高一数学练习：第一章1.3.1单调性与最大（小）值（第1课时函数的单调性）

1.
函数y=f(x)的图象如右图所示，其增区间是(　　)
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
【解析】　根据函数单调性定义及函数图象知f(x)在[－3,1]上单调递增．
【答案】　C
2．函数f(x)在R上是减函数，则有(　　)
A．f(3)>f(5)　　　　　　 B．f(3)≤f(5)
C．f(3)【解析】　∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选A.
【答案】　A
3．函数y＝x2－2x的单调减区间是__________，单调增区间是__________．
【解析】　由函数y＝x2－2x的图象知，抛物线开口向上且对称轴为x＝1，∴单调减区间是(－∞，1]，单调增区间是[1，＋∞)．
【答案】　(－∞，1]，[1，＋∞)
4．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
【解析】　y＝－x2＋2|x|＋3
＝.
函数图象如图所示．
函数在(-∞，-1]，[0,1]上是增函数，
函数在[-1,0]，[1，+∞)上是减函数．
∴函数的单调增区间是(-∞，-1]和[0,1]，
单调减区间是[-1,0]和[1，+∞)．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数y＝－x2的单调减区间为(　　)
A．(－∞，0]　　　　　　　B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
【解析】　画出y＝－x2的图象，可知函数在[0，＋∞)上单调递增．
【答案】　B
2．若函数y＝kx＋b是R上的减函数，那么(　　)
A．k<0 B．k>0
C．k≠0 D．无法确定
【解析】　因为y＝kx＋b在R上是减函数，所以对任意x1＜x2，应有f(x1)＞f(x2)，即k(x1－x2)＞0，又x1－x2＜0，所以k＜0.故选A.
【答案】　A
3．下列函数在指定区间上为单调函数的是(　　)
A．y＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．y＝，x∈(1，＋∞)
C．y＝x2，x∈R
D．y＝|x|，x∈R
【解析】　选择题的解题方法可以考虑图象法或特殊值法．
选项A中，由反比例函数图象知：y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是单调递减的，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是单调函数；
选项C中，由二次函数y＝x2，x∈R的图象知，它不是单调函数；
选项D中，令y＝f(x)，取x1＝－1，x2＝1，x1【答案】　B
4．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则(　　)
A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(1)【解析】　因为二次函数图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，知f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)【答案】　D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若f(x)是R上的增函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1与x2的大小关系是________．
【解析】　∵f(x)是R上的增函数，
∴f(x1)＞f(x2)?x1＞x2.
【答案】　x1＞x2
6．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则f(a2＋1)与f(a)的大小是________．
【解析】　∵a2＋1－a＝(a－)2＋≥＞0，
∴a2＋1＞a，又f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，
∴f(a2＋1)＜f(a)．
【答案】　f(a2＋1)＜f(a)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求函数f(x)＝的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性．
【解析】　f(x)＝＝1＋，
f(x)在(－∞，－1)上是减函数，
在(－1，＋∞)上是减函数．
证明如下：
设x1＜x2＜－1，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝.
∵x1＜x2＜－1，
∴x1＋1＜0，x2＋1＜0，x2－x1＞0.
∴f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)在(－∞，－1)上是减函数．
同理可以证明f(x)在(－1，＋∞)上是减函数．
8．定义在(－1,1)上的函数f(x)是减函数，且满足f(1－a)＜f(a)，求实数a的取值范围．
【解析】　由题设知：实数a应满足
解得0＜a＜.
9．(10分)函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求a的取值范围．
【解析】　本题是一个二次函数的单调区间问题．
二次函数的单调区间取决于其图象的对称轴，为此需先确定对称轴．
不难得到对称轴为直线x=a，函数图象开口向上，如图所示．
要使函数f(x)在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(-∞，1]∪[2，+∞)．