（苏教版选修2—2）数学：第2章《数学归纳法》测试

高中苏教选修（2-2）2.3数学归纳法水平测试
一、选择题
1．用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
答案：C
2．用数学归纳法证明不等式时，不等式在时的形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：D
3．用数学归纳法证明，“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）
A．假设时正确，再推证正确21世纪教育网
B．假设时正确，再推证正确
C．假设的正确，再推证正确
D．假设时正确，再推证正确
答案：B
4．用数学归纳法证明：“”在验证时，左端计算所得的项为（ ）
A．1 B． C． D．
答案：C
5．下面四个判断中，正确的是（ ）
A．式子，当时为1
B．式子，当时为
C．式子，当时为
D．设，则
答案：C
6．用数学归纳法证明，从到左端需增乘的代数式为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
二、填空题
7．用数学归纳法证明，第一步即证不等式 成立．
答案：
8．用数学归纳法证明命题：，从“第步到步”时，两边应同时加上 ．
答案：
9．已知，则中共有 项．
答案：
10．设，则用含有的式子表示为 ．
答案：
三、解答题
11．用数学归纳法证明：能被64整除．
证明：（1）当时，，能被64整除，命题成立．
（2）假设时，命题成立，即能被64整除，
则当时，．
因为能被64整除，
所以能被64整除．
即当时，命题也成立．
由（1）和（2）可知，对任何，命题成立．
12．用数学归纳法证明：．
证明：（1）当时，左边，右边，，所以不等式成立．
（2）假设时不等式成立，即，
则当时，
，
即当时，不等式也成立．
由（1）、（2）可知，对于任意时，不等式成立．
13．数列的前项和，先计算数列的前4项，后猜想并证明之．
解：由，，
由，得．21世纪教育网
由，得．
由，得．
猜想．21世纪教育网
下面用数学归纳法证明猜想正确：
（1）时，左边，右边，猜想成立．[来源:21世纪教育网]
（2）假设当时，猜想成立，就是，此时．
则当时，由，
得，
．
这就是说，当时，等式也成立．
由（1）（2）可知，对均成立．
高中苏教选修（2-2）2.3数学归纳法水平测试
一、选择题[来源:21世纪教育网]
1．如果命题对成立，那么它对也成立，又若对成立，则下列结论正确的是（ ）
A．对所有自然数成立
B．对所有正偶数成立
C．对所有正奇数成立
D．对所有大于1的自然数成立
答案：B
2．用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ）
A．成立 B．成立
C．成立 D．成立
答案：C
3．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
4．凸边形有条对角线，则凸边形的对角线的条数为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
二、填空题
5．用数学归纳法证明“能被6整除”的过程中，当时，式子应变形为 ．
答案：
6．用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为 ．
答案：8
三、解答题
7．用数学归纳法证明：．
证明：（1）当时，左边，
右边左边，等式成立．
（2）假设时等式成立，即．
则当时，左边
，
时，等式成立．
由（1）和（2）知对任意，等式成立．
8．求证：能被整除（其中）．
证明：（1）当时，能被整除，即当时原命题成立．
（2）假设时，能被整除．
则当时，
．
由归纳假设及能被整除可知，也能被整除，即命题也成立．
根据（1）和（2）可知，对于任意的，原命题成立．
备选题
已知等差数列和等比数列，且，，，，，试比较与，与的大小，并猜想与（，）的大小关系，并证明你的结论．
解：设，的公差为，的公比为．
．
因为，，，，．
，
．
又，
．
猜想．
下面用数学归纳法证明此猜想：
当时，已证，猜想正确．
（2）假设当（，）时猜想正确，即．
则当时，由，知：
，
又，，
而，
，
．
即当时，猜想也成立．
由（1）和（2）可知，对，，均有成立．
设，是否存在使等式对的一切自然数都成立，并证明你的结论．
解：，，，
由，
得当时，，可得．
当时，，得．
猜想：．
用数学归纳法证明：当时，已验证成立．
假设（，）时成立，即，
且有成立．
则当时，
．
即当时成立．
综上可知，使等式对的一切自然数都成立．
3．求证：棱柱中过侧棱的对角面的个数是．
证明：（1）当时，四棱柱有个对角面：，命题成立．
（2）假设（，）时，命题成立，即符合条件的棱柱的对角面有个．
现在考虑时的情形．
第条棱与其余和它不相邻的条棱分别增加了1个对角共个，而面变成了对角面．因此对角面的个数变为：
，
即成立．
由（1）和（2）可知，对任何，，命题成立．