（苏教版选修2—2）数学：第2章《推理与证明》综合测试
文档属性
| 名称 | （苏教版选修2—2）数学：第2章《推理与证明》综合测试 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 274.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-10-22 12:27:00 | ||
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文档简介
高中苏教选修（2-2）第2章推理与证明综合测试Ａ
一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．分析法是从要证明的结论出发逐步寻求使结论成立的（ ）
Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件
答案：Ａ
2．数列中的等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
3．已知，，，则正确的结论是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．大小不定
答案：Ｂ
4．用数学归纳法证明等式时，验证时，左边应取的项是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
5．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）
Ａ．有一个解 Ｂ．有两个解
Ｃ．至少有三个解 Ｄ．至少有两个解
答案：Ｃ
6．已知等比数列，其部分和，则与的递推关系不满足（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
7．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是（ ）
Ａ．各正三角形内的任一点 Ｂ．各正三角形的中心
Ｃ．各正三角形边上的任一点 Ｄ．各正三角形的某中线的中点
答案：Ｂ
8．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理（ ）
Ａ．小前提错 Ｂ．结论错
Ｃ．正确 Ｄ．大前提错
答案：Ｃ
9．中，若，则该三角形是（ ）
Ａ．直角三角形 Ｂ．钝角三角形
Ｃ．锐角三角形 Ｄ．不能判断
答案：Ｂ
10．当时，比较与的大小并猜想得（ ）
Ａ．时， Ｂ．时，
Ｃ．时， Ｄ．时，
答案：Ｄ
11．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做的下确界，则对于，且，的下确界是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
12．在上定义运算，若关于的不等式的解集是集合的子集，则实数的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．中，若，，，则的外接圆半径为，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为 ．
答案：在三棱锥中，若，，两两互相垂直，且，，，则此三棱锥外接球半径为
14．观察下列各式：；；；；
…，由此可以得出的一般结论为 ．
答案：
15．图中由火柴杆拼成的一列图形中，第个图形由个正方形组成：
通过观察可以发现：第四个图形中，火柴杆有 根；第个图形中，火柴杆有 根．
答案：；
16．函数在上是增函数，函数是偶函数，则、、的大小关系是 ．
答案：
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题13分）判断命题“若且，则”是真命题还是假命题，并证明你的结论．21世纪教育网
解：此命题是真命题．
，，，．
要证成立，
只需证，即证，
也就是证，
即证．
因为，，
所以成立．
故原不等式成立．即命题为真命题．
18．（本小题13分）已知，且，，求证：中至少有一个是负数．
证明：假设都是非负数．
因，所以，
又，
所以，这与已知矛盾．
所以中至少有一个是负数．
19．（本小题15分）已知，是否存在自然数，使对任意，都有整除？如果存在，求出的最大值，并证明；若不存在，说明理由．
解：由，，，，猜想能被整除．
证明：（1）当时，猜想显然成立．
（2）假设时，能被整除，即能被整除，
则时，，
根据假设可知能被整除，而是偶数．
所以能被整除，从而能被整除．
综上所述，时，能被整除，由于，故是整除的自然数中的最大值．
20．（本小题14分）已知命题：“若数列是等比数列，且，令，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
解：类比等数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，令，则数列也是等闭幕数列．
证明如下：设等差数列的公差为，
则，所以数列是以为首项，为公差数列．
故所得命题成立．
21．（本小题15分）设是集合中的所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…，将数列各项按上小下大、左小右大的原则写成如下三角形数列：
3
5 6
9 10 12
— — — —
— — — — —
… … …
（1）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
（2）求．
解：（1）第一行的数：，
第二行的数：，，
第三行的数：，，
那么第地的数为：，，，，
由此规律，第四行为：，
第五行为：；
（2）前行数的总个数为：．
当时，，
当时，，
故应是第行的第个数，
．
高中苏教选修（2-2）第2章推理与证明综合测试B
一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，，则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
2．下面说法正确的有（ ）
①演绎推理是由一般到特殊的推理；
②演绎推理得到的结论一定是正确的；
③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；
④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
答案：Ｃ
3．若，且，则的最大值为（ ）
Ａ．14 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．17
答案：Ｂ
4．已知直线是异面直线，直线，那么与的位置关系（ ）
Ａ．一定是异面直线 Ｂ．一定是相交直线
Ｃ．不可能是平行直线 Ｄ．不可能是相交直线
答案：Ｃ
5．设为奇函数，，，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
6．设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这条直线交点的个数，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
7．条件甲：“”是条件乙：“”的（ ）
Ａ．既不充分又不必要条件 Ｂ．充要条件
Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．必要不充分条件
答案：Ｂ
8．对于不等式，某学生的证明过程如下：①当时，，不等式成立；②假设时，不等式成立，即，则时，
，∴当时，不等式成立．由①②可知，对任意，不等式成立．（ ）21世纪教育网
Ａ．过程全部正确 Ｂ．验证得不正确
Ｃ．归纳假设不正确 Ｄ．从到的推理不正确
答案：Ｄ
9．若数列满足：，且对任意正整数都有，则数列是（ ）
Ａ．首项为，公差为的等差数列
Ｂ．首项为，公比为的等比数列
Ｃ．首项为，公差为的等差数列
Ｄ．首项为，公比为的等比数列
答案：Ｂ
10．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
11．已知是正实数，，则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
12．弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（ ）
Ａ．0颗 Ｂ．4颗 Ｃ．5颗 Ｄ．11颗
答案：Ｂ
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，，，，则四面体的体积 ．
答案：
14．长方形的对角线与边和的夹角分别为和，则有，此结论推广到空间可得 ．
答案：长方体的对角线与棱、、所成的角分别为，则有
15．在三角形中，若，则三角形是直角三角形；在三角形中，若，则三角形是 三角形．
答案：锐角三角形
16．在空间 这样的多面体，它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边（填“不存在”或“存在”）．
答案：不存在
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题13分）证明：对于任意实数都有．
证明：（分析法）要证，
只需证明，
即．
要证，
只需与同时成立即可．
又知，即成立，
只需再有成立即可．
由于，
与同号，
，即成立，
对于任意实数都有成立．
18．（本小题13分）已知．
（1）求证：；
（2）求证：，，中至少有一个不小于．
证明：（1）；
（2）（反证法）假设，，中至少有一个不小于不成立，则假设，，都小于，则，
即． ①
而，
即，
即，这与①矛盾，
从而假设不成立，原命题成立，即，，中至少有一个不小于．
19．（本小题14分）已知，考查
①；
②；
③，
归纳出对，，…，都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．
解：归纳得．下面用数学归纳法证明：
（1）由已知，时，不等式成立．
（2）假设时，不等式成立，即有，
则当时，
．
20．（本小题15分）已知数列，，…，，其中，，…，是首项为，公差为的等差数列；，，…，是公差为的等差数列，，，…，是公差为的等差数列．
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；21世纪教育网
（3）续写已知数列，使得，，…，是公差为的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
解：（1），，；
（2），
当时，
；
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，当时，数列，，，是公差为的等差数列．
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围．
研究的问题可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为．
21．（本小题15分）自然状态下的鱼类是一种再生的资源．为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用表示某鱼群在第年年初的总量，，且．不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数．
（1）求与的关系式；
（2）猜测：当且仅当、、、满足什么条件时，每年年初鱼群总量保持不变？（不要求证明）
（3）设，，为保证对任意，都有，，则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论．
解：（1）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，因此，，
即，；
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于，，
，即．
，．
猜想：当且仅当且时，每年年初鱼群的总量保持不变；
（3）若的值使得，．21世纪教育网
又，，则，，特别地，有，即．[来源:21世纪教育网]
而，所以．
由此猜想的最大允许值是．
下证：当，时，都有，．
①当时，结论显然成立．
②假设当时，结论成立，即．
则当时，．
又因为，
所以．故当时，结论成立．
由①②可知，对于任意的都有．
综上所述，为保证对任意的都有，，则捕捞强度的最大允许值是．
一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．分析法是从要证明的结论出发逐步寻求使结论成立的（ ）
Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件
答案：Ａ
2．数列中的等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
3．已知，，，则正确的结论是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．大小不定
答案：Ｂ
4．用数学归纳法证明等式时，验证时，左边应取的项是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
5．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）
Ａ．有一个解 Ｂ．有两个解
Ｃ．至少有三个解 Ｄ．至少有两个解
答案：Ｃ
6．已知等比数列，其部分和，则与的递推关系不满足（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
7．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是（ ）
Ａ．各正三角形内的任一点 Ｂ．各正三角形的中心
Ｃ．各正三角形边上的任一点 Ｄ．各正三角形的某中线的中点
答案：Ｂ
8．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理（ ）
Ａ．小前提错 Ｂ．结论错
Ｃ．正确 Ｄ．大前提错
答案：Ｃ
9．中，若，则该三角形是（ ）
Ａ．直角三角形 Ｂ．钝角三角形
Ｃ．锐角三角形 Ｄ．不能判断
答案：Ｂ
10．当时，比较与的大小并猜想得（ ）
Ａ．时， Ｂ．时，
Ｃ．时， Ｄ．时，
答案：Ｄ
11．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做的下确界，则对于，且，的下确界是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
12．在上定义运算，若关于的不等式的解集是集合的子集，则实数的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．中，若，，，则的外接圆半径为，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为 ．
答案：在三棱锥中，若，，两两互相垂直，且，，，则此三棱锥外接球半径为
14．观察下列各式：；；；；
…，由此可以得出的一般结论为 ．
答案：
15．图中由火柴杆拼成的一列图形中，第个图形由个正方形组成：
通过观察可以发现：第四个图形中，火柴杆有 根；第个图形中，火柴杆有 根．
答案：；
16．函数在上是增函数，函数是偶函数，则、、的大小关系是 ．
答案：
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题13分）判断命题“若且，则”是真命题还是假命题，并证明你的结论．21世纪教育网
解：此命题是真命题．
，，，．
要证成立，
只需证，即证，
也就是证，
即证．
因为，，
所以成立．
故原不等式成立．即命题为真命题．
18．（本小题13分）已知，且，，求证：中至少有一个是负数．
证明：假设都是非负数．
因，所以，
又，
所以，这与已知矛盾．
所以中至少有一个是负数．
19．（本小题15分）已知，是否存在自然数，使对任意，都有整除？如果存在，求出的最大值，并证明；若不存在，说明理由．
解：由，，，，猜想能被整除．
证明：（1）当时，猜想显然成立．
（2）假设时，能被整除，即能被整除，
则时，，
根据假设可知能被整除，而是偶数．
所以能被整除，从而能被整除．
综上所述，时，能被整除，由于，故是整除的自然数中的最大值．
20．（本小题14分）已知命题：“若数列是等比数列，且，令，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
解：类比等数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，令，则数列也是等闭幕数列．
证明如下：设等差数列的公差为，
则，所以数列是以为首项，为公差数列．
故所得命题成立．
21．（本小题15分）设是集合中的所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…，将数列各项按上小下大、左小右大的原则写成如下三角形数列：
3
5 6
9 10 12
— — — —
— — — — —
… … …
（1）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
（2）求．
解：（1）第一行的数：，
第二行的数：，，
第三行的数：，，
那么第地的数为：，，，，
由此规律，第四行为：，
第五行为：；
（2）前行数的总个数为：．
当时，，
当时，，
故应是第行的第个数，
．
高中苏教选修（2-2）第2章推理与证明综合测试B
一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，，则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
2．下面说法正确的有（ ）
①演绎推理是由一般到特殊的推理；
②演绎推理得到的结论一定是正确的；
③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；
④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
答案：Ｃ
3．若，且，则的最大值为（ ）
Ａ．14 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．17
答案：Ｂ
4．已知直线是异面直线，直线，那么与的位置关系（ ）
Ａ．一定是异面直线 Ｂ．一定是相交直线
Ｃ．不可能是平行直线 Ｄ．不可能是相交直线
答案：Ｃ
5．设为奇函数，，，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
6．设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这条直线交点的个数，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
7．条件甲：“”是条件乙：“”的（ ）
Ａ．既不充分又不必要条件 Ｂ．充要条件
Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．必要不充分条件
答案：Ｂ
8．对于不等式，某学生的证明过程如下：①当时，，不等式成立；②假设时，不等式成立，即，则时，
，∴当时，不等式成立．由①②可知，对任意，不等式成立．（ ）21世纪教育网
Ａ．过程全部正确 Ｂ．验证得不正确
Ｃ．归纳假设不正确 Ｄ．从到的推理不正确
答案：Ｄ
9．若数列满足：，且对任意正整数都有，则数列是（ ）
Ａ．首项为，公差为的等差数列
Ｂ．首项为，公比为的等比数列
Ｃ．首项为，公差为的等差数列
Ｄ．首项为，公比为的等比数列
答案：Ｂ
10．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
11．已知是正实数，，则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
12．弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（ ）
Ａ．0颗 Ｂ．4颗 Ｃ．5颗 Ｄ．11颗
答案：Ｂ
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，，，，则四面体的体积 ．
答案：
14．长方形的对角线与边和的夹角分别为和，则有，此结论推广到空间可得 ．
答案：长方体的对角线与棱、、所成的角分别为，则有
15．在三角形中，若，则三角形是直角三角形；在三角形中，若，则三角形是 三角形．
答案：锐角三角形
16．在空间 这样的多面体，它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边（填“不存在”或“存在”）．
答案：不存在
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题13分）证明：对于任意实数都有．
证明：（分析法）要证，
只需证明，
即．
要证，
只需与同时成立即可．
又知，即成立，
只需再有成立即可．
由于，
与同号，
，即成立，
对于任意实数都有成立．
18．（本小题13分）已知．
（1）求证：；
（2）求证：，，中至少有一个不小于．
证明：（1）；
（2）（反证法）假设，，中至少有一个不小于不成立，则假设，，都小于，则，
即． ①
而，
即，
即，这与①矛盾，
从而假设不成立，原命题成立，即，，中至少有一个不小于．
19．（本小题14分）已知，考查
①；
②；
③，
归纳出对，，…，都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．
解：归纳得．下面用数学归纳法证明：
（1）由已知，时，不等式成立．
（2）假设时，不等式成立，即有，
则当时，
．
20．（本小题15分）已知数列，，…，，其中，，…，是首项为，公差为的等差数列；，，…，是公差为的等差数列，，，…，是公差为的等差数列．
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；21世纪教育网
（3）续写已知数列，使得，，…，是公差为的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
解：（1），，；
（2），
当时，
；
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，当时，数列，，，是公差为的等差数列．
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围．
研究的问题可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为．
21．（本小题15分）自然状态下的鱼类是一种再生的资源．为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用表示某鱼群在第年年初的总量，，且．不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数．
（1）求与的关系式；
（2）猜测：当且仅当、、、满足什么条件时，每年年初鱼群总量保持不变？（不要求证明）
（3）设，，为保证对任意，都有，，则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论．
解：（1）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，因此，，
即，；
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于，，
，即．
，．
猜想：当且仅当且时，每年年初鱼群的总量保持不变；
（3）若的值使得，．21世纪教育网
又，，则，，特别地，有，即．[来源:21世纪教育网]
而，所以．
由此猜想的最大允许值是．
下证：当，时，都有，．
①当时，结论显然成立．
②假设当时，结论成立，即．
则当时，．
又因为，
所以．故当时，结论成立．
由①②可知，对于任意的都有．
综上所述，为保证对任意的都有，，则捕捞强度的最大允许值是．