高一数学练习：2.3幂函数
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1．在函数y＝，y＝3x3，y＝x2＋2x，y＝x－1，y＝x0中，幂函数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 y＝＝x－2，y＝x0是幂函数．故选B.
【答案】 B
2.
若幂函数y=xα在第一象限内的图象如图所示，则α的取值可能为( )
A．－1 B．2
C．3 D.
【解析】 考查幂函数的图象．
【答案】 D
3．函数f(x)＝(x－1)0＋(2－x)的定义域为________．
【解析】 要使函数有意义，只须使
∴x≤2且x≠1，
∴函数的定义域为(－∞，1)∪(1,2]．
【答案】 (－∞，1)∪(1,2]
4．幂函数y＝(m2－m－1)xm＋1，当x∈(0，＋∞)时为增函数，求实数m的值．
【解析】 由题得m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，y＝x2；当m＝－1时，y＝x.这两个幂函数都满足题意，故m＝－1或m＝2.
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．T1＝，T2＝，T3＝，则下列关系式正确的是( )
A．T1C．T2【解析】 构造函数y＝x，此函数在[0，＋∞)上是增函数，
则>，
即T2此函数在R上是减函数，
则<，即T1∴T2高·考￥资%源~网【答案】 D
2.
幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．a>b>c>d
B．d>b>c>a
C．d>c>b>a
D．b>c>d>a
【解析】 由幂函数的图象及性质可知a<0，b>c>1,0∴b>c>d>a.故选D.
【答案】 D
3．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
【解析】 y＝x－1＝的定义域不是R；y＝x＝的定义域不是R；y＝x与y＝x3的定义域都是R，且它们都是奇函数．故选A.
【答案】 A
4．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(4)的值为( )
A．16 B．2
C. D.
【解析】 设f(x)＝xα，则2α＝＝2－，所以α＝－，f(x)＝x－，f(4)＝4－＝.故选C.
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若n>n，则n＝________.
【解析】 ∵－<－，且n>n，
∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数．
又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，
∴n＝－1或n＝2.
【答案】 －1或2
6．设f(x)＝(m－1)xm2－2，如果f(x)是正比例函数，则m＝________，如果f(x)是反比例函数，则m＝________，如果f(x)是幂函数，则m＝________.
【解析】 f(x)＝(m－1)xm2－2，
若f(x)是正比例函数，则∴m＝±；
若f(x)是反比例函数，则即∴m＝－1；
若f(x)是幂函数，则m－1＝1，∴m＝2.
【答案】 ± －1 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知f(x)＝，
(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并证明；
(2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最大值．
【解析】 函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
证明如下：
任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝＝
∵00，x2－x1>0，x12x22>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为f(1)＝2.
8．已知幂函数y＝xp－3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在
(0，＋∞)上是减函数，求满足(a－1)<(3＋2a)的a的取值范围．
【解析】 ∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴p－3<0，即p<3，又∵p∈N*，∴p＝1，或p＝2.
∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，
∴p－3是偶数，∴取p＝1，即y＝x－2，(a－1)<(3＋2a)
∵函数y＝x在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴由(a－1)<(3＋2a)，得a－1<3＋2a，即a>－4.
∴所求a的取值范围是(－4，＋∞)．
9．(10分)已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点
在幂函数g(x)的图象上，当x为何值时：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)【解析】 根据幂函数的概念，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再结合图象确定满足条件的x的取值范围．
设f(x)＝xα，则()α＝2，得α＝2，所以f(x)＝x2；同理可得g(x)＝x－1.
在同一直角坐标系内作出函数
f(x)=x2与g(x)=x-1的图象(如图所示)，由图象可知：
(1)当x<0或x>1时，f(x)>g(x)；
(2)当x=1时，f(x)=g(x)；
(3)当0
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 y＝＝x－2，y＝x0是幂函数．故选B.
【答案】 B
2.
若幂函数y=xα在第一象限内的图象如图所示，则α的取值可能为( )
A．－1 B．2
C．3 D.
【解析】 考查幂函数的图象．
【答案】 D
3．函数f(x)＝(x－1)0＋(2－x)的定义域为________．
【解析】 要使函数有意义，只须使
∴x≤2且x≠1，
∴函数的定义域为(－∞，1)∪(1,2]．
【答案】 (－∞，1)∪(1,2]
4．幂函数y＝(m2－m－1)xm＋1，当x∈(0，＋∞)时为增函数，求实数m的值．
【解析】 由题得m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，y＝x2；当m＝－1时，y＝x.这两个幂函数都满足题意，故m＝－1或m＝2.
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．T1＝，T2＝，T3＝，则下列关系式正确的是( )
A．T1
则>，
即T2
则<，即T1
2.
幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．a>b>c>d
B．d>b>c>a
C．d>c>b>a
D．b>c>d>a
【解析】 由幂函数的图象及性质可知a<0，b>c>1,0
【答案】 D
3．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
【解析】 y＝x－1＝的定义域不是R；y＝x＝的定义域不是R；y＝x与y＝x3的定义域都是R，且它们都是奇函数．故选A.
【答案】 A
4．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(4)的值为( )
A．16 B．2
C. D.
【解析】 设f(x)＝xα，则2α＝＝2－，所以α＝－，f(x)＝x－，f(4)＝4－＝.故选C.
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若n>n，则n＝________.
【解析】 ∵－<－，且n>n，
∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数．
又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，
∴n＝－1或n＝2.
【答案】 －1或2
6．设f(x)＝(m－1)xm2－2，如果f(x)是正比例函数，则m＝________，如果f(x)是反比例函数，则m＝________，如果f(x)是幂函数，则m＝________.
【解析】 f(x)＝(m－1)xm2－2，
若f(x)是正比例函数，则∴m＝±；
若f(x)是反比例函数，则即∴m＝－1；
若f(x)是幂函数，则m－1＝1，∴m＝2.
【答案】 ± －1 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知f(x)＝，
(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并证明；
(2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最大值．
【解析】 函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
证明如下：
任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1
∵0
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为f(1)＝2.
8．已知幂函数y＝xp－3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在
(0，＋∞)上是减函数，求满足(a－1)<(3＋2a)的a的取值范围．
【解析】 ∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴p－3<0，即p<3，又∵p∈N*，∴p＝1，或p＝2.
∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，
∴p－3是偶数，∴取p＝1，即y＝x－2，(a－1)<(3＋2a)
∵函数y＝x在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴由(a－1)<(3＋2a)，得a－1<3＋2a，即a>－4.
∴所求a的取值范围是(－4，＋∞)．
9．(10分)已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点
在幂函数g(x)的图象上，当x为何值时：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)
设f(x)＝xα，则()α＝2，得α＝2，所以f(x)＝x2；同理可得g(x)＝x－1.
在同一直角坐标系内作出函数
f(x)=x2与g(x)=x-1的图象(如图所示)，由图象可知：
(1)当x<0或x>1时，f(x)>g(x)；
(2)当x=1时，f(x)=g(x)；
(3)当0