12.2尺规作图专题

《尺规作图》专题
一、尺规作图概述
1、尺规作图：把限定用直尺（不使用刻度度量）和圆规来画图，称为尺规作图。最基本、最常用的尺规作图，称基本作图。
2、常见的五种基本作图
（1）作一条线段等于已知线段;
（2）作一个角等于已知角;（教材第7-8页）
（3）作已知角的平分线;（教材第19页）
（4）作已知线段的垂直平分线; （教材第34-35页）
（5）经过一点作已知直线的垂线（包括两种类型：过直线上一点作一条直线与已知直线垂直、过直线外一点作一条直线与已知直线垂直）。
3、常见的作三角形
己知三边求作三角形、己知三角形的两条边及其夹角求作三角形、己知三角形的两个角及其夹边求作三角形、己知一直角边和斜边求作直角三角形。
二、几种基本作图
1、作一条线段等于已知线段
如图1，MN为已知线段，用直尺和圆规准确地画一条线段AC与MN相等。　　
作法：
1、画射线AB；
2、然后用圆规截取线段MN的长，再在射线 AB上截取AC＝MN。
则线段AC就是所要画的线段。

图1

2、作一个角等于已知角
如图2，∠AOB为已知角，用圆规和直尺准确地画∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB。
作法：
1、 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C，D；
2、 画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
3、 以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交前一条弧于D′；
4、 过点D′画射线O′B′。
则∠A′O′B′就是所要画的角。

图2

3、作已知角的平分线
如图3，已知∠AOB。求作：∠AOB的平分线。
作法：
1、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；
2、分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
3、画射线OC。
则射线OC即为所求。
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图3
4、作已知线段的垂直平分线（或中点）
如图4，已知线段AB，画出它的垂直平分线。
作法：
1、分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C,D两点；
2、作直线CD。
则直线CD就是线段AB的垂直平分线。
5、经过一点作已知直线的垂线
（1）过直线上一点作一条直线与已知直线垂直
如图5，点C在直线AB上，过点C作直线AB的垂线，使它经过点C。
作法：
作平角ACB的角平分CD。
则直线CD就是所求的垂线。
（2）过直线外一点作一条直线与已知直线垂直
如图6，点C在直线AB外，过点C作直线AB的垂线，使它经过点C。
作法：
1、以点C为圆心，以大于点C到直线AB的距离的长度为半径画弧交直线AB于D、E两点；
2、分别以点D、E为圆心，以大于DE的长为半径，在另一侧作弧，两弧相交于点F；
3、连接CF,作出直线CF。
则直线CF就是所求的垂线。
三、例题：
例1、己知三边求作三角形。
己知一个三角形三条边分别为a，b，c求作这个三角形。
例2、己知三角形的两条边及其夹角，求作三角形
已知一个三角形的两条边分别为a，b，这两条边夹角为∠a，求作这个三角形
例3、己知一直角边和斜边求作三角形
己知一个直角三角形的一条直角边为a，斜边长为c，求作这个三角形。
四、分层练习：（注意：以下题目，保留作图痕迹，都要写作法）
1、如图，已知线段a和b，求作一个等腰三角形，使它的腰长等于a，底边长等于b．

（第1题）

2、如图，画一个等腰△ABC，使得底边BC=，它的高AD=。
五、中考试题
1．（2010四川凉山）已知： HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求作的平分线；根据如图所示，填写作法：
① 。
② 。
③ 。
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2、（2010 重庆）尺规作图：请在原图上作一个，使其是已知 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的倍．（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论)
已知：
求作：
【答案】
已知：．
求作： HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，使．
3、（2010浙江杭州）如图, 在平面直角坐标系 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 中, 点(0,8), 点 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 (6 , 8 ).
(第18题)
(1) 只用直尺(没有刻度)和圆规, 求作一个点，使点 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 同时满足下
列两个条件(要求保留作图痕迹, 不必写出作法)：
1）点P到， HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 两点的距离相等；
2）点P到的两边的距离相等.
(2) 在(1)作出点 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 后, 写出点的坐标.
【答案】
(1) 作图如图所示, 点 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 即为所求作的点; --- 图形2分, 痕迹2分
(2) 设AB的中垂线交AB于E，交x轴于F，由作图可得, , HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 轴, 且OF =3,
∵OP是坐标轴的角平分线，
∴(3，3). --- 2分
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4．（2010重庆市潼南县）画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）.
已知：
求作：
【答案】
已知：线段a、h
求作：一个等腰△ABC，使底边BC=a，底边BC上的高为h --------- 1分
画图（保留作图痕迹，图略）--------------------------------------------6分
5．（2010江苏泰州）已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要求填空：
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．
由⑴、⑵可得：线段EF与线段BD的关系为 。
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【答案】
⑴、⑵题作图如下；由作图可知线段EF与线段BD的关系为：互相垂直平分．
6．（2010重庆綦江县）尺规作图：如图，已知△ABC．
求作△A1B1C1，使A1B1＝AB，∠B1＝∠B，B1C1＝BC．
（作图要求：写已知、求作，不写作法，不证明，保留作图痕迹）
已知：
求作：
【答案】
已知：如图，△ABC．
求作：△A1B1C1，使A1B1＝AB，∠B1＝∠B，B1C1＝BC．
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7、已知两边和其中一边上中线的长，求作这个三角形。
8、已知：线段a、h、m。
求作：△ABC，使BC = a,BC边上的高AH=h,中线AM=m。
.
第2题图
A
O
B
第2题答案图