角平分线的性质
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课件16张PPT。单击页面即可演示角的平分线的性质11.3问题1：
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500m，这个贸易市场应建在何处？（比例尺为1 ∶20000）
解决问题解决问题： 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D点即为 贸易市场应建的位置.问题1：
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个贸易市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）O. 如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着AC画一条射线AE，AE就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗？想一想 证明：在△ADC和△ABC 中，
AB=AD（已知），
AC=AC（公共边相等），
DC=BC（已知），
∴ △ADC≌△ABC (SSS).
∴∠DAC=∠BAC（全等三角形对应角相等），
∴ AE平分∠BAD（角平分线定义）.
２.分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C； 如何用尺规作角的平分线？AＢＯＭＣ 作法： １.以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交OA于Ｍ，交OB于Ｎ； ３.作射线OC,则射线OC即为所求（如图）． 观察折纸思考问题：
1.折痕PE和PD与角的两
边OA、OB有什么关系？
PD和PE相等吗？
2.两次折叠形成的两个直角三角形全等吗？
3.由此你能得出关于角平分线的结论吗？并证 明你的结论.
已知:如图, OC平分∠AOB, P是OC上一点, PD⊥OA,PE⊥OB .
求证:PD=PE.
证明: ∵OC平分∠AOB, P是OC上一
点（已知）,
∴∠DOP=∠EOP（角平分线定义）,
∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知）,
∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义）.角平分线性质:
角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角两边的距 离相等). 在△OPD和△OPE中,
∠DOP=∠BOP（已证）,
∠ODP=∠OEP（已证）,
OP=OP （已知）,
∴△OPD ≌△OPE(AAS),
∴PD＝PE（全等三角形对应边相等）. 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA、QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．思 考 证明:∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）， 在Rt△QDO和Rt△QEO中，
QO＝QO（公共边）， QD=QE（已知），
∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）.
∴ ∠QOD＝∠QOE,
∴ 点Q在∠AOB的平分线上.已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE,
∴ 点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上,
∴ QD＝QE.用数学语言表示为：例1 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.FABCPMN 练习：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G,FM⊥BC于M ,,FH⊥AD于H.GHM∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD，FM⊥BC.∴FM＝FH,∴FG＝FH,∴点F在∠DAE的平分线上. 1.角平分线的性质定理：
在角平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明
角相等、线段相等的新途径. 本节课学习了哪些知识？有哪些运用？你学会了吗？做了吗？用了吗？小 结谢谢，再见！
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500m，这个贸易市场应建在何处？（比例尺为1 ∶20000）
解决问题解决问题： 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D点即为 贸易市场应建的位置.问题1：
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个贸易市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）O. 如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着AC画一条射线AE，AE就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗？想一想 证明：在△ADC和△ABC 中，
AB=AD（已知），
AC=AC（公共边相等），
DC=BC（已知），
∴ △ADC≌△ABC (SSS).
∴∠DAC=∠BAC（全等三角形对应角相等），
∴ AE平分∠BAD（角平分线定义）.
２.分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C； 如何用尺规作角的平分线？AＢＯＭＣ 作法： １.以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交OA于Ｍ，交OB于Ｎ； ３.作射线OC,则射线OC即为所求（如图）． 观察折纸思考问题：
1.折痕PE和PD与角的两
边OA、OB有什么关系？
PD和PE相等吗？
2.两次折叠形成的两个直角三角形全等吗？
3.由此你能得出关于角平分线的结论吗？并证 明你的结论.
已知:如图, OC平分∠AOB, P是OC上一点, PD⊥OA,PE⊥OB .
求证:PD=PE.
证明: ∵OC平分∠AOB, P是OC上一
点（已知）,
∴∠DOP=∠EOP（角平分线定义）,
∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知）,
∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义）.角平分线性质:
角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角两边的距 离相等). 在△OPD和△OPE中,
∠DOP=∠BOP（已证）,
∠ODP=∠OEP（已证）,
OP=OP （已知）,
∴△OPD ≌△OPE(AAS),
∴PD＝PE（全等三角形对应边相等）. 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA、QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．思 考 证明:∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）， 在Rt△QDO和Rt△QEO中，
QO＝QO（公共边）， QD=QE（已知），
∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）.
∴ ∠QOD＝∠QOE,
∴ 点Q在∠AOB的平分线上.已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE,
∴ 点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上,
∴ QD＝QE.用数学语言表示为：例1 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.FABCPMN 练习：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G,FM⊥BC于M ,,FH⊥AD于H.GHM∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD，FM⊥BC.∴FM＝FH,∴FG＝FH,∴点F在∠DAE的平分线上. 1.角平分线的性质定理：
在角平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明
角相等、线段相等的新途径. 本节课学习了哪些知识？有哪些运用？你学会了吗？做了吗？用了吗？小 结谢谢，再见！