1.1.6棱柱 棱锥 棱台 球的表面积

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教案纸
课 题 1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 课型 新课
主备人 赵辉 上课教师 赵辉 上课时间 45 分钟
学习目标 会求和理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
教学重点 棱柱、棱锥和棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间与平面问题相互转化的思想方法的应用.
教学难点 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式的应用
教师准备 多媒体教学
教学过程研习点1．直棱柱的表面积1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.如图，是直六棱柱的侧面展开图，直六棱柱的侧面展开图是一些全等的矩形，只要把这些矩形的面积加起来就可以得到直棱柱的侧面积.设棱柱的高为h，底面周长为c，则得到的直棱柱的侧面积计算公式为S直棱柱侧=ch.2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下底面面积的和.【联想·发散】斜棱柱表面积的求法：1. 由于直棱柱的侧面展开图是矩形，由矩形的面积公式可以得出直棱柱的侧面积的计算公式.2. 斜棱柱的侧面积可以先求出每个侧面的面积，然后求和，也可以用直截面与侧棱长的乘积来求. 其中直截面就是和棱垂直的截面.如果斜棱柱的侧棱长为l，直截面的面积为S’，则其侧面积的计算公式就是S侧=S’·l.研习点2．正棱锥的表面积1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即S正棱锥侧=na·h’. 其中a为底面正多边形的边长，底面周长为c，斜高为h’，如图，以正四棱锥为例简单推导计算公式。由于正四棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，底面是正多边形，若设它的底面边长为a，底面周长为4a，斜高为h’，容易得到正四棱锥的侧面积计算公式为S正四棱锥侧=·4a·h’=ch’，对于正n棱锥，其侧面积计算公式为S正棱锥侧=c·h’.2．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积与底面积之和.联想·发散一般棱锥表面积的求法1．正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，这些等腰三角形的面积和即为它的侧面积;2．一般棱锥的每个侧面都是三角形，因此设法求出它们各自的面积，然后相加即可得到它的侧面积，再与底面积求和，即可得到它的全面积研习点3.正棱台的表面积1．正棱台的侧面积是S=(c+c’)·h’，其中上底面的周长为c’，下底面的周长为c，斜高为h’. 2．正棱台可以看作是用平行正棱锥底面的平面截得的，因此正棱台的侧面展开图是一些等腰梯形，腰重合所得的一个平面图形（如图），设正棱台上、下底面周长为c’，c，斜高为h’，可得正棱台的侧面积S正棱台侧=(c+c’)·h’。3．正棱台的表面积等于它的侧面积与底面积之和。【联想·发散】一般棱台表面积的求法：1．正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形，底面是正多边形，则正棱台的表面积就是这几个等腰梯形的面积与底面积之和。2．同样地，对于一般棱台的侧面积可分别求出每个侧面的面积后相加，再求出其底面积，然后求和，就会得到它的表面积（有时也称全面积）。研习点4.球的表面积球面面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍，即S球=4πR2，其中R为球的半径.【联想·发散】圆柱、圆锥、圆台的表面积公式1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积:（1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图是一个矩形，这个矩形的一边为母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱底面半径为r，母线长为l，则侧面积S圆柱侧=2πrl.（2）将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面上，其展开图是一个扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面圆的圆周，因此该扇形的圆心角θ=，r为圆锥底面半径，l为圆锥的母线长，根据扇形面积公式可得：S圆锥侧=·2πr·l=πrl，其中l为圆锥母线长，r为底面圆半径。（3）圆台可以看成是用一个平行底面的平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R，母线长为l，则。S圆台=π(r+R)l=(c1+c2)l，其中r，R分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线。2．圆柱、圆锥、圆台的表面积就是侧面积与底面积的和。探究解题新思路基础拓展型题型1. 考查侧面积的计算例1. 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积.【探究】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.【研析】如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即AC=c，BD=d，则【反思·领悟】（1）此题需大胆设元，为列方程方便，可以将对角线设出，但设而不解；（2）需大胆消元，整体代入三个方程四个未知数不能将其一一解出，也没有必要，这里需要将a与l的乘积看作一个整体进行计算.1. 正四棱台的两个正方形底面的边长分别为a、b（a>b），侧棱和底面对角线所成的角为α，求棱台的侧面积.小结: 求多面体的侧面积关键是将侧面沿着一条棱剪开，展成一个平面图形，搞清各个侧面展开图的形状，采用各个击破的策略，把每个侧面的面积求出来后，再将各个侧面的面积进行求和即得所求侧面积.题型2．棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算例2. 正四棱锥底面正方形长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积.（单位：cm2 ）【探究】利用正棱锥的高，斜高，底面边心距OE组成Rt△求解，然后代入公式.【研析】正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角三角形. 【反思·领悟】求正棱锥的表面积，就要先求出其侧面积和底面积，然后相加，而要求侧面积就要设法把斜高求出来，而这可通过解直角三角形求得；2. 边长为6cm的正方形ABCD, BC，CD的中点分别为E、F现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥，求这个三棱锥的全面积.解：全面积是36cm2，因为折叠后棱锥的表面积均由原正方形的各部分围成，且没有重叠，因此棱锥的全面积就是正方形的面积。小结：求棱柱、棱锥、棱台的表面积，就是在侧面积的基础上加上底面面积，因此在求表面积时需要注意先按照求侧面积的方法把棱柱、棱锥、棱台的侧面积求出来，然后再把它们的底面的面积计算出来，将二者相加即可。一定要注意不要漏掉底面面积，否则求得的就是侧面积了。题型3.考查球的表面积的计算例3. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积.【探究】可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径；【研析】如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1//BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，设球的半径为R，【反思·领悟】求球的表面积的关键是把球的半径求出来，而这就是要充分利用截面的性质进行求解3. 用两平行平面去截半径为R的球面，两个截面半径为r1=24cm，r2=15cm，两截面间的距离为d=27cm，求球的表面积. S=2500πcm2. 集备修正
小结：对球的表面积公式只要求了解会用即可! 对于面积的计算有时要用表示数字的字母进行计算。有时可以保留准确值及表示圆周率的字母，要对含字母式子的变形加强训练
作业
板书
课后反思
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