
和到它的准线的距离相等。而一条抛物线只有一个
焦点和一条准线，因此可在抛物线上任取两点，并
过这两点作准线的垂线，然后再以这两点为圆心，以这点到准线的垂线为半径画弧使它在抛物线内部交于一点，那么这一点就是抛物线的焦点。
（注意交点在抛物线外部还有一个，但它不可能是抛物线的焦点）
5、课外作业：
（1） 课本第119页习题8.5： 第2、4小题。
（2） 研究性学习（链接）
请同学们以研究性学习小组为单位结合课本中的阅读材料，细心观察生活，或到图书室查阅资料，或到网络上收集整理我们日常生活中的抛物线，并以一个实际例子说明它的应用原理，如果涉及其他学科的知识，可向相关老师询问、
请教，请在中期考试后各小组上交研究报告作业。
开题介绍：抛物线在我们日常生活中用途非常广泛，比如：（链接）
1、图片：①绽放的礼花（烟花）轨迹；
②古老的石拱大桥孔曲线；
③现代的钢粱大桥的拱轴曲线；
④雨后的彩虹曲线；
⑤亚洲最大的国际机场航站楼--广州新白云机场航站楼屋顶曲线等。
（说明：桥孔不一定都是抛物线形的，还可能是圆弧形。比如苏州园林就有很多圆弧形的拱桥。）
2、Flash课件：探照灯的轴截面示意图。
3、Flash课件：飞机投弹演示。
六、板书设计：（本课时的大部分内容均用幻灯片打出，板书内容只有以下少许）
抛物线的定义及标准方程（一）例1（2）（另解）： 探索：当时， 所以焦点F（，0）；准线。当时， 作法：1、在抛物线C上任取两点A、C，过 所以焦点F（，0）； 这两点分别作的垂线AB、CD。准线。 2、以A、C两点为圆心，分别以AB、故无论还是，结果都与 CD为半径画弧，交抛物线内部一直接利用结论得到的结果一样。 点F，F点即为所求的焦点。
七、课后反思：
本节课是笔者在重庆市万州区级骨干教师培训班学习时，在新课程理念的指导下为骨干教师们献的一堂研究课，获得了与会专家和骨干教师们的一致肯定。但课后回想起来还是有几处值得与同行们共同商榷的地方：
1、本节课重难点的选择。笔者查阅了许多的参考资料，众说不一，有的说是用坐标法求出抛物线的标准方程；有的说是引导学生正确进行数学图形语言、文字语言、符号语言及其相互转化；有的说是抛物线定义极其标准方程四种形式的灵活使用等等。笔者认为：本节课是在学完椭圆和双曲线的知识的基础上进行讲解的，前面我们已经学会了推导椭圆、双曲线的标准方程，因此推导抛物线的标准方程的过程对学生来说，不应是重点，坐标系的选择也不是学生的难点。事实上，从课堂的实际教学来看，首先由老师引导学生建立恰当的直角坐标系（学生通过学习椭圆、双曲线的有关知识，已完全能够遵循简单性原则，稍好的学生就可凭直观感觉知道如何选择），接着推导出开口向右的抛物线的标准方程后，然后让学生推导标准方程的其余三种形式，学生只花了3分钟以内的时间就可以完成。所以对成绩稍好 的学生完全可以把应用作为作为本节课的重点，难点应放在如何探究标准方程与其焦点、准线间的关系上。当然为了加深学生对标准方程中“标准”二字的理解，也可以让学生下课后去自主探究选择不同的坐标系，观察所得抛物线的方程会有什么区别和联系。
2、本节课的引入。本节课可以像讲椭圆、双曲线一样从画图开始进行引入，这样可以使学生易于想到且自然直观；也可以通过我们生活中实际例子进行引入，比如：可用第一章幻灯片的钢梁大桥的拱轴曲线，或绽放的礼花曲线、飞机投弹轨迹等等，这样可以让学生感到数学知识都是源于生活，但又抽象于生活和高于生活。让学生们感到只要做生活的有心人，生活中的数学将随处可见，从而可以激发学生学习数学的积极性。又可以让学生回忆我们初中学过了抛物线的哪些知识引入课题，这样可以使学生感到仅有初中的知识还不能满足实际的需要，从而让学生体会任何事物都是在不断解决矛盾的过程中进行发展变化的辨证唯物主义观点。还可以通过复习椭圆、双曲线的第二定义进行引入，这样定义抛物线，便于导出它的标准方程，也可以让学生一开始就看到抛物线和椭圆、双曲线之间的联系，并为后面圆锥曲线进行小结作好准备。笔者根据学生的实际情况选择了后者。
3、课本上抛物线定义的严谨性。课本中对抛物线的定义是如此定义的：“平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线”。稍加分析，就会发现此定义有缺陷，比如，当点F在直线上时，符合条件的点的轨迹就不是抛物线，而是过F点且垂直于直线的一条直线。因此在抛物线定义中的一条定直线前应加上“不过该点的”几个字才比较准确。同样的，用圆锥曲线的统一定义来定义抛物线时，也应该在定直线前加上“不过该点的”几个字，否则得到的点的轨迹就不一定是抛物线。
4、课堂容量要适度。本堂课虽然是抛物线知识的第一堂课，但内容较多，容量较大。笔者执教的是理科好班，生源质量相对较好，但又不是特别的好，表现在优生不优，差生仍然存在的局面，所以在一节课只有40分钟的情况下，本堂课显得容量较大，节奏偏快，从而在实验的演示上没有足够的时间进行充分的展示。导致在演示完“画抛物线”实验后，让学生回答抛物线上点的特点时，出现了|PA|=|PE|的错误。因此教师在讲授每节课时，首先要分析教情和学生的学情，应根据学生的实际情况和教学内容的重要程度来进行增加或删减内容，不要一把尺子量到底，要具体情况具体分析。
5、注意数学思想、数学方法的归纳提升。知识是基础，方法是手段，思想是深化，能力是数学素质的综合体。数学思想方法较之数学基础知识，有更高的层次和地位。如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，只能够领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。中学数学中的主要思想方法有：函数与方程的思想，数形结合思想，分类讨论思想，化归与转化的思想。数学基本方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。中学数学的基本方法主要是：消元降幂法，换元法，配方法，待定系数法，参数法，反证法，数学归纳法等等。然而数学思想方法的形成又不是孤立、速成的，它常常是在学习、掌握数学知识的同时获得，是需要在长期的训练中潜移默化地形成。因此教师在每节课讲完基础知识的同时要将其归纳升华为数学思想和数学方法。比如学习本节课就能升华出方程的思想，数形结合思想，分类讨论思想，化归与转化的思想，以及用到了消元降幂法、待定系数法等数学基本方法，从而达到画龙点睛的效果。
6、渗透研究性学习。在学科教学中开展研究性学习成为我国当前课程改革的一大亮点。我们开展研究性学习不仅仅是转变学习方式，而是通过转变学习方式，促进每个学生的全面发展。笔者通过转变教学模式，在数学课堂教学中渗透研究性学习收到了一定的成效。由于本节课是在学生已学完椭圆、双曲线的所有知识，又初步认识了抛物线的基础知识，所以本节课的作业设置就结合本章后的阅读材料安排了研究性学习，从而采用了整合章节内容，拟订小课题研究的教学模式，以及让学生采取集思广益，收集信息、合作交流的学习模式，以此在平时的教学中逐步渗透研究性学习。从中考后学生交上来的研究报告作业来看，学生查阅了大量的资料，研究报告内容丰富，质量较高。从而也体现出学生对此种模式兴趣浓厚，积极性较高，不仅如此，它还为圆锥曲线整章的学习起到了很好的促进和推动作用，收到了良好效果。
2007.12
F
C A
·
·
·
P
K O


B A(3,1)
x
y
O F
Q P
顶
点
在
原
点
对称轴为x轴
标准方程为
y2=2px(p>0)
开口与x轴正向同向:y2=2px
开口与x轴正向反向:y2=-2px
对称轴为y轴
标准方程为
x2=2py(p>0)
开口与y轴正向同向:x2=2py
开口与y轴正向反向:x2=-2py
抛物线C
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