（苏教版选修2—2）数学：3.1《数系的扩充》教案1

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第3章 数系的扩充与复数的引入
§3.1数系的扩充
一、教学目标：
1、经历数的概念的发展和数系的扩充的过程，体会数的概念是逐步发展的，了解引进复数的必要性；
2、 理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．
二、教学重点、难点
重点：数系扩充的过程和方法；复数的概念、复数的代数表示及复数相等的充要条件．
难点：数系的扩充过程和方法．
三、知识链接
1．已知方程组，且，求（1）的值；（2）的值．
2.到目前为止，我们学过了哪些数集？
四、学习过程
（一）自主学习，合作探究
阅读课本第103页，回答下列问题：
问题1：我们已经学过的数集经历了哪几次扩充？
问题2：每一次扩充解决了哪些问题？
问题3：这几次扩充有什么共同的特点？
问题4：我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．解决这一问题，其本质就是解决以下问题串：什么叫方程无解？方程是否有解与什么相关 有没有必要将实数集扩充，使得此类方程在新的数集中变得有解？
问题5：怎样将实数集进行扩充，使得=-1之类方程在新的数集中有解呢？
虚数单位的引入：
a.新数 ，叫做虚数单位；
b.对的规定： ；
；
注：i是一个数，与同、e类似；产生一个新数应融入已有的数集．
复数的有关概念：
a.形如 的数叫做复数，通常用小写字母 表示；全体复数所组成的集合叫做 ，常用大写字母 表示。从而复数的代数形式为，a叫 ，b叫 ．
b.复数的分类：
问题6：复数能否表示实数？
小试牛刀：（判断）
1．若a=0,则z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数；
2．若z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数,则a=0．
3. 若a，b为实数，则必为虚数
4. 若b为实数，则必为纯虚数
5. 若a,为实数，b=0，则z = a一定不是复数
(二)数学应用，技能培养
例 1:完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）
4 2-3i 0
实部 [来源:21世纪教育网]
虚部
分类
例2：当m为何实数时，复数是： 21世纪教育网
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？(4) 0
例3：已知 ，其中 求实数．
反思 ；
②
利用复数相等的定义可将复数问题实数化；
阅读：复数系是怎样建立的？
1545年意大利有名的数学“怪杰”卡丹 第一次开始讨论负数开平方的问题，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位.后来德国数学家高斯给出了复数的定义，并把复数与直角坐标平面内的点一一对来．1837年，爱尔兰数学家哈密顿用有序实数对（a,b)定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律.这样历经300年的努力，数系从实数系向复数系的扩充才得以大功告成．21世纪教育网
复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充.
五．基础达标
1．说出下列集合之间的关系：N，，Z，Q，R，C．
2.复数的虚部是
3.在复数集中，下列命题中正确的是（填序号）
+1>0恒成立；的实部为3，虚部为；是纯虚数；
是纯虚数；
4.以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是
5.如果，且，则=
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6.若，集合
求.
7.设M是一个非空集合，是一种运算。如果对于集合M中任意两个元素，，实施运算的结果仍是集合中的元素，那么就说集合M对于运算是“封闭的”。已知集合,试验证对于加法、减法、乘法和除法（除数不为0）运算是封闭的。
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今日收获：
后继探究：
虚数真的是虚幻的吗，有无意义？那么任意两个复数怎么进行四则运算呢？
“”正确吗？
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