与勾股定理有关的习题归纳

与勾股定理有关的习题归纳
河北 赵兵魅
　　勾股定理是初中数学中非常重要的定理，它揭示了直角三角形的三边关系，体现了由“形”到“数”的数形结合思想，它在解决直角三角形的计算、证明和实际问题中得到了广泛应用．下面就与勾股定理有关的习题做如下归纳，以便于学生根据不同的情况，灵活地应用勾股定理．
　　一、利用勾股定理进行计算
　　当已知直角三角形的三边中任意两边的长，求第三边的长时，可直接利用勾股定理进行计算．
　　例１　如图１，要从电线杆离地面6米的处向地面拉一条10米长的拉线，求地面拉线固定点Ａ到电线杆底部的距离．
　　解：在中，，由勾股定理，得，所以（米）．
　　所以地面拉线固定点到电线杆底部的距离为8米．
　　二、利用勾股定理建立方程
　　只要是直角三角形，那么三边就存在这样的数量关系，所以可利用这种等量关系，建立方程，从而求得所求线段的长度．
　　例2　如图2，有一块直角三角形纸片沿直线折叠，使落在斜边上，且点与点重合，求的长．
　　解：由已知可得：与关于成轴对称，所以，，．
　　在中，，所以
．
　　设厘米，则厘米．
　　在中，由勾股定理，得．解得，所以（厘米）．
　　三、利用勾股定理进行说明
　　对于直角三角形，说明线段间的数量关系的一些题目，也可以利用勾股定理进行说明．
　　例3　如图3，垂直于点，设， ，那么与有怎样的大小关系？
　　解：与的大小关系是：．
　　理由如下：在中，有，在中，有，在中，有，在中，有，
所以，
，所以．
　　四、通过图形转化间接利用勾股定理
　　如果图形中没有直角三角形，可采用“割”、“补”的方法构造直角三角形，或把立体图形表面展开，转化为直角三角形，进而利用勾股定理解决问题．
　　例4　如图4表示，在四边形草坪中，，米，米，，求四边形草坪的面积．
　　解：连结，在中，
，所以．
　　在中，因为，所以，所以．
四边形＝（平方米）．
　　所以四边形草坪的面积为1825平方米．