（苏教版选修2—2）数学：归纳推理
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归纳推理
一、教学目标
知识与技能：（1）体会归纳推理这种基本的分析问题法，并把它们用于对问题的发现中去。
（2）明确归纳推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。
过程与方法： （1）通过歌德巴赫猜想引入课题，激发学生的学习积极性；21世纪教育网
（2）通过师生合作做实验的过程，让学生体会数学的严谨性；
（3）通过生活中的实例，让学生体会归纳推理的思想方法。
情感态度与价值观： 正确认识归纳推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
二、教学重点：理解归纳推理的思维过程与一般形式。
三、教学难点：运用归纳推理得到一般性的结论。
四、教学方法与手段：多媒体演示，互动实验。
五、教学过程：
情景一：歌德巴赫猜想
问题1：同学们，你们有没有听说过一个世纪难题，歌德巴赫猜想，简称“1+1”？
____________________________________________
问题2：你们知道这个歌德巴赫猜想的具体内容吗？[来源:21世纪教育网]
____________________________________________
问题3：你们想不想知道歌德巴赫是怎样提出这个猜想的？
1742年，歌德巴赫在教学中发现：
4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5，21世纪教育网
12=5+7， 14=3+11=7+7， 16=3+13=5+11， 18=5+13=7+11，
20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，……[来源:21世纪教育网]
由此，他猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（简称“1+1”），可是他既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想。于是，歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的“每一个充分大的偶数都能够表示为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”（简称“1+2”），这一结论十分接近歌德巴赫猜想的解，被国际上称为“陈氏定理”。
情景二：多面体的欧拉公式
虽然，歌德巴赫的猜想还不能证明，但他的这种猜想方法在定理发现中很有用。大数学家欧拉，也是通过观察一些简单的多面体，然后发现多面体的欧拉公式的。
下面请同学们数一数下列图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E，然后一起把表格填完整。
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
四棱锥
三棱柱
五棱锥
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
问题4：欧拉从中发现了公式，你们发现了吗？
____________________________________
情景三：生活中的猜想
人们发现，只要有一年冬季下了大雪，那么第二年庄稼就会获得丰收，而没有发现相反情况，于是，人们作出了一个猜想：“瑞雪兆丰年”。
这样的猜想生活中还有很多，例如每次下大雨之前，都有蚂蚁搬家的现象，于是，我们就据此作出一个猜想：“凡蚂蚁搬家，天必下雨”
问题5：在上面几个例子中，大家有没有发现它们有什么共同的特点？
它们都是从个别事实中推演出一般的结论，像这样的推理通常称为归纳推理，简称归纳法。
归纳推理的思维过程大致如下：
归纳推理的一般模式为：
S1具有P，
S2具有P，
……
Sn具有P（S1，S2，……，Sn是A类事实的对象）
所以，A类事物都具有P。
互动实验：
道具：两袋玻璃棋子（其中一袋都是黑的；一袋中除一个黑的外其余都是白的）
过程：请两个学生上台摸袋中的棋子，一次摸一个，摸了三次后，请他们作出一个归纳推理。
目的：说明归纳推理得到的结论不都是正确的。
问题6：为什么上面的实验可能会得到不正确的结论？
因为没有全部摸出来，只检查了几个，就得出结论了。
像这样只从几个个别事例就推出结论的归纳法称为不完全归纳法；
如果把全部情况都列举出来的归纳法称为完全归纳法。
完全归纳法考察的是某类事物的全部对象，所以它的结论一定是正确的。但它的运用是有局限性的。如果某类事物的个别对象是无限的(如天体、原子)或者事实上是无法一一考察穷尽的，它就不能适用了。这时就只能运用不完全归纳推理了。例如检查一个大型生产厂的产品合格率。
课堂研学：“汉诺塔”问题
如图有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。 ①、每次只能移动1个金属片；②、较大的金属片不能放在较小的金属片上面。试推测：把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次
课堂练习：
（1）已知数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出的值。
（2）已知：，。观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。
课堂总结：
问题7：通过以上学习，归纳推理具有什么特点？
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围。
（2）由归纳得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。因此，它不能作为数学证明的工具。
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
猜测一般性的结论
概括、推广
实验、观察
2
3
1
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归纳推理
一、教学目标
知识与技能：（1）体会归纳推理这种基本的分析问题法，并把它们用于对问题的发现中去。
（2）明确归纳推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。
过程与方法： （1）通过歌德巴赫猜想引入课题，激发学生的学习积极性；21世纪教育网
（2）通过师生合作做实验的过程，让学生体会数学的严谨性；
（3）通过生活中的实例，让学生体会归纳推理的思想方法。
情感态度与价值观： 正确认识归纳推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
二、教学重点：理解归纳推理的思维过程与一般形式。
三、教学难点：运用归纳推理得到一般性的结论。
四、教学方法与手段：多媒体演示，互动实验。
五、教学过程：
情景一：歌德巴赫猜想
问题1：同学们，你们有没有听说过一个世纪难题，歌德巴赫猜想，简称“1+1”？
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问题2：你们知道这个歌德巴赫猜想的具体内容吗？[来源:21世纪教育网]
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问题3：你们想不想知道歌德巴赫是怎样提出这个猜想的？
1742年，歌德巴赫在教学中发现：
4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5，21世纪教育网
12=5+7， 14=3+11=7+7， 16=3+13=5+11， 18=5+13=7+11，
20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，……[来源:21世纪教育网]
由此，他猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（简称“1+1”），可是他既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想。于是，歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的“每一个充分大的偶数都能够表示为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”（简称“1+2”），这一结论十分接近歌德巴赫猜想的解，被国际上称为“陈氏定理”。
情景二：多面体的欧拉公式
虽然，歌德巴赫的猜想还不能证明，但他的这种猜想方法在定理发现中很有用。大数学家欧拉，也是通过观察一些简单的多面体，然后发现多面体的欧拉公式的。
下面请同学们数一数下列图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E，然后一起把表格填完整。
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
四棱锥
三棱柱
五棱锥
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
问题4：欧拉从中发现了公式，你们发现了吗？
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情景三：生活中的猜想
人们发现，只要有一年冬季下了大雪，那么第二年庄稼就会获得丰收，而没有发现相反情况，于是，人们作出了一个猜想：“瑞雪兆丰年”。
这样的猜想生活中还有很多，例如每次下大雨之前，都有蚂蚁搬家的现象，于是，我们就据此作出一个猜想：“凡蚂蚁搬家，天必下雨”
问题5：在上面几个例子中，大家有没有发现它们有什么共同的特点？
它们都是从个别事实中推演出一般的结论，像这样的推理通常称为归纳推理，简称归纳法。
归纳推理的思维过程大致如下：
归纳推理的一般模式为：
S1具有P，
S2具有P，
……
Sn具有P（S1，S2，……，Sn是A类事实的对象）
所以，A类事物都具有P。
互动实验：
道具：两袋玻璃棋子（其中一袋都是黑的；一袋中除一个黑的外其余都是白的）
过程：请两个学生上台摸袋中的棋子，一次摸一个，摸了三次后，请他们作出一个归纳推理。
目的：说明归纳推理得到的结论不都是正确的。
问题6：为什么上面的实验可能会得到不正确的结论？
因为没有全部摸出来，只检查了几个，就得出结论了。
像这样只从几个个别事例就推出结论的归纳法称为不完全归纳法；
如果把全部情况都列举出来的归纳法称为完全归纳法。
完全归纳法考察的是某类事物的全部对象，所以它的结论一定是正确的。但它的运用是有局限性的。如果某类事物的个别对象是无限的(如天体、原子)或者事实上是无法一一考察穷尽的，它就不能适用了。这时就只能运用不完全归纳推理了。例如检查一个大型生产厂的产品合格率。
课堂研学：“汉诺塔”问题
如图有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。 ①、每次只能移动1个金属片；②、较大的金属片不能放在较小的金属片上面。试推测：把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次
课堂练习：
（1）已知数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出的值。
（2）已知：，。观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。
课堂总结：
问题7：通过以上学习，归纳推理具有什么特点？
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围。
（2）由归纳得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。因此，它不能作为数学证明的工具。
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
猜测一般性的结论
概括、推广
实验、观察
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