(共42张PPT)
北师大版8年级(上） 第七章 二元一次方程组
制作单位：成都七中育才学校（东区）
制 作 人：张文川 王占娟 郭淼
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.
“鸡兔同笼”题为:
今有鸡兔同笼,
上有三十五头,
下有九十四足,
问鸡兔各几何
“上有三十五头”的意思是什么
“下有九十四足”的意思是什么
方程
一元
二元
你觉得哪种方法好呢？为什么？
今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？
练一练
5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？
设每头牛价值为x两，每只羊价值y两.
5x+2y=10,
2x+5y=8.
{
解:设每头牛值”金”x两,每头羊值”金”y两,
由题意,得
5x+2y=10,
2x+5y=8.
答:羊值”金” 两,牛值”金” 两.
解得
x=
y=
{
以绳测井
若将绳三折测之，绳多五尺；
若将绳四折测之，绳多一尺.
绳长、井深各几何？
(1)“将绳三折测之，绳多五尺”，什么意思？
(2)“若将绳四折测之，绳多一尺”，又是什么意思？
题中有哪些等量关系
用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
关系一
关系二
古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银，
不知人数不知银.
只知每人五两多六两，
每人六两少五两，
问你多少人数多少银？
考考你
列二元一次方程组解应
用题的步骤是什么？
（1）审题；
（2）设两个未知数，找两个等量关系；
（3）根据等量关系列方程，联立方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答.
1.设甲数为x，乙数为y，则“甲数的
二倍与乙数的一半的和是15”，列出
方程为____________.
2.小刚有5角硬币和1元硬币各若干
枚，币值共有六元五角，设5角有x
枚，1元有y枚，列出方程为
_____________.
1. 某车间有工人54人，每人平均每天加工 轴杆15个或轴承24个，一个轴杆与两个轴承配成一套.若分配x个工人加工轴杆，y个工人加工轴承，正好使每天加工的产品成套，则可列方程组为（ ）.
B
x+y=54,
x+y=54,
15x=24y
15x=2×24y
15x=24y
2×15x=24y
15x+24y=54,
x+y=54,
(D)
(A)
(B)
(C)
{
{
{
{
有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
《一千零一夜》故事
甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为( ).
B
4y=6x
4x=6y
4y=6x
5y+10=5x,
5x=5y+10,
5x+10=5y,
4x=6y
5y=5x+10,
(A)
(B)
(C)
(D)
{
{
{
{
益智类
生活类
有三块牧场，草长得一样快，面积分别为 公顷，10公顷和24公顷，第一块12头牛可吃4星期，第二块21头可吃9星期,第三块可供多少头牛吃18个星期？
返回
解：设牧场每公顷原有草x吨，每周新生草y吨，每头牛每周吃草a吨，第三块可供z头牛吃18个星期，根据题意得：
解得
x=10.8a,
y=0.9a.
答：第三块牧场可供36头牛吃18个星期.
所以24×10.8a+0.9a×24×18=18×za
z=36
{
{
已知某电脑公司有A型，B型，C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。
返回
{
解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，购
进C型电脑Z台，则可分以下三种情况考虑：
不合题意，应该舍去.
（2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意：
（3）只购进B型电脑和C型电脑，根据题意：
答：有两种方案供校选择，第一种方案是购进A型电脑3台 和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台.
（1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意：
解得
{
解得
{
{
解得
{
{
经过本节课的学习，
你有那些收获？
结束
解：设有鸡x只，则有兔（35–x）只.由题意，得
答：有鸡23只，有兔12只.
所以有兔（35-23）只，即有12只.
返回
35
94
足
头
总数
鸡头+兔头=35,
鸡脚+兔脚=94.
{
x+y=35，
2x+4y=94.
{
解：设有鸡x只，有兔y只.由题意，得
①
②
把y=12代入①，得x=23.
答：有鸡23只，有兔12只.
把 ①化为
代入②，得：
=35-y
代入消元
解：设鸡为x 只,兔为y 只.则
①×2 得： 2x+2y=70， ③
②-③ 得： 2y=24，
y=12.
把 y=12 代入①，得：x=23.
答：有鸡23只，兔12只.
x+y=35， ①
2x+4y=94. ②
原方程组的解是
x=23,
y=12.
加减消元
返回
等量关系
解：设绳长x尺，井深y尺，由题意，得
x
3
x
4
-y=5, ①
-y=1. ②
答：绳长48尺，井深11尺.
解得：
x=48,
y=11.
｛
返回
等量关系
解：设绳长x尺，井深y尺，由题意，得
答：绳长48尺，井深11尺.
3(y+5)=x,
4(y+1)=x.
x=48,
y=11.
解得
返回本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
拓展资源：反馈练习
一、填空题
1.已知甲库存粮x吨,乙库存粮y吨.若从甲库调出10吨给乙库,乙库的存粮数是甲库存粮数的2倍,则以上用等式表示为_______.
2.兄弟两人,弟弟五年后的年龄与哥哥五年前的年龄相等,3年后兄弟两人的年龄和是他们年龄之差的3倍,则兄弟两人今年的岁数分别是________.
3.两抵相距300千米,一艘船航行与两地之间.若顺流需15时,逆流需用20时,则船在静水中速度和水流速度分别是_______.
4.现有面值总和为570元的人民币50元和20元的共15张,问其中50元人民币和20元人民币分别有_____张.
二、选择题
5.一张试卷有25道题,做对一题得4分,做错一题扣1分,小明做了全部试题得70分,则他做对的题数是( ).
(A)16 (B)17 (C)18 (D)19
6.某校150名学生参加数学考试,平均分55分,其中及格学生平均77分,不及格学生平均47分,则不及格的学生人数为( ) .
(A)49 (B)101 (C)110 (D)40
三、解答题
7.某校办工厂有工人60名,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,能使生产出的螺栓和螺母刚好配套 8.六一儿童节,某动物园的成人门票8元,儿童门票半价(即每张4元),全天共售出门票3000张,共收入15600元,问这天售出成人票和儿童票多少张
4、 探究升级
9．100元钱买15张邮票，其中有4元、8元、10元的三种，有几种买的方法？
答案:1. 2.17岁和7岁.
3.17.5千米/时, 2.5千米/时. 4.9张和6张.
5.D. 6.C.
7.25个和35个. 8.900张和2100张.
9.有三种:4元、8元、10元的邮票分别为6张、7张、2张，或7张、4张、4张 ，或8张、1张、6张.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第七章 二元一次方程组
４．增收节支
成都七中育才学校（东区） 张文川、王敏、范小林
一、学情分析
●学生的知识技能基础：在此以前，学生学习了二元一次方程和二元一次方程组，学习了列二元一次方程组解应用题的一部分内容，能熟练地进行二元一次方程组的运算，已初步具备了用方程组刻画实际问题的经验和基础，能正确地分析和理解题意，寻求题中的各种数量关系，具备了继续学习本节内容的知识和能力。在小学的学习中，学生也学习了通过列表的方法帮助我们理清数量关系的有关知识，在此基础上学习本节内容，学生已经具备了学好本节内容的条件。
●学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生具备了一些生活经验，知道列方程解应用题的一些规律、特点和方法，具备了一些解决实际问题的经验和能力。在以前的数学学习中，学生已经经历很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教材分析
●地位和作用：“增收节支”是北师大版八年级数学（上）第七章第四节内容。本节主要通过解决现实问题中有关经济方面的应用问题来学习列二元一次方程组，学会对具体情景中的数学信息作出合理的解释，能运用列表分析法分析出各数量间的关系，有效地解决问题。本节教学内容，是在学生学完前一小节《鸡兔同笼》后紧接的又一节列方程组解应用题的内容。但两者的侧重点不同，《鸡兔同笼》是让学生初步学会通过列二元一次方程组解决一些比较有趣的数学问题和古代数学问题应用问题，等量关系相对简单；而本节的《增收节支》的教学内容重点放在如何运用列表分析法去分析较为复杂的各数量间的关系。
●教学目标
知识与技能目标
1． 能运用列表分析法分析数量关系；
2． 能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题。
3． 掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。
过程与方法目标
1． 经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，培养学习数学应用能力。
情感与态度目标
1． 通过问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切联系。
2． 通过对问题的解决，培养学生的必要的经济意识，增强他们节约成本、有效合理利用资源的意识。
●教学重点
1．初步体会列方程组解决实际问题的步骤．
2．学会用图表分析较复杂的数量关系问题。
●教学难点
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。
三、教学方法
1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展”
2．课前准备：
教具：教材，课件，电脑（视频播放器）
学具：教材，练习本
四、教学流程
本课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，导入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：练习提高、合作学习；第四环节：问题解决，拓展提升；第五环节：学习反思；第六环节：布置作业
第一环节：创设情境，导入新课
创设问题情景，引导学生思考，导入课题
你想过吗？
提出问题：同学们你知道你的生活有哪些必要开支吗？
引发问题： 经济生活在我们生活中多么重要！你想运用数学知识使你的生活更加合理优化，生活的更加幸福惬意吗？那么你能帮帮解决下面的实际经济问题吗？
教学进程：教师演示幻灯片，学生回答问题
1．开商店
小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他？
2．购物
新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。
你能帮助他吗？
（最优化决策）
最近商家促销有促销活动，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），爸爸只给Ｍike 400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
教学进程：学生观看图片和实际问题，引发思考和提升解决问题的兴趣。
设计意图：通过同学们熟悉的生活中经济问题去激发学生学习本节课的兴趣，导入课题。开商店、购物、最优化决策等生活实例，再配以精美的图片，进一步提高学生兴趣，激发他们的求知欲和学习热情。更重要的是，这2个实例是学生学完本节的知识和方法后的巩固提高练习题，从而增强学生的能力，使本节课前后照应，形成一个整体。
教学效果：这2个生活实例是青少年学生感兴趣的实例，带给学生新奇，带给了学生解决问题的欲望，不少学生跃跃欲试。此外，考虑了前后照应，使整节课浑然一体。
第二环节：新课讲解
知识回顾：填一填
1. 某工厂去年的总产值是x万元, 今年的总产值比去年增加了20%, 则今年的总产值是__________万元;
2. 若该厂去年的总支出为y万元, 今年的总支出比去年减少了10%, 则今年的总支出是__________万元;
3. 若该厂今年的利润为780万元, 那么由1, 2可得方程___________________________.
(1+20%)x (1-10%)y (1+20%) x- (1-10%) y=780
经验提升：解增降率问题常用的关系式为a(1±x)=b
(其中:a表示基数；x表示增降率；b表示目标数；增时为加，降时为减)
教学进程：通过回答知识回顾问题，教师启发学生做经验提升；通过回答问题对学生能力进行及时评价，如果回答错误及时纠正。
设计意图：“知识回顾”，减少学生学习新课的困难。
实际效果：经验提升使学生在表示数量关系时更加准确。
例题探索
例1 ＣＮＩ公司去年的利润（总产值—总支出）为200万元。今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？
分析：关键:找出等量关系.
今年的总产值=去年总产值×(1+20%） 今年的总支出=去年的总支出×(1—10%）
相等关系中的数量关系真多，画个表格来表示它们吧！
（题目中可分析今年，去年；总产值，总支出和利润，画个２×３的表格来分析看）
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去 年 x y 200
今 年 (1+20%) x (1-10%) y 780
得到两个等式：
x—y =200 ，
(1+20%) x—(1—10%) y =780。
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则
今年的总产值=（1+20%）x万元，
今年的总支出=（1—10%）y万元。
由题意得:
解得
答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元。
教学进程：学生作相等关系、数量关系的分析，教师教学生画表格分析数量关系，并共同解答。
议一议：还可以设间接未知数吗？（根据学生情况和教学安排选用）
设今年的总产值为x万元，总支出为y元
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去 年 200
今 年 x y 780
通过直接设未知数与间接设未知数的类比，让学生感受到列方程时，应选取思维难度和计算难度较低的未知数设法。
教学进程：学生设出未知数，教师帮助学生画表格来分析数量关系并引导学生类比直接设未知数与间接设未知数的优劣。表示数量关系时，若有错误，及时纠正并着重讲解以免再次出现错误。
例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
分析：找出等量关系.
每餐甲原料中含蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量，
每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量，
每餐甲原料中含铁质量=1×每餐甲原料的质量，
每餐乙原料中含铁质量=0.4×每餐乙原料的质量，
由于相等关系中的数量关系复杂，所以可以选取用列表格的方法来表示各数量关系之间的关系，有利于根据相等关系列方程。
（题目中可分析蛋白质含量，铁的含量；甲、乙两种原料和病人配置的营养品，所以画个２ × ３的表格来分析；学生通常对要分析那些数量关系不太明确，所以讲解时要说明为什么会这样画表格）
解：设每餐需要甲、乙两种原料各x, y克，则有下表：
甲原料x克 乙原料y克 所配制的营养品
其中含蛋白质量 0.5x单位 0.7 y单位 ３５单位
其中含铁质量 x单位 0.4 y单位 ４０单位
由上表可以得到的等式：
化简得：
（1）×2得 10x+14y=700 (5)
(5)－(4)得 10y=300
y=30
将y=30代入(3)得 x=28
答：每餐需甲原料28克，乙原料30克。
教学进程：此题数量关系较为复杂，可提示引导学生思考，然后继续教学生画表格分析数量关系的方法；也可鼓励学生先画图表分析再纠正；然后由学生解答。
学法小结：
1．图表分析有利于理清题中的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚。
2．借助方程组解决实际问题
通过学法小结，加强学生对图表分析数量关系的概念和应用意识。
设计意图：通过“例题探索一”、“例题探索二”使学生初步学会设计适当的图表，帮助我们理清题目中的数量关系。再结合学生在以前的学习中已掌握的通过相等关系列方程的方法，使学生基本掌握运用图表去解决有关应用题的方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
教学效果：由于老师对图表的设计、制作的方法指导有力，学生在“例题探索二”的分析过程中很快通过列表搞清了数量关系，利用等量关系列出正确的方程组，培养了学生分析问题的能力。
第三环节：练习提高、合作学习；
1．育才学校去年有学生３１００名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名
设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,则可列出方程组为 。
分析：找出等量关系.
去年寄宿学生＋去年走读学生＝３１００名
今年寄宿学生＋今年走读学生＝３１００ ×（１＋４.４％）
题目中可分析去年，今年；寄宿学生，走读学生，学生总数．画个２ × ３的表格来分析
寄宿学生 走读学生 学生总数
去年 x y ３１００
今年 （１＋６％）x （１－２％）y ３１００ ×（１＋４.４％）
解：
教学进程：鼓励学生自己画表格分析、思考，然后请学生讲分析过程，讲解清楚有条理的给予肯定表扬，不足的给予补充，提高学生学习的信心。
2．编题
有一个方程组：
你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？
活动规则：
四个同学一组编题，互评；然后推选出有创意，符合实际生活的例子进行全班交流．
教学进程：结合师生互评生生互评，使课堂气氛轻松，让学生思路开阔，富有创意。
设计意图：巩固、提高学生所学的知识和方法，强化图表分析数量关系的应用。通过学生的编题活动，形成互动，促进合作学习，培养学生逆向思维能力，通过合作学习培养学生合作、创新的学习方式。通过学生互相评价、修正，使学生思维跳出固定单一的生活圈，更关注与现实世界的交融，开阔视野。
教学效果：本例是符合本校学生实际，激发学习兴趣，图表分析收到了良好的效果；编题时，学生相互交流，互相启发，使整个课堂到此时创新频出，高潮迭起。
第四环节：问题解决；
解决问题一
小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？
分析：找出等量关系.
题目中可分析上衣，裤子；成本．实际售价和利润．画个２ × ３的表格来分析
上衣成本＋裤子成本＝５００元
上衣利润＋裤子利润＝１５７元
解：设上衣的成本价为ｘ元，裙子的成本价为ｙ元：
成本（元） 实际售价（元） 利润（元）
上衣 x
裤子 y
解：设上衣的成本价为x元，裙子的成本价为y元，则上衣利润 元，
裤子利润为0.9(1+40%)y-y元，依题意得
x+y=500，
0.9×(1+50%)x-x+0.9×(1+40%)y-y=１５７。
整理得:
x+y=500 ， ……①
35x+26y=１５７00. …… ②
②－① ×26,得9x=２700,
∴x =３００.
把其代入①，得y=500－３００=２００
x=３００，
y=２００.
答：上衣成本３００元，裙子成本２００元。
教学进程：学生分析解答，教师在解答后给予点评。若时间较紧，可以不解答出来。
解决问题二
新年来临爸爸想送Mike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Mike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。
你能帮助他吗？
（1）解：设书包单价为x元，则随身听单价为y元,根据题意可列出方程：
解之得：
答：书包单价92元，随身听单价360元。
最优化决策：
聪明的Mike想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
提示：书包单价92元，随身听单价360元。
2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金452×=361.6（元）
∵ 361.6<400
∴可以选择在人民商场购买。
在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2=362（元）。
因为362＜400，所以也可以选择在家乐福购买。
因为362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱。
教学进程：让学生充分讨论找出最优购买方案，可抽学生板演，教师点拨；同时从最优化决策出发联系生活实际作经济意识的引导。根据教学情况选择解决，如果课堂时间不够，可留作课外作业。
教学效果：由于学生在前面是带着问题学习，现在已掌握了“武器”，当然想去获取战果。所以学生解决这些问题时，非常积极主动。虽然问题的难度越来越大，但大家越战越勇，毫无退缩之意。同时也对生活中的很多实际问题感兴趣，更加有用数学知识解决问题的欲望。
第五环节：学习反思；
你的收获是什么？
1． 通过本节的学习活动，你会用列表分析数据吗？
2． 你能用列方程组的方法解决实际问题吗？
3．你体会到方程思想在生活中的存在吗？
小结：
１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：
分析 求解
问题 方程（组） 解答
抽象 检验
３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．
教学进程：学生思考回答，不足的地方教师补充和强调。
设计意图：通过提问方式引导学生小结本节知识及学习活动，养成学习—总结—学习的良好学习习惯，发挥自我评价的作用，进一步培养学生的语言表达能力。
五、教学反思
1．突破难点策略---列表分析法
列方程解应用题的分析方法多种多样，本课着力于介绍分析问题的一种比较有效的方法——图表分析法。列表分析有助于学生明确各数量间的关系,将较复杂的数量关系转化的更加清晰简洁，帮助学生学生理清题中的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚很容易根据相等关系列方程，较易突破难点;；在实际教学中，学生掌握了图表分析的方法后，降低了思维难度，有效提高了准确率。学生在学会运用列二元一次方程组解应用题的同时,学到了一种分析数据的方法,为以后的学习生活做了方法的准备.
2．学生能力的培养
学生各种综合能力的培养融合在每节课的教学设计中。本课为达成教学目标，特别通过设置与经济生活密切相关的一些问题，以及编应用题活动，希望学生通过问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成用数学的意识；并且通过对问题的解决，培养学生的合理优化的经济意识，增强他们的节约成本，有效合理利用资源的意识。
3．评价方式
本课从学生回答问题、练习情况等方面反馈学生对知识的理解、运用，教师根据反馈信息适时点拨；同时从新课标评价理念出发，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表达方式和解题方法的多样化，形成发展性评价，学生对基本知识技能的掌握情况的意识的提高状况．提高学生学数学，用数学的信心。
4．注意改进的方面
由于受教学时间限制，强调利用方程组对经济类实际问题的解决，对其他类型的问题有所忽略，教学中可以根据学情加以补充；同时对于方程组的解法教学中也可根据学情适当加强。
此外特别需要说明的是，由于本班学生状况较好，因此，整体而言，课堂容量偏大，因此，对于一般班级，建议在引入情境中仅仅选择或者改变部分问题，供课堂教学使用。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网(共17张PPT)
二元一次方程
和一次函数（二）
成都树德实验中学 杨彪 钱烈伟
北师大版八年级上第七章第六节
回顾与思考
二元一次方程组有哪些解法？
消元法
二元一次方程组与一次函数有何联系
二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点也是它们所对应的二元一次方程组的解．
正因如此，方程问题可以通过函数知识来解决，反之，函数问题也可以通过方程知识来解决.
图象法
是一种代数方法
议一议：
A ，B两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A地30千米.
问：经过多长时间两人相遇
议一议：
A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A地30千米.
问：经过多长时间两人相遇
直线型图表示
B
乙
甲
A
80千米
2时,30千米
1时
A，B 两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地80千米,
2 时后甲距A地30千米.
问 经过多长时间两人相遇
用图象法 解 行程问题
你明白他的想法吗？
用他的方法做一做!
2.8
图象表示
(A)
0
4
1
2
3
t/时
s/千米
120
100
80
60
40
20
(B)
可以分别作出两人
s 与t 之间的关系图
象，找 出交点的横坐 标就行了！
小明
A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地同时相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地80千米,
2 时后甲距A地 30千米.
问 经过多长时间两人相遇
用方程 解 行程问题
小彬
1 时后乙距A地
80千米,即乙的
速度是 20千米/时,
2 时后甲距A 地 30千米,
故甲的速度是 15千米/时,
由此可求出甲、乙两人的速度和 ……
你明白他的想法吗？用他的方法做一做!
t=
A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A 地的距离s (千米) 都是骑车时间 t (时) 的一次函数.
1 时后乙距A地80千米;
2 时后甲距A地 30千米.
问 经过多长时间两人相遇
求出s与t之间的函数关系式，联立解方程组
你明白他的想法吗？
用他的方法做一做!
对于乙，s 是t
的一次函数，
可设 s=kt+b.
当t=0时，s=100；
当t=1时，s=80.将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，也即可以求出乙 s 与t 之间的函数表达式.
同样可求出甲s与t之间的函数表达式.
再联立这两个表达式，求解方程组就行了.
小颖
消去 s
用一元一次方程的方法可以解决问题
用图象法可以解决问题
用方程组的方法可以解决问题
小明
小彬
小颖
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
在以上的解题过程中你受到什么启发？
例2 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数．现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组
解得
（2）当x=30时，y=0.
所以旅客最多可免费携带30千克的行李．
例3 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费 y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示.
O
Y(元)
X(吨)
15
20
27
39
(1)分别写出当0≤x≤15
和x＞15时，y与x的函数
关系式；
(2)若某用户十月份用
水量为10吨，则应交水
费多少元？若该用户十
一月份交了51元的水费，
则他该月用水多少吨？
解：（1）当0≤x≤15时，设y=kx，根据题意，可
得方程 27=15k， 解得
当x＞15时，设y=mx+n，根据题意，可得方程组
解得
（2）当x=10 时（10＜15），代入①中可得y=18；
当y=51 时（51＞27），代入②中可得x=25．
①
12
②
9
x
5
y
-
=
\
这节课你有什么收获？
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1. 用含字母的系数设出一次函数的表达式： ；
2. 将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
3. 解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式.
1. 右图中的两直线l1 ，l2 的交点坐标可以看作
方程组 的解
1
2
3
4
x
2
3
4
1
-1
y
0
-1
l1
l2
1
1
2
3
4
x
0
l
2. 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.当所挂物体的质量为1千克时，弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.写出 y 与 x 之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.
5
y
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y = 0.5x + 14.5
当 x = 4 时, y = 16.5.
3. 下图中 l1 ，l2 分别表示
B，A两船相对于海岸的距离
ｓ与追赶时间ｔ之间的关系.
根据图象回答下列问题：
海
岸
公
海
A
B
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t /分
s /海里
l1
l2
Ｂ
Ａ
当时间t等于多少分钟时，我边防快艇B能够追赶上A.
你有什么新的方法解决以前的问题吗？
7.8
1，2
作业：
谢谢你的合作！
再见！本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第七章 二元一次方程组
２．二元一次方程组的解法（一）
四川师大附中 邓国伟、李彬、陈卫军
一、学生起点分析
在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力.
二、教学任务分析
《二元一次方程组的解法》是义务教育课程标准北师大版实验教科书 八年级（上）第七章《二元一次方程组》的第二节，本节内容安排了2个课时完成。本节课为第1课时.基于学生对二元一次方程及二元一次方程组的基本概念理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程组的解法——代入消元法. 代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求从两个方程中选择一个系数比较简单的方程，将它转换成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，求出这个未知数的值，最后将这个未知数的值代入已变形的那个方程，求出另一个未知数的值.在求出方程组的解之后，可以对求出的解进行检验，这样可以防止和纠正方程变形和计算过程中可能出现的错误.
二元一次方程组的解法，其本质思想是消元，体会“化未知为已知”的化归思想.
三、教学目标分析
1.教学目标
1. 会用代入消元法解二元一次方程组.
2．了解 “消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
3．让学生经历自主探索过程，化未知为已知，从中获得成功的体验，从而激发学生的学习兴趣.
2.教学重点
用代入消元法解二元一次方程组.
3.教学难点
在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
四、第一课时教学过程设计：
本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探索新知；第三环节：巩固新知；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.
第一环节：情境引入
内容：
教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题，想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的.
设他们中有x个成人，y个儿童，我们得到了方程组成人和儿童到底去了多少人呢？在上一节课的“做一做”中，我们通过检验是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34的解，从而得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程组的解的定义，得出是方程组的解.所以成人和儿童分别去了5人和3人.
提出问题：每一个二元一次方程的解都有无数多个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，前面的方法中却好我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，这可没那么容易，那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？
意图：“温故而知新”，培养学生养成时时回顾已有知识的习惯，并在回顾的过程中学会思考和质疑，通过质疑，自然地引出我们要研究和解决的问题.
效果：通过对已有知识的回顾和思考，学生既感自然又倍添新奇，有跃跃欲试的心情.
第二环节：探索新知
内容：回顾七年级第一学期学习的一元一次方程，是不是也曾碰到过类似的问题，能否利用一元一次方程求解该问题？ （由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达）
解：设去了x个成人，则去了(8－x)个儿童，根据题意，得：
5x+3(8－x)=34.
解得：x=5.
将x=5代入8－x=8－5=3.
答：去了5个成人， 3个儿童.
在学生解决的基础上，引导学生进行比较：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？
（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点.）
1.列二元一次方程组设有两个未知数：x个成人， y个儿童.列一元一次方程只设了一个未知数：x个成人，儿童去的个数通过去的总人数与去的成人数相比较，得出(8－x)个.因此y应该等于(8－x).而由二元一次方程组的一个方程x+y=8，根据等式的性质可以推出y=8－x.
2.发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相类似，只需把5x+3y=34中的“y”用“（8－x）”代替就转化成了一元一次方程.
教师引导学生发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识（二元一次方程组）转化为旧知识（一元一次方程）便可.
（由学生来回答）上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是同一个未知量.所以将中的①变形，得y=8－x ③，我们把y=8－x代入方程②，即将②中的y用（8－x）代替，这样就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”.
教师总结：同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.
（教师把解答的详细过程板书在黑板上，并要求学生一起来完成）
解：
由①得：. ③
将③代入②得：
.
解得：.
把代入③得：.
所以原方程组的解为：
（提醒学生进行检验，即把求出的解代入原方程组，必然使原方程组中的每个方程都同时成立，如不成立，则可知解有问题）
下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.
（放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完成，让两个学生在黑板上规范的板书，教师巡视：发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想.）
意图：通过学生自己对比、思考、发现，让学生惊喜的发现“温故而知新”，将新知融入旧知，体会“化未知为已知”的化归思想的神奇，培养学生独立获取知识的愿望和能力.
效果：通过学生自己的观察、比较、总结出二元一次方程组的解法，从中体会到解方程组中“消元”的本质.
第三环节：巩固新知
内容：
1例 解下列方程组：
(1) (2)
（根据学生的情况可以选择学生自己完成或教师指导完成）
(1)解：将②代入①，得：.
解得：.
把代入②，得：.
所以原方程组的解为：
(2)由②，得：. ③
将③代入①，得：.
解得：.
将y=2代入③，得：.
所以原方程组的解是
（⑵题需先进行恒等变形，教师要鼓励学生通过自主探索与交流获得求解，在求解过程中学生消元的具体方法可能不同，所以教学中不必强求解答过程的统一，但要提出如何选择将哪个方程恒等变形、消去哪个未知数能使运算较为简单.让学生在解题中进行思考）
（教师在解完后要引导学生再次就解出的结果进行思考，判断它们是否是原方程组的解.促使学生进一步理解方程组解的含义以及学会检验方程组解的方法.）
2思考总结：（教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题）
⑴给这种解方程组的方法取个什么名字好？
⑵上面解方程组的基本思路是什么？
⑶主要步骤有哪些？
⑷我们观察例题的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？
(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补充，力求让学生能够回答出以下的要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进行积极评价)
1.在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.
2.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.
3.解上述方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
意图：进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路，熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程，并能对二元一次方程组的解进行检验.
效果：通过本环节的学习，学生能够独立地运用代入消元法解二元一次方程组.
第四环节：练习提高
内容：
1.教材随堂练习（在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，可以不必强调解答过程统一.可能会出现整体代换的思想，若有条件可以提出，为下一课做点铺垫也可以）
2.补充练习：用代入消元法解下列方程组：
(1) (2) ⑶（注意分数线有括号功能）
意图：对本节知识进行巩固练习.
效果：通过练习，巩固和熟练了运用代入消元法解二元一次方程组的方法.
第五环节：课堂小结
内容：师生相互交流总结解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元”变为“一元”； 解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程组的解.
意图：鼓励学生通过本节课的学习，谈谈自己的收获与感受，加深对 “温故而知新” 的体会，知道“学而时习之”.
效果：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识.
第六环节：布置作业
1.课本习题7.2
2.解答习题7.1第3题
3.预习下一课内容
五、教学设计反思
1．引入自然
二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容.教材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二元一次方程组的代入消元解法.
2．探究有序
回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有了很好的认知基础，探究显得十分自然流畅。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网(共18张PPT)
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
里程碑上的数
里程碑上的数
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第五章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
（1）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为 ，若交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数用代数式表示为 ．
（2）一个两位数，个位上的数为x，十位上的数为y，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为 ．
（3）有两个两位数a和b ，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为 ；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为 ．
10b+a
10a+b
100y+x
100a+b
100b+a
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？
是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么
10x + y
x + y = 7
（1）12:00是小明看到的数可表示为
,
根据两个数字和是7，可列出方程
.
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么
10y + x
（10y +x）- （10x +y）
（2）13:00是小明看到的数可表示为
,
12:00～13:00间摩托车行驶的路程是
.
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么
100x + y
（100x +y ）- （10y +x ）
（3）14:00是小明看到的数可表示为
,
13:00～14:00间摩托车行驶的路程是
.
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么
（4）12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，
那么根据以上分析，得方程组：
解这个方程组，得
答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16．
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了．
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
例1 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，
在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为 ；
在较大数的左边接着写上较小的数，所写的数可表示为 ．
100 x + y
100 y + x
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则有：
化简，得
即
解该方程组，得
答：这两个两位数分别是45和23．
45 23
- 23 45
21 78
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
1．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？
解：设这个两位数的十位数为x，个位数为y，则有：
解这个方程组,得
答：这个两位数是56．
56-3(5+6)=23
56÷(5+6)=5…1
练一练
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
2．一个两位数是另一个两位数的3倍，如果把这个两位数放在另一个两位数的左边与放在右边所得的数之和为8484．求这个两位数．
解：设这个两位数为x，另一个为y，由题意，得
解这个方程组得
答：这个两位数是63，另一个两位数是21.
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
１.某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒，求火车的长度和速度．
知识拓展 能力提高
解：设火车长为xm，速度为ym/s，根据题意，得
解得
答：火车长为200m，速度为20m/s.
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
2.有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0之后再写上小的数，得到一个五位数;在小数的右边写上大数，然后再写上一个0，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为590．此外，二倍大数与三倍小数的和是72，求这两个两位数．
解：设大的两位数是x，小的两位数是y，则第一个五位数是
1000x+y，第二个五位数是1000y+10x，由题意，得
解得
答：这两个两位数分别为21和10.
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
列二元一次方程解决实际问题的一般步骤：
审：
设：
列：
解：
答：
审清题目中的等量关系．
设未知数．
根据等量关系，列出方程组．
解方程组，求出未知数．
检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学
里程碑上的数
里程碑上的数
作业布置
习题7.6
问题解决：第2，3，4题
里程碑上的数
里程碑上的数
北师大版数学八年级上
第七章 二元一次方程组(5)
复习提问
情景引入
合作学习
巩固练习
课堂小结
成 都 市
树德实验中学
成 都 市
树德实验中学本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第七章 二元一次方程组
6．二元一次方程与一次函数（二）
成都树德实验中学 杨彪、钱烈伟
一、教材分析
《二元一次方程与一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第七章《二元一次方程组》第六节，本节内容安排了2个学时完成，本节课为第2学时.主要是通过对作图像方法与代数方法的比较，探索利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.这一内容是上一课时内容的自然发展，上一课时探索了函数与方程之间的关系，并获得了方程组的图像解法，本节课研究利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，这样更为全面地理解函数与方程、图形与代数表达式之间的关系，从而发展学生数形结合的意识。
二、学情分析
学生已经熟练掌握了二元一次方程组的解法，同时在第六章也学习了确定一次函数的表达式的基本方法，在上一节课又学习了二元一次方程组的图像解法，这些知识为本节课的学习作好了很好的铺垫.由于上节课的惯性，学生易在图像法上停留，因为图像法很直观，容易接受，因此本节课对代数方法的渗透应有一个循序渐进的过程.
三、目标分析
教学目标
知识与技能目标
1.理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点.
2.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
3.进一步理解方程与函数的联系.
过程与方法目标：
1.经历应用问题多种解法的探究过程，在探究中学会解决应用问题的一些基本方法和策略.
2.在对作图像解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.
3.通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.
情感与态度目标：
1.在探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神.
2.在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神，在探究活动中获得成功的体验.
教学重点
利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
教学难点
建立数形结合的思想．
四、教法学法
1.教学方法
启发引导与自主探究相结合．
2.课前准备
教具：教材，课件，电脑．
学具：教材，铅笔，直尺，练习本，坐标纸．
五、教学过程
本节课设计了六个教学环节：第一环节，复习引入；第二环节，设计实际问题情境，导入新课；第三环节，典型例题，探究二元一次方程组确定一次函数的表达式；第四环节，练习与提高；第五环节，课堂小结；第六环节，布置作业．
第一环节 复习引入
内容：(1)二元一次方程组与一次函数有何联系
(2) 二元一次方程组有哪些解法？
意图：通过(1)问，体会函数和方程之间的联系——二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图像的交点坐标；反之，两个一次函数图像的交点也是它们所对应的二元一次方程组的解；所以方程问题可以转化为函数来解决，同样函数问题也可以通过方程问题来加以解决．为后面利用二元一次方程组确定一次函数的表达式埋下伏笔．通过(2)问，让学生感受解决问题的方法的多样性和知识之间是互相联系的，为后面利用作图像方法和代数方法解决议一议的问题作铺垫．
效果：回忆旧知，为本节课学习新的知识做铺垫．
第二环节 设计实际问题情境，导入新课
内容：教材议一议
A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇？
意图：通过实际问题情景，进一步加强函数与方程的联系，让学生在多种方法解决问题的思考和比较中体会作图像方法与代数方法各自的特点，为讲解待定系数法确定一次函数的解析式做好铺垫.同时理解知识之间有着广泛的联系. 通过“小明的方法求出的结果准确吗 ”自然过渡到本节课的主要内容。
效果：通过引例的分组探索，深刻理解图像方法可以更直观、形象，但缺乏准确，用代数方法虽然准确，但不够形象和直观．
第三环节 典型例题，探究一次函数解析式的确定
内容：例1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元．
（1） 写出y与x之间的函数表达式；
（2） 旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设，根据题意，可得方程组
解该方程组，得
所以
（2）当x=30时，y=0．
所以旅客最多可免费携带30千克的行李．
例2 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示.
（1） 分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的函数关系式；
（2） 若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？
解：（1）当０≤x≤15时，设，根据题意得
，解得
所以当０≤x≤15时，；
当x＞15时，设，根据题意，可得方程组
解这个方程组，得
所以当x＞15时，．
（２）当x＝10时，代入中，得y=18．
当y=51时，代入中，得x=25．
意图：通过两个例题的探索，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的方法；在设计本例题时，考虑到两种类型，一是利用文字提供的信息，一种是利用图像提供的信息，补充例2主要是承接第六章，一次函数图像的应用，进一步强化学生数形结合的意识，学会从图形中获取有用的信息．
效果：通过两个例题的讲解，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的具体的做法，让学生深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法，使学生有知识迁移的基础．
第四环节 练习与提高
内容：１. 图中的两条直线，的交点坐标可以看做方程组 的解
答案：
2. 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂
物体质量x（千克）的一次函数．当所挂物体的质量
为1千克时弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3
千克时，弹簧长16厘米．写出y与x之间的函数关
系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．
答案：
当x＝４是，y＝
3. 教材例2的再探索：
我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B追赶，如图所示，，分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．当时间t等于多少分钟时，我边防快艇B能够追赶上A。
答案：直线的解析式：，直线的解析式：
15分钟
意图：通过练习1，强化函数与方程的关系，同时也是利用二元一次方程组确定一次函数解析式这一方法的训练；练习2是配合例1出的一个练习，目的是强化本节知识的重点“利用二元一次方程组确定一次函数解析式”；练习3是第六章“一次函数图像的应用”一节中的例2，目的在于加强学生数形结合思想的应用，以及从图形中获取有用的信息，同时也是对本节课教学重点的强化．让学生明白新旧知识之间是有着知识上的联系的．
效果：通过学生的解答和老师的讲解，让学生掌握这类问题解决的一般方法，为课堂小结做好铺垫．
第五环节 课堂小结
内容：
一、函数与方程之间的关系．
二、在解决实际问题时从不同角度思考问题，就会得到不一样的方法，从而拓展自己的思维．
三、掌握利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1．用含字母的系数设出一次函数的表达式：；
2．将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
3．解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式.
意图和效果：让学生对本节课的内容作概括的归纳与整理．
第六环节 布置作业
习题7·8
六、课后反思
（1）设计理念
事物之间是存在普遍联系的，研究二元一次方程组与一次函数之间的关系应证了辨证唯物主义的这一观点．同时利用二元一次方程组解决一次函数问题也是初中阶段数学学习的一个重要内容.教材通过引例对图像方法与代数方法的比较，使学生了解解决应用问题的策略和方法是多样性的，同时也使学生理解图像方法与代数方法在解决具体问题中各自的优劣，从而对方法作出正确的选择．通过一个具体的例子，让学生掌握用二元一次方程组解决一次函数问题的一般步骤与方法．
（2）突出重点、突破难点的策略
本节课是二元一次方程组和一次函数关系的第二节课，主要要求学生能够利用二元一次方程组解决一次函数的解析式问题，根据一次函数解析式进一步解决相关的一些问题，关于这方面的练习，以老师的讲解为主，在此基础上，还要让学生动手、动脑去解决问题，在技能上作出强化.作为第二节课，在内容上要让学生进一步理解它们之间的联系的同时，要让学生理解为什么要用二元一次方程组去求解一次函数的解析式的必要性，从而掌握本堂课的基础知识．在教学的过程中，要让学生充分理解图像方法和代数方法解决问题的优点和缺点，在这个基础上，学生掌握用二元一次方程组解决一次函数的解析式问题才会有着坚实的理论基础，有关这一方面的题目要让学生充分讨论，其理解才会深刻；同时要以这一部分的知识为载体，让学生理解解决问题方法的多样性的，结合函数的图像，进一步理解数形结合的思想在数学学习中的重要性．
（3）评价方式
根据新课标的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化.在教学活动中教师关注的是学生的参与程度和表现出来的思维水平，关注的是学生对问题的理解水平和解决过程中的表述水平，关注的是学生对基本知识技能的掌握情况和应用二元一次方程组解决一次函数的解析式的相关问题的提高.教学中可通过学生对“做一做”的探究情况和学生对反馈练习的完成情况分析学生的认识状况和解决问题的意识和能力水平.对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能.
附：板书设计
x（吨）
y（元）
15
20
39
27
O
o
y
x
1
2
3
4
1
2
3
4
二元一次方程与一次函数（二）
二元一次方程与一次函数的关系； 议一议
（1）—————————— （1）——————－
（2）——————————
图像方法与代数方法各自的特点： （2）———————
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
（1）
（2） （3）———————
（3） 例1
例2
暂时性板书
保留性板书
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
拓展资源：分层练习
根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择下述内容进行补充或拓展.
基础训练
1.解下列二元一次方程组：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
2.已知方程，则的值分别是 .
提高训练
3.已知关于的方程组的解的和为6，求k的值.
4. 当m为何整数时，方程组的解是正整数？并求出这时方程组的解.
5.已知方程组和有相同的解，求的值.
课后拓展
6.解三元一次方程组：
参考答案：
1.⑴⑵⑶⑷⑸⑹
2.
3.
4.
5.
6..
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
拓展练习
例 已知方程mx m－1+y n－8=5是关于x，y的二元一次方程，求m2-2mn+n2的值.
思路点拨 二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程，因此，上式中含x，y项的次数是1，且系数不等于零。
解 根据题意得：；解得m＝2，n＝9；
此时，m2-2mn+n2＝（m-n）2＝（2-9）2＝49。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
拓展资源：分层练习
根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择下述内容进行补充或拓展.
基础训练
1.解下列二元一次方程组：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
2.已知方程组的解是则 ， .
提高训练
3.已知代数式,当时，它的值是－5；当时，它的值是4,求p，q的值.
4.方程组的解互为相反数，求a的值.
5.已知都是方程的解，求的值.
知识拓展
6.甲、乙两位同学一同解方程组甲正确解出方程组的解为而乙因为看错了，得解为试求的值.
参考答案：
1. ⑴⑵⑶⑷⑸⑹
2.
3.
4.
5.
6.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第七章 二元一次方程组
５．里程碑上的数
成都树德实验中学 王鸿英、吴静
一、学生起点分析
学生在本章前几节已经学习了二元一次方程组的解法，通过学习了“鸡兔同笼”、“增收节支”两节应用问题，学生已经初步体会到列方程组解决实际问题的一般步骤，学生已初步具有一定的数学应用能力．
二、教学任务分析
本节课的教学内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上) 第七章《二元一次方程组》第5节．在前两节的基础上，进一步让学生体会列方程组解决实际问题的一般步骤.“里程碑上的数”既是一个数字问题，又是行程问题，有一定的难度.为此，教材通过填空的形式将问题进行了分解.教学时，应鼓励学生将有难度的问题分解转化几个小问题，从而逐步找出解决问题的关键所在：找等量关系.学会用方程（组）刻画现实世界，进一步培养学生的数学应用能力．
三、教学目标分析
● 知识与技能目标
用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实际问题的一般步骤．
● 过程与方法目标
1．通过设置问题串，让学生体会分析复杂问题的思考方法．
2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
● 情感与态度目标
在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，体验成功感，同时培养学生克服困难的意志和勇气，树立自信心，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神．
四、教学过程设计
本节课设计了七个教学环节：
第一环节：复习提问；第二环节：情境引入；第三环节：合作学习；第四环节：巩固练习；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业．
第一环节：复习提问
内容：填空：
（1）一个两位数，个位数字是，十位数字是，则这个两位数用代数式表示为 ；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为 ．
（2）一个两位数，个位上的数为，十位上的数为，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为 ．
（3）有两个两位数和，如果将放在的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为 ；如果将放在的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为 ．
意图：通过以上三个问题，让学生学会已知一个数各位上的数字，如何用代数式表示这个数的方法，为后面的学习打下基础．
效果：由于三个问题由浅入深，学生容易回答，从而激发兴趣进入新课．
第二环节：情境引入
内容：小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？
意图：
1．创设问题情境，激发学生的学习兴趣．
2．让学生体会将一个复杂问题化为几个简单问题的思维方法．
效果：把这个复杂的数字、行程问题，分解成几个简单的问题串，学生通过对这几个问题的分析，使解题思路清晰，从而顺利地解决这个较复杂问题．
第三环节：合作学习
内容：例1
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
学生先独立思考例1，在此基础上，教师根据学生思考情况组织交流与讨论．
意图：
1．让学生再次经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力．
2．培养学生独立思考的能力和与人合作的意识．
效果：学生进一步学习数字问题的解决办法，体会列方程组解应用问题的方法．并在交流中体验到合作学习的乐趣．
第四环节：巩固练习
内容：练习
1．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？
2．一个两位数是另一个两位数的3倍，如果把这个两位数放在另一个两位数的左边与放在右边所得的数之和为8484．求这个两位数．
意图：进一步巩固本课知识与方法．
效果：学生通过练习检验自己对本节知识的掌握情况．
第五环节：课堂小结
内容：
1．教师提问：本节课我们学习了那些内容，对这些内容你有什么体会和想法？请与同伴交流．
2．师生互相交流总结出列方程（组）解决实际问题的一般步骤．
意图：通过交流与总结，培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.
效果：学生积极大胆发言，增进了师生、生生之间的交流互动，并在这种氛围下，回顾总结了本节课的知识与方法．
第六环节：布置作业
内容：习题7.6 问题解决：第2，3，4题.
意图和效果：学生进一步加深对本课知识的理解和掌握．
五、教学设计反思
（1）设计理念
“学生是学习的主体”，本节课教师以导为主，学生对教师提出的各种问题，灵活采用独立思考、自主探索，或与同伴进行合作交流等方式进行学习．这种学习方式既培养了学生独立思考的习惯和能力，又培养了学生与人合作的能力和意识．
（2）突出重点、突破难点的策略
本节课，教师由浅入深层层设问，将复杂问题分解为几个简单问题．学生通过独立思考和合作学习，在和谐的氛围中学习并掌握了数字问题的解决方法，进一步总结出列方程组解应用问题的步骤和方法．
（3）分层教学
根据本班学生实际情况可在教学过程中选择下述内容补充或拓展.
基础训练
1．一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数字与十位上的数字和比个位数字大3，若把百位上的数字与个位数字对调，得到的新数比原来数小198，则原数为（ ）．
（A）971 （B）917 （C）719 （D）791
2．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数.设这个两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意得方程组 ，这个两位数是 .
提高训练
3．某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒，求火车的长度和速度．
4．有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0之后再写上小的数，得到一个五位数;在小数的右边写上大数，然后再写上一个0，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为590．此外，二倍大数与三倍小数的和是72．求这两个两位数．
知识拓展
5．一个正整数，分别加上100与168，可得到两个完全平方数，求这个正整数．
意图：由于学生在知识和能力上有一定的差异，为了满足不同学生的需求，教师可根据实际教学情况，适当选择上述题目让学生达到知识巩固、能力迁移、思维拓展的目的.既可作为课堂补充内容，也可留作课后练习.
效果：让不同层次的学生获得对数学的不同需求.
参考答案：
1．B.
2． 16．
3．火车长为200m，速度为20m/s.
4．这两个两位数分别为21和10.
5．156．
（4）评价方式
根据新课标的评价理念，教师既要关注学生学习的结果，又要关注他们学习的过程，还要关注学生数学学习的水平和学生在数学活动中所表现出来的情感与态度．在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价值.
十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是，个位数字是，那么
（1）12：00时小明看到的数可表示为 ，根据两个数字和是7，可列出方程 ；
（2）13：00时小明看到的数可表示为 ，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是 ；
（3）14：00时小明看到的数可表示为 ，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是 ；
（4）12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？
你能列出相应的方程吗？
是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网(共22张PPT)
第一节 谁的包裹最多
第七章 二元一次方程组
四川师大附中 邓国伟 盛承 黄德轩
累死我了!
你还累 这么大的个,才比我多驮了2个.
哼,我从你背上拿来 1个,我的包裹数就是你的 2 倍!
真的？！
它们各驮了多少包裹呢
你还累 这么大的个,才比我多驮了2个.
我从你背上拿来 1个,我的包裹数就是你的 2 倍!
老牛的包裹数-小马的包裹数=2个
老牛的包裹+1=(小马驮的包裹数-1)×2
设老牛驮了x个包裹 , 小马驮了y个包裹.
老牛的包裹数比小马的多2个,由此你能得到怎样的方程呢
若老牛从小马的背上拿来1个包裹,这时它们各有几个包裹 由此你又能得到怎样的方程呢
昨天，我们8个人去红山公园玩，有大人和儿童，买门票一共花了34元。每张成人票5元，每张儿童票3元，你知道他们到底去了几个成人，几个儿童呢？
如果设有x个成人，y个儿童，由此你能得到怎样的方程？
上面所列方程各含有几个未知数
含有未知数的项的次数是多少
2个未知数
次数是1
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程.
想一想
1.请判断下列各方程中，哪些是二元一次 方程，哪些不是？并说明理由.
(1)x+3y－9=0;
(2) 3x2-2y+12=0;
(5)3a-4b=7;
(6)2x+10 =0;
(3)x +y=20;
2
(4)
练一练：
2.如果方程 是二元一次方程，那么m＝ ，n＝ .
练一练：
2
-3
像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.
方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.
议一议
方程 和 中， 的含义相同吗？ 呢？
的含义分别相同,因而 必须同时满足方程 和 ,把它们联立起来,得:
请在自己的草稿纸上列举几个二元一次方程组.
试一试：
判断下列方程组是否是二元一次方程组：
练一练：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
是
否
否
否
否
是
做一做
(1) 适合方程 吗
呢 呢 你还能找到
其他 的值适合方程 吗
(2) 适合方程 吗
呢
(3)你能找到一组 值，同时适合
和 吗
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
例如: 是方程 的一个解,记作
二元方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
例如
就是二元一次方程组
的解.
是否为方程 的一个解
是否为方程 的一个解
1.在下列四组数值中，哪些是二元一次方程 的解？
练一练：
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：B，C，D
2.二元一次方程 的解有：
练一练：
（1）
（2）
（3）
（4）
6
17
11
10.5
3.二元一次方程组 的解是（ ）
练一练：
（A）
（B）
（C）
（D）
C
4.以 为解的二元一次方程组是（ ）
练一练：
（A）
（B）
（C）
（D）
D
6.如果 是方程组 的解，
那么m＝_____，n＝ ________.
7.写出一个以 为解的二元一次方程为
____________________.
5.二元一次方程 的正整数
解是___________________________ .
练一练：
5
1
(答案不唯一)
习题7.1本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
拓展资源：分层练习
根据本校学生及教学情况，可在教学过程中，选择以下内容进行补充或拓展
基础训练
① 为了拓展销路，商店对某种照相机的售价了调整，按原价的8折出售，此时的利润率为14%，若此种照相机的进价为1200元，问该照相机的原售价为多少元？ 1710元
② 某种商品进价为a元，商店将价格提高30％作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折（即售价的80％）的价格开展促销活动.这时一件商品的售价为 （ C ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
提高训练
③ 新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。
你能帮助他吗？
（1）解：设书包单价为x元，则随身听单价为y元,根据题意可列出方程：
解之得：
答：书包单价92元，随身听单价360元。
最优化决策：
聪明的Mike想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
提示：书包单价92元，随身听单价360元。
（2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金452×=361.6（元）
∵ 361.6<400 ∴可以选择在人民商场购买。
在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2=362（元）。
因为362＜400，所以也可以选择在家乐福购买。
因为362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱。
拓展提升
④ 打广告（金帝美滋滋巧克力广告视频）
金帝美滋滋巧克力想电视台在黄金时段的2min 广告时间内， 计划插播长度为15s和30s
两种广告．据了解15s广告每播1次收费0.6万元，30s广告每1播次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，你能帮助决策
（1）两种广告的播放次数有几种安排方式吗？
（2）电视台选择哪种方式播放收益较大呢？
解:设播长度为15s的广告x次,30s的广告Y次,收入为W,根据题 意
解得：
W=0.6x+ y =0.6x+(120-15x)÷ 30
=0.1x+4.
所以当x=4时,W取得最大值W=0.1×4+4=4.4万元.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网(共25张PPT)
成都七中育才学校（东区）
１．一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则这个两位数可表示为：
２．一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为：
１０x＋ y
１００ａ＋１０ｂ＋ｃ
你能回答吗？
３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：
４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为：
１００ａ＋ｂ
１０００ａ＋ｂ
你能回答吗？
小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，根据动画中的情境，你能确定他在１２：００看到的里程碑上的数吗？
回到情景再现
小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，根据动画中的情境，你能确定他在１２：００看到的里程碑上的数吗？
１２：００ 是一个两位数，它的两个数字之和为７；
１３：００ 十位与个位数字与１２：００所看到的
正好颠倒了；
１４：００ 比１２：００时看到的两位数中间多了个０．
１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；
１３：００十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了；
１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０．
分析：设小明在１２：００看到的数十位数字是x，个位数字是y，
那么
时刻 百位数字 十位数字 个位数字
表达式
１２：００
１３：００
１４：００
x
y
１０ x ＋ y
y
x
１０ y ＋ x
x
０
y
１００ x ＋ y
相等关系：１. １２：００看到的数，两个数字之和是７
２. 路程差相等
时刻 百位数字 十位数字 个位数字
表达式
１２：００
１３：００
１４：００
相等关系：
１．１２：００看到的数，两个数字之和是７： x ＋ y ＝７
２．路程差：
１２：００－１３：００：（１０ y ＋ x ）－（１０ x ＋ y ）
１３：００－１４：００： （１００ x ＋ y ）－（ １０ y ＋ x ）
路程差相等：
（１０ y ＋ x ）－（１０ x ＋ y ）＝ （１００ x ＋ y ）－（ １０ y ＋ x ）
要学会在图表中用含未知数的代数式表示出要分析的量；然后利用相等关系列方程
x
y
y
x
x
０
y
１０ x ＋ y
１０ y ＋ x
１００ x ＋ y
相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：
x ＋ y ＝７
２．路程差：
１２：００－１３：００：
（１０ y ＋ x ）－（１０ x ＋ y ）
１３：００－１４：００：
（１００ x ＋ y ）－（ １０ y ＋ x ）
路程差相等：
（１０ y ＋ x ）－（１０ x ＋ y ）＝ （１００ x ＋ y ）－（ １０ y ＋ x ）
根据以上分析，得方程组
x ＋ y ＝７，
（１０ y ＋ x ）－（１０ x ＋ y ）＝ （１００ x ＋ y ）－（ １０ y ＋ x ）.
解方程组
x ＋ y ＝７，
（１０ y ＋ x ）－（１０ x ＋ y ）＝ （１００ x ＋ y ）－（ １０ y ＋ x ）.
整理得
解得
因此，小明在１２：００时看到的里程碑上的数是１６．
学法小结：
１．对较复杂的问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚．
２．借助方程组解决实际问题．
用代入消元法比较简单
x ＋ y ＝７,
y ＝６ x .
x ＝１,
y ＝６.
情景再现
下面我们接着研究数字问题：
有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数．
分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x：
百位数字 十位数字 个位数字 表达式
原数
新数
x
y
y
x
１００x＋ y
１０ y ＋x
相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数,
２．９ 百位数字＝两位数－３.
百位数字 十位数字 个位数字 表达式
原数
新数
相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数,
２．９ 百位数字＝两位数－３.
解： 设百位数字为x，由十位数字与个位数字组成的两位数
为y，根据题意的得：
１００ x ＋ y －４５＝１０ y ＋ x,
９ x ＝ y －３.
解得 x ＝４,
y ＝3９.
答：原来的三位数是４３９．
x
y
１００ x ＋ y
y
x
１０ y ＋ x
里程碑
XY公里
填一填：
李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时
看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字
是
２０
填一填：
李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字
是
分析：设李刚在７：００看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么
时刻 十位数字 个位数字
表达式
７：００ x y １０ x ＋ y
８：００ y x １０ y ＋ x
９：００ ８（１０ x ＋ y ）
x ＋y＝９
８（１０ x ＋y） －（１０ y ＋ x ）＝１０ y ＋ x －（１０ x ＋ y ）
解得 x ＝１
y ＝８
18
选一选
小颖家离学校4800米，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路 她跑步去学校共用了30分 .已知小颖在上坡时的平均速度是 6千米/时 ，下坡时的平均速度是12千米/时.问小颖上、下坡各多少千米？
Ａ．1.2，3.6；
Ｂ．1.8，3；
Ｃ．1.6，3.2．
选一选：
分析：本题间接设未知数更简洁.
解：设上坡x时，下坡y时，据题意得：
6x+12y=4.8 ，
x＋y＝0.5.
解之得 x＝0.2，
y＝0.3.
选Ａ
列方程 ＣＮＩ公司第二季度进出口总额是９８０万元，第二季度进口额比一季度增长了３９％，出口额增长了４１％，进出口总额增长了４０％，第二季度的进、出口额分别是多少？
方法１
方法２
列方程 ＣＮＩ公司第二季度进出口总额是９８０万元，第二季度进口额比一季度增长了３９％，出口额增长了４１％，进出口总额增长了４０％，第二季度的进，出口额分别是多少？
进口额 出口额 进出口总额
一季度 x y ９８０÷（１＋４０％）
二季度 （１＋３９％）x （１＋４１％）y ９８０
ｘ＋ｙ＝ ９８０ ÷ （１＋４０％）,
（１＋３９％）ｘ＋（１＋４１％）ｙ＝９８０.
返回
进口额 出口额 进出口总额
一季度
二季度 x y ９８０
＋ ＝
x ＋ y＝９８０.
列方程 某公司第二季度进出口总额是９８０万元，第二季度进口额比一季度增长了３９％，出口额增长了４１％，进出口总额增长了４０％，第二季度的进，出口额分别是多少？
返回
现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．
x ＋ y ＝8,
５x － y ＝１０.
所谓化归方法，就是将一个问题Ａ进行变形，使其归结为另一已能解决的问题Ｂ，既然问题Ｂ已可解决，那么Ａ也就解决了．
化归的方法不仅数学中使用，其他学科也采用．比如我们要测量炼钢炉中的高温，用普通玻璃水银柱的温度计无法测量，所以使用热电阻材料，将温度转变为电流，而电流是可以测量的，所以利用热电转换公式，高温也可以测量了．这是将测温问题化归为测电问题．
亲爱的同学们，你能用化归的数学思想来解决实际问题吗？
学习反思：
１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
２．这种处理问题的过程的可以进一步概括为：
分析 求解
问题 方程（组） 解答
抽象 检验
３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，还可运用化归等数学思想方法，应根据具体问题灵活选用．
作业：
1. 甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数．
2. 某车间每天能生产甲种零件600个，或者乙种零300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？
3. 请你寻找一个利用化归的思想方法解决数学问题的实例．
再见！(共11张PPT)
第二节 二元一次方程组的解法
第七章 二元一次方程组
用加减法解二元一次方程组
第二课时
四川师大附中 邓国伟 李彬 陈卫军
怎样解下面的二元一次方程组
把②变形得：
代入①，不就消去
了！
,
.
.
解：把②变形，得：
把
把③代入①，得：
解得：
代入②，得： .
所以方程组的解为:
把②变形得
可以直接代入①呀！
还可以怎样解下面的二元一次方程组
解：由②得:
把
当做整体将③代入①，得：
解得：
把
代入③，得：
所以方程组的解为
和
互为相反数……
相加……
还能怎样解下面的二元一次方程组
解：根据等式的基本性质,
方程①+方程②得：
解得：
把
代入①，解得：
所以方程组的解为
( )
( )
( )
左边
右边
例 解下列二元一次方程组
方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
解：②-①，得：
解得：
把
代入①，得：
解得：
所以方程组的解为
注意:要检验哦!
( )
( )
( )
左边
右边
前面这些方程组有什么特点 解这类方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？
思考
特点:某一个未知数的系数相同或互为相反数
基本思路:加减消元
二元
一元
主要步骤:加减消元
消去一个未知数
解一元一次方程
代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解
思考
例 解下列二元一次方程组
x、y的系数既不相同也不是相反数，有没有办法用加减消元法呢
用代入法解
解：①×3，得：6x+9y=36. ③
②×2,得：6x+8y=34. ④
③－④，得：y=2.
将y=2代入①，得：x=3.
所以原方程组的解是
(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？
(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？
思考
(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等．
②加减消元,得一元一次方程．
③解一元一次方程．
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．
注意：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑.
1.教材随堂练习
2.补充练习：
①选择：二元一次方程组 的解是（ ）
A.
B.
C.
D.
② ，求x,y的值.
C
1.课本习题7.3
2.阅读读一读
3.预习课本下一节
1.关于二元一次方程组的两种解法
代入消元法和加减消元法.
比较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.
2. 用加减消元法解方程组的条件.
3. 用加减法解二元一次方程组的步骤.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
拓展资源：课外备选练习
１．小文家与学校相距1000米．某天小文上学时忘了带一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校．下图是小文与家的距离（米）关于时间（分）的函数图象．请你根据图象中给出的信息，解答下列问题：
（1）小文走了多远才返回家拿书？
（2）求线段所在直线的函数解析式；
（3）当分时，求小文与家的距离．
２．A，B两地相距50km，甲于某日下午13：00骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地。如图，折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的里程s与该日下午时间t之间的关系．
（1）甲出发多少小时，乙才开始出发？
（2）乙行驶多少小时就追上了甲，这时两人离B地还有多少千米？
3．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用一吨水生产的饮料利润（元）是一吨水的价格（元）的一次函数，根据下表提供的数据，求与的函数关系式；当水价为每吨10元时，一吨水生产出的饮料的利润是多少？
一吨水的价格/元 4 6
用一吨水生产的饮料所获利润/元 200 198
４．我们学校准备添置一批电脑，有两个方案可供选择：
方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；
方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装工工资等其他费用合计3000元．设学校需要电脑x台，方案1与方案2的费用分别为y1，y2元．
（1）分别写出y1，y2的函数解析式；
（2）当学校添置多少台电脑时，两种方案的费用相同？
（3）若我们学校需要添置台电脑50台，你认为采用哪一种方案较省钱？说说你的理由．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
拓展资源：分层练习
根据本校学生及教学情况可在教学过程中，选择以下内容进行补充或拓展。
基础训练
①甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数．
提高训练
②某车间每天能生产甲种零件600个，或者乙种零件300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？
拓展提升
③一客轮逆水行驶，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客发现后，轮船立即掉头去追，已知轮船从掉头到追上共用5分钟，问乘客丢失了物品，是几分钟后发现的？
解： 设x分钟后发现掉了物品，船静水速为V1，水速为V2，由题意得：
(x＋5)V2＋x(V1-V2)＝5(V1＋V2)，
xV2+5V2＋xV1-xV2＝5V1+5V2，
xV1＝5V1，
∵V1≠0，∴x＝5.
答：乘客5分钟后发现掉了物品.
注：这里的辅助未知数是V1和V2.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
拓展资源：备选练课后习题
1．已知函数的图象交于点P，则点P的坐标为（ ）．
(A)（－7，－3） (B)（3，－7） (C)（－3，－7） (D)（－3，7）
2．已知直线与直线相交于点，则的值分别为（ ）．
(A) 2，3 (B) 3，2 (C) (D)
3．如图，直线与轴、轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在轴上的点处，则直线AM的解析式为 ．
4．已知：一次函数的图象与正比例函数的图象交于点A，并且与轴交于点B（0，－4），△AOB的面积为6，求一次函数的解析式．
5．如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA，OC分别落在轴、轴的正半轴上，连接AC，将翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交轴于点E，已知CB=8，AB=4．
（1）求AC所在直线的函数关系式；
（2）求点E的坐标和的面积；
（3）求点D的坐标，并判断点（8，）是否在直线OD上，说明理由．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第七章 二元一次方程组
３．鸡兔同笼
成都七中育才学校（东区） 张文川、郭淼、王占娟
一、 教材分析
《鸡兔同笼》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第七章《二元一次方程组》第三节.本节安排1个课时。借助"鸡兔同笼"这一中国古代名题，让学生经历列二元一次方程组解决实际问题的过程，进行根据实际问题情境列二元一次方程组的训练，强化方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.，同时将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体。当然，在题材的选择上，教科书注意了题材的现实性、科学性和趣味性；在题材的呈现顺序上，遵循了由易到难的原则，教学中，教师可以根据学生的生活实际和认知实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学，此外，在教学过程中，教师应更多地关注学生的建模过程，关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组.
二、学情分析
学生的年龄特点和认知特点
初中二年级的学生，正处于少年期，已具备了初步的抽象、概括和分析问题解决问题能
力，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志.鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，以从中获得成功的体验，激发学习激情.
在学习本课之前，应具备的基础知识和基本技能
(1) 方程的思想;
(2) 能整体地系统地审清题意，找出等量关系;
(3) 能从具体问题中的数量关系列出二元一次方程组;
(4) 熟练解二元一次方程组.
学习者对即将学习的内容已经具备的水平
(5) 本课是在学生已对一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组解法有了足够的认识的基础上来学习的，也学过了列一元一次方程解决实际问题，因此，大部分学生学习本课应该没有太大的困难的.
(6) 初二的学生已经初步的具备了初步的抽象、想象、逻辑思维能力，初步的分析问题和解决问题的能力.
三、教学目标
知识目标
1.在具体问题的解决过程中提高学生的解二元一次方程组的技能；
能力目标
1.使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤，让学生亲自经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的抽象、概括、分析解决实际问题的能力;
情感目标
1.进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.
2．通过"鸡兔同笼"，把同学们带入古代的数学问题情景，学生体会到数学中的"趣"；进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神；通过对祖国文明史的了解，培养学生爱国主义精神，树立为中华崛起而学习的信心.
教学重点
根据等量关系列二元一次方程组解应用题.
教学难点
1.读懂古算题;
2根据题意找出等量关系，列出方程.
四、 教学方式
采用"问题情境—建立模型—解释—应用与拓展"的模式展开教学.充分利用实际问题、古代的趣题，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性；利用多媒体课件和实物等丰富学生的学习资源，生动活泼地展示所学内容；强调学生的动脑思考和主动参与，通过丰富多彩
的集体讨论、小组活动，以合作学习促自主探究.
五、 教学媒体和教学技术选用
本次教学需要实物教具：细绳一条；多媒体课件辅助教学.
实物教具和多媒体课件分别在本课"设立问题情境"，"建立模型"，"解释应用"，"拓展"，"感悟与收获"等环节中得到应用，它们的使用可以更好地帮助学生体会应用，使学生的学习资源更为丰富.
六、 教学活动过程
（一）教学准备阶段
1.准备多媒体课件；制作"鸡兔同笼"、"以绳测井"等一系列图片、动画.
2.课前让学生准备细绳一条，以使他们体会什么是三折、四折等.
3.让学生查字典，认识"雉"字.
（二）整个教学过程叙述
本节课主要为数学教学活动，课题："鸡兔同笼"，共需1课时，40--45分钟完成.
根据以往经验，在本节课的第一环节"设立问题情境"容易出现障碍，此时要求学生在实际情境中，考虑怎么用两个未知数列方程组，解决实际问题。
（三）具体教学过程设计
本节课设计了五个教学环节：第一环节： 引入课题；第二环节：典型例题；第三环节：闯关练习；第四环节：反馈练习；第五环节：感悟和收获；第六环节：作业布置.
第一环节：引入课题
内容1：例1 今有雉（兔）同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
提问：（1）"上有三十五头"的意思是什么？"下有九十四足"呢？
（2）你能解决这个有趣的问题吗？
（说明：多媒体展示"鸡兔同笼"问题后，说明该问题是古代著名的"难题"，以此激发学生解决问题的好奇心；提出问题后，让学生先思考，后讨论，然后找学生说出他的解题思路,
写出解题过程，让学生讨论对不对，有没有不同的思路和观点；最后在学生充分讨论的基础上，老师用多媒体课件，给出正确的答案.）
1.用一元一次方程求解
解：设有鸡x只，则有兔（35-x）只,得
所以有鸡23只，兔12只.
小结：一元一次方程解法优点： 思维便捷些.
一元一次方程解法不足：计算较复杂.
2.用二元一次方程求解：
解：设有鸡x只，兔y只，则
x+y=35, ①
2x+4y=94. ②
①×2,得 2x+2y=70 , ③
②－③,得 2y=24,
y=12,
把 y=12 代入①，得x=23.
所以有鸡23只，兔12只.
小结：用二元一次方程组解答优点：思维快速简单.
用二元一次方程组解答不足：计算复杂些.
意图：体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程，通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点，从而感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组，思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性.
效果：这样，一方面在列方程组的建模过程中，强化了方程的模型思想，并通过比较，感受了列二元一次方程组的优越性，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力；另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能.
内容2：随堂练习1
列方程解古算题："今有牛五、羊二，值金十两；有牛二、羊五，值金八两.牛、羊各值金几何？
（在引例及例题的基础上，学生已基本掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法，此题可由学生独立完成.当然由于本题是古文，可以先找学生说出题目的大意：5头牛、2只羊共价值10两"金"，2头牛、5只羊共价值8两"金"，每头牛、每只羊各价值多少"金"？在题的结果上强调只要分数表示即可；要学生板书整个解题过程.）
解：设每头牛值"金" x 两，设每只羊值"金" y 两,则有方程：
5x+2y=10 , ①
2x+5y=8. ②
①×2,得 10x+4y=20 , ③
②×5, 得 10x+25y=40 , ④
④-③, 得 21y=20,
解得 y=, 把 y= 代入②得：x=.
所以，每头牛值"金" 两，设每只羊值"金"两.
意图：让学生通过练习巩固列二元一次方程组解应用题的技能。
效果：学生能用方程的思想简化思维过程，解决同类古算题.
第二环节：典型例题
内容1： 例1 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
提问：1."将绳三折测之，绳多五尺"，什么意思？
2."若将绳四折测之，绳多一尺"，又是什么意思？可以让学生演示.
（此时课堂讨论可能很热烈，要注意引导，在充分讨论的基础上，显示完整的解题过程.）
解：设绳长x尺，井深y尺，则
-y=5 , ①
-y=1. ② 联立①，②
①-②，得 -=4,
=4,
x=48,
将 x=48 代入①，得 y=11.
答：绳长48尺，井深11尺.
内容2：小结列二元一次方程组解应用题的步骤
根据上面几例，总结列二元一次方程组解应用题的步骤：
1） 审清题意，设未知数;
2） 弄清各个量之间的关系，找出等量关系;
3） 列出方程，联立方程，得二元一次方程组;
4） 解二元一次方程组;
5） 作答.
并指出：列二元一次方程组解决实际问题的关键是，找出等量关系列方程.
意图：此例用于巩固例一中用列二元一次方程组解应用题的思想以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤.
效果：学生在列方程组的建模过程中，一方面强化了方程的模型思想和其优于算术方法的地方即简化了思维过程，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能.
内容3：随堂练习2
古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银，
不知人数不知银.
只知每人五两多六两，
每人六两少五两，
问你多少人数多少银？
意图：熟练有关“以绳测井”类似应用题的求解.
效果：熟练了学生列方程组解应用题的步骤.
第三环节：感悟和收获
内容：
1． 通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握的怎样？
2． 这里面应该注意的是什么？关键是什么？
3． 通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？（可以用二元一次方程组解决的。
4． 列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？
说明：通过以上四个问题，学生基本上掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤，可启发学生说出自己的心得体会及疑问.
意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化.
说明：还可以建议有条件的学生去读一读《孙子算经》，可以在网上查，找出自己喜欢的问题，互相出题；同位的同学还可互相编题考察对方；还可以设置"我为老师出难题"活动，每人编一道题，给老师，老师再提出："谁来帮我解难题"，以此激发学生的学习兴趣和信心。
第四环节：布置作业
习题7.4 1，2
七、教学设计说明与反思
（1）设计理念
教师是学生学习的组织者、促进者、合作者，在本节的备课和教学过程中，教师要为学生的动脑思考，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；尊重和自己意见不一致的学生，赞赏每一位学生对教科书的质疑和对自己的超越，尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，作学生健康心理、健康品德的促进者、引路人；通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适，自我选择.学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的大脑去亲自探索，用自己的心灵去亲自感悟。教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程.当学生迷路的时候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登.
（2）突出重点、突破难点的策略
二元一次方程组是初二数学的重点，而"鸡兔同笼"是中国古代《孙子算经》中的一个
有趣的问题，是用二元一次方程组解决实际问题的一个典型的例子.通过古代的"鸡兔同笼"问题，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练，这样，一方面在列方程组的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能。本节通过几个现实的问题情景，进行二元一次方程组解决实际问题的训练.在题材的选择上，注意了题材的现实性、科学性和趣味性；在题材的呈现顺序上，遵循了由易到难的原则；在教学进程中，在建立方程思想的过程中采用了循序渐进的思路，由算术方法到一元一次方程再到二元一次方程组，遵照了学生的思维梯度逐步建立起学生的用二元一次方程解应用题的思想，充分感受它的优点和思维的简化；教学中，还根据学生的生活实际和任职实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学，更多地关注学生的建模过程，关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组；在具体的古文理解过程中充分借助多媒体展示和实物演示形象化题目的概念.
（3）评价方式
（1）通过课堂观察，关注学生在探讨思考讨论等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、强化、指导和矫正.
（2）通过提问，给学生更多机会，在自然放松的状态下，揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学效果.
（3）通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的教学效果.
（4）注意事项
学生在做作业时，个别学生对第一题的列方程组，仍然感觉困难。此类型题还需要老师多加引导.
附：板书设计
课后反思：
1、本节课通过两道古代算题，引导学生对古代算题进行详细的分析与解决，通过解决问
题，帮助学生检视自我，树立方向，明了自己想要学什么，获得什么。培养了学生的分析
问题和解决问题的能力。
鸡 兔 同 笼
一、情境引入
（列二元一次方程组解应用题的必要性） 二、典型例题
例1.鸡兔同笼 （怎样列二元一次方程组解应用题）
（1）算术解法 例2 以绳测井
（2）一元一次方程解法 列二元一次方程组解应用题步骤……
（3）二元一次方程解法 练习2 学生板演
小结：各自优缺点……
练习1 学生板演 ……………….
三、闯关练习（临时性板书）
…………………
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第七章 二元一次方程组
５．里程碑上的数
成都七中育才学校（东区） 张文川、王敏、范小林
一、学情分析
学生的知识技能基础：七年级时，学生已经学习了一元一次方程及其应用。本章中，学生又学习了二元一次方程、二元一次方程组、列二元一次方程组解应用题等，能熟练地解二元一次方程组，已初步具备了用方程组刻画实际问题的经验和基础，能正确地分析和理解题意，寻求题中的各种数量关系，具备了继续学习本节内容的知识和能力。
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些编题活动，同时也具备了一些生活经验，知道列方程解应用题的一些规律、特点和方法，具备了一些解决实际问题的经验和能力。在以前的数学学习中，学生已经经历很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教材分析
● 地位和作用：本节内容是在学生学习了二元一次方程组的解法和部分二元一次方程组的应用后，紧接着学习的有关数字问题的应用题。这部分内容的学习，有助于加深学生对数字问题的理解，进一步掌握列方程组解应用题的方法（相等关系），提高学生解决实际问题的能力。
● 教学目标
(一) 知识与技能目标
1．在用二元一次方程组解决问题的过程中，巩固和提高学生有关列方程、解方程的技能；
2．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．
(二) 过程与方法目标
1．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型．
2．在解决问题过程中，学会借助图表分析问题，感受化归思想。
(三)情感态度目标
1．“里程碑上的数”这一场景既是一个数字问题，又和行程有关，相对而言有一定难度，让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气．
2．通过编题小组鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神．
●教学重点
1．用二元一次方程组刻画数字问题．
2．初步体会列方程组解决实际问题的步骤．
3．学会用图表分析数字问题。
●教学难点
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题。
●教学方法
引导—讨论—发现法．
●教学准备
FLAH播放器；若FLASH不能播放，请按绝对路径重新插入后播放.
三、教学过程设计
本课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入，新课讲解；第三环节：练习提高；第四环节：合作学习；第五环节：学习反思；第六环节：布置作业。
第一环节 知识回顾
１．一个两位数的十位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：１０ｘ＋ｙ.
２．一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为：１００ａ＋１０ｂ＋ｃ.
３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：１００ａ＋ｂ.
４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为：
１０００ａ＋ｂ.
设计意图：通过复习，为本节课的继续学习做好铺垫。
实际效果：提问学生，教师加以点评，这样经过知识的回顾，学生基本能熟练地用代数式表示有关数字问题。
第二环节 情境引入
1．Flash动画，情景展示。
小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，根据动画中的情景，你能确定他在１２：００看到的里程碑上的数吗？
１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；
１３：００十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了；
１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０．
分析：设小明在１２：００看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么
时刻 百位数字 十位数字 个位数字 表达式
１２：００ x y 10x+y
１３：００ y x 10y+x
１４：００ x 0 y 100x+y
相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：x＋y＝７.
２．路程差：
１２：００－１３：００：（１０y＋x）－（１０x＋y），
１３：００－１４：００： （１００x＋y）－（ １０y＋x），
路程差相等：
（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
根据以上分析，得方程组
x＋y＝７ ，
（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
解方程组
x＋y＝７，
（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
整理得
因此，小明在１２：００时看到的里程碑上的数是１６．
提示：要学会在图表中用含未知数的代数式表示出要分析的量；然后利用相等关系列方程。
2．Flash动画，情景再现.
3．学法小结：
（1）对较复杂的问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量、已知量以及等量关系，这样，条理比较清楚．
（２）借助方程组解决实际问题．
设计意图：生动的情景引入，意在激发学生的学习兴趣；利用图表帮助分析使条理清楚，降低思维难度，并使列方程解决问题的过程更加清晰；学法小结，着重强调分析方法，养成归纳小结的良好习惯。
实际效果：动画引入，使数字问题变的更有趣，确实有效地激发了学生的兴趣，学生参与热情很高；借助图表分析，有效地克服了难点，学生基本都能借助图表分析，在老师的引导下列出方程组。
4．变式训练
师生共同研究下题：
有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数．
分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x：
百位数字 十位数字 个位数字 表达式
原数 x y 100 x + y
新数 y x 10 y + x
相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数
２．９百位数字＝两位数－３
解： 设百位数字为x，由十位数字与个位数字组成的两位数为y，
根据题意的得：
１００x＋y＝１０y＋x，
９x＝y－３.
解得 x＝４，
y＝3９.
答：原来的三位数是４３９．
设计意图：设计本题，意在让学生了解，在具体解决问题时，不一定直接设未知数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段。
实际效果：首先由学生思考，说出设未知数的方法，教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决。本例中，要求一个三位数，学生习惯设三个未知数，可是只有两个等量关系，学生发现不太好解答，思维陷入僵局，这时通过教师的引导，发现这里十位数字与个位数字组成的两位数在问题中一直连在一起，因此可以将它们看成一个整体，这时学生一下子豁然开朗，然后列出了方程组并解出该题。
第三环节 练习提高
1．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是18 。
分析：设李刚在７：００看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么
时刻 十位数字 个位数字 表达式
７：００ x y １０x＋y
８：００ y x １０y＋x
９：００ ８（１０x＋y）
设计意图：练习2是教材上“里程碑上的数”例题的变式，活学活用，强化图表分析法，使学生知识过手。（如果此例改为其它例题，未尝不可，但实践中我们发现，对同一问题的变式运用更有利于学生掌握图表分析法）。
实际效果：本例的解答学生比较得心应手，最重要的是学生基本上都学会了用图表来帮助分析数字问题。
2．选一选
小颖家离学校4800米，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路。她跑步去学校共用了30分。已知小颖在上坡时的平均速度是6千米/时，下坡时的平均速度是12千米/时。问小颖上、下坡各多少千米？
Ａ．1.2，3.6；
Ｂ．1.8，3；
Ｃ．1.6，3.2．
分析：本题间接设未知数更简洁.
解：设上坡x时，下坡y时，据题意得：
6x+12y=4.8 ，
x＋y＝0.5.
解之得 x＝0.2，
y＝0.3.
选Ａ。
设计意图：在解应用题时只考虑题目要求什么就设什么为未知数，有时关系式难寻求，方程也难解。因此，可以根据题目条件选择与要求的未知量有关的某个量为未知数，以便找出符合题意的相等关系，从而达到解题的目的。当然，这两个练习，也遵从了由易到难的原则。
实际效果：多数学生都解答本题目，都易考虑用间接设未知数，降低思维和计算难度。
3．列方程 CIN公司第二季度进出口总额是９８０万元，第二季度进口额比一季度增长了３９％，出口额增长了４１％，进出口总额增长了４０％，第二季度的进，出口额分别是多少？
分析：设第二季度的进口额为x万元，出口额为y万元：
进口额 出口额 进出口总额
一季度
二季度 x y ９８０
+=，
x + y =980.
若设第一季度的进口额为x万元，出口额为y万元，则：
进口额 出口额 进出口总额
一季度 x y ９８０÷（１＋４０％）
二季度 （１＋３９％） x （１＋４１％） y ９８０
x＋y＝ ９８０÷（１＋４０％），
（１＋３９％）x＋（１＋４１％）y＝９８０.
根据学生设不同未知数出现不同的方程组，若没有考虑到另一种设法，教师给予补充。
设计意图：练习3的设置，着重于直接设未知数和间接设未知数列出方程的对照比较，使学生在设未知数时，以简洁和降低计算难度为优。
实际效果：学生在直接设未知数时表示已知量未知量有部分学生出错，并且计算难度较大；转化为间接设未知数的学生表达量更准确，计算难度更低；由此对比，学生更易发现设间接未知数有时更利于方程组的建立和解答，从而把间接设未知数作为列方程组解应用题的重要方面来考虑。
第四环节 合作学习
现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．
x＋y＝２，
５x－y＝１０.
学生分组进行编题和互评，然后每组请一个同学将本组评选出的编的最好的应用题向全班同学汇报。（评选方法：切合实际、联系生活、有想象力并且正确无误）
设计意图：着重于逆向思维训练，体会自己编题，从编题人的高度审视列方程组解决实际应用题，同时培养学生的合作意识，通过合作，让学生互相评价、修正，使学生思维跳出固定单一的生活圈，更关注与现实世界的交融，开阔视野。
实际效果：有部分学生缺乏想象力，视野狭窄，经过同学互评纠正和互相学习对现实问题与数学结合有了更深的体会。大多数学生对这种编题形式很感兴趣，课堂气氛轻松活跃。
第五环节 学习反思：
１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：
分析 求解
问题 方程（组） 解答
抽象 检验
３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，设间接未知数可帮助转化问题，还可运用化归等数学思想方法，应根据具体问题灵活选用．
设计意图：对学习内容作回顾整理，提炼方法思想。
第六环节 布置作业
1．甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数．
2．某车间每天能生产甲种零件600个，或者乙种零300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？
3．请你寻找一个利用化归的思想方法解决数学问题的实例．
四、教学反思
1．突破难点的策略
列方程解应用题的分析方法多种多样，本课继上一节增收节支继续介绍分析数字等问题的一种比较有效的方法——图表分析法。本节课除了要解决数字问题外，在设元的技巧上加以引导，如变式练习中设三个未知数无法解决的问题，可以转化为通过视为整体设两个未知数解决；同时在练习2，3中选择直接未知数和间接未知数列方程，比较设未知数的思维难度和计算难度，然后进行优化选择，这样可以培养学生多种思维方式，突破难点.
2．关注数学思想方法的揭示
数学思想方法是数学学习的灵魂。教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法（如化归方法）的揭示，如果教学时间允许，可以专门介绍化归思想及其运用，这样既可提高学生的学习兴趣，开阔视野，同时也提高学生对数学思想的认识，提升解题经验。
x＋y＝７， x = 1 ，
y＝６x. 解得 y =6.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网(共29张PPT)
增收节支
北师大版八年级数学上第七章第四节
制作人：张文川 王敏 范小林
同学们，你知道你的生活
有哪些必要开支吗？
经济生活在我们生活中多么重要！你想运用数学知识使你的生活更加合理优化，生活的更加幸福惬意吗？
增收节支
问题
例题
做一做
应用
反思
北师大版八年级数学上第七章第四节
开商店
小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其他专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他？
到解决问题１
新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。
你能帮助他吗？
购物
最近商家促销有促销活动，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），爸爸只给Ｍike 400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
最优化决策
到解决问题２
返回
某工厂去年的总产值是x万元, 今年的总产值比去年增加了20%, 则今年的总产值是__________万元;
若该厂去年的总支出为y万元, 今年的总支出比去年减少了10%, 则今年的总支出是__________万元;
若该厂今年的利润为780万元, 那么由1, 2可得方程___________________________.
(1+20%) x
(1+20%) x- (1-10%) y=780
(1-10%) y
填一填
经验提升：解增降率问题常用的关系式为a(1±x)=b
(其中:a表示基数；x表示增降率；b表示目标数；增时为加，降时为减)
ＣＮＩ公司去年的利润（总产值—总支出）为200万元。今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？
去年的总产值—去年的总支出=200万元，
今年的总产值—今年的总支出=780万元 ．
分析
ＣＮＩ公司去年的利润（总产值—总支出）为200万元。今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？
关键:找出等量关系.
今年的总支出=去年的总支出×(1—10%）
今年的总产值=
去年总产值×(1+20%）
得到两个等式：
设去年的总产值为x万元，总支出为y元
x
y
200
(1+20%) x
(1-10%) y
780
x—y=200 ，
(1+20%)x—(1—10%)y=780．
某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元。今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？
相等关系中的数量关系真多，画个表格来表示它们吧！
（题目中可分析今年，去年；总产值，总支出和利润，画个２×３的表格来分析看）
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则
今年的总产值=（1+20%）x万元，
今年的总支出=（1—10%）y万元。
由题意得:
解得
答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元。
议一议：还可以设间接未知数吗？
到设间接未知数
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
分析
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。若病人每餐需要35单位蛋白质40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
关键:找出等量关系.
每餐甲原料中含蛋白质量+每餐乙原料中含蛋白质量=35，
每餐甲原料中含铁质量+每餐乙原料中含铁质量=40．
每餐甲原料中含蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量
每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量
每餐乙原料中含铁质量=0.4×每餐乙原料的质量
每餐甲原料中含铁质量=1×每餐甲原料的质量
甲原料x克 乙原料y克 所配制的营养品
其中含蛋白质量
其中含铁质量
0.5x单位
x单位
0.7y单位
0.4y单位
设每餐需要甲、乙两种原料各x,y克，则有下表
由上表可以得到的等式：
0.5x+0.7y=35，
x+0.4y=40 ．
通过解二元一次方程组即可获得所需的答案
３５单位
４０单位
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。若病人每餐需要35单位蛋白质40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
相等关系中的数量关系真复杂，再画个表格来表示它们吧！
（题目中可分析蛋白质含量，铁的含量；甲、乙两种原料和病人配置的营养品，画个２ × ３的表格来分析看）
（1）×2得 10x+14y=700 (5)
解：设每餐需要甲、乙两种原料各x克,y克，根据题意可得：
化简得：
答：每餐需甲原料28克，乙原料30克。
将y=30代入(3)得 x=28
(5)－(4)得 10y=300
y=30
学法小结：
1.图表分析有利于理清题中的未知量，已知量以及等量
关系，条理清楚
2.借助方程组解决实际问题
返回
育才学校去年有学生３１００名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名
设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,则可列出方程组为 。
做一做
分析
找出等量关系.
去年寄宿学生＋去年走读学生＝３１００名，
今年寄宿学生＋今年走读学生＝３１００ ×（１＋４.４％）．
育才学校去年有学生３１００名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名
设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,则可列出方程组为 。
寄宿学生 走读学生 学生总数
去年 ｘ ｙ ３１００
今年 （１＋６％）ｘ （１－２％）ｙ ３１００ ×
（１＋４.４％）
x+ y =３１００
（１＋６％）x+（１－２％） y =３１００ ×（１＋４.４％）
做一做
题目中可分析去年，今年；寄宿学生，走读学生，学生总数．画个２ × ３的表格来分析
你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？
x+ y =３１００，
（１＋６％）x+（１－２％） y =３１００ ×（１＋４.４％）．
活动规则：
四个同学一组编题，互评；然后推选出有创意，符合实际生活的例子进行全班交流．
返回
上衣成本＋裤子成本＝５００元，
上衣利润＋裤子利润＝１５７元．
分析
关键:找出等量关系.
小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？
题目中可分析上衣，裤子；成本．实际售价和利润．画个
２ × ３的表格来分析
解决问题一
小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其他专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价。在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，你知道上衣和裤子的成本各是多少元吗？
成本（元） 实际售价（元） 利润（元）
上衣
裤子
x
y
解：设上衣的成本价为x元，裙子的成本价为y元：
解决问题一
解：设上衣的成本价为x元，裙子的成本价为y元，则上衣利润
，裤子利润为0.9(1+40%) y - y,依题意得：
x+ y =500，
0.9×(1+50%)x-x+0.9×(1+40%) y - y =１５７．
整理得:
x + y =500 ， ……………. ①
35 x +26 y =１５７00 ． ……………. ②
②－① ×26,得9 x =２700, ∴x=３００
把其代入①，得y =500－３００=２００
∴
x =３００，
y =２００．
答：上衣成本３００元，裙子成本２００元。
解决问题一
到解决问题二
新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。
你能帮助他吗？
（1）解：设书包单价为x元，则随身听单价为y元,根据题意可列出方程：
解之得：
答：书包单价92元，随身听单价360元。
解决问题二
（2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金
452× =361.6(元).
∵361.6<400 ，∴可以选择在人民商场购买。
在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2=362（元）。
因为362＜400，所以也可以选择在家乐福购买。
因为362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱。
聪明的Mike想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
提示：书包单价92元，随身听单价360元。
解决问题二
返回
学习反思：
１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：
分析 求解
问题 方程（组） 解答
抽象 检验
３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．
返回
得到两个等式：
设今年的总产值为x万元，总支出为y元
x
y
200
780
x—y =780．
某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元。今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？
— =200 ，
返回例２
选择设未知数时应考虑以降低思维难度和计算难度为优本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第七章 二元一次方程组
6．二元一次方程与一次函数（一）
成都树德实验中学 张良全、周波
一、教材分析
《二元一次方程与一次函数》是北师大版教科书八年级（上）第七章第六节内容．
本节内容共安排2个课时完成，本节课为第1课时．该节内容是二元一次方程（组）与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像（直线））之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力．本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的．
二、学情分析
学生已有了解方程（组）的基本能力和一次函数及其图像的基本知识，学习本节知识困难不大，关键是让学生理解二元一次方程和一次函数之间的内在联系，体会“数”和“形”间的相互转化，从中使学生进一步感受到“数”的问题可以通过“形”来解决，“形”的问题也可以通过“数”来解决．
三、目标分析
1．教学目标
知识与技能目标
（1） 初步理解二元一次方程和一次函数的关系；
（2） 掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；
（3） 掌握二元一次方程组的图像解法．
过程与方法目标
（1） 教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法；
（2） 通过“做一做”引入例1，进一步发展学生数形结合的意识和能力．
情感与态度目标
（1） 在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中，在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神．
（2） 在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力．
2．教学重点
（1）二元一次方程和一次函数的关系；
（2）二元一次方程组和对应的两条直线的关系．
3．教学难点
数形结合和数学转化的思想意识．
四、教法学法
1．教法学法
启发引导与自主探索相结合．
2．课前准备
教具：多媒体课件、三角板．
学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸．
五、教学过程
本节课设计了六个教学环节：第一环节 设置问题情境，启发引导；第二环节 自主探索，建立“方程与函数图像”的模型；第三环节 典型例题，探究方程与函数的相互转化；第四环节 反馈练习；第五环节 课堂小结；第六环节 作业布置．
第一环节: 设置问题情境，启发引导
内容：1．方程x+y=5的解有多少个？是这个方程的解吗？
2．点（0，5），（5，0），（2，3）在一次函数y＝的图像上吗？
3．在一次函数y=的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
4．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=的图像相同吗？
由此得到本节课的第一个知识点：
二元一次方程和一次函数的图像有如下关系：
（1） 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；
（2） 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．
意图：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y= 相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系．
效果：以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识．
前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系．顺其自然进入下一环节．
第二环节 自主探索方程组的解与图像之间的关系
内容：1．解方程组
2．上述方程移项变形转化为两个一次函数y= 和y=2x,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像．
3．方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？由此得到本节课的第2个知识点：二元一次方程和相应的两条直线的关系以及二元一次方程组的图像解法；
（1） 求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标；
（2） 求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解．
（3） 解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种．
注意：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组．
意图：通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”（两条直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础．
效果：由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．
第三环节 典型例题
探究方程与函数的相互转化
内容：例1 用作图像的方法解方程组
例2 如图，直线与的交点坐标是 ．
意图：设计例1进一步揭示“数”的问题可以转化成“形”来处理，但所求解为近似解．通过例2，让学生深刻感受到由“形”来处理的困难性，由此自然想到求这两条直线对应的函数表达式，把“形”的问题转化成“数”来处理．这两例充分展示了数形结合的思想方法，为下一课时解决实际问题作了很好的铺垫．
效果：进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．
第四环节 反馈练习
内容：1．已知一次函数与的图像的交点为,则．
2．已知一次函数与的图像都经过点A（—2，0），且与轴分别交于B，C两点，则的面积为（ ）．
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
3．求两条直线与和轴所围成的三角形面积．
4．如图，两条直线与的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
意图：4个练习，意在及时检测学生对本节知识的掌握情况．
效果：加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性．
第五环节 课堂小结
内容：以“问题串”的形式，要求学生自主总结有关知识、方法：
1．二元一次方程和一次函数的图像的关系；
（1） 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；
（2） 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．
2．方程组和对应的两条直线的关系：
（1） 方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；
（2） 两条直线的交点坐标是对应的方程组的解；
3．解二元一次方程组的方法有3种：
（1）代入消元法；
（2）加减消元法；
（3）图像法． 要强调的是由于作图的不准确性，由图像法求得的解是近似解．
意图：旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用．
效果：充分展示知识的发生、发展及应用过程．对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励．
第六环节 作业布置
习题7．7
附： 板书设计
六、教学反思
本节课在学生已有了解方程（组）的基本能力和一次函数及其图像的基本知识的基础上，通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法，进一步揭示了二元一次方程和函数图像之间的对应关系，从而引出了二元一次方程组的图像解法，以及应用代数方法解决有关图像问题，培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．教学过程中教师一定要讲清楚图像解法的局限性，这是由于画图的不准确性，所求的解往往是近似解．因此为了准确地解决有关图像问题常常把它转化为代数问题来处理，如例2及反馈练习中的4个问题．
7．6 二元一次方程与一次函数（一）
1．二元一次方程与一次函数的图像的关系： 例1
（1）
（2）
2．方程组和对应的两条线的关系： 例2
（1）
（2）
3．解二元一次方程组的新方法：
图像法
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网(共10张PPT)
第二节 二元一次方程组的解法
第七章 二元一次方程组
用代入法解二元一次方程组
第一课时
四川师大附中 邓国伟 李彬 陈卫军
回顾与思考
昨天,我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元.
每张成人票5元,每张儿童票3元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢
还记得下面这一问题吗
设他们中有x个成人，y个儿童.
我们列出的二元一次方程组为:
我们怎么获得这个二元一次方程组的解呢
想想以前学习过的一元一次方程，能不能解决这一问题
解：设去了x个成人，则去了(8－x)个儿童，根据题意，得：
解得：x=5.
将x=5代入
8－x=8－5=3.
答：去了5个成人， 3个儿童.
用一元一次方程求解
用二元一次方程组求解
解：设去了x个成人，去了y个儿童，根据题意，得：
观察:列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？
解：设去了x个成人，去了y个儿童，根据题意，得：
用二元一次方程组求解
由①得：y = 8－x. ③
将③代入②得：
5x+3(8－x)=34.
解得：x = 5.
把x = 5代入③得：y = 3.
所以原方程组的解为：
例 解下列方程组：
⑴前面解方程组的方法取个什么名字好
⑵解方程组的基本思路是什么？
⑶解方程组的主要步骤有哪些？
思考
解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.
前面解方程组是将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
解二元一次方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
1.教材随堂练习
2.补充练习：用代入消元法解下列方程组
1.习题7.2
2.解答习题7.1第3题
3.预习下一课内容本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第七章 二元一次方程组
１．谁的包裹多
四川师大附中 邓国伟、盛承、黄德轩
一、学生起点分析
在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，具备了进一步学习二元一次方程及二元一次方程组的基本能力.
二、教学任务分析
《谁的包裹多》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第七章《二元一次方程组》的第一节，本节内容安排1个课时完成.具体内容是：让学生通过对实际问题的分析，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；同时了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
二元一次方程是继一元一次方程后，又一个体现符号表示思想的内容，它是刻画现实世界的一个有效数学模型，在数学上有着广泛的应用，同时也是学习物理、化学等其他学科知识的一个重要基础.它既是一元一次方程知识的延伸和拓广，又是今后学习一般线性方程组及平面解析几何等知识的基础，具有承上启下的作用.
基于学生对一元一次方程理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念.在学习过程中，要突出强调建模思想，展现方程是刻画现实世界的有效数学模型.
三、教学目标分析
1.教学目标
了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.
2.教学重点
二元一次方程组的含义。
3.教学难点
判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识.
四、教学过程设计
本节课设计了四个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：新课讲解，练习提高；第三环节：课堂小结；第四环节：布置作业.
第一环节：情境引入
内容：
（1） 情境1
实物投影，并呈现问题：在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）。教师注意引导学生设两个未知数，从而得出二元一次方程。
这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍， 得方程：x+1=2(y-1)
（二）情境2
实物投影，并呈现问题：昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？
仍请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言），老师注意引导学生分析其中有几个未知量，如果分别设未知数，将得到什么样的关系式？
这个问题由于涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数，我们设他们中有x个成年人，有y个儿童，在题目的条件中，我们可以找到的等量关系为：成人人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程x+y=8和5x+3y=34.
意图：通过现实情景再现，让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.
效果：学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出了关注两个未知数的方程，为后续关于二元一次方程的讨论提供了素材，同时，有趣的情境，也激发了学生学习的兴趣.
第二环节：新课讲解，练习提高
内容：
（1） 二元一次方程概念的概括
提请学生思考：上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？从而归纳出二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。教师对概念进行解析，要求学生注意：这个定义有两个要求：
①含有两个未知数；
②所含未知数的项的次数是一次.
再呈现一些关于二元一次方程概念的辨析题，进行巩固练习：
1.下列方程有哪些是二元一次方程：
（1），（2），（3），
（4），（5），（6）.
2.如果方程是二元一次方程，那么m＝ ，n＝ .
（二）二元一次方程组概念的概括
师提请学生思考：上面的方程x-y=2，x+1=2(y-1) 中的x含义相同吗？y呢？（两个方程中x的表示老牛驮的包裹数，y表示小马的包裹数，x、y的含义分别相同.）由于x、y的含义分别相同，因而必同时满足x-y=2和x+1=2(y-1)，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成，从而得出二元一次方程组的概念：像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.如：
注意：在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个量.
再呈现一些辨析题，让学生进行巩固练习：、
判断下列方程组是否是二元一次方程组：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（三）因承上面的情境，得出有关方程的解的概念
1.x=6,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你还能找到其他x,y值适合x+y=8方程吗？
2. x=5, y =3适合方程5x+3 y =34吗？x=2, y=8呢？
3.你能找到一组值x, y同时适合方程x+ y =8和5x+3 y=34吗？各小组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3题的结论.
由学生回答上面3个问题，老师作出结论：
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解.
如x=6, y=2是方程x+ y =8的一个解，记作 ；同样，也是方程x+ y=8的一个解，同时 又是方程5x+3y=34的一个解.
二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
例如，就是二元一次方程组的解.
然后，同样呈现一些辨析性练习：（投影）
1.下列四组数值中，哪些是二元一次方程的解？
（A） （B） （C） （D）
2.二元一次方程的解有：
3.二元一次方程组的解是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4.以为解的二元一次方程组是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5.二元一次方程的正整数解为 .
6.如果是的解，那么m＝ ，n＝ .
7.写出一个以为解的二元一次方程组为 .
（答案不唯一）
意图：通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.
效果：通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题.
第三环节：课堂小结
内容：
1.含有两未知数，并且含有未知数的项的次数是一次的整式方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解.
3.含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值.
意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
效果：本环节虽然用时不多，却是必不可少的教学环节，对学生回顾与整理本节课的知识效果明显.
第四环节：布置作业
习题7.1
五、教学设计反思
问题情境的创设，激发了学生的学习兴趣；同时通过对问题情境的进一步挖掘，在精心设计的一系列问题中，十分自然地得到二元一次方程、二元一次方程组以及它们的解等概念，课堂结构自然流畅。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网(共17张PPT)
成都树德实验中学 张良全 周波
北师大版八年级上第七章《二元一次方程与一次函数》
想一想：
2 ．点(0,5), (5,0), (2,3) 在
一次函数y=-x+5的图象上吗？
３ ．在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
无数个
都是
都在
适合
相同
４ ．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？
5的解有多少个
y
1.方程x
=
+
以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上;
一次函数 的图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程.
１．解方程组
答案：
2．上述方程移项变形转化为一
次函数 和
在同一直角坐标系内分别作出这两
个函数的图象．
y
x
0
4
1
2
3
5
5
4
3
2
1
-1
-2
第一支：在图象上取两点（0,5)，(5,0)．
第二支：在图象上取两点（0.5,0)，(0,-1)．
３．方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系
(2,3)
答案：
１．方程组的解是对应的两条直线的 交点坐标.
２．两条直线的交点坐标是对应的方程组的解.
练一练：
例１ 用图象法解方程组
由②得:
x
3
2
1
-1
-2
y
-2
2
-1
0
1
3
解：由①得：
取点(-2,0)，(0,1)作出直线 .
取点(1,0)，(0,-2),作出直线
观察图象得出交点为Ｐ（2,2)
例2 如图，直线 的交点坐标是＿＿ .
x
y
-2
2
-1
0
1
3
3
2
1
-1
-2
x
y
-2
2
-1
0
1
3
3
2
1
-1
-2
x
y
-2
2
-1
0
1
3
x
y
-2
2
-1
0
1
3
3
2
1
-1
-2
补充练习：
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
C
1 -9
３．求两条直线y=3x-2与y=-2x+4和ｘ轴所围成的三角形的面积.
答案：
４．如图，两条直线 的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
答案：
３
-１
2
-3
x
y
0
课堂小结：
二元一次方程和一次函数的图象的关系
以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上.
一次函数图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程.
方程组和对应的两条直线的关系
方程组的 是对应的两条直线的
两条线的 是对应的方程组的
解
交点坐标.
交点坐标
解.
解二元一次方程组的方法
代入消元法
加减消元法
函数图象法
要强调的是由于作图的不准确性，由图象法求得的解是近似解.
作 业
习题
7.7本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第七章 二元一次方程组
２．二元一次方程组的解法（二）
四川师大附中 邓国伟、李彬、陈卫军
一、学生起点分析
在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组的解法的基本能力.
二、教学任务分析
《二元一次方程组的解法》是义务教育课程标准北师大版实验教科书 八年级（上）第七章《二元一次方程组》的第二节（两课时）.第1课时，让学生学习了二元一次方程组的解法——代入消元法.本节课为第2课时，学习二元一次方程组的另一解法——加减消元法.
加减消元法也是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求两个方程中必须有某一个未知数的系数的绝对值相等（或利用等式的基本性质在方程两边同时乘以一个适当的不为0的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等），然后利用等式的基本性质在方程两边同时相加或相减消元.
三、教学目标分析
1.教学目标
1．会用加减消元法解二元一次方程组.
2.让学生在自主探索和合作交流中，进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
3.通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力.
4．通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物的本质这一认识方法.
2.教学重点
用加减消元法解二元一次方程组.
3.教学难点
在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
四、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：讲授新知；第三环节：巩固新知；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业.
第一环节：情境引入
内容：巩固练习，在练习中发现新的解决方法
怎样解下面的二元一次方程组呢？（学生在练习本上做，教师巡视、引导、解疑，注意发现学生在解答过程中出现的新的想法，可以让用不同方法解题的学生将他们的方法板演在黑板上，完后进行评析，并为加减消元法的出现铺路.）
学生可能的解答方案1：
解1：把②变形，得：, ③
把③代入①，得：,
解得：.
把代入②，得：.
所以方程组的解为.
学生可能的解答方案2：
解2：由②得, ③
把当做整体将③代入①，得：,
解得：.
把代入③，得：.
所以方程组的解为.
（此种解法体现了整体的思想）
学生可能的解答方案3：
解3：根据等式的基本性质
方程①+方程②得：,
解得：,
把代入①，解得：,
所以方程组的解为.
通过上面的练习发现，同学们对代入消元法都掌握得很好了，基本上都能够按要求解出二元一次方程组的解（如方案1），可是也有同学发现（方案2）的解法比（方案1）的解法简单，他是将5y作为一个整体代入消元，依然体现了代入法的核心是代入“消元”，通过“消元”，使“二元”转化为“一元”，从而使问题得以解决，那么（方案3）的解法又如何？它达到“消元”的目的了吗
（留些时间给学生观察，注意引导学生观察方程中某一未知数的系数，如x的系数或y的系数）
引导学生发现方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据相反数的和为零（方案3）将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的.
这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法.
意图：在练习的过程中学会思考、分析，通过思考自然地得出我们要研究和解决的问题.
效果：通过学生练习、对比、讨论，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中发现了新的解二元一次方程组的方法——加减消元法.
说明：如果班机学生不能发现方法3，教师可以适当引导，如在方法二中，我们直接解出5y，代入另一式子从而消去一个未知数，是否可以不解出直接消去这个未知数呢，两个式子中y 的系数有什么关系？能否通过等式加减直接消去这个未知数呢？
第二环节：讲授新知
内容1：
（教师板书课题）
下面我们就用刚才的方法解下面的二元一次方程组.（教师规范表达解答过程，为学生作出示范）
例 解下列二元一次方程组
分析：观察到方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
解：②-①，得：,
解得：,
把代入①，得：,
解得：,
所以方程组的解为.
(解答完本题后，口算检验，让学生养成进行检验的习惯，同时教师需强调以下两点
(1)注意解此题的易错点是②-①时是（2x+3y）-(2x-5y)=-1-7，方程左边去括号时注意符号.另外解题时，①-②或②-①都可以消去未知数x，不过在①-②得到的方程中，y的系数是负数，所以在上面的解法中选择②-①；
(2)把y＝-1代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值.
师生一起分析上面的解答过程，归纳出下面的一些规律：
在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法）
内容2：巩固练习
［师生共析］
（先留一定的时间让学生观察此方程组，让学生说明自己观察到方程有什么特点，能不能自己解决此方程组，用什么方法解决？如学生提出用代入消元法，可以让学生先按此法完成，然后再问能不能用刚学过的加减消元法解决？让学生讨论尝试，学生可能得到的结论如下）
1.对于用加减消元法解，x、y的系数既不相同也不是相反数，没有办法用加减消元法.
2.是不是可以这样想，将方程组中的方程用等式的基本性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等(或互为相反数)的情形，再用加减消元法，达到消元的目的.
3.只要在方程①和方程②的两边分别除以2和3，x的系数不就变成“1”了吗？这样就可以用加减消元法了.
4.不同意3的做法.如果这样做，是可以解决这一问题，但y的系数和常数项都变成了分数，这样解是不是变麻烦了吗？那还不如用代入消元法了.不如找x的系数2和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得③,在方程②两边同乘以2，得④,然后③-④，就可以将x消去，得,把代入①得，.所以方程组的解为
（在引导的过程中，肯定学生的好的想法.）其实在我们学习数学的过程中，二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或-1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反.我们遇到的往往就是这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.请大家把解答过程写出来.
解：①×3，得：， ③
②×2,得：， ④
③－④，得：.
将代入①，得：.
所以原方程组的解是.
内容3：议一议
根据上面几个方程组的解法，请同学们思考下面两个问题：
(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？
(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？
(由学生分组讨论、总结并请学生代表发言)
［师生共析］
(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：
①变形----找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．
②加减消元，得到一个一元一次方程.
③解一元一次方程．
④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．
注意：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑.
意图：使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性．
效果：通过本环节的学习，加深和巩固了学生对加减消元法的认识.
第三环节：巩固新知
内容：
⑴回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？哪些题我们用加减消元法简单？我们分组讨论，并派一个代表阐述自己的意见，试说明两种解方程组的方法的共同特点和各自的优势.
1.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法，通过比较，我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.
2.只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单.
⑵完成课本随堂练习
⑶补充练习：
①选择：二元一次方程组的解是（ ）.
A. B. C. D.
②，求x,y的值.
意图：通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力．
效果：通过本环节的练习，学生能够较熟练地运用加减法解二元一次方程组.
第四环节：课堂小结
内容：
1.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法.比较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.
2. 用加减消元法解方程组的条件：某一未知数的系数的绝对值相等．
3. 用加减法解二元一次方程组的步骤：
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等．
②加减消元．
③解一元一次方程．
④求另一个未知数的值，得方程组的解．
意图：巩固和加深对化归思想的理解和运用.
效果：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识.
第五环节：布置作业
1.课本习题7.3
2.阅读读一读·你知道计算机是如何解方程组吗.
五、教学设计反思
本节课是让学生学习二元一次方程组的加减消元解法.在学习二元一次方程组的解法中，关键是领会其本质思想——消元，体会“化未知为已知”的化归思想.因而在教学过程中教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并通过精心设计的问题，引导学生在已有知识的基础上，自己比较、分析得出二元一次方程组的解法，在巩固议练活动中，加深学生对“化未知为已知”的化归思想的理解.特别是如何由代入消元法到加减消元法，过渡自然。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
