（苏教版选修2—1）数学：曲线与方程 同步练习

曲线与方程 同步练习
一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
1. P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
2. 圆心在抛物线（）上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3. 抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，若，则的值为 （ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
4. 若直线与椭圆有且只有一公共点，那么 （ ）
Ａ．　　 　Ｂ．
Ｃ．　　　 Ｄ．
5. 平面内有一线段ＡＢ，其长为，动点Ｐ满足，Ｏ为ＡＢ的中点，则的最小值（ ）
Ａ．　　 Ｂ．1　　 Ｃ．2　 　Ｄ．3
二、填写题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
6. 直线l是双曲线=1(a>0，b>0)的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆，被直线l分成弧长为2∶1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 .
7. 过原点的直线l，如果它与双曲线相交，则直线l的斜率k的取值范围是 ．
8. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于Ａ．Ｂ两点，若，则＝ ．
三、解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9. 已知三点A(－2－a，0)，P(－2－a，t)，F(a，0)，其中a为大于零的常数，t为变数，平面内动点M满足=0，且∣∣=∣∣＋2．
（1）求动点M的轨迹；
（2）若动点M的轨迹在x轴上方的部分与圆心在C(a＋4，0)，半径为4的圆相交于两点S，T，求证：C落在以S、T为焦点过F的椭圆上．
10. 已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且
的最小值为．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围．
11. 点P在双曲线=1上，F1、F2是左、右焦点，O为原点，求 的取值范围．
12. A、B是两个定点，且|AB|=8，动点M到A点的距离是10，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，若以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系．
（Ⅰ）试求P点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线mx－y－4m=0(m∈)与点P所在曲线C交于弦EF，当m变化时，试求△AEF的面积的最大值．
13*.设椭圆的两个焦点是与(c>0),且椭圆上存在点P,使得直线PP1与直线PF2垂直．21世纪教育网
(Ⅰ)求实数m的取值范围;
(Ⅱ)设L是相应于焦点F2的准线,直线PF2与L相交于点Q．若求直线PF2的方程．
14*.已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．
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参考答案
一、选择题： 1. A 2. D 3. C 4. A 5. A
二、填空题：
6．【 答案】
7．【 答案】
8．【 答案】
三、解答题：
9. 【 解析】由已知动点P到定点(－3，0)的距离等于到定直线的距离，根据抛物线定义，P点的轨迹是以(－3，0)为焦点，为准线的抛物线．
∴P 点轨迹方程为：
5． (1)∵=0 ∴
又∣∣=∣∣+2
∴M在以F为焦点,x=－a为准线的抛物线上 ∴动点M的轨迹方程：y2=4ax
（2）证明：过S、T分别作准线x=－a的垂线，垂足分别为S1、T1，设S(x1,y1)，T(x2,y2)
则∣SF∣+∣TF∣=∣SS1∣+∣TT1∣= x1+x2+2a
由得x2+(2a－8)x+a(a+8)=0 ∴x1+x2=8－2a
∴∣SF∣+∣TF∣=8
即∣SF∣+∣TF∣=∣CS∣+∣CT∣ ∴C落在以S、T为焦点，且过F的椭圆上．
10. 【 解析】 (1)由题意，设（），由余弦定理
得．
又·，
当且仅当时，· 取最大值，
此时取最小值，令，解得
，，∴，故所求的轨迹方程为．
（2）设，，则由，可得
，故，
∵、在动点的轨迹上，故且，
消去可得，解得，
又，∴，解得，
故实数的取值范围是．21世纪教育网
11. 【 解析】 设点P(x0,y0)在右支上,离心率为e,则有|PF1|=ex0＋a,|PF2|=ex0－a,
|OP|=, 且 所以λ=,
故,即2<λ≤2e.
当点P在左支上时,同理可以得出此结论.
12. 【 解析】 （Ⅰ）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，则A（－4，0），B（4，0）
|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10
∴2a=10,2c=8,
∴a=5,c=4
∴P点轨迹为椭圆=1
（Ⅱ）mx－y－4m=0，过椭圆右焦点B（4，0）21世纪教育网
(∵m≠0)
∴(25+)y2+y－81=
∴|y1－y2|=
∴(S△AEF)max=
13. 【 解析】 (Ⅰ) 由题设有m>0， ．设点P的坐标为由得
, 化简得 ①
将①与联立,
解得 由m>0． 得m≥1．
所以m的取值范围是m≥1．
(Ⅱ)准线L的方程为设点Q的坐标为则
②
将代入②,化简得
由题设
得 无解,
将代入②,化简得
由题设
得 解得m=2． 从而
得到PF2的方程,
14. 【 解析】 根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．
∵i=(1,0),c=(0,a), ∴
因此，直线OP和AP的方程分别为 y=ax和y－a=－2ax ．
消去参数，得点P（x,y）的坐标满足方程y (y－a)=－2a2x2 ,
整理得 ①
因为a>0，所以得：
（i）当a=时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当0 （iii）当a>时，方程①表示椭圆，焦点E和F））为合乎题意的两个定点．