（苏教版选修2—2）数学：导数在实际生活的实际应用 同步练习
文档属性
| 名称 | （苏教版选修2—2）数学：导数在实际生活的实际应用 同步练习 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 68.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-10-22 12:27:00 | ||
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文档简介
导数在实际生活的实际应用 同步练习
1. 一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀章恒为0.3m3／s，则当其半径增至l.5 m时，
半径的增长率是________．
2. 将长为a的铁丝剪成两段，各围成长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么这两个矩
形面积和的最小值为 .
3. 如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为
时，其容积最大.
21世纪教育网
4. 如图，矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，另两个顶点 C、D在抛物线y=4-x2位于x轴上方的曲线上，则矩形ABCD的面积最大值为 ．
5. 将边长为10cm16cm的一块矩形的四角各截去一个大小相同的小正方形, 然后将四边折起做成一个无益盖的方盒, 则小正方形边长为_____________时,所得方盒体容积最大. 方盒体最大容积是____________.
6. 有一杠杆的支点在它的一端，距支点1 m处挂一个49kg的物体，同时加力于杆的另一端使杆保持水平平衡.若杠杆本身每米重2 kg，则所加的力最小时杠杆的长度是____.
7 如图，将边长为a的正方形铁皮的四角各截去一个同样大小的小正方形后，将四边向上翻折做成一个无盖的正四棱柱形容器，求此容器的体积最大值．
8. (1) 求内接于半径为R的球并且体积最大的圆柱的高．[来源:21世纪教育网]
(2) 求内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高．
9. 一人以3m/s的速度沿地面向高为100 m的建筑物走去，当此人距建筑物50 m时．他与建筑物顶部的距离改变率是多少?
10. 溶液自深度18 cm、顶部直径12 cm的圆锥形漏斗中，漏入一直径为10 cm的圆柱形
简中．开始时漏斗中盛满了水.已知当溶液在漏斗中的深度为12 cm时，其水面下落
的速度为1 cm／min，问：此时圆柱彤筒中，水面上升的速度为多少?
11. 一轮船以v km／h的速度航行，每小时用煤0. 3+0.001v3t重，问：v为何值时，才能使
轮船航行每千米用的煤最少?
12.用总长14．8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若制作的容器的底面的一边长比另一边长0．5m．那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积？
13. 设工厂Ａ到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B． 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转站, 再由车站D向工厂修一条公路． 如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3∶5, 那么Ｄ应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂所需运费最省?
14. 甲乙两地相距ＳＫｍ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ＣＫｍ／ｈ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成; 可变部分与速度Ｖ（Ｋｍ／ｈ）的平方成正比比例系数为ｂ, 固定成本为ａ．
(1)把全程运输成本y（元）表示为速度Ｖ（ｋｍ／ｈ）的函数, 并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小; 汽车应以多大的速度行驶．
21世纪教育网
参考答案
1.21世纪教育网
2.
3.
4.
5. 2cm,1444cm3.
6.7m.
7.
8. (1) 设圆柱的高为x, 则底面半径,圆柱的体积为
，()，∴令，[来源:21世纪教育网]
解得（负值舍去）因为只有一个极值点，所以当圆柱的高为时，
球内接圆柱的体积最大．
(2) 设圆锥的高为x, 则底面半径,圆锥的体积为
，()，∴令，
解得（负值舍去）因为只有一个极值点，所以当圆锥的高为时，球内接圆锥的体积最大．
9.
10.
11. 轮船航行每千米用的煤量,令,.
故v为何值时，才能使轮船航行每千米用的煤最少.
12. 【解析】设容器底面短边长为xm，则另一边为（x+0．5）m．于是高为
由和，得
设容器的容积为ym3，则有
整理得
∴
令，有
即，
解得 （舍去）．
从而在定义域（0，1．6）内只有x=1处使．由题意，若x过小（接近0）或过大（接近1．6）时，y的值很小（接近0），因此，当x=1时，y取得最大值．
且y最大=，此时高为．
答案：容器的高为1．2m时容器的容积最大，最大容积为2．2m3．
13. 设BD之间的距离为xkm, 则，如果公路运费为a元／km, 那么铁路运费为元／km． 故从原料供应站Ｃ途经中转站Ｄ到工厂Ａ所需运费为y,
∴ 令 解得舍去．
且是函数在定义域内唯一的极值点． 所以是函数最小值点．
由此可知, 车站Ｄ建于Ｂ,Ｃ之间且与Ｂ相距15km处时, 运费最省．
14. (1) 依题意可知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，所以全程运输成本为：所以所求函数及其定义域为，；
(2) 函数的导数为,令
∴ ∴函数在区间是减函数；在区间是增函数，
所以 当时，行驶速度为；当时行驶速度为．
1. 一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀章恒为0.3m3／s，则当其半径增至l.5 m时，
半径的增长率是________．
2. 将长为a的铁丝剪成两段，各围成长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么这两个矩
形面积和的最小值为 .
3. 如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为
时，其容积最大.
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4. 如图，矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，另两个顶点 C、D在抛物线y=4-x2位于x轴上方的曲线上，则矩形ABCD的面积最大值为 ．
5. 将边长为10cm16cm的一块矩形的四角各截去一个大小相同的小正方形, 然后将四边折起做成一个无益盖的方盒, 则小正方形边长为_____________时,所得方盒体容积最大. 方盒体最大容积是____________.
6. 有一杠杆的支点在它的一端，距支点1 m处挂一个49kg的物体，同时加力于杆的另一端使杆保持水平平衡.若杠杆本身每米重2 kg，则所加的力最小时杠杆的长度是____.
7 如图，将边长为a的正方形铁皮的四角各截去一个同样大小的小正方形后，将四边向上翻折做成一个无盖的正四棱柱形容器，求此容器的体积最大值．
8. (1) 求内接于半径为R的球并且体积最大的圆柱的高．[来源:21世纪教育网]
(2) 求内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高．
9. 一人以3m/s的速度沿地面向高为100 m的建筑物走去，当此人距建筑物50 m时．他与建筑物顶部的距离改变率是多少?
10. 溶液自深度18 cm、顶部直径12 cm的圆锥形漏斗中，漏入一直径为10 cm的圆柱形
简中．开始时漏斗中盛满了水.已知当溶液在漏斗中的深度为12 cm时，其水面下落
的速度为1 cm／min，问：此时圆柱彤筒中，水面上升的速度为多少?
11. 一轮船以v km／h的速度航行，每小时用煤0. 3+0.001v3t重，问：v为何值时，才能使
轮船航行每千米用的煤最少?
12.用总长14．8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若制作的容器的底面的一边长比另一边长0．5m．那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积？
13. 设工厂Ａ到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B． 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转站, 再由车站D向工厂修一条公路． 如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3∶5, 那么Ｄ应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂所需运费最省?
14. 甲乙两地相距ＳＫｍ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ＣＫｍ／ｈ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成; 可变部分与速度Ｖ（Ｋｍ／ｈ）的平方成正比比例系数为ｂ, 固定成本为ａ．
(1)把全程运输成本y（元）表示为速度Ｖ（ｋｍ／ｈ）的函数, 并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小; 汽车应以多大的速度行驶．
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参考答案
1.21世纪教育网
2.
3.
4.
5. 2cm,1444cm3.
6.7m.
7.
8. (1) 设圆柱的高为x, 则底面半径,圆柱的体积为
，()，∴令，[来源:21世纪教育网]
解得（负值舍去）因为只有一个极值点，所以当圆柱的高为时，
球内接圆柱的体积最大．
(2) 设圆锥的高为x, 则底面半径,圆锥的体积为
，()，∴令，
解得（负值舍去）因为只有一个极值点，所以当圆锥的高为时，球内接圆锥的体积最大．
9.
10.
11. 轮船航行每千米用的煤量,令,.
故v为何值时，才能使轮船航行每千米用的煤最少.
12. 【解析】设容器底面短边长为xm，则另一边为（x+0．5）m．于是高为
由和，得
设容器的容积为ym3，则有
整理得
∴
令，有
即，
解得 （舍去）．
从而在定义域（0，1．6）内只有x=1处使．由题意，若x过小（接近0）或过大（接近1．6）时，y的值很小（接近0），因此，当x=1时，y取得最大值．
且y最大=，此时高为．
答案：容器的高为1．2m时容器的容积最大，最大容积为2．2m3．
13. 设BD之间的距离为xkm, 则，如果公路运费为a元／km, 那么铁路运费为元／km． 故从原料供应站Ｃ途经中转站Ｄ到工厂Ａ所需运费为y,
∴ 令 解得舍去．
且是函数在定义域内唯一的极值点． 所以是函数最小值点．
由此可知, 车站Ｄ建于Ｂ,Ｃ之间且与Ｂ相距15km处时, 运费最省．
14. (1) 依题意可知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，所以全程运输成本为：所以所求函数及其定义域为，；
(2) 函数的导数为,令
∴ ∴函数在区间是减函数；在区间是增函数，
所以 当时，行驶速度为；当时行驶速度为．