（苏教版选修2—1）数学：圆锥曲线的统一定义教案

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2．5 圆锥曲线的统一定义（1课时）
一、教学目标
1. 了解圆锥曲线的统一定义.
2．掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法。
二、教学重点、难点
重点：圆锥曲线的统一定义。
难点：圆锥曲线的统一定义
三、教学过程
（1） 创设情境
我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线L（F不在L上）的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线。如图（1）即时，点P的轨迹是抛物线。
下面思考这样个问题：当这个比值是一个不等于1的常数时，我们来观察动点P的轨迹又是什么曲线呢？比如：和时，动点P的轨迹怎么变化？
（二 ）师生探究
（利用多媒体演示）我们可以观察出一个像椭圆，一个像双曲线。
下面我们来探讨这样个问题：
（例1）：已知点P（x,y）到定点F（c,0）的距离与它到定直线l：x=的距离的比是常数（a＞c＞0），求点P的轨迹。
（问题的解决过程要充分体现求曲线的方程时确定曲线类型的有效手段）
结论：点P的轨迹是焦点为（-c，0），（c，0），长轴、短轴分别为2a，2b的椭圆。这个椭圆的离心率e就是P到定点F的距离和它到定直线l（F不在l上）的距离的比。
变式：如果我们在例１中，将条件（a＞c＞0）改为（c＞a＞0），点Ｐ的轨迹又发生如何变化呢？（双曲线的类似命题由学生思考，发现，从而引导学生建立圆锥曲线的统一定义）　　
　
下面，我们对上面三种情况总结归纳出圆锥曲线的一种统一定义．（教师引导学生共同来发现规律）
结论：圆锥曲线统一定义：平面内到一个定点Ｆ和到一条定直线L（F不在L上）的距离的比等于常数e的点的轨迹．当０＜e＜１时，它表示椭圆；当e＞１时，它表示双曲线；当e＝１时，它表示抛物线．（其中e是圆锥曲线的离心率，定点Ｆ是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线）
下面，我们对圆锥曲线的准线作一下探讨：（利用图形的对称性解决）
对于上述问题中的椭圆或双曲线，我们发现其中心在原点，焦点在x轴上，那么我们可得到与之相对应的准线方程：
如：焦点Ｆ（－c，０）与准线x＝－对应，焦点Ｆ（c，０）与准线x＝对应．
思考一：想一想：焦点在x轴的抛物线的准线方程又如何？
思考二：对于焦点在y轴上的椭圆，双曲线，抛物线（标准形式）的准线方程又如何呢？
例２：求下列曲线的焦点坐标，准线方程
（１） （2） （3）
例3：已知动点M到A（2，0）的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍，求点M的轨迹方程。
（三）巩固练习
1． 求下列曲线的焦点坐标和准线方程
（1） （2） （3） （4）
2． 已知平面内动点P 到一条定直线L的距离和它一个定点F的距离（F不在L上）的比等于，则点P的轨迹是什么曲线？
3． 求到点A（1，1）和到直线x+2y=3距离相等的点的轨迹。
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