1.2.1函数的概念教学设计
一、基本说明
1、教学内容所属模块：必修1
2、年级：高一年级?
3、所用教材出版单位：人民教育出版社（A版）
4、所属的章节：第一章第二节第1课时
5、学时数：45 分钟?
二、教学设计?
（一）、内容分析
1、内容来源
人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心编著的《普通高中课程标准实验教科书》A版 数学1(必修)：第一章第2单元第一节 函数的概念
2、地位与作用
函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图像、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(I)和基本初等函数(II)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.
在我们学习用集合与对应的语言刻画函数之前, 我们已经学会把函数看成变量之间的依赖关系;同时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念
（二）、教学目标
1、知识与技能：
① 理解函数的概念；体会随着数学的发展，函数的概念不断被精炼、深化、丰富.
② 理解函数符号“y=f(x)”的含义.
③ 初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义,会求一些简单函数的定义域.
④ 通过学习函数的概念，结合观察思考探究、协作交流讨论、以完成任务的方式向全班同学报告协作成果，培养学生的分析资料、提取信息、发现问题、提出问题和解决问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力。
2、 过程和方法：
I、 回顾初中阶段函数的定义，通过自主学习,结合观察思考、协作交流讨论、分析探究实例深化函数的定义。体会函数符号的含义. 在自我探索、合作交流中理解函数的概念.
II、 通过实例感知函数的定义域、值域，对应法则是构成函数的三要素，将抽象的概念通过实例具体化.
3、 情感、态度和价值：
通过学习函数的概念，启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐步形成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识, 由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想。
（三）、教学重点、难点
重点：理解函数的概念；会用集合与对应的语言来刻画函数.
难点：理解函数符号“y = f (x)”的含义.不容易认识到函数概念的整体性,而是将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.
（四）、学情分析：
因此我们必须从实际问题入手，由浅入深的帮助学生学习理解知识，通过“思考”、“探究”、“信息技术应用”等来启发和引导学生的数学思维，养成主动探索、积极思考的好习惯。
（五）、设计思路：
? 根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“复习导入发现法”。通过具体实例问题，引导和激发学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握函数概念的深层实质。教学流程为：创设情境引入新知→实例探究启发思维→类比启发形成新知→应用研究明确原理→例题讲解运用新知→课堂实践巩固新知→归纳总结完善→课外强化提升能力。
（六）、教具准备：
网络 多媒体 几何画板 Flash Powerpoint
（七）、教学过程：
教学环节
教师活动
学生活动
学生学习过程的观察和考查及设计意图
创设情境引入新知
一、抛砖引入复习思考探究（2分钟）
1.回顾复习(课件:初中函数的概念及类型)
(1) 初中函数的定义是什么？
(2) 初中学过哪些函数？
2. 提出问题: ?2007年?10月24日18时05分，搭载着我国首颗探月卫星嫦娥一号的长征三号甲运载火箭在西昌卫星发射中心三号塔架点火发射。在“嫦娥一号”升空期间，我们时刻关注“嫦娥一号”离我们的距离y随时间t是如何变化的，本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.由此引出课题.
学生回忆知识要求充分发表自己的意见。
复习旧知
激发学生的思维。
实例探究
启发思维
二、创设情景，探究总结、形成新知（8分钟）
1、课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
Flash演示 示例1：一枚炮弹发射后，经过60s落到地面击中目标. 炮弹的射高为4410 m，且炮弹距地面的高度h (单位：m)随时间t (单位：s)变化的规律是 h = 294t – 4.9t2.
几何画板演示 示例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
1、学生演示实验。
1、利用信息技术培养学生动手能力。
几何画板演示 示例3 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
2、引导学生发现问题
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
3、提出问题, 并进行问题分析
(1) (分析、归纳)以上三个实例，它们有什么共同点?
我们分析以上三个实例，得出它们都有两个变量,其中一个是时间t,另外一个变量都随着t的变化而变化的.两个变量都有各自的取值范围:
引例1: 时间t 的变化范围是0 t60;高度h的变化范围是0h4410,每一个t有且只有一个确定的值h与之相对应.
引例2: 时间t的变化范围1979t2001; 臭氧空洞面积s的变化范围是0 s 26, 每一个t有且只有一个确定的值s与之相对应.
引例3: 时间t的变化范围1991 t2001; 恩格尔系数y的变化范围是 37.9 y53.8,每一个t有且只有一个确定的值y与之相对应.
(2) 用集合与对应的语言如何描述各个实例中两个变量间的依赖关系?
引例1: 时间t的变化范围是数集A={t|0 t60};
高度h的变化范围是数集B={h|0 h4410}.
则有对应 ?: th=294t-4.9t2 ,t∈A,h∈B.
引例2: 时间t的变化范围是数集A={t|1979t2001};
臭氧空洞面积s的变化范围是数集B={s|0 s 26}.
则有对应 ?: ts ,t∈A, s∈B.
引例3: 时间t的变化范围是数集A={t|1991 ≤t≤2001};
恩格尔系数y的变化范围是数集B={y|37.9 y53.8}.
则有对应?: ty, t∈A, y∈B.
各个实例中两个变量的变化范围都是非空数集.
(3) 根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系?
各个实例中的两个变量间建立了对应关系,以上对应关系是函数关系.
探究：用集合与对应的语言如何描述两个变量间的函数关系?
教师引导学生解决问题，从而得出新知识---函数的概念
三、新知探讨, 形成概念（8分钟）
1、函数的有关概念
（1）函数的概念：
一般地,设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（fun_ction）．记作：y=f(x)，x∈A．其中,
① x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；
② 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．
（2）函数概念理解?(阅读教材、小组竞争、协商讨论)
① “y=f(x)”表示在法则?作用下变量y是变量x函数，变量间的函数关系可以用任意的字母如“y=g(x)”表示吗?
② 函数符号“y=f(x)”中的f(x)可以分开表示f乘x?
③ 符号f(x)与f(a)(a∈R)有区别吗?
④ 由函数的概念和实例可得到函数的定义域是指什么?如何求函数的定义域?
⑤构成函数的三要素是什么？
⑥ (教材第19页练习)表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h=130t-5t2和二次函数y=130x-5x2是否相等?为什么?
⑦当实数a、b的符号相同,绝对值相等时,实数a=b;当集合A、 B中元素完全相同时,集合B=A;那么两个函数满足什么条件才相等呢?
⑧ 研究函数时常会用到区间,你清楚区间的概念、区间的分类、无穷区间、区间的数轴表示吗?
⑨ 初中学过的函数的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y=ax+b(a≠0) 、y=ax2+bx+c(a≠0)、y=(k≠0).比较函数描述性定义和用集合与对应语言刻画的函数定义，谈谈体会.
（3）报告成果,问题解决
① “y=f(x)”表示在法则?作用下变量y是变量x函数，可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”. 在中表示对应法则，它在不同函数中的含义不一样.y=不一定是解析式，有时可能是“表格”或“图象”。
② 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与x对应的函数值，它是一个数，而f(x)不表示f乘x.
③ 符号f(x)与f(a)(a∈R)有区别也有联系,当a是变量时,f(x)与f(a)是同一个函数；当a是常数时, f(a)表示自变量x=a对应的函数值,是一个常量.
④ 由函数的概念和实例可得到:函数的定义域通常由问题的实际背景确定,指能使函数有意义的自变量的取值范围或所有自变量的取值组成的集合；
函数有意义是指:
自变量的取值使分母不为0；开平方根时,被开方数为非负数；有实际问题背景时,还要满足实际意义的取值；由几个部分的数学式子构成的函数, 函数的定义域是使各部分的数学式子都有意义的自变量的集合（即求各部分定义域的交集）.
⑤ 构成函数的三要素是:定义域、对应关系和值域.
⑥ (教材第19页练习)表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h=130t-5t2和二次函数y=130t-5t2不相等.因为炮弹飞行高度h与时间t关系是实际问题, 时间t 的变化范围是0≤t26; 二次函数中t的变化范围是R.
⑦当两个函数满足条件: 三要素完全相同时，两个函数才是相等函数(或同一函数).但函数的值域是由定义域和对应法则f决定的,所以如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,我们称这两个函数相等.
⑧ 研究函数时常会用到区间,区间的概念(相关知识见课件):
设实数a、b满足a?b.我们规定:
满足不等式的实数x的集合就叫做闭区间,表示[a,b].
满足不等式a < x < b的实数x的集合就叫做开区间,表示(a,b).
满足不等式a < x b 或a x < b的实数x的集合就叫做半开半闭区间,分别表示为(a,b], [a,b).
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
实数集R可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x≧a, x>a, x≦b, x区间分类: 开区间、闭区间、半开半闭区间；
无穷区间: （-∞，+∞）、[a,+∞)、（a,+∞）、(-∞,b]、(-∞,b).
区间的数轴表示（这些区间的几何表示如上表所示.在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。）:
⑨ 已学函数的定义域和值域:
一次函数:定义域R, 值域R;
反比例函:定义域, 值域{y∣y≠0};
二次函数: 定义域R,
值域 当时，；当时， .
2、分组充分思考、讨论问题
3、学生在老师引导下，探究形成函数的概念。
2、培养学生概括总结、交流表达能力。
例题讲解运用新知
四、理论实践，发展思维（10分钟）
例1：已知函数f (x) = +
（1）求函数的定义域；
（2）求f（－3），f ()的值；
（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
解：见教材第17页例1解答.
例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积S关于x的函数的解析式，并写出定义域.
分析：由题意知，另一边长为，且边长为正数，
所以0＜x＜40.
所以 s= =（40－x）x（0＜x＜40）.
(知识再现)引导学生小结几类函数的定义域：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义.
例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）y = ()2 ; （2）y = () ;
（3）y = ; （4）y=
分析： 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系f完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
解：见教材第18页例2解答.
1、在学生熟悉函数三要素的基础上进一步理解与掌握。?2、师生合作共同完成，明确函数的表示方法。
3、师生合作探究、深化理解函数
1、正确书写解题过程，明确解题格式。
2、培养学生合作能力。
3、全面理解函数，认识提升学生能力
课堂实践巩固新知
五、巩固深化，分组完成,反馈矫正（8分钟）
教材第19页练习第1、2题
答案： 1.教材第19页练习第1题:
(1) 定义域:{x|}. (2) 定义域:{x|}.
2.教材第19页练习第2题:
(1) f(2)=28; f(-2)=-28; f(2)+f(-2)=0.
(2) f(a)=3a3+2a; f(-a)=-(3a3+2a); f(a)+f(-a)=0.
（2）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
① f(x )=(x-1)0； g ( x ) = 1
② f(x )= x； g ( x ) =
③ f(x )= x 2； f ( x ) = (x + 1) 2
④ f(x )=|x|； g ( x ) =
解: ①、②、③ 都不是同一个函数;④是同一个函数
（3）求下列函数的定义域：
① ； ② ；
③ f(x) = +； ④ f(x) = 。
解: ① 定义域:{x|x<0 }. ② 定义域:{x|}.
③ 定义域:{x| }. ④ 定义域:{x|}.
学生独立完成后相互检查
培养学生自觉性、自主性、独立性的个性品质。
归纳总结完善
六、课堂小结（学生总结，教师补充）（2分钟）
（1）归纳小结(学生回顾后总结，教师补充修正)
① 从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言刻画了函数的概念；
② 初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。
③ 当确定用解析式y= f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；
如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。
(2)、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系.
(3)、课堂信息反馈（收集调查存在的疑问）.
?
学生思考讨论，推荐代表回答
?
培养学生总结、表达能力、语言组织能力
当
堂
测
试
七、当堂测试（7分钟）
1．下列四种说法正确的一个是（ ）
A．表示的是含有的代数式
B．函数的值域也就是其定义中的数集B
C．函数是一种特殊的对应
D．对应是一种特殊的函数
2．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A． B．
C ． D．
3.已知函数的定义域为（ ）
A． B．
C ． D．
4．设集合A 中含有2个不同元素，从集合A到集合A可构成 个不同的函数;
5．下列四个命题：
（1）f(x)=（x∈R）有意义.
（2）函数是其定义域到值域的对应.
（3）函数y=2x(x)的图象是一直线.
（4）函数y=的图象是抛物线。其中正确的命题的题号是______
6．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是 （ ）
A．x=60t B．x=60t+50t
C．x= D．x=
参考答案 1.C; 2 .C; 3.D; 4 .0或 4; 5.（2）;6 .D.
?
学生限时独立完成
信息反馈检查学生知识掌握情况。
课外扩充学习
(1)、课外复习与预习：阅读教材第15页至第21页.
(2)、课外知识信息提供
数学家的故事 函数的故事 好好学习网
数学史世界 北峰数模网
课本重现与预习，网络查阅
相关知识扩充与提升。
三、板书设计
1.2.1 函数的概念
复习与引例分析
函数相关的概念及其理解
3. 示例分析（师生共同合作探究）
4. 学生练习与测试
5. 课堂小结
6. 课外作业
四、教学后记
1．大部分学生学会了用集合与对应的语言来刻画函数，但是由于自制课件中的内容用几何画板演示，少数几个学生并不能熟练运用多媒体学到相关的知识。
2．学生对函数的概念的理解还有待提高。表现在：为什么函数的定义域、值域必须是数集；为什么函数的自变量可以是单项式，也可以是多项式；当已知复合函数的定义域时如何求f(x)的定义域；以及当已知f(x)的定义域求复合函数定义域时区别与联系等等。另外，学生求定义域时不会解不等式组或求解集不正确，这样无法保证按时完成教学任务。
3.就我个人而言，我对本次课还是比较满意：学生非常配合,上课很专注，而且积极主动回答问题。尤其让我高兴的是这次课没有学生聊天或玩。而且我本人通过这次课也学到了不少东西。但这几天天气炎热，风扇的噪音太大，这使老师上课很吃力。
附：新课程标准与教学大纲要求比较
内容
《标准》目标表述
《大纲》目标表述
函
数
① 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数。③ 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。④ 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。⑤ 学会运用函数图像理解和研究函数的性质
①了解映射的概念，在此基础上加深对函数概念的理解。②了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法。③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。
