广东省广州东莞五校09-10学年高二下学期期末联考（理数）

2009-2010学年度下学期期末模块考试
五校联考高二年级数学（理）科试卷
本试卷共4页，20小题，满分150分.考试用时120分钟。
【注意事项】
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题的答案一律做在答题卡上，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题，共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
⒈设集合，集合，则
A. B. C. D.空集
⒉若复数（为虚数单位），则的共轭复数
A. B. C. D.
⒊已知命题：，．则它的否定是
A.：， B.：，
C.：， D.：，
⒋已知函数，．则函数是
A.单调递增的奇函数 B.单调递增的偶函数
C.单调递减的奇函数 D.单调递减的偶函数
⒌已知向量，向量与的夹角为，且．则
A. B. C. D.
⒍已知某几何体是一个圆柱和一个球的组合体，球的直径和
圆柱底面直径相等，它的正视图（或称主视图）如图1所示，
这个几何体的表面积是
A. B. C. D.
⒎若曲线：(是常数)经过原点，则曲线在
点的切线是
A. B. C. D.
⒏平面直角坐标系中，曲线（且）在第二象限的部分都在不等式表示的平面区域内，则的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9．某项测量中，测量结果ξ服从正态分布 ，
若ξ在内取值的概率为，则ξ在内取值的概
率为 ．
10．展开式中，含项的系数是 ．
11.定义在实数集上的函数，其对应关系
由程序框图（如图2）给出， 的解析式是 ．
12.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（参数）．则曲线上的点到坐标原点距离的最小值是 ．
13．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点且轴，，则椭圆的离心率是 ．
14.一个数列，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，，它的首项是，随后两项都是，接下来3项都是，再接下来4项都是，…，依此类推，若，，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。）
15.（本小题满分13分）设函数，其中，
⑴求函数的单调增区间；
⑵在中，、、分别是角、、的对边，，，，求的面积．
16.（本小题满分13分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：
日销售量
频数
频率
⑴填充上表；
⑵若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立．
①5天中该种商品恰好有2天的销售量为吨的概率；
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望．
17.（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，
为底边的中点，为侧棱的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分13分）在数列中，，，且（）
（Ⅰ）设（），证明是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
19.（本小题满分14分）已知圆：，抛物线以圆心为焦点，以坐标原点为顶点．
⑴求抛物线的方程；
⑵设圆与抛物线在第一象限的交点为，过作抛物线的切线与轴的交点为，动点到、两点距离之和等于，求的轨迹方程．
20..（本小题满分14分）已知函数，，数列满足：，
，
(1) 当时，求的值并写出数列的通项公式（不要求证明）；
(2) 求证：当时，；
(3) 求证：
2009-2010学年度下学期期末模块考试
五校联考高二年级数学（理）科试卷答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
A
D
D
C
C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9.0.8 10. -160 11.
12.3 13. 14.
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15.（本小题满分13分）
解：⑴……2分，……3分，……4分，当即时，单调增加……5分，所以的单调增区间是……6分（包含或不包含区间端点均可，但要前后一致）．
⑵解，…7分，得，…9分，由余弦定理得…10分，解…11分，得…12分，所以的面积为…13分．
16.（本小题满分13分）
解：⑴从左至右两空格依次是、……2分
⑵①依题意，随机选取一天，销售量为吨的概率……3分
设5天中该种商品有天的销售量为吨，则～……4分
……6分，……7分
②的可能取值为4，5，6，7，8……8分
，

……10分（对2、3、4个给1分，全对给2分）
4
5
6
7
8
的分布列为
……11分
的数学期望为（千元）
……13分（列式1分，计算1分）．
17. （本小题满分13分）
解法一：证明：（Ⅰ）设的交点为O,连接，连接.
因为为的中点，为的中点,
所以 ∥且.又是中点，
所以 ∥且,
所以 ∥且.
所以，四边形为平行四边形.所以∥.
又平面,平面,则∥平面. ………………4分
(Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.
所以平面.
因为平面，所以.
由已知得，所以,
所以平面.
由（Ⅰ）可知∥，所以平面.
所以.
因为侧面是正方形，所以.
又，平面，平面,
所以平面. ………………………………………8分
（Ⅲ）解: 取中点，连接.
在三棱柱中，因为平面，
所以侧面底面.
因为底面是正三角形，且是中点，
所以，所以侧面.
所以是在平面上的射影.
所以是与平面所成角.
. …………………………………………13分
解法二：如图所示，建立空间直角坐标系.
设边长为2，可求得，,
，，，，
，，.
（Ⅰ）易得，，
. 所以， 所以∥.
又平面,平面,则∥平面. ………………4分
（Ⅱ）易得，，，
所以.
所以
又因为，，
所以平面. …………………………………………… 8分
（Ⅲ）设侧面的法向量为,
因为, ,，，
所以，.
由 得解得
不妨令，设直线与平面所成角为．
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为． ………………………13分
18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）证明：由题设（），得
，即，． …………………4分
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．…………5分
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）
　　　　　　　　，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，（）．
将以上各式相加，得（）． …………………9分
所以当时， …………………12分
上式对显然成立． …………………13分
19.（本小题满分14分）
解：⑴圆的圆心……1分，设抛物线：……2分，……3分，所以，所求抛物线的方程为或……4分．
⑵由方程组……5分，依题意解得……6分，
抛物线即函数的图象，当时，切线的斜率……8分，
切线为，即……9分，
时，，所以……10分．
的轨迹是焦点在轴的椭圆，设它的方程为……12分，
则，……13分，
解得，，
的轨迹方程为……14分．
20.（本小题满分14分）
解：(1)解：， ……………………………………2分
(2)证明：设，则，
∴在上为减函数，即，即，………………4分
设，则，
∴在上为增函数，即，即，………………5分
∴当时，。 ……………………………………6分
(3)由(1)知：当时，，
同理可证：当时，，即对，恒有：。…………7分
由得：，
∴ （） ………………8分
∴，，……，，
从而， …………………………………………10分
…11分

…………………13分

∴成立。 …………………14分