（苏教版选修2—2）数学：第2章《直接证明与间接证明》测试

高中苏教选修（2-2）2.2直接证明与间接证明水平测试
一、选择题
1．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）
A．假设至少有一个钝角
B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角
D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
答案：B
2．关于直线与平面，有下列四个命题：
①若，且，则；
②若且，则；
③若且，则；
④若，且，则．
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
答案：D
3．设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
4．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
答案：D
二、填空题
5．若且，则①；②；③，其中不成立的不等式序号是 ．[来源:21世纪教育网]
答案：②③
6．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小：．
答案：4，12
三、解答题
7．已知，求证：，，不能同时大于．
证明：假设三式同时大于，
即，，．
三式同向相乘，得
． ①
又，
同理，．
． ②
因①②矛盾，故假设错误，原命题成立．
8．已知对任意实数都有，且当时，．
（1）求证：是上的增函数；
（2）已知，解不等式．
解：证明：设任意，且，
则．由已知得．
而
，
所以是上的增函数；
（2）解：由于，
．
由得，
是上的增函灵敏，
，解得．
C备选题
1．计算机中常用的十六进进是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：
十六进制21世纪教育网
0
1
2
3
4
5
6
7
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
十六进制
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
2．设，，且恒成立，则的最大值是 ．
答案：4
3．已知，试比较与的大小．
答案：解：先考虑一个简单问题，比较与的大小．
事实上，因为，
所以．
所以．
更进一步，则有，
故有．
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高中苏教选修（2-2）2.2直接证明与间接证明水平测试
一、选择题
1．欲证，只需证（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
2．若是正实数，且恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
3．“不等式成立”是“成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件21世纪教育网
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：B
4．已知平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是（ ）
A．平面必平行于
B．平面必不垂直于
C．平面必与相交
D．存在的一条中位线平行于或在内
答案：D
5．过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
答案：D
6．若，则不等式等价于（ ）
A．或
B．
C．或
D．或
答案：D
二、填空题
7．用反证法证明“如果，那么”，假设的内容是 ．
答案：
8．设（，）对任意非零实数均满足，则为 函数（“奇”或“偶”）．
答案：偶
9．设，且（均为正数），则的取值范围是 ．
答案：
10．已知平面和直线，给出条件：
①；②；③；④；⑤．
（1）当满足条件 时，有；
（2）当满足条件 时，有．（填所选条件的序号）
答案：③⑤；②⑤
三、解答题
11．已知非零实数是公差不为零的等差数列，求证： ．
证明：（反证法）假设，
则． ①
而． ②
由①②，得，即，
于是，这与非零实数成公差不为零的等差数列矛盾，故假设不成立，原命题结论成立，即成立．
12．当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．将此结论由平面类比到空间时，你能够得出什么样的结论，并证明你的结论．
解：由平面类比到空间可得如下结论：
当一个球与一个正方体的表面积相等时，这个球的体积比正方体的体积大．
设球和正方体的表面积均为，依题意球的体积为，正方体的体积为．
要证明，
只需证明．
又因为，
显然，，，
．
13．已知为互不相等的实数，求证：．
证明：，，，
又互不相等，
上面三式都不能取“”号，
．
，．
同理，，，
．
故．
14．若下列方程：，，，至少有一个方程有实根，试求实数的取值范围．
解：设三个方程均无实根，则有
解得，即．
所以当或时，三个方程至少有一个方程有实根．
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