2.2.3 待定系数法

课件21张PPT。2.2.3 待定系数法诸城六中教师：赵辉 在解应用问题时，我们常用一个字母，如x，y，z，……来表示未知数，然后根据问题的条件列方程求解. 在解决某些问题中，有时要根据条件确定一个未知函数.
例如已知一个正比例函数的图象通过点(－3，4)，求这个函数的解析式. 为此，我们可设所求的正比例函数为y=kx，其中k待定， 根据已知条件，将点(－3， 4)代入可得
k=－ . 所以所求的正比例函数是y=－ x. 一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。 两个一元多项式是分别整理成标准式之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个多项是相等，如:（3） 两根式：二次函数解析式形式有三种： ( 2 ) 顶点式：（1）一般式：例1. 已知一个二次函数f(x)，f(0)=－5，f(－1)=－4，f(2)=5，求这个函数.解：设所求函数为f(x)=ax2+bx+c，其中a，b，c待定，根据已知条件得方程组解方程组得a=2，b=1，c=－5.因此，所求函数为f(x)=2x2+x－5. 例2. 已知f(x)是一次函数，且有2f(2) －3f(1)=5，2f(0) －f(－1)=1，求这个函数的解析式.解：设所求的一次函数是f(x)=kx+b，其中k，b待定. 根据已知条件得方程组即解得k=3，b=－2.因此所求的函数是y=3x－2.总结：
待定系数法解题的基本步骤是什么？
第一步：设出含有待定系数的解析式；
第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；
第三步：解方程或方程组，从而使问题得到解决。例3. 已知函数f(x)是一次函数，且有
f[f(x)]=9x+8，求此一次函数的解析式。解： 设该一次函数是y=ax+b,由题意得
f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=9x+8.所以有解得所以一次函数为f(x)=3x+2或f(x)=－3x－4.例4. 已知函数f(x)=x2－4ax+2a+6，若函数的值域是[0, +∞)，求函数的解析式。解：因为函数的值域是[0, +∞)，所以
△=16a2－4(2a+6)=0，解得a=－1或a= .所以f(x)=x2+4x+4或f(x)=x2－6x+9.例5. 已知二次函数的图象通过A(2, －3)，B(－2, －7)，C(4, －7)三点，求该二次函数的解析式。解法1：同例题1，设所求函数为f(x)=ax2+bx+c，列三元方程组求出a=－ ，b=1，c=－3，所以二次函数为f(x)=－ x2+x－3.评价：通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定函数的解析式．过程较繁杂. 解法2：因为二次函数的图象通过B(－2, －7)，C(4, －7)两点，所以函数关于直线x=1对称。设二次函数为f(x)=a(x－1)2+k，将A(2, －3)和B(－2，－7)坐标代入得方程组解得所以二次函数是f(x)= － (x－1)2－即二次函数为f(x)=－ x2+x－3.评价：通过利用条件中的顶点和过某一点选用顶点式求解，减少参数的求解，方法比较灵活 。例6. 二次函数的图象与x轴交于A(－2, 0),
B(3, 0)两点，与y轴交于点C(0, －3)，求此二次函数的解析式。 解： 因为二次函数的图象与x轴交于A(－2, 0), B(3, 0)两点，所以可设二次函数为
f(x)=a(x+2)(x－3)，将C点坐标(0，－3)代入得－6a=－3，解得a= .所以二次函数是f(x)= (x+2)(x－3).即f(x)= x2－ x－3.总结请同学们总结！
你学到那些二次函数解析式方法？
已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式。
已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）通常选择顶点式。
已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择交点式。确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，
恰当地选用一种函数表达式。谢谢！希望同学们规范答题！！