（苏教版选修2—1）数学：2.2《椭圆》测试２

高中苏教选修（2-1）圆锥曲线及椭圆水平测试题
一、选择题
1．椭圆的右焦点到直线的距离是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
2．语句甲：动点到两定点A，B的距离之和 (，且a为常数)；语句乙：P点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（ ）
Ａ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不充分又不必要条件
答案：Ｂ
3．过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
4．设P是椭圆上一点，P到两焦点的距离之差为2，则是（ ）
Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形
Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰直角三角形
答案：Ｂ
5．已知椭圆的面积为．现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
6．是椭圆的一个焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为m，最小值为n，则椭圆上与点F距离为的点是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．不存在
答案：Ｃ
二、填空题
7．若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程
是 ．
答案：
8．一条线段的长等于10，两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点M在线段AB上且，则点M的轨迹方程是 ．
答案：
9．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m等于 ．
答案：
10．已知椭圆的方程是，它的两个焦点分别为，且，弦过，则的周长为 ．
答案：
11．椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围
是 ．
答案：
12．已知是圆 (F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为 ．
答案：
三、解答题
13．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程．
解：椭圆的长轴长是6，，
点不是长轴的端点，而是短轴的端点，
，．
．
，．
椭圆的方程是或．21世纪教育网
14．P为椭圆上一点，为它的一个焦点，求证：以为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．
证明：如右图，设的中点为，
则两圆圆心之间的距离为
，
即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．
两圆内切，即以为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．
15．在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，且三边AC、BC、AB的长成等差数列，求顶点A的轨迹方程．
解：三边AC、BC、AB的长成等差数列，
，
顶点的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆（长轴端点除外）．
由，，得，，则．
顶点的轨迹方程为．
椭圆
第1题. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值．
答案：解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．
点的纵坐标满足方程，
解得
　，
其定义域为．
（II）记，
则．
令，得．
因为当时，；当时，，所以是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为．
即梯形面积的最大值为．
第2题. 椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
第3题. 在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
答案：解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得　　　①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，．　　　②
又．　　　　③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
第4题.在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
答案：解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得　　　①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，．　　　②21世纪教育网
又．　　　　③
而．
所以与共线等价于，21世纪教育网
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
第5题.设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
第6题.设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
第7题.在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则_____．
答案：　　
第8题.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）
Ａ．必在圆内 Ｂ．必在圆上
Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能
答案：A
第9题.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）
Ａ．必在圆上 Ｂ．必在圆外[来源:21世纪教育网]
Ｃ．必在圆内 Ｄ．以上三种情形都有可能
答案：Ｃ
第10题.已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．
（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．答案：证明：
（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设，，则
，
；[来源:21世纪教育网]
因为与相交于点，且的斜率为，
所以，．
四边形的面积
．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
第11题.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．
（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．
答案：（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，
故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设，，则
，，
；
因为与相交于点，且的斜率为．
所以，．
四边形的面积
．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
第12题.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
答案：D
第13题. 已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．
答案：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设，．
（1）当轴时，．
（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，
，．
．
当且仅当，即时等号成立．当时，，
综上所述．
当最大时，面积取最大值．
第14题.椭圆的离心率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：A
第15题.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．
答案：
第16题.已知长方形，，，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．
答案：
第17题.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点，椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
（1）求圆的方程；
（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：解:(1) 设圆C 的圆心为 (m，n)
则 解得
所求的圆的方程为
(2) 由已知可得
椭圆的方程为 ， 右焦点为 F( 4，0) ；
假设存在Q点使，
整理得 代入 得:
，
因此不存在符合题意的Q点.
第18题.设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则　　　　．
答案：2
第19题.我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．
如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
（1）若是边长为1的等边三角形，求该
“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆
上任意一点．求证：当取得最小值时，
在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
答案：解：（1） ，
，
于是，
所求“果圆”方程为，．
（2）设，则

，
， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．

．
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是．
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．
第20题.设、分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．
答案：解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．
（Ⅰ）易知，，．
∴，．设．则
，又，
联立，解得，．
（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立
∴，
由
，，得．①
又为锐角，
∴
又
∴
∴．②
综①②可知，∴的取值范围是
第21题.设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．
答案：（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中
，由于点在椭圆上，有，
，
解得，从而得到，
直线的方程为，整理得
．
由题设，原点到直线的距离为，即
，
将代入原式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为，
过点作，垂足为，易知，故
由椭圆定义得，又，所以
，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．
当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组
的解．当时，由①式得
代入②式，得，即
，
于是，
．
若，则
．
所以，．由，得．在区间内此方程的解为．
当时，必有，同理求得在区间内的解为．
另一方面，当时，可推出，从而．
综上所述，使得所述命题成立．