（苏教版选修2—2）数学：选修2-2数系的扩充 同步练习

数系的扩充 练习与解析
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.下面四个命题中正确的命题个数是
①0比－i大 ②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③x+yi=1+i的充要条件为x=y=1 ④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应21世纪教育网
A.0 B.1 C.2 D.3
分析:本题考查复数的基本概念.
解:①复数集内不全是实数的数不能比较大小;②2+3=5∈R,但2，3不是共轭复数;③只有当x、y∈R时，才有x=y=1;④若a=0,则0i=0不再是纯虚数.
答案: A
2.已知z1=2－i,z2=1+3i，则复数的虚部为
A.1 B.－1 C.i D.－i
分析:本题考查复数代数式的除法运算.只需把分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简后求解.同时注意复数的虚部是i的系数.
解：=i.21世纪教育网
答案: C
3.(1－i)2·i等于
A.2－2i B. 2+2i C.－2 D.2
分析:本题考查复数代数形式的基本运算.可利用完全平方公式及复数代数形式的乘法运算解决此类问题,但要注意把i2换成－1.
解:(1－i)2·i=(1－2i+i2)·i=(1－2i－1)·i=－2i·i=(－2)×(－1)=2.
答案:D
4.复数z1=3+i,z2=1－i，则z=z1·z2在复平面内的对应点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限21世纪教育网
分析:本题考查复数代数形式的乘法运算以及复数与复平面内点的一一对应关系.
解:z1·z2=(3+i)·(1－i)=4－2i.
答案: D
5.(i－i－1)3的虚部为
A.8i B.－8i C.8 D.－8
分析:本题考查i的幂的运算性质.
解:(i－i－1)3=(i－)3=(i+i)3=(2i)3=8i3=－8i,则虚部为－8.
答案: D
6.已知复数z与(z+2)2－8i均是纯虚数,则z等于
A.2i B.－2i C.i D.－i
分析:本题考查虚数的基本知识及运算能力.此类问题通常利用两复数相等的充要条件转化为实数问题去解决.
解:设z=bi(b∈R且b≠0),则(z+2)2－8i=(bi+2)2－8i=b2i2+4bi+4－8i=(4－b2)+(4b－8)i.
∴∴
∴b=－2.∴z=－2i.
答案:B
7.i是虚数单位,等于
A.1+i B.－1－i
C.1+3i D.－1－3i
分析:本题考查复数代数形式的基本运算.可利用多项式乘以多项式的方法解决此类问题,但应特别注意运算过程中的符号问题.
解:
=
==－1－3i.
答案:D
8.已知复数z=3+4i且z(t－i)是实数,则实数t等于
A. B. C.－ D.－
分析:本题考查复数的基本概念.解题的关键是先根据复数的乘法把复数整理成a+bi的形式,再由虚部为零列t的方程求值.
解:z(t－i)=(3+4i)(t－i)=3t+4+(4t－3)i.
∵3t+4+(4t－3)i是实数,
∴4t－3=0.∴t=.
答案:A
9.过原点和－i对应点的直线的倾斜角是
A. B.－ C. D.
分析:本题考查复数与复平面内点的对应关系及倾斜角和斜率的关系.
解:∵－i的对应点是(,－1)，
∴tanα= (0≤α<π).
∴α=π.
答案: D
10.设ω=－+i,A={x|x=ωk+ω－k,k∈Z},则集合A中的元素有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
分析:本题考查ω的周期性及整数的划分.
解:设ω=－+i,则ω3k=1,ω3k+1=ω,ω3k+2=(k∈Z),
①当k=3n,n∈Z时，x=1+1=2;
②当k=3n+1,n∈Z时，x=ω+=ω+ω2=ω+=－1;
③当k=3n+2,n∈Z时，x=ω2+=ω2+ω=－1.
答案: B
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
11.的值等于__________.
分析:本题考查复数的除法运算.
解: =2+3i.
答案: 2+3i
12.设z=－1+()2003,则z=__________.
分析:本题考查i的周期性及常见复数的化简.
如(1±i)2=±2i, =i等.
解:z=－1+()2003=－1+i2003=－1+i4×500+3=－1+i3=－1－i.
答案: －1－i
13.8+6i的平方根是__________.
分析:本题考查复数的平方运算及复数相等的概念.
解法一: 设8+6i的平方根是x+yi(x、y∈R)，则
(x+yi)2=8+6i，即x2－y2+2xyi=8+6i.
由复数相等，得 ∴或
解法二: ∵8+6i=9+6i+i2=(3+i)2，∴8+6i的平方根是±(3+i).
答案: ±(3+i)
14.复平面内，已知复数z=x－i所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是__________.
分析:本题可根据复数的几何意义，构造不等式，求未知数的范围.
解:∵z对应的点z(x,－)都在单位圆内，
∴|Oz|<1,即<1.
∴x2+<1.∴x2<.
∴－.
答案: －
三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题10分)若(3－10i)y+(－2+i)x=1－9i,求实数x、y的值.
分析:本题考查复数的运算及复数相等的概念.先将等式左边整理成复数a+bi(a、b∈R)的形式，再利用复数相等的充要条件得到关于x、y的方程组.
解:原等式可整理为(3y－2x)+(-10y+x)i=1－9i. 5分
根据复数相等的定义,得方程组 8分
∴ 10分
16.(本小题10分)已知z= (a>0,a∈R),复数ω=z(z+i)的虚部减去它的实部所得的差是，求复数ω.
分析:本题考查复数的除法运算及复数的有关概念.可先把复数化成a+bi的形式再运算,也可直接代入运算.
解:把z=代入,得ω=(+i)
=()=(1+ai). 4分
于是·a－，即a2=4. 8分
∵a>0,∴a=2,ω=+3i. 10分
17.(本小题10分)若z∈C,且(3+z)i=1(i为虚数单位),试求复数z.
分析:本题考查复数相等的概念及复数的有关运算.此题可设复数z=a+bi(a、b∈R),把求复数z转化为列方程组求实数a、b值的问题;也可把复数z视为一个整体分离出来,求复数z.
解法一:设z=a+bi(a、b∈R),则原方程可化为(3+a+bi)i=1.
整理得－b+(3+a)i=1. 5分
由复数相等的定义,得方程组
解得 9分
所以复数z=－3－i. 10分
解法二:∵(3+z)i=1,∴(3+z)i2=i.21世纪教育网
∴3+z=－i.∴z=－3－i.
18.(本小题12分)已知z=1+i.21世纪教育网
(1)设ω=z2+3(1－i)－4,求ω;
(2)如果=1－i,求实数a、b的值.
分析:本题考查复数的运算、复数相等等基础知识及运算能力.
解:(1)由z=1+i,有ω=z2+3(1－i)－4=(1+i)2+3(1－i)－4=2i+3－3i－4=－1－i. 4分
(2)方法一: 由z=1+i,有
==(a+2)－(a+b)i. 9分
由题设条件知(a+2)－(a+b)i=1－i.
根据复数相等的定义，得 11分
解得 12分
方法二: 若进行除法计算较麻烦，可将已知等式变形为z2+az+b=(1－i)(z2－z+1),这样就避免了除法运算，相对来说要简单些.
∵(z2－z+1)(1－i)=［(1+i)2－(1+i)+1］(1－i)=i(1－i)=1+i，
又z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(a+2)i,
由题设及复数相等的定义，得
∴
19.(本小题12分)已知关于x的方程x2+(1+2i)x－(3m－1)i=0有实根,试求纯虚数m的值.
分析:本题考查复数的运算及复数相等的概念.解题的关键是搞清x是实数.应先把复数整理成a+bi(a、b∈R)的形式,再由复数相等的充要条件列方程组求值.
解:设此方程的实根为x0,纯虚数m=ai(a∈R且a≠0),则原方程可化为
x02+(1+2i)x0－(3ai－1)i=0. 2分
整理得(x02+x0+3a)+(2x0+1)i=0. 8分
由复数相等的定义,得方程组 10分
解得所以m=. 12分