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正弦和余弦（4.1）
授课教师：袁 瑛
湘教版九年级数学第四章锐角三角函数
由题意，△ABC是直角三角形， 其中∠B =90 ，∠A= 65 ，∠A所对的边BC=2000m，求 斜边AC= ？
北
东
65
A
B
C
一艘帆船从西向东航行到 B处时，灯塔A在船的正北方向，
帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65 的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？（精确到1m）
为此，可以去探究直角三角形中， 65 角的对边与斜边的比值有什么规律？
每位同学动手画一个直角三角形，其中一个锐角为65 ，量出65 角的对边长度和斜边长度，并计算：
= ？
与同桌和邻近桌的同学交流，计算出
的比值是否相等（精确到0.1）？
结论：在有一个锐角为65 的直角三角形中， 65 角的对边与
斜边的比值是一个常数，它约等于0.9．
结论证明
已知：任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F'，∠D =∠D ' =65 ，∠E =∠E'= 90
求证：
D
E
F
E'
D '
F'
∵ ∠E =∠E ' = 90 ，
∠D =∠D ' =65 ，
∴ △DEF ∽ △D'E'F ' ．
∴
证明：
即
在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，
即:
正弦定义
A
C
B
c
b
a
类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．
0＜sinA＜1
记作:
解决问题
现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距离约等于多少米的问题．(精确到1米)
解 在直角三角形ABC中，BC=2000m ，∠A= 65 ，
65
A
B
C
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90 ， BC=3，AB=5．
（１）求∠A的正弦 ；
（２）求∠B的正弦 ．
（１） ∠A的对边BC=3，斜边
AB=5．于是
（２） ∠B的对边是AC．根据勾股定理，得
于是 AC=4．
因此
C
A
B
3
5
例 题
解
测一测
１．在直角三角形ABC中, ∠C=90 ,AB=13,BC=12,
则sinA=______ sinB=______
3．在直角三角形ABC中， 若三边都扩大2倍，则锐锐角A的
正弦值是（ ）．
A 扩大2倍 B 不变 C 缩小2倍 D 无法确定
2．在直角三角形ABC中, ∠C=90 ,BC=4,sinA= ,则斜边ＡＢ的长———— 。
6
B
4．如图三角形ABC中， 已知AB=5，BC=6，AC=7，下列说法正确的是（ ）
A sinC=5/7 B sinA=6/7 C sinB=7/6 D 以上都不对
D
12/13
5/13
5．已知CD是直角三角形ABC中斜边上的高，AC=4，
AD=3， 则sinB= ________．
3/4
6．在直角三角形ABC中,∠C= 90 ，CD是AB边上的高，则下列线段的比等于sinA的有( )
①
②
③
④
A、1个 B、2个 C3个 D、4个
C
在直角三角形中，
小结
在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？
说一说
sin 30°= ？
思考
1．如图，一块三角形空地ABC中,现测得AB=40米，且sinB=1/2，∠C= 45 ，请你计算出这块空地的面积。
