（苏教版选修2—2）数学：1.3《导数在研究函数中的作用》教案

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§1.3导数在研究函数中的作用
§1.3.1单调性（1）
目的要求：（1）弄清函数的单调性与导数之间的关系
（2）函数的单调性的判别方法；注意知识建构
（3）利用导数求函数单调区间的步骤
（4）培养学生数形结合的能力。识图和画图。
重点难点：函数单调性的判别方法是本节的重点，求函数的单调区间是本节的重点和难点。
教学内容：
导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数
的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画，回忆：什么是增函数，减函数，增区间，减区间。
思考：导数与函数的单调性有什么联系？
函数的单调性的规律：
思考：试结合函数进行思考：如果在某区间上单调递增，那么在该区间上必有吗？
例1． 确定函数在那个区间上是增函数，哪个区间上是减函数。
例2． 确定函数在那些区间上是增函数？
例3． 确定函数的单调减区间。
巩固：
1．确定下列函数的单调区间：
（1） （2）
（3） （4）
2．讨论函数的单调性：
（1） （2）
（3）
小结：函数单调性的判定方法，函数的单调性区间的求法。
作业：
1．设，则的单调减区间是
2．函数的单调递增区间为
3．二次函数在 上单调递增，则实数a的取值范围是
4．在下列结论中，正确的结论共有： （ ）
①单调增函数的导函数也是增函数 ②单调减函数的导函数也是减函数
③单调函数的导函数也是单调函数 ④导函数是单调的，则原函数也是单调的
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若函数则的单调递减区间为
单调递增区间为
6．已知函数在区间上为减函数，则m的取值范围是
7．求函数的递增区间和递减区间。
8．确定函数y=的单调区间．
9．如果函数在R上递增，求a的取值范围。
§1.3.1单调性（2）
目的要求：（1）巩固利用导数求函数的单调区间
（2）利用导数证明函数的单调性
（3）利用单调性研究参数的范围
（4）培养学生数形结合、分类讨论的能力，养成良好的分析问题解决问题的能力
重点难点：利用图像及单调性区间研究参数的范围是本节的重点难点
教学内容：
1．回顾 函数的导数与单调性之间的关系
2．板演 求下列函数得单调区间：
（1）； （2）；
(3) ; (4) ;
（5）； （6）。
3．典型例题：
例1．证明在内是增函数。
例2．（1）已知函数y=ax2(a≠0)当x＞0时是减函数，利用求导数的方法确定a的范围．
（2） 求p为何值时，函数f(x)=cosx－px＋q在(－∞，＋∞)内是减函数？
例4．已知函数的递增区间为，求的值。
例5．若函数在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为
例6．若恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。
小结：1）求函数单调区间时注意区间端点
2）解题时尽量构造图像帮助分析问题，解决问题
3）注意单调区间和某一区间单调性的区别
4）求参数的范围时注意分类讨论
作业：
1．若函数在R上增函数，则 （ ）
A. a≤0 B. a≥0 C. a<0 D. a>0
2．函数f (x)的导数在区间(a,b)上的图形如右图。
由图可知，函数f (x) （ ）
A.在(a,b)内单调递增 B.在(a,b)内单调递减
C.在内单调递增 ,在内单调递减
D.在x=处有最小值
3．函数其中a,b,c为实数，当
时，f (x)是 （ ）
A.增函数 B.减函数
C.常数 D.既不是增函数也不是减函数
4．函数是定义在R上 的可导函数，则为R上的单调增函数是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条件（ ）
5．下列的命题中，正确的是（ ）
A．可导的奇函数的导函数仍是奇函数B．可导的偶函数的导函数仍是偶函数
C．可导的周期函数的导函数仍是周期函数 D．可导的单调函数的导函数仍是单调函数
6．若函数的单调递减区间为（0，3），则
7．若在区间[3，2]上单调递减，而在其余区间上单调递增，则a的取值范围是
8．已知，函数在[1，上单调增函数，则的范围是
9．证明：函数在区间是减函数。
10．已知函数，当时是增函数，利用导数的方法，确定a的值
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11．已知函数在R上是减函数，求实数a的取值范围。
12．已知函数的一个单调递增区间为，求a的值，及函数的其它单调区间
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13．已知函数的单调递减区间为，求函数的递增区间。
14．若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围。
15．若函数的递减区间为，则的取值范围是多少？21世纪教育网
16．已知函数与在区间上都是减函数，确定函数的单调区间
17．用导数证明：
（1）在区间上是增函数
（2）在区间（上是减函数
18．证明：时，
§1.3.2极值点（1）
目的要求：（1）什么是函数的极值
（2）函数的导数与极值之间的关系
（3）求函数的极值
（4）极值的应用
重点难点：导数与极值之间的关系是本节的重点难点
教学内容：
1．函数的极值
2．函数的极值与导数之间的关系：
3．例题：
例1．求的极值。
例2．求的极值
思考：（1）试联系函数思考：当时，能否肯定函数在取得极值？
（2）如果函数有极小值，极大值，那么一定小于吗？试作图说明。
巩固：1）求下列函数的极值：
（1） （2）
2）根据下列条件大致作出函数的图像。
（1）当时，；当时
（2），当时，
小结：1）函数的极值与导数之间的关系
2）求函数的极值
作业：
求下列函数的极值
（1） （2）y ＝x4－8 x 2 ＋2
（3） （4）
（5）y ＝x 2e－x （6）y ＝2 e x ＋e－x21世纪教育网
例3．已知函数。当x=1时，取得极大值7，当x=3时，取得
极小值。求a,b,c及极小值。
例4．函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b的值。
例5．已知函数当且仅当时取得极值，且极大值比极/小值大4。求a,b的值
例6．设a为实数，函数
求ⅰ）的极值；ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点
例7．讨论函数在区间上的极值
作业
1．函数的极大值是（　　　　　　）
Ａ．１　　　　Ｂ．０　　　　Ｃ．２　　　　　Ｄ．不存在
2．函数的极值点是（　　　　　　）
Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　　Ｄ．或或
3．函数当时　　（　　　　　）
Ａ．有极大值　Ｂ．有极小值　Ｃ．既无极大值又无极小值　Ｄ．无法判定有无极值
4．已知函数，且当存在极小值，则（ ）
A．当时，；当时，；
B．当时，；当时，；
C．当时，；当时，；
D．当时，；当时，；
5．函数的极值情况是（ ）
A．有极小值无极大值 B．有极大值无极小值
C．有极大值和极小值 D．不存在极大值和极小值
6．设为三次函数，且图象关于原点对称，当时，的极小值为，求函数的解析式
7．设a>0,f (x)=a,曲线y=f (x)在点P处切线的倾斜角的取值范围为，则到P到曲线y=f (x)对称轴距离的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
8．已知有极大值又有极小值，则的取值范围是
9．设，在处有极小值－1，试求的值，并求出的单调区间。
10．已知函数的极大值为10，求的值。
11．已知函数的图象过（1，2）点，并且当时，函数的极值为6，求的值
§1.3.3最大值与最小值
目的要求：（1）回顾导数与极值的关系
（2）掌握函数的最值，会求函数的最值（注意一般步骤）
（3）函数最值的应用（数形结合）
重点难点：求函数的最值是本节课的重点，最值的应用是本节课的难点
教学内容：
1．函数的导数与极值的关系
2．函数的最值：
3．函数的最值的定义：（与极值的区别）
4．求函数最值的步骤：
5．例题：
例1．求在区间[的最大值与最小值
例2．求在区间上的最大值与最小值。
板演：
求下列函数的最大值与最小值
（1） （2）
（3） （4）
小结：（1）最值的定义与求法（与极值的区别）
作业：
1．求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值
（1） （2）
（3） （4）[—2，2]
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（5） （6）
2．求函数在区间上的最大值与最小值。
3．求函数且的最值。
例3．已知在区间上的最大值是5，最小值是，求的解析式。
例4．三次函数在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是
例5．设函数且，。
（1）用，的代数式表示
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围。
作业
1．函数在（0，1）有极小值，则b的范围是
2．已知f(x)=x3+ax2+bx，在x=1处有极值－2，求a、b的值.
3．已知函数的极大值为13，求m的值
4．已知，在的最大值为3，求的最小值
5．若的最大值为3，最小值是，求的值
6．已知函数在处取得极值 （1）讨论和是函数的极大值还是极小值 （2）过点（0，16）作曲线的切线，求此切线方程
7．设函数，其中（1）若在处取得极值，求常数的值（2）若在（上是增函数，求的取值范围。
8． 设 （1）求函数的单调区间
（2）是否存在常数a，使得对于一切恒成立，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由。
9．已知是函数的一个极值点，其中。
（1）求与的关系式；（2）当时，求的单调区间。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
x
y
O
a
b
O
x
y
x
b
a
O
y
O
x
y
x
b
a
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