数学 教学设计：“不等式的性质”
文档属性
| 名称 | 数学 教学设计：“不等式的性质” |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 40.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-10-20 05:45:00 | ||
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文档简介
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数学：“不等式的性质”教学设计
一、教材分析
（一） 本节课在教材中的地位和作用：
本节课是人教版《数学》必修5第三章第一节不等关系与不等式第二课时的内容．它是在数（式）及其运算的系统中，在掌握等式的基本性质的基础上，类比等式的基本性质，通过考察“运算中的不变性”而获得不等式的基本性质的过程，由此要系统地建立求解或证明不等式的理论依据，因此本课时是本章乃至高中数学的重要基础性内容之一.
生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，通过这堂课的学习，学生将对数量关系的基本性质有一个完整的认识，形成一个知识体系．
（二） 教学目标：
1. 经历探索不等式的基本性质的过程，理解不等式的基本性质.
2. 在不等式基本性质的探索过程中，渗透类比思想方法,培养合情推理能力.
3.在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而培养学生的逻辑能力.
（三） 教学重点与难点：
教学重点：探索不等式的基本性质.
教学难点：基本性质的研究内容(运算中的不变性)和方法(类比等式的基本性质)的概括.
（四） 教学导图：
二、学情分析：
学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据；第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力．
三、教法：引导探究法
教法分析：
本节课的教学设计意在让学生通过与旧知识——等式的基本性质的类比中，通过自主探索与合作交流获得新知.所以,在教学过程中,要特别注意安排学生经历猜想——验证——归纳的完整的数学思维过程，让学生在独立思考的基础上进行交流活动,并注重合情推理能力的培养.
学法：自主探究、合作交流．
四、教学过程
1.复习引入
师：生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，不等关系在我们现实生活中普遍存在着．通过上一节课的学习，我们知道在数学中通常用不等式来表示不等关系．那么讨论不等关系、求解或证明不等式需要什么依据？这就是今天我们所要研究的内容——不等式的基本性质
【设计意图】：向学生指出研究不等式基本性质的重要性与必要性，点明本节课要研究的内容．
师：初中里我们借助于数轴，学习过实数大小的比较，在数轴上实数大小是如何规定的？
生：如果在数轴上两个不同的点A与B分别对应不同的实数那么右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．
师：也就是说我们是从数轴上直观感知的，借助于数轴去比较数的大小,是一种对数大小关系比较的感性认识．
师：从实数运算角度来讲，我们依据实数运算的结果，两实数大小的关系有以下定义：
如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么，反过来也对．
师：同学们，你能否用数学符号语言来表示这一定义？
生：
师：这一定义有什么作用？
生：从定义可知，要比较两实数的大小，可以考察这两个实数的差．
师：很好，通过差值的符号去判断两实数的大小，这是一种区别于从数轴上直观感知，严密的判断两数大小的方法．
师：在几何中当我们给出一个公理或定义后，往往要研究“性质与判定”，同样有了这个定义后，我们有必要去研究不等式的基本性质，以使我们更好的去求解或证明不等式．
提问：（1）
（2）若
生：成立
师：为什么？
生：用作差的方法去证明（学生讲解，教师板书）
师：板书不等式基本性质1与2
性质1：；（对称性）
性质2：，；，．（传递性）
【设计意图】：向学生强调：这一定义是一种证明、求解不等式的基本方法，是得到不等式基本性质的依据．
师：不等式还有另外的性质吗？初中里我们学习过等式与方程，等式的基本性质是什么？解方程的依据是什么？我们是怎样解方程的？
解一元一次方程
师：第一步做什么？
生：移项
师：移项的依据是什么？
生：等式的两边加上同一个数-1，所得的结果仍是等式
师：第二步做什么？
生：等式两边同除以2
师：依据是什么？
生：等式的两边同除以2，所得的结果仍是等式（教师补充说明除以2发即乘以）
师：同学们刚才所讲的两点依据就是等式的两条基本性质，等式的基本性质是解方程的依据．
（教师展示幻灯片）
等式基本性质1：如果，那么；
等式基本性质2：如果，那么；（）.
师：类比等式的基本性质，初中里我们所讲的不等式的基本性质又是怎样的？
生：；（1）
，；，（2）
，；，
师：你是怎样得出这些结论的？
生：（1）、（2）两个式子初中讲过
师：你还记得初中我们是如何给出这两个结论的？
生：好象是用法码，通过天平秤出来的
师：也就是通过直观感知得出此结论，那你今天能否给出严密的证明？
生：用两数大小判定的定义（作差比较法证）（学生在黑板上展示证明结果）
师：很好（并板书性质）
师：等式与平等式的这四条基本性质涉及了什么内容？揭示了什么规律？一是在等式（不等式）两边进行加、减、乘、除运算,二是在这个运算过程中，虽然在变化，但左右两边所对应的结果，要么相等、要么左边恒大于右边、要么左边恒小于右边，它强调的是在运算过程中保持“=”号不变的特性.
【设计意图】：通过回顾再现旧知识，引导学生探究不等式基本性质与等式的性质进行类比．
2.探索新知
（环节一）探索不等式的性质.
师：在不等式两边加、减、乘、除不同的数，是否也具有保持不等号不变的特性？或不等号一定改变的特性？
生：，（4）
，；（5）
师：（5）式中的大于0或小于0能否省略？
生：不能（通过举反例）
师：你是如何得出这一结论的？
生：通过在不等式两边加乘具体数字归纳出来的
师：如何验证你的结论？
生：作差比较法
生：还可以利用结论2去证
师：板书不等式的基本性质
师：实数的运算还包括乘方、开方运算，那么在不等式两边进行乘方、开方运算，是否也具有保持不等号不变的特性？
生：
师：你怎样得到的？
生：老师以前讲过的，可以用作差比较法证
生：结论3可以推广到的所有整数
当，为偶数时，
当，为奇数时，
师：你是怎样得出此结论？
生：利用不等式性质
师：若规定，当时，不论是奇数或偶数都有
生：利用性质3还可以得出：
师：为什么？
生：
师：很好，能否推出？
生：不能（反例）
师：当时，的大小关系如何？
生：（1）；（2）；（3）
师：（1）、（2）能否合并？
生：
师：能否用文字语言叙述？
生：同号两数，倒数相反
师：很好，此结论对于我们以后研究两数倒数大小关系有很重要的作用
【设计意图】：以“运算中的不变性”思想作指导，让学生在不等式运算（加、减、乘、除、乘方、开方）中，让学生通过类比、猜想、验证、说理等活动，经历一个完整的数学探索过程，在师生的一起归纳概括下，得到不等式的基本性质3-基本性质8：
性质3：．
性质4：，．
性质5：，；，．
性质6：，．
性质7：．
性质8：．
师：与等式的基本性质相比，在利用不等式性质解决有关不等式问题时，特别要注意什么问题？
生：符号问题
师：不等式的基本性质是求解或证明不等式的依据
（环节二）应用新知
例题：已知：，，求证：
生1：用不等式性质证明
生2：用作差比较法证明
生3：数形结合的思想方法
变式：已知：，，求证：
【设计意图】：进一步帮助学生理解不等式的性质及其应用．
3.总结收获
本节课我们依据“基本事实”，类比等式的基本性质，抓住“运算中的不变性”得出了不等式的8条基本性质，这节课下来，你有什么收获或疑惑？
学生发言，互相补充，教师点评完善．
4.作业：
课本第75页B组题
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数学：“不等式的性质”教学设计
一、教材分析
（一） 本节课在教材中的地位和作用：
本节课是人教版《数学》必修5第三章第一节不等关系与不等式第二课时的内容．它是在数（式）及其运算的系统中，在掌握等式的基本性质的基础上，类比等式的基本性质，通过考察“运算中的不变性”而获得不等式的基本性质的过程，由此要系统地建立求解或证明不等式的理论依据，因此本课时是本章乃至高中数学的重要基础性内容之一.
生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，通过这堂课的学习，学生将对数量关系的基本性质有一个完整的认识，形成一个知识体系．
（二） 教学目标：
1. 经历探索不等式的基本性质的过程，理解不等式的基本性质.
2. 在不等式基本性质的探索过程中，渗透类比思想方法,培养合情推理能力.
3.在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而培养学生的逻辑能力.
（三） 教学重点与难点：
教学重点：探索不等式的基本性质.
教学难点：基本性质的研究内容(运算中的不变性)和方法(类比等式的基本性质)的概括.
（四） 教学导图：
二、学情分析：
学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据；第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力．
三、教法：引导探究法
教法分析：
本节课的教学设计意在让学生通过与旧知识——等式的基本性质的类比中，通过自主探索与合作交流获得新知.所以,在教学过程中,要特别注意安排学生经历猜想——验证——归纳的完整的数学思维过程，让学生在独立思考的基础上进行交流活动,并注重合情推理能力的培养.
学法：自主探究、合作交流．
四、教学过程
1.复习引入
师：生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，不等关系在我们现实生活中普遍存在着．通过上一节课的学习，我们知道在数学中通常用不等式来表示不等关系．那么讨论不等关系、求解或证明不等式需要什么依据？这就是今天我们所要研究的内容——不等式的基本性质
【设计意图】：向学生指出研究不等式基本性质的重要性与必要性，点明本节课要研究的内容．
师：初中里我们借助于数轴，学习过实数大小的比较，在数轴上实数大小是如何规定的？
生：如果在数轴上两个不同的点A与B分别对应不同的实数那么右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．
师：也就是说我们是从数轴上直观感知的，借助于数轴去比较数的大小,是一种对数大小关系比较的感性认识．
师：从实数运算角度来讲，我们依据实数运算的结果，两实数大小的关系有以下定义：
如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么，反过来也对．
师：同学们，你能否用数学符号语言来表示这一定义？
生：
师：这一定义有什么作用？
生：从定义可知，要比较两实数的大小，可以考察这两个实数的差．
师：很好，通过差值的符号去判断两实数的大小，这是一种区别于从数轴上直观感知，严密的判断两数大小的方法．
师：在几何中当我们给出一个公理或定义后，往往要研究“性质与判定”，同样有了这个定义后，我们有必要去研究不等式的基本性质，以使我们更好的去求解或证明不等式．
提问：（1）
（2）若
生：成立
师：为什么？
生：用作差的方法去证明（学生讲解，教师板书）
师：板书不等式基本性质1与2
性质1：；（对称性）
性质2：，；，．（传递性）
【设计意图】：向学生强调：这一定义是一种证明、求解不等式的基本方法，是得到不等式基本性质的依据．
师：不等式还有另外的性质吗？初中里我们学习过等式与方程，等式的基本性质是什么？解方程的依据是什么？我们是怎样解方程的？
解一元一次方程
师：第一步做什么？
生：移项
师：移项的依据是什么？
生：等式的两边加上同一个数-1，所得的结果仍是等式
师：第二步做什么？
生：等式两边同除以2
师：依据是什么？
生：等式的两边同除以2，所得的结果仍是等式（教师补充说明除以2发即乘以）
师：同学们刚才所讲的两点依据就是等式的两条基本性质，等式的基本性质是解方程的依据．
（教师展示幻灯片）
等式基本性质1：如果，那么；
等式基本性质2：如果，那么；（）.
师：类比等式的基本性质，初中里我们所讲的不等式的基本性质又是怎样的？
生：；（1）
，；，（2）
，；，
师：你是怎样得出这些结论的？
生：（1）、（2）两个式子初中讲过
师：你还记得初中我们是如何给出这两个结论的？
生：好象是用法码，通过天平秤出来的
师：也就是通过直观感知得出此结论，那你今天能否给出严密的证明？
生：用两数大小判定的定义（作差比较法证）（学生在黑板上展示证明结果）
师：很好（并板书性质）
师：等式与平等式的这四条基本性质涉及了什么内容？揭示了什么规律？一是在等式（不等式）两边进行加、减、乘、除运算,二是在这个运算过程中，虽然在变化，但左右两边所对应的结果，要么相等、要么左边恒大于右边、要么左边恒小于右边，它强调的是在运算过程中保持“=”号不变的特性.
【设计意图】：通过回顾再现旧知识，引导学生探究不等式基本性质与等式的性质进行类比．
2.探索新知
（环节一）探索不等式的性质.
师：在不等式两边加、减、乘、除不同的数，是否也具有保持不等号不变的特性？或不等号一定改变的特性？
生：，（4）
，；（5）
师：（5）式中的大于0或小于0能否省略？
生：不能（通过举反例）
师：你是如何得出这一结论的？
生：通过在不等式两边加乘具体数字归纳出来的
师：如何验证你的结论？
生：作差比较法
生：还可以利用结论2去证
师：板书不等式的基本性质
师：实数的运算还包括乘方、开方运算，那么在不等式两边进行乘方、开方运算，是否也具有保持不等号不变的特性？
生：
师：你怎样得到的？
生：老师以前讲过的，可以用作差比较法证
生：结论3可以推广到的所有整数
当，为偶数时，
当，为奇数时，
师：你是怎样得出此结论？
生：利用不等式性质
师：若规定，当时，不论是奇数或偶数都有
生：利用性质3还可以得出：
师：为什么？
生：
师：很好，能否推出？
生：不能（反例）
师：当时，的大小关系如何？
生：（1）；（2）；（3）
师：（1）、（2）能否合并？
生：
师：能否用文字语言叙述？
生：同号两数，倒数相反
师：很好，此结论对于我们以后研究两数倒数大小关系有很重要的作用
【设计意图】：以“运算中的不变性”思想作指导，让学生在不等式运算（加、减、乘、除、乘方、开方）中，让学生通过类比、猜想、验证、说理等活动，经历一个完整的数学探索过程，在师生的一起归纳概括下，得到不等式的基本性质3-基本性质8：
性质3：．
性质4：，．
性质5：，；，．
性质6：，．
性质7：．
性质8：．
师：与等式的基本性质相比，在利用不等式性质解决有关不等式问题时，特别要注意什么问题？
生：符号问题
师：不等式的基本性质是求解或证明不等式的依据
（环节二）应用新知
例题：已知：，，求证：
生1：用不等式性质证明
生2：用作差比较法证明
生3：数形结合的思想方法
变式：已知：，，求证：
【设计意图】：进一步帮助学生理解不等式的性质及其应用．
3.总结收获
本节课我们依据“基本事实”，类比等式的基本性质，抓住“运算中的不变性”得出了不等式的8条基本性质，这节课下来，你有什么收获或疑惑？
学生发言，互相补充，教师点评完善．
4.作业：
课本第75页B组题
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