（苏教版选修2—1）数学：圆锥曲线 同步练习苏教版

圆锥曲线 同步练习
一、选择题（每题3分，共30分）。
1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ c ）
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
2.已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于（ c ）
A. B. C. 2 D. 4
3.方程的两个根可分别作为（ a ）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率
Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率
4.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ d ）
A． B． C． D．4
5. 平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（ b ）
A．甲是乙成立的充分不必要条件 B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件 D．甲是乙成立的非充分非必要条件
6. 已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（ a ）
（A） (B) (C) (D)
7.曲线与曲线的（ a ）
(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
8. 已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e为 （ d ）
A．2 B．3 　C． D．
9.抛物线上的点到直线距离的最小值是（a ）
A． B． C． D．
10. 直线与曲线 的公共点的个数为（ d ）[来源:21世纪教育网]
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题（每题4分，共20分）。
11．焦点在直线上，且顶点在原点的抛物线标准方程为 _____ ___。
12.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 。（-1/4）
13.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是或。
14.已知F1、F2是椭圆的焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围是 ．
15.双曲线的一条准线被它的两条渐近线截得线段的长度等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的两条渐近线的夹角为 ．（60度）
三、解答题（共28分）。
16.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
焦点在 x轴上,虚轴长为12，离心率为 ；
顶点间的距离为6，渐近线方程为．
解　（1）焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1．
由题意，得　解得，．　　∴．
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．
（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1
由题意，得　　　解得，　　．
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．
同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为．
17. 已知椭圆C的焦点F1（－，0）和F2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。(8分)
解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
.联立方程组,消去y得, .
设A(),B(),AB线段的中点为M()那么: ,=
所以=+2=.
也就是说线段AB中点坐标为(-,).
18.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。求这两条曲线的方程。
解：设椭圆的方程为，双曲线得方程为，半焦距c＝
由已知得：a1－a2＝4
，解得：a1＝7，a2＝3
所以：b12＝36，b22＝4，所以两条曲线的方程分别为：
，
19. （12分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值.
（Ⅰ）试求动点P的轨迹方程C.
（Ⅱ）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程.
解：设点，则依题意有，
整理得由于，所以求得的曲线C的方程为
（Ⅱ）由
解得x1=0, x2=分别为M，N的横坐标）.
由

所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.
20.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.21世纪教育网
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。
解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由
x=21世纪教育网
得
x0=2x－1
y=
y0=2y－
由,点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是.
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是.
9.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=。
10.椭圆的标准方程为
11.
12.
13.双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是.
14.设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）－（c－x）＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确。
15.解：因为抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（），所以可设它的标准方程为：，又因为点M在抛物线上，所以
即，因此所求方程是。
16. 把方程化为标准方程
由此可知，实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2。顶点坐标是（－1，0），（1，0），
焦点的坐标是(－，0)，(，0)。
渐近线方程为，即 。
17. 解：当时，联立
消去y，得，
当△=，即a=2时直线与抛物线有一个公共点，此时直线与抛物线相切。
当a=0时，直线y=1与抛物线有一个交点。
所以，当a=0或2时，直线与只有一个交点。
18.设椭圆的方程为，双曲线得方程为，半焦距c＝
由已知得：a1－a2＝4
，解得：a1＝7，a2＝3
所以：b12＝36，b22＝4，所以两条曲线的方程分别为：
，
19.由于所求双曲线与已知的双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为。
由于点在所求双曲线上，所以有，整理得，解得：又。
所以 ，故所求双曲线方程为。
20.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由
x=
得
x0=2x－1
y=
y0=2y－
由,点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是.
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是.