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30.1反比例函数 教学设计
教学设计思想
数学教育的目的之一是帮助学生认识数学，数学与现实世界有着密切的联系，而且数学的发展是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程，因此，学生在获得知识的同时，也应该养成尊重客观事实的态度，勇于探索的精神以及独立思考与人合作交流的习惯。
小学学习过反比例关系的知识，现在的物理、化学等学科中也有许多反比比例的实例。因此本课设计从实例中抽象出数学模型，让学生充分经历建立反比例函数模型的过程。学生可以从比较简单的实例中，抽象出这类函数的特点，形成反比例函数的概念。
教学目标
知识与技能：
1．会判断一个函数是否是反比例函数；
2．结合具体问题情境体会反比例函数的意义，能求出具体问题情境中反比例函数的表达式。
过程与方法：
1．从现实情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的关系，加深对函数概念的理解；
2．经历抽象反比例函数概念的过程，令辉反比例函数的意义。
情感态度价值观：
1．认识到数学知识是有联系的，逐步感受数学内容的系统性；
2．发展从不同的角度看待同一数学问题，综合运用不同的知识和方法解决问题。
教学重难点
重点：理解和领会反比例函数的概念
难点：领悟反比例函数的概念
解决办法：从现实情意和所学的知识入手，探索两个变量之间的相依关系
教学方法
小组合作、探究式
教学媒体
多媒体
课时安排
1课时
教学过程设计
一、复习引入
1．什么叫一次函数？什么叫正比例函数？它与算术中的正比例有怎样的关系？
2．在上一学段，我们研究了现实生活中成反比例的两个量，如：
路程（s）一定，速度（v）与时间（t）成反比例，表达式：
矩形的面积（s）一定，长（a）与宽（b）反比例，表达式：
下面我就来一起研究有这种关系的两个变量之间构成的函数关系——反比例函数。
二、做一做
1．自行车运动员在长为10000m的路段上骑车训练，行驶全程所用时间为ts，行使的平均速度为vm/s。
（1）写出用v表示t的函数表达式。
（2）当行驶的平均速度分别为8m/s，10/s，12.5m/s时，行驶全程所用的时间各为多少？
学生活动：独自写出函数表达式，从形式与体会函数关系。
2．一个物体对桌面的压力为450N，受力面积为Sm2，压强为pPa。
（1）写出用S表示p的函数表达式。
（2）根据写出的函数表达式，填写下表
S 10 20 30 40 50
p
（3）观察上表，当S增大时，p是增大还是减小？
学生活动：学生独立完成，写出函数表达式并填表，观察表格中数值的变化规律，从两个变量的变化规律上体会函数关系。
3．已知△ABC的面积为20cm2，底边为acm，高为hcm。
（1）写出用h表示a的函数表达式。
（2）根据写出的函数表达式，填写下表
h 2 4 6 8 10
a
（3）观察上表，当h增大时，a是怎样变化的？
三、大家谈谈
刚才我们列出的三个函数表达式分别为，请同学们仔细观察这些表达式有哪些共同特征？
学生小组讨论，总结规律，教师根据学生回答给予鼓励和引导。
都可以写成的形式（其中x，y是变量，k是不等于0的常数）。
我们再看例子： 两个变量x和y的乘积等于－3，用函数关系式表示出来的式子具备上述特征吗？变量x和y之间的关系是什么？
学生得出：两个变量的乘积等于非零常数。
你还能举出具有这种函数关系的实例吗？
教师总结并和学生一起探索出反比例函数的概念：
一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成：（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。
强调在理解概念时要注意：①常数k≠0；②自变量x既可以取正值，也可以取负值，但不能为零（因为分母为0时，该式没意义）；③当可写为时注意x的指数为—1。④由定义不难看出，k可以从两个变量相对应的任意一对对应值的积来求得，只要k确定了，这个函数就确定了。
四、练习
1．课本P93
2．一个矩形的面积为20，相邻的两条边长分别为Xcm，Ycm,那么变量Y是变量X的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
3．某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
五、总结、提高。（结合板书小结）
今天通过生活中的例子，探索学习了反比例函数的概念，我们要掌握反比例函数是针对两种变化量，并且这两个变化的量可以写成（k为常数，K≠0）同时要注意几点：：①常数K≠0；②自变量x不能为零（因为分母为0时，该式没意义）；③当可写为时注意x的指数为—1。④由定义不难看出，k可以从两个变量相对应的任意一对对应值的积来求得，只要k确定了，这个函数就确定了。
六、板书设计
反比例函数1．定义 自由空间 练习2．注意：① （供教学过程演练）②③④
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30.3反比例函数的应用 教学设计
教学设计思想
本节课是在学习了反比例函数的概念，反比例函数的图像和性质等相关知识的基础上引入的。主要讨论了反比例函数的某些应用，包括在实际中的应用和在数学内部的应用。其中本节课涉及到的电流I和电阻R之间的函数关系，以及气体密度ρ和气体体积V之间的函数关系，在物理课中都已经学过，为本节课的学习做好了充分的准备，因此本节课的内容不是很难理解。用函数观点处理实际问题的关键在于分析实际情境、建立函数模型，并进一步提出明确的数学问题，因此教学时应注意分析的过程，即将实际问题置于已有知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么 可以看成什么 让学生逐步学会用数学的眼光考查实际问题.同时，在解决问题的过程中，充分利用函数的图像，加强图像识别（图像根据实际所在象限等）与应用能力的培养，避免习惯的“代数化”倾向；渗透数形结合的思想。
教学目标
知识与技能：
能从图像中获取信息，用反比例函数模型解决简单的实际问题。
过程与方法：
经历“问题情境——建立反比例函数模型——运用反比例函数模型解决实际问题”的过程，提高运用代数方法解决问题的能力，体会数学的价值。
情感态度价值观：
通过反比例函数的应用，初步体会各学科之间存在的联系，增强学科综合能力。
教学重难点
重点：用反比例函数的知识解决实际问题
难点：如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题
教学方法
教师引导学生探索法
教学媒体
多媒体
课时安排
1课时
教学过程设计
一、创设问题情境，引入新课
[师]有关反比例函数的表达式，图像的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢
[生]是为了应用.
[师]很好.学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题.究竟反比例函数能解决一些什么问题呢 本节课我们就来学一学.
二、一起探究
（多媒体出示题目）
气体的密度是指单位体积（m3）内气体的质量（kg）。现测定容积是5m3的密闭容器中，某种气体的密度是1.4kg/m3。
1．写出这种气体体积V（m3）表示其密度ρ（kg/m3）的函数表达式,说出这是一个什么函数。
2．当把这些气体装入容积V=0.04 m3的钢瓶时，它的密度ρ是多少？
3．要使气体的密度是ρ=2kg/m3，需 把这些气体装入容积是多少立方米的容器中？
4．在书P101的直角坐标系中，画出这个函数的图像，并根据图像回答：
（1）这些气体的体积增大时，它的密度将怎样变化？
（2）要把这些气体装入容积不超过1m3的容器中，气体的密度ρ在什么范围内？
[师]分析：首先要根据题意分析实际问题中的两个变量，然后看这两个变量之间存在的关系，从而去分析它们之间的关系是否为反比例函数关系，若是则可用反比例函数的有关知识去解决问题.
请大家互相交流后回答.
[生]（1）根据题意可以算出m=ρV=7（kg）
由得
ρ是V的反比例函数，因为给定一个V的值.对应的就有唯一的一个ρ值和它对应，根据函数定义，则ρ是V的反比例函数.
（2）当V=0.04m2时，（kg/m3）
（3）当ρ=2kg/m3时，
（m3）
（4）由图像可以看出，当这些气体的体积增大时，它的密度减小；如果把这些气体装入容积不超过1m3的容器中，气体的密度ρ≥7kg/m3
[师]这位同学回答的很好，下面我要提一个问题，大家知道反比例函数的图像是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限，要么位于第二、四象限，从（1）中已知>0，所以图像应位于第一、三象限，为什么这位同学只画出了一支曲线，是不是另一支曲线丢掉了呢 还是因为题中只给出了第一象限呢
[生]第三象限的曲线不存在，因为这是实际问题，S不可能取负数，所以第三象限的曲线不存在.
[师]很好，那么在（1）中是不是应该有条件限制呢
[生]是，应为（V>0）.
三、做一做
（多媒体出示题目）
某电路中的电压为220V。
（1）写出用电阻R（Ω）表示电流I（A）的函数表达式。
（2）某电烙铁的电阻为176Ω，接入电路后，通过它的电流是多大？
（3）某家用电器，当通过它的电流为0.6A时，才能正常工作，这件家用电器的电阻是多大？
（4）如果电路中有一滑动变阻器，怎样调整电阻R，才能使电路中的电流I增大？
[生]解：（1）由题意设函数表达式为
（2）当R=176Ω时A
（3）
（4）有电阻与电流的函数表达式可知，这是一个反比例函数，因此欲使电流I增大，需将电阻减小。
四、课堂练习
课本P102
五、课时小结
本节课我们学习了反比例函数的应用.具体步骤是：认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解决实际问题.
六、课后作业
P103 习题1，2
七、板书设计
§ 30.3 反比例函数的应用一、一起探究 二、做一做 三、练习 四、小结解析 解析
备课资料
参考练习
为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例（如下图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ,自变量x的取值范围为 ；
药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 .
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效 为什么
答案：（1）y=x， 0（2）30
（3）此次消毒有效，因把y=3分别代入y=x，y=，求得x=4和x=16，而16－4=12>10，即空气中的含药量不低于3毫克/m3的持续时间为12分钟，大于10分钟的有效消毒时间。
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回顾与反思 教学设计
教学设计思想
知识在于应用，本节课结合复习题A组和补充练习通过题目复习知识点，通过对知识的深化理解加强实际应用能力，在做题、复习时查漏补缺，在此基础上对本章内容进一步调理化，画出知识结构图。
教学目标
知识与技能：
1．能画出反比例函数的图像，能在题目中灵活运用反比例函数的性质；
2．能用反比例函数表示两个变量之间的关系，并能解决实际问题。
过程与方法：
1．经历对本章内容进行总结、反思的过程，体会函数的意义和反比例函数模型的意义；
2．体会“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”这一学习方式的意义。
情感态度价值观：
体验数学探索的乐趣，增强数学应用意识。
教学重难点
重点：灵活运用反比例函数的图像和性质
难点：建立数学模型，用反比例函数解决实际问题
教学方法
自主探究
教学媒体
多媒体
课时安排
1课时
教学过程设计
一、总结反思
1．口答复习题A组第一题，并画出题目中反比例函数的图像。
例1下列函数关系中，哪些是反比例函数？
①已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系；
②压强p一定时，压力F与受力面积s的关系；
③功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系。
④某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式。
提问：什么是反比例函数？举例说明反比例函数的意义。
2．（1）完成A组第3，4，5 题
例2已知函数为反比例函数。
①求m的值；
②它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？
③当－3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值。
提问：总结反比例函数图像的特点，画反比例函数时应该注意哪些问题？
反比例函数有哪些性质？
3．有m部同样的机器一齐工作，需要m小时完成一项任务。
（1）设由x部机器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y（小时）
与机器的总数x的函数关系式。
（2）画出所求函数当m=4时的图象。
提问：怎样用反比例函数解决实际问题。
4．列表比较一次函数和反比例函数的图像与性质。
例4已知正比例函数y＝ax和反比例函数的图象相交于点(1,2)，求两函数解析式．
二、知识结构
三、注意事项
1．因为在反比例函数中，x与y的值均不能为0，所以反比例函数的图像与坐标轴没有交点。
2．在实际问题中，反比例函数的自变量取值范围常常是大于0的，因此它的图像仅是双曲线的一个分支或其中一部分。
四、作业
复习题A组8，9，10 ，复习题B组1，2
五、板书设计
回顾与反思知识结构图 例1 例3 注意事项 例2 例4
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30.2反比例函数的图像和性质 教学设计
教学设计思想
本节课讲述内容为《反比例函数》的第二节，这节是这一章的重点。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图像和性质的过程。第一课时讲解反比例函数的图像，要让学生经理列表、描点、画图的过程，并通过函数自变量的取值范围、计算函数与自变量的对应值、从表格中观察函数的变化规律以及判断函数图像与坐标轴是否有交点的活动提前渗透反比例函数的性质，为学生下一节课的学习打下基础。第二课时引导学生从操作、观察、概括和交流这些数学活动中得到性质结论，从而逐步提高从函数图像中获取信息的能力，这也充分体现了重视获取知识过程体验的新课标的精神。
教学目标
知识与技能：
1．能画出反比例函数的图像，能根据图像和函数表达式探索反比例的性质；
2．记住反比例函数的性质，会由已知条件求反比例函数的表达式。
过程与方法：
1．经历画反比例函数的图像和探索反比例函数性质的过程，发展观察、分析、归纳和概括的能力，进一步体会数形结合的思想方法；
2．体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认识上的整合
情感态度价值观：
体验到数学的探索过程中充满观察、实验、归纳、类比猜想等。
教学重难点
重点：会作反比例函数的图像；探索并掌握反比例函数的主要性质。
难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。
教学方法
讨论发现法
教学媒体
多媒体
课时安排
1课时
教学过程设计
第一课时
一、创设情境
我们知道，一次函数的图像是一条直线，那么我们上节课所学的反比例函数是不是直线呢，如果不是直线它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数（k是常数，k≠0）的图象。
二、探究归纳
1．画出函数的图象．
分析：画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．
解 1．列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：
2．描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应各点（－6，－1）、（－3，－2）、（－2，－3）等．
3．连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图像的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图像的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图像．
学生活动：小组合作，按照步骤完成画图任务。
三、大家谈谈
1．上面画出的反比例函数图像，与坐标轴有交点吗？为什么？
2．在画反比例函数的图像时，如果仅取两点，能得到它的图像吗？
学生活动：小组讨论，结合图像回答上面问题，深化对反比例函数图像的认识。
四、做一做
学生试一试：画出反比例函数的图像（学生独立动手画反比函数图像，进一步掌握画函数图像的步骤）．
老师总结：一般地，反比例函数y＝（k≠0）的图像分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线双曲线（hyperbola）。双曲线是由两个分支组成的。
五、练习
课本P97 练习1 ，2
六、小结
如何画反比例函数的图像？反比例函数的图像有什么特点。
七、板书设计反比例函数的图像画图： 画图： 练习步骤： 步骤：图像： 图像：
第二课时
一、创设情境
1．请同学们回忆一下一次函数的图像和性质是怎样的？
2．上节课我们已经认识了反比例函数的图像，你试着作出函数和的图像
那么反比例函数有怎样的性质呢？这节课我们就来结合反比例函数的图像来研究一下。
二、一起探究
请同学自己观察反比例函数，，，的图像，思考下列问题：
1．反比例函数和的图像分别位于哪两个象限内？反比例函数和的图像分别为与哪两个象限内？反比例函数y＝的图像在哪两个象限？由什么确定？它和所在象限和k是正数还是负数有什么关系？
2．联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数y＝中，随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？请分别就k>0和k<0进行讨论。
学生小组讨论，结合图像、表格、表达式等认真分析，积极探究，初步认识反比例函数的性质。
总结：
反比例函数有下列性质：
（1）当k＞0时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
（2）当k＜0时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．
注 1．双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；
2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称．
三、做一做
1．已知反比例函数y＝的图像，如图，请判断k是正数还是负数。如果A（-3，y1），B（-1，y2）是该图像上的两点，那么y1与y2的大小关系是怎样的？
2．对于反比例函数y＝（k<0）
（1）指出这个函数的图像所在的象限；
（2）设0四、练习
课本P99 练习1，2
五、小结
这节课你的收获是什么？
六、作业
课本P100 习题1，2，3
七、板书设计
反比例函数的性质图像，， 性质 做一做图像，
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