《直线与圆的位置关系》
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《直线与圆的位置关系》
上海理工大学附属初级中学 秦娟
一、教学目标
知识与技能：让学生从生活情境中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。
过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作交流等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由实验观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。
情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；让学生体验到数学来源于生活，激发学生学习数学的兴趣与热情；感受数学思维的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。
教学重、难点
重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系；直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。
难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系；
二、教学过程：
教学环节 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图
（一）创设情景，孕育新知，引入新课 播放flash 动画：“海上日出”的片段，通过看动画，让同学们仔细观察画面；思考：从数学的角度，抽象出哪些几何图形的位置关系？引出课题：《直线与圆的位置关系》。 展示动画创设问题情景不明示三种位置关系的名称教师板书课题 观察思考，交流发现 通过直观画面展示问题情景，学生大胆猜想，激发学生学习兴趣，营造探索问题的氛围。同时让学生体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有。符合“数学教学应从生活经验出发”二期课改要求。
（二）启发诱导、探索新知，及时反馈； 1、动手实验，提出问题：概括直线与圆有哪几种位置关系，（学生如果回答“从直线与圆的交点个数上来进行区分”，则顺利地进行后面的学习；如果回答“类比点与圆的位置关系比较圆半径r与圆心到直线的距离d的大小进行区分”，则在补充交点个数多少的区分方法。）你是怎样区分这几种位置关系的？3）如何用语言描述三种位置关系？2、交流概括：可利用直线与圆的交点个数判断直线与圆的三种位置关系：1）直线与圆没有交点，称为直线与圆相离2）直线与圆只有一个交点，称为直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点。3）直线与圆有两个交点，称为直线与圆相交。这条直线叫做圆的割线。3、概念判断①直线与圆有＿＿种位置关系，是用直线与圆的＿＿＿的个数来定义的。②直线与圆最多有两个公共点。（ ） ③若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内。 （ ）④若A、B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离。 （ ）⑤若C为圆O内与O不重合的一点，则直线CO与圆O相交。（ ）4、探索数量关系点与圆的位置关系由哪两个量确定的？（半径和点到圆心的距离）类比一下，你认为直线与圆的位置关系由那些量决定？（半径和圆心到直线的距离）探索圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系。（小组交流合作）大胆猜想，探索结论：演示三个图形，观察圆心到直线的距离d与圆半径r之间的大小关系。（当d r时，直线在圆的外部，与圆没有交点，因此此时直线与圆相离；当d=r时，直线与圆只有一个交点，此时直线与圆相切；当d r时，直线与圆有两个交点，此时直线与圆相交）即：d r 直线与圆相离 d=r 直线与圆相切d r 直线与圆相交反之：若直线与圆相离，有d r吗？若直线与圆相切，有d=r吗？若直线与圆相交，有d r吗？总结：d r 直线与圆相离 d=r 直线与圆相切d r 直线与圆相交5、反馈练习总结：判定直线与圆位置关系的方法有＿＿种：根据定义，由直线与圆的＿的个数来判断；② 根据性质，由＿＿＿的关系来判断练习：圆O半径为5cm，O到直线a距离为3cm，则圆O与直线a位置关系是＿＿。直线a与圆O的公共点个数是＿＿。已知圆O半径为4cm，O到直线a距离为4cm, 则圆O与直线a的位置关系是＿＿＿。③ 已知圆O半径为6cm，O到直线a距离为7cm, 则直线与圆O的公共点个数是＿＿。④ 已知圆O的直径是6cm，O到直线a的距离为4cm， 则圆O与直线a的位置关系是＿＿。6、归纳小结，梳理新知直线与圆位置关系 相离 相切 相交 公共点的个数 公共点的名称 直 线 名 称 图形圆心到直线的距离d 与半径 r 的关系 教师层层设问，让学生思维自然发展，教学有序的进入实质部分。教师引导小组合作、组织学生完成教师板书讲解内容并总结：特别强调“只有一个交点”的含义组织学生反馈，要求讲出对错的理由。教师引导学生探索，学生归纳总结之后教师对提出的问题给予肯定回答。组织学生反馈，要求讲出每个判断的理由。及时梳理，比较异同，加深理解。 动手实验、观察、思考、猜测、概括学生回答交流，概括定义学生观察图形，积极思考，归纳总结，获得直线与圆的位置关系的第二种判断方法 动手实验培养学生的探究、思考能力。通过学生概括定义，培养学生归纳概括能力。及时了解学生对定义的掌握情况。由点与圆的位置关系的性质与判定，迁移到直线与圆的位置关系，学生较容易想到画图、测量等实验方法，小组交流合作，教师适时指导，探索圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系。在本环节中应关注如下几点：1、学生是否有独自的见解；2、学生能否理解“互逆”的关系。如有需要，教师应在课中或课后加以解释。强化基本概念，发现问题，及时补救。培养概括能力。
（三）讲练结合，应用新知，巩固新知 原例：在RT△∠ABC中ABC中，∠C=90︿，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？1) r=2cm 2) r=2.4cm 3) r=3cm变式1：当r满足________时，圆C与直线AB没有一个交点。当r满足________时，圆C与直线AB只有一个交点。当r满足________时，圆C与直线AB有两个交点变式2：当r满足________时，圆C与线段AB没有一个交点。当r满足________时，圆C与线段AB只有一个交点。当r满足________时，圆C与线段AB有两个交点. 组织学生完成，引导学生探索教师加强个别指导，收集信息评估回授，充分发挥教学评价的激励、调控功能，及时采取补救措施，使全体学生即使是学习有困难的学生都达到基本的学习目标，获得成功感。 观察分析，独立完成，同桌点评，自我修正观察分析积极思考，小组交流合作 本环节的练习难度层层加大，其目的是让学生加强对新知的理解和应用，培养学生解决问题的能力；基础题目和变式题目的结合既面向全体学生，也考虑到了学有余力的学生的学习，体现了因材施教的教学原则。在本环节中，一定要充分教师的主导作用，发挥教学评价的激励、调控功能。
（四）小结新知，画龙点睛 这节课有什么收获？知识上：能力上：数学方法、思想上 教师提问，注意数学语言的简洁、准确 学生回答，同时反思不足 交流收获与不足，让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯，有利于帮助学生理清知识脉络，同时明确本节课的学习目标，巩固学习效果。
（六）布置作业，复习巩固 一课一练31、2课外拓展：已知 A（3，4），以A为圆心，1）当r= ,圆A与坐标轴没有交点；2）当r= ,圆A与坐标轴有一个交点；3）当r= ,圆A与坐标轴有二个交点；4）当r= ,圆A与坐标轴有三个交点；5）当r= ,圆A与坐标轴有四个交点。 本环节的设计：一方面让学生养成课后复习阅读的良好习惯并通过适量的练习复习巩固课堂知识，另一方面设计提高练习，旨在培优，体现了分层教学的原则和因材施教的原则。
教案设计说明：
（1） 本节课的设计体现了“学会学习，为终身学习作准备”的理念，让学生在“数学活动”中获得学习的方法、能力和数学的思想，同时获得对数学学习的积极情感。
（2） 教师是教学工作的服务者，教师的责任是为学生的发展创造一个和谐、开放、富有情趣的学习新知识的探究氛围。本课引用 “海上日出”配以美伦美奂的景色，营造了探索问题的氛围；让学生体会到数学知识无处不在，让学生感受到“生活处处不数学”，从而在生活中主动发觉问题加以解决，达到“乐学”的目的；把实际问题与数学知识紧密联系，逐步渗透数学建模的思想方法，让学生掌握到更多的技能技巧。
（3） 课前设问，呈现本课知识目标。课前的3个设问，直奔主题，学生对本课应掌握的知识一目了然，重点分明。
（4） 变式训练，把学生置于创新思维的深入培养过程之中。众所周知，实施素质教育的突破口是创新教育，要培养学生的创新能力，就要有让学生进行创新思维的问题，而变式训练就是让学生展开创新思维的主阵地。教师在教学活动中应努力的去挖掘教材，有意识的去训练学生的思维，从而使学生逐渐形成良好的个性思维品质和良好的数学学习习惯。
31、2 直线与圆位置关系
探索位置关系：直线与圆有哪几种位置关系？
概念判断：
①直线与圆有 种位置关系，是用直线与圆的 的个数来定义的。
②直线与圆最多有两个公共点。 （ ）
③若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内。 （ ）
④若A、B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离。 （ ）
⑤若C为圆O内与O不重合的一点，则直线CO与圆O相交。（ ）
反馈练习：
总结：判定直线与圆位置关系的方法有＿＿种：
① 根据定义，由直线与圆的＿的个数来判断；
② 根据性质，由＿＿＿的关系来判断
练习：
① 圆O半径为5cm，O到直线a距离为3cm，则圆O与直线a位置关系是＿＿。直线a与圆O的公共点个数是＿＿。
1 已知圆O半径为4cm，O到直线a距离为4cm, 则圆O与直线a的位置关系是＿＿＿。
③ 已知圆O半径为6cm，O到直线a距离为7cm, 则直线与圆O的公共点个数是＿＿。
④ 已知圆O的直径是6cm，O到直线a的距离为4cm， 则圆O与直线a的位置关系是＿＿。
梳理新知：
直线与圆位置 相交 相切 相离
公共点的个数
公共点的名称
直线名称
图形
圆心到直线距离d与半径r的关系
原例：在RT△∠ABC中ABC中，∠C=90︿，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
1) r=2cm 2) r=2.4cm 3) r=3cm
变式1：
1）当r满足________时，圆C与直线AB没有一个交点。
2）当r满足________时，圆C与直线AB只有一个交点。
3）当r满足________时，圆C与直线AB有两个交点
变式2：
1）当r满足________时，圆C与线段AB没有一个交点。
2）当r满足________时，圆C与线段AB只有一个交点。
3）当r满足________时，圆C与线段AB有两个交点
课外拓展：已知 A（3，4），以A为圆心，
1）当r= ,圆A与坐标轴没有交点；
2）当r= ,圆A与坐标轴有一个交点；
3）当r= ,圆A与坐标轴有二个交点；
4）当r= ,圆A与坐标轴有三个交点；
5）当r= ,圆A与坐标轴有四个交点。
A
B
C
A
B
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《直线与圆的位置关系》
上海理工大学附属初级中学 秦娟
一、教学目标
知识与技能：让学生从生活情境中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。
过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作交流等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由实验观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。
情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；让学生体验到数学来源于生活，激发学生学习数学的兴趣与热情；感受数学思维的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。
教学重、难点
重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系；直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。
难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系；
二、教学过程：
教学环节 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图
（一）创设情景，孕育新知，引入新课 播放flash 动画：“海上日出”的片段，通过看动画，让同学们仔细观察画面；思考：从数学的角度，抽象出哪些几何图形的位置关系？引出课题：《直线与圆的位置关系》。 展示动画创设问题情景不明示三种位置关系的名称教师板书课题 观察思考，交流发现 通过直观画面展示问题情景，学生大胆猜想，激发学生学习兴趣，营造探索问题的氛围。同时让学生体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有。符合“数学教学应从生活经验出发”二期课改要求。
（二）启发诱导、探索新知，及时反馈； 1、动手实验，提出问题：概括直线与圆有哪几种位置关系，（学生如果回答“从直线与圆的交点个数上来进行区分”，则顺利地进行后面的学习；如果回答“类比点与圆的位置关系比较圆半径r与圆心到直线的距离d的大小进行区分”，则在补充交点个数多少的区分方法。）你是怎样区分这几种位置关系的？3）如何用语言描述三种位置关系？2、交流概括：可利用直线与圆的交点个数判断直线与圆的三种位置关系：1）直线与圆没有交点，称为直线与圆相离2）直线与圆只有一个交点，称为直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点。3）直线与圆有两个交点，称为直线与圆相交。这条直线叫做圆的割线。3、概念判断①直线与圆有＿＿种位置关系，是用直线与圆的＿＿＿的个数来定义的。②直线与圆最多有两个公共点。（ ） ③若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内。 （ ）④若A、B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离。 （ ）⑤若C为圆O内与O不重合的一点，则直线CO与圆O相交。（ ）4、探索数量关系点与圆的位置关系由哪两个量确定的？（半径和点到圆心的距离）类比一下，你认为直线与圆的位置关系由那些量决定？（半径和圆心到直线的距离）探索圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系。（小组交流合作）大胆猜想，探索结论：演示三个图形，观察圆心到直线的距离d与圆半径r之间的大小关系。（当d r时，直线在圆的外部，与圆没有交点，因此此时直线与圆相离；当d=r时，直线与圆只有一个交点，此时直线与圆相切；当d r时，直线与圆有两个交点，此时直线与圆相交）即：d r 直线与圆相离 d=r 直线与圆相切d r 直线与圆相交反之：若直线与圆相离，有d r吗？若直线与圆相切，有d=r吗？若直线与圆相交，有d r吗？总结：d r 直线与圆相离 d=r 直线与圆相切d r 直线与圆相交5、反馈练习总结：判定直线与圆位置关系的方法有＿＿种：根据定义，由直线与圆的＿的个数来判断；② 根据性质，由＿＿＿的关系来判断练习：圆O半径为5cm，O到直线a距离为3cm，则圆O与直线a位置关系是＿＿。直线a与圆O的公共点个数是＿＿。已知圆O半径为4cm，O到直线a距离为4cm, 则圆O与直线a的位置关系是＿＿＿。③ 已知圆O半径为6cm，O到直线a距离为7cm, 则直线与圆O的公共点个数是＿＿。④ 已知圆O的直径是6cm，O到直线a的距离为4cm， 则圆O与直线a的位置关系是＿＿。6、归纳小结，梳理新知直线与圆位置关系 相离 相切 相交 公共点的个数 公共点的名称 直 线 名 称 图形圆心到直线的距离d 与半径 r 的关系 教师层层设问，让学生思维自然发展，教学有序的进入实质部分。教师引导小组合作、组织学生完成教师板书讲解内容并总结：特别强调“只有一个交点”的含义组织学生反馈，要求讲出对错的理由。教师引导学生探索，学生归纳总结之后教师对提出的问题给予肯定回答。组织学生反馈，要求讲出每个判断的理由。及时梳理，比较异同，加深理解。 动手实验、观察、思考、猜测、概括学生回答交流，概括定义学生观察图形，积极思考，归纳总结，获得直线与圆的位置关系的第二种判断方法 动手实验培养学生的探究、思考能力。通过学生概括定义，培养学生归纳概括能力。及时了解学生对定义的掌握情况。由点与圆的位置关系的性质与判定，迁移到直线与圆的位置关系，学生较容易想到画图、测量等实验方法，小组交流合作，教师适时指导，探索圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系。在本环节中应关注如下几点：1、学生是否有独自的见解；2、学生能否理解“互逆”的关系。如有需要，教师应在课中或课后加以解释。强化基本概念，发现问题，及时补救。培养概括能力。
（三）讲练结合，应用新知，巩固新知 原例：在RT△∠ABC中ABC中，∠C=90︿，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？1) r=2cm 2) r=2.4cm 3) r=3cm变式1：当r满足________时，圆C与直线AB没有一个交点。当r满足________时，圆C与直线AB只有一个交点。当r满足________时，圆C与直线AB有两个交点变式2：当r满足________时，圆C与线段AB没有一个交点。当r满足________时，圆C与线段AB只有一个交点。当r满足________时，圆C与线段AB有两个交点. 组织学生完成，引导学生探索教师加强个别指导，收集信息评估回授，充分发挥教学评价的激励、调控功能，及时采取补救措施，使全体学生即使是学习有困难的学生都达到基本的学习目标，获得成功感。 观察分析，独立完成，同桌点评，自我修正观察分析积极思考，小组交流合作 本环节的练习难度层层加大，其目的是让学生加强对新知的理解和应用，培养学生解决问题的能力；基础题目和变式题目的结合既面向全体学生，也考虑到了学有余力的学生的学习，体现了因材施教的教学原则。在本环节中，一定要充分教师的主导作用，发挥教学评价的激励、调控功能。
（四）小结新知，画龙点睛 这节课有什么收获？知识上：能力上：数学方法、思想上 教师提问，注意数学语言的简洁、准确 学生回答，同时反思不足 交流收获与不足，让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯，有利于帮助学生理清知识脉络，同时明确本节课的学习目标，巩固学习效果。
（六）布置作业，复习巩固 一课一练31、2课外拓展：已知 A（3，4），以A为圆心，1）当r= ,圆A与坐标轴没有交点；2）当r= ,圆A与坐标轴有一个交点；3）当r= ,圆A与坐标轴有二个交点；4）当r= ,圆A与坐标轴有三个交点；5）当r= ,圆A与坐标轴有四个交点。 本环节的设计：一方面让学生养成课后复习阅读的良好习惯并通过适量的练习复习巩固课堂知识，另一方面设计提高练习，旨在培优，体现了分层教学的原则和因材施教的原则。
教案设计说明：
（1） 本节课的设计体现了“学会学习，为终身学习作准备”的理念，让学生在“数学活动”中获得学习的方法、能力和数学的思想，同时获得对数学学习的积极情感。
（2） 教师是教学工作的服务者，教师的责任是为学生的发展创造一个和谐、开放、富有情趣的学习新知识的探究氛围。本课引用 “海上日出”配以美伦美奂的景色，营造了探索问题的氛围；让学生体会到数学知识无处不在，让学生感受到“生活处处不数学”，从而在生活中主动发觉问题加以解决，达到“乐学”的目的；把实际问题与数学知识紧密联系，逐步渗透数学建模的思想方法，让学生掌握到更多的技能技巧。
（3） 课前设问，呈现本课知识目标。课前的3个设问，直奔主题，学生对本课应掌握的知识一目了然，重点分明。
（4） 变式训练，把学生置于创新思维的深入培养过程之中。众所周知，实施素质教育的突破口是创新教育，要培养学生的创新能力，就要有让学生进行创新思维的问题，而变式训练就是让学生展开创新思维的主阵地。教师在教学活动中应努力的去挖掘教材，有意识的去训练学生的思维，从而使学生逐渐形成良好的个性思维品质和良好的数学学习习惯。
31、2 直线与圆位置关系
探索位置关系：直线与圆有哪几种位置关系？
概念判断：
①直线与圆有 种位置关系，是用直线与圆的 的个数来定义的。
②直线与圆最多有两个公共点。 （ ）
③若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内。 （ ）
④若A、B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离。 （ ）
⑤若C为圆O内与O不重合的一点，则直线CO与圆O相交。（ ）
反馈练习：
总结：判定直线与圆位置关系的方法有＿＿种：
① 根据定义，由直线与圆的＿的个数来判断；
② 根据性质，由＿＿＿的关系来判断
练习：
① 圆O半径为5cm，O到直线a距离为3cm，则圆O与直线a位置关系是＿＿。直线a与圆O的公共点个数是＿＿。
1 已知圆O半径为4cm，O到直线a距离为4cm, 则圆O与直线a的位置关系是＿＿＿。
③ 已知圆O半径为6cm，O到直线a距离为7cm, 则直线与圆O的公共点个数是＿＿。
④ 已知圆O的直径是6cm，O到直线a的距离为4cm， 则圆O与直线a的位置关系是＿＿。
梳理新知：
直线与圆位置 相交 相切 相离
公共点的个数
公共点的名称
直线名称
图形
圆心到直线距离d与半径r的关系
原例：在RT△∠ABC中ABC中，∠C=90︿，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
1) r=2cm 2) r=2.4cm 3) r=3cm
变式1：
1）当r满足________时，圆C与直线AB没有一个交点。
2）当r满足________时，圆C与直线AB只有一个交点。
3）当r满足________时，圆C与直线AB有两个交点
变式2：
1）当r满足________时，圆C与线段AB没有一个交点。
2）当r满足________时，圆C与线段AB只有一个交点。
3）当r满足________时，圆C与线段AB有两个交点
课外拓展：已知 A（3，4），以A为圆心，
1）当r= ,圆A与坐标轴没有交点；
2）当r= ,圆A与坐标轴有一个交点；
3）当r= ,圆A与坐标轴有二个交点；
4）当r= ,圆A与坐标轴有三个交点；
5）当r= ,圆A与坐标轴有四个交点。
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