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重庆市丰都第二中学高2013级数学导学案
课题：函数单调性与最大（小）值（3） 编写人：陶华成 审核人：陈东 日期：2010-9-24
【教学目标】
1.理解函数最大（小）值的定义及其几何意义；
2.能够应用函数单调性求解相应的最值问题；
3.体会数形结合在求最值中的作用。
【重点难点】
重点：函数最值的求解；
难点：给定区间上的函数最值的求法。
【知识链接】
函数单调性的判断及证明。
【课前预习】
亲爱的同学们：我们已经学习了函数单调性的判断、证明及其简单应用，今天我们将一起学习函数的另一个简单而又实用的性质—函数的最大（小）值。请带着下面的问题进行预习！
1.函数图像的上升和下降反映了函数的单调性，如果函数图像存在最高点和最低点，它反映了函数的 （性质）。
2.你能理解函数最大值的定义吗？M满足的两点是什么含义？是否任何一个函数都有最大值？请举例说明！
3.你能仿照函数最大值的定义给出函数最小值的定义吗？请讨论写出函数最小值的定义！
4.函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？如果函数的值域是，则函数存在最大值吗？
5.课本的例1说明函数最值在实际生活中的应用，你还能结合生活实际举例说明最值在实际生活中的应用吗？
6.①设函数，成立吗？的最大值是2吗？为什么？
②你能求出函数在区间上的最值吗？
③函数，有最大值吗？为什么？
7.通过第6题的求解和对课本上的例4理解，你能说明函数单调性在求最值中的作用吗？你能否归纳出求解最值的一般步骤？
8.如果在函数定义域内存在和，使对于定义域内的任意x都有成立，你能得到什么结论吗？
【例题讲解】
例1A.一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？
变式：某汽车租赁公司月收入y元与每辆车的月租金x 之间的关系为，那么，当每辆车的租金为多少元时，租赁公司的收益最大？最大月收益为多少？
例2A. 已知函数，。
（1）求，的单调区间； （2）求，的最小值。
变式：函数的最小值为 ，最大值为 . 如果是呢？
例3B. 求在区间[3，6]上的最大值和最小值.
变式：求的最大值和最小值.
例4C. ：已知函数对任意，总有，而且当时，，。求在上的最大值和最小值。
【课堂练习】
1A. 函数的最大值是（ ）.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2A. 函数的最小值是（ ）.
A. 0 B. －1 C. 2 D. 3
3B. 函数的最大值为 ，最小值为 .
4B. 作出函数的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小值．
（1）； （2） ；（3）.
5B. 已知函数的图象关于y轴对称，且在区间上，当时，有最小值3，则在区间上，当 时，有最 值为 .
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重庆市丰都第二中学数学导学案
课题：函数单调性与最大（小）值（1）
编写人：陈东 杨清友 审核人：陈东 日期：2010-9-18
【学习目标】
1. 理解函数的单调性的概念及其形成过程；
2. 能够应用定义证明简单函数单调性；
【重点难点】
重点：函数单调性的定义；用定义证明函数单调性
难点：增（减）函数形式化定义的形成。
【知识链接】
一次函数、二次函数、正反比例函数的图像
【课前预习】
亲爱的同学们：请带着下面的问题进行课前预习，预习结束时，你能否关上课本独立解决下面所提出的问题，这是衡量预习有无效果的重要标准！如果你预习完后下面的多数问题不能回答就要改进你的预习习惯，要不然你的高中数学学习效率会很低。
预习教材，完成下面的问题：
1、描述函数值随自变量增大而增大（或减小）是函数的 性质。
2、如果做出了函数图像，就可以通过图像的 或 来判断函数值随自变量的变化情况.
3、准确记忆增（减）函数的定义（课前要能够关着书本背诵出来）！
4、你认为掌握增（减）函数定义的关键在哪里？
（1）.“定义域I内某个区间D”，说明了集合I与D的关系是什么？D=I可能吗？集合D能是空集吗？
（2）.“对于…，任意…，都有…”是什么意思？你是怎么理解的？说说看。
5、函数单调性是函数在整个定义域上的性质吗？
6、（课本上的例1）如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.
能否把答案写成： 函数在区间上是增函数，在上是减函数？为什么（结合单调函数的定义去找答案）？这个问题是提醒我们注意什么？
7、你能用增减函数的定义证明简单函数的单调性吗？仔细阅读课本的例2的证明过程，试完成下面的问题（注意过程的书写哟！）
用定义证明函数在R上是增函数.
8、你能归纳总结一下用定义证明函数的单调性的基本步骤吗？试试看！测试一下自己的概括能力！
9、完成下表：
函数类型 函数在定义域内的单调区间
【典型例题】（预习时不作要求）
例题1A：用定义证明函数在是增函数。（注意变形中配方的技巧）
变式A：证明在区间R上是减函数。
例题2A：证明在上是增函数。（注意分式函数的变形技巧）
变式：用定义证明在上为减函数。
例题3A：用定义证明在定义域内是减函数。（注意根式函数的变形技巧）
例4B（选讲）先画出下面两个函数的图像，然后写出各自的单调区间：
（1） （2）
例5C（选讲）已知函数对任意，总有，且当时，，。证明：是R上的减函数。
【课堂练习】
1A. 如果函数在R上单调递减，则（ ）
A. B. C. D.
2A. 函数的单调增区间是___________，单调减区间是___________。
3B．函数的单调区间是_____________。
4C、函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
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