数学 教学设计：“等差数列的前n项和”第一课时
文档属性
| 名称 | 数学 教学设计：“等差数列的前n项和”第一课时 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 84.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-10-20 05:49:00 | ||
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文档简介
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数学：“等差数列的前n项和”第一课时
教学目标
1．探索并掌握等差数列的前n项和公式，在推导公式的过程中，体会从特殊到一般、从一般到特殊的思想方法．
2．会用公式解决一些简单问题，在解决实际问题的过程中，进一步体会等差数列模型的作用，培养从实际问题中抽象出数列模型的能力．
教学重点和难点
重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式．
难点：从求1+2+3+…+100的过程中概括出推导等差数列前n项和公式的思想方法．
教学媒体
利用计算机和实物投影等辅助教学.
教学过程
1．实例引入，学习数列前n项和的概念
问题1：一个堆放铅笔的V形架，最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？（多媒体显示）
师：问题1要求V形架里的铅笔数．第一层1支，第二层2支，第三层3支，…，边说边呈现．
各层的铅笔数涉及一个数列：1，2，3，…，100，…．我们现在求的和就是这个数列前100项的和．
一般地，我们称为数列的前n项和，用表示，即
（板书）
口头解释、，今天这节课的学习内容是：等差数列的前n项和．（板书课题）
2．引导探究，发现公式
2.1 高斯解决的思想方法
师：回到刚才的问题1（指向屏幕），我们现在求的是等差数列{n}前100项和．
问题2 如何求和：
师：关于这个问题有个故事，同学们知道吗？谁能说说？
生：高斯，人称“数学王子”，天赋过人．据说，在高斯10岁时，老师刚在黑板上写完这道题，小高斯就求出了它的结果．
师：怎么求的？
生：这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了．
师：很好！下面让我们来仔细分析一下高斯算法的思想方法．
原问题：是100个不同的数求和，
通过“配对分组”手段，将问题转化，得到
新问题：是50个相同的数求和．
其中，是数列：1，2，3，…，100，…的性质．
也就是说，高斯算法的高明之处在于将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题．好，解决了的问题，我们再看问题2：
2.2 正整数数列前n项和
问题2 求
师：怎么求和？请大家自主探究，也可以相互讨论．
(学生探究，交流讨论，教师巡视，收集不同解法，切换实物投影仪，展示，学生讲解，教师总结评价)
生1（配对）：n为偶数时，因为，所以．
n为奇数时，因为，所以．
综上，．
（当n为奇数时，还可能有留下首项或中间项的做法，适当点评）
生2（倒序相加）：又
两式相加得，所以．
师：好！两种方法都实现了“将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题”．其中由于分组而引出来的项数问题，第一位同学用分类讨论来解决，第二位同学用“两倍”来解决．后一种做法中，一个式子的项顺着写，另一个式子的项倒着写，再对应项相加，我们给它取一个形象的名字叫做“倒序相加法”．
2.3 等差数列前n项和
师：让我们再看更一般的问题！
问题3 求等差数列的前n项和，即
师：大家可以继续讨论，把讨论结果写在课堂练习本上．
（让学生分组讨论，然后多样化的成果展示，教师最后点评、总结）
（展示生1的倒序相加法，教师板书）
又
因为，（），
所以．
由(1)+(2)，得
由此得到．
生2：因为
（教师补板书，边写边说）
，
师：如果用基本量、d和n来表示，第一个公式就化为第二个形式了．
至此，我们得到了计算等差数列前n项和的公式，公式有两种形式．下面我们来应用公式解决问题：
3．公式辨析，应用反馈
例1 如图，一个笔架，最下面一层放20支笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支．这个笔架上共放着多少支笔？
师：请先找出例题中的数列．
生：因为往上每一层都比它下面一层多放一支，所以每一层的笔数构成一个等差数列：，，公差．
学生独立完成解题后，教师展示完整的解题过程，要求学生完善自己的解题步骤．
解：根据题意，每一层的笔数构成一个等差数列：，，公差．
由，解得n =81．
.
答：这个笔架上共放着4860支笔．
师：第一个公式涉及等差数列的首项，末项和项数，分别对应梯形面积公式里的上底、下底和高．还记得梯形面积公式是怎么推导的吗？
生：在梯形边上倒放一个全等的梯形，把梯形补成平行四边形．（多媒体演示）
师：很好．把梯形进行补形处理，对应着推导等差数列前n项和的倒序相加法. 公式的推导方法和结构形式均相似．梯形面积公式还有第二种推导方法吗？
生：还可以把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形．
（多媒体演示）分割法对应推导公式的第二种方法，推导方法和结构形式也均相似．梯形的面积公式可以帮助我们记忆等差数列前n项和的公式．
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”小学工程校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
师：请注意，先把问题中的数列说清楚！
学生回答，教师板书．
解：根据题意，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中，．
到2010年（n =10），投入的资金总额为（万元）.
答：从2001—2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．
学生练习：教科书第45页的练习1和3．
1．根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和.
（1）；
（2）.
2．求集合的元素个数，并求这些元素之和.
（展示学生的练习，并讲评．第2题的关键：准确表述问题中的数列）
4.归纳小结，反思提升
师：让我们回顾一下今天学习的内容：
1.数列前n项和的概念
2.等差数列的前n项和公式：
；．
3.运用等差数列的前n项和公式解决一些问题．
其中，在推导等差数列的前n项和公式的过程中，我们分别运用了从特殊到一般和从一般到特殊的思想方法，你注意到了吗？
（1）从特殊到一般（问题探究的方法）
问题1：
问题2：求
问题3 求等差数列的前n项和，即
（2）从一般到特殊（等差数列求和转化的方法）
“将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题”．
加上一定的转化技巧，具体的做法是：“倒序相加法”．
因为
又
因为，（），
所以．
由(1)+(2)，得
5.布置作业，分层落实
必做： 教科书第46页习题2.3：1、2、3、4.
选作：（1）一个等差数列的前四项的和为26，最后四项的和为110，所有项的和为187，则该数列共有多少项？（11）
（2）对求和史的了解．
我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法．他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得．”
板书设计
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数学：“等差数列的前n项和”第一课时
教学目标
1．探索并掌握等差数列的前n项和公式，在推导公式的过程中，体会从特殊到一般、从一般到特殊的思想方法．
2．会用公式解决一些简单问题，在解决实际问题的过程中，进一步体会等差数列模型的作用，培养从实际问题中抽象出数列模型的能力．
教学重点和难点
重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式．
难点：从求1+2+3+…+100的过程中概括出推导等差数列前n项和公式的思想方法．
教学媒体
利用计算机和实物投影等辅助教学.
教学过程
1．实例引入，学习数列前n项和的概念
问题1：一个堆放铅笔的V形架，最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？（多媒体显示）
师：问题1要求V形架里的铅笔数．第一层1支，第二层2支，第三层3支，…，边说边呈现．
各层的铅笔数涉及一个数列：1，2，3，…，100，…．我们现在求的和就是这个数列前100项的和．
一般地，我们称为数列的前n项和，用表示，即
（板书）
口头解释、，今天这节课的学习内容是：等差数列的前n项和．（板书课题）
2．引导探究，发现公式
2.1 高斯解决的思想方法
师：回到刚才的问题1（指向屏幕），我们现在求的是等差数列{n}前100项和．
问题2 如何求和：
师：关于这个问题有个故事，同学们知道吗？谁能说说？
生：高斯，人称“数学王子”，天赋过人．据说，在高斯10岁时，老师刚在黑板上写完这道题，小高斯就求出了它的结果．
师：怎么求的？
生：这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了．
师：很好！下面让我们来仔细分析一下高斯算法的思想方法．
原问题：是100个不同的数求和，
通过“配对分组”手段，将问题转化，得到
新问题：是50个相同的数求和．
其中，是数列：1，2，3，…，100，…的性质．
也就是说，高斯算法的高明之处在于将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题．好，解决了的问题，我们再看问题2：
2.2 正整数数列前n项和
问题2 求
师：怎么求和？请大家自主探究，也可以相互讨论．
(学生探究，交流讨论，教师巡视，收集不同解法，切换实物投影仪，展示，学生讲解，教师总结评价)
生1（配对）：n为偶数时，因为，所以．
n为奇数时，因为，所以．
综上，．
（当n为奇数时，还可能有留下首项或中间项的做法，适当点评）
生2（倒序相加）：又
两式相加得，所以．
师：好！两种方法都实现了“将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题”．其中由于分组而引出来的项数问题，第一位同学用分类讨论来解决，第二位同学用“两倍”来解决．后一种做法中，一个式子的项顺着写，另一个式子的项倒着写，再对应项相加，我们给它取一个形象的名字叫做“倒序相加法”．
2.3 等差数列前n项和
师：让我们再看更一般的问题！
问题3 求等差数列的前n项和，即
师：大家可以继续讨论，把讨论结果写在课堂练习本上．
（让学生分组讨论，然后多样化的成果展示，教师最后点评、总结）
（展示生1的倒序相加法，教师板书）
又
因为，（），
所以．
由(1)+(2)，得
由此得到．
生2：因为
（教师补板书，边写边说）
，
师：如果用基本量、d和n来表示，第一个公式就化为第二个形式了．
至此，我们得到了计算等差数列前n项和的公式，公式有两种形式．下面我们来应用公式解决问题：
3．公式辨析，应用反馈
例1 如图，一个笔架，最下面一层放20支笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支．这个笔架上共放着多少支笔？
师：请先找出例题中的数列．
生：因为往上每一层都比它下面一层多放一支，所以每一层的笔数构成一个等差数列：，，公差．
学生独立完成解题后，教师展示完整的解题过程，要求学生完善自己的解题步骤．
解：根据题意，每一层的笔数构成一个等差数列：，，公差．
由，解得n =81．
.
答：这个笔架上共放着4860支笔．
师：第一个公式涉及等差数列的首项，末项和项数，分别对应梯形面积公式里的上底、下底和高．还记得梯形面积公式是怎么推导的吗？
生：在梯形边上倒放一个全等的梯形，把梯形补成平行四边形．（多媒体演示）
师：很好．把梯形进行补形处理，对应着推导等差数列前n项和的倒序相加法. 公式的推导方法和结构形式均相似．梯形面积公式还有第二种推导方法吗？
生：还可以把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形．
（多媒体演示）分割法对应推导公式的第二种方法，推导方法和结构形式也均相似．梯形的面积公式可以帮助我们记忆等差数列前n项和的公式．
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”小学工程校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
师：请注意，先把问题中的数列说清楚！
学生回答，教师板书．
解：根据题意，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中，．
到2010年（n =10），投入的资金总额为（万元）.
答：从2001—2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．
学生练习：教科书第45页的练习1和3．
1．根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和.
（1）；
（2）.
2．求集合的元素个数，并求这些元素之和.
（展示学生的练习，并讲评．第2题的关键：准确表述问题中的数列）
4.归纳小结，反思提升
师：让我们回顾一下今天学习的内容：
1.数列前n项和的概念
2.等差数列的前n项和公式：
；．
3.运用等差数列的前n项和公式解决一些问题．
其中，在推导等差数列的前n项和公式的过程中，我们分别运用了从特殊到一般和从一般到特殊的思想方法，你注意到了吗？
（1）从特殊到一般（问题探究的方法）
问题1：
问题2：求
问题3 求等差数列的前n项和，即
（2）从一般到特殊（等差数列求和转化的方法）
“将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题”．
加上一定的转化技巧，具体的做法是：“倒序相加法”．
因为
又
因为，（），
所以．
由(1)+(2)，得
5.布置作业，分层落实
必做： 教科书第46页习题2.3：1、2、3、4.
选作：（1）一个等差数列的前四项的和为26，最后四项的和为110，所有项的和为187，则该数列共有多少项？（11）
（2）对求和史的了解．
我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法．他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得．”
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