直角三角形的射影定理
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直角三角形的射影定理
教学目标
（1） 知识与技能
1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；
2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．
（二）过程与方法
类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法．
（三） 情感态度与价值观
通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神．
教学重点 射影定理的证明．
教学难点 建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．
教学方法 师生协作共同探究法．
教学用具 黑板 多媒体
教学过程设计
一 复习引入
前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：1．相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？
2．如何判定两个直角三角形相似？
（通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题．）
二 新知探究
如图，⊿ABC是直角三角形，
CD为斜边AB上的高．
提出问题：
图1
1．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：⊿ACD与⊿CBD，⊿BDC与⊿BCA，⊿CDA与⊿BCA）
2．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系：
⊿ACD与⊿CBD中，CD2= AD·BD ,
⊿BDC与⊿BCA中，BC2= BD·AB ,
⊿CDA与⊿BCA中，AC2= AD·AB ．
这三个关系式形式上完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义：
从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．
一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段．
点和线段的正射影简称为射影．
图2
请学生结合射影定义及图1，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理：
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
三 例题分析
例1 如图3，圆O上一点C在直径AB上的射影为D．AD=2，DB=8,求CD、AC和BC的长．
解：∵∠ACB是半圆上的圆周角，
∴∠ACB=90°，即⊿ABC是直角三角形．
由射影定理可得：
CD2=AD·BD=2×8=16，解得CD=4；
AC2=AD·AB=2×10=20，解得AC=2；
BC2=BD·AB=8×10=80，解得BC= 4．
（师生一起分析思路，由学生完成求解．）
图3 图4
例2 如图4，⊿ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD2=AD·BD．求
证：⊿ABC是直角三角形．
证明：在⊿CDA和⊿BDC中，∵点C在AB上的射影为D，
∴CD⊥AB．
∴∠CDA=∠BDC=90°．
又∵CD2=AD·BD，
∴AD:CD=CD:DB．
∴⊿CDA∽⊿BDC．
在⊿ACD中， ∵∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠BCD+∠ACD=90°．
∴∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°．
∴⊿ABC是直角三角形．
（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的．学生在这个命题的证明中，可能对如何建立条件与结论之间的关系有些困难．教学中可从如下两方面来引导：
①“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；
②我们往往将等式CD2=AD·BD变形为,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形” ．学生明确了上述思路就容易得出本例的证明了．）
四 课堂练习
1 在⊿ABC中，∠C=90°, CD是斜边AB上的高．已知CD=60，AD=25，求BD、AB、AC、BC的长．（直接运用射影定理．）
2 如图，已知线段a、b，求作线段a和b的比例中项．
(引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同的作图方法．)
五 课堂小结
（引导学生从知识内容和思想方法两方面进行归纳．）
1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用．
2 思想方法：化归．
六 课后作业
1 基础训练：在⊿ABC中，∠C=90°, CD⊥AB，垂足为D，AC=12,BC=5,求CD的长．
2 小组探究：请学生以四人学习小组为单位，探究是否还有其它的方法来证明射影定理．（培养学生的创造性思维及团结协作的能力．）
C
D
B
A
B
A
A′
M
N
N
A
A′
B′
M
A
D
C
A
D
O
B
C
B
a
b
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直角三角形的射影定理
教学目标
（1） 知识与技能
1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；
2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．
（二）过程与方法
类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法．
（三） 情感态度与价值观
通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神．
教学重点 射影定理的证明．
教学难点 建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．
教学方法 师生协作共同探究法．
教学用具 黑板 多媒体
教学过程设计
一 复习引入
前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：1．相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？
2．如何判定两个直角三角形相似？
（通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题．）
二 新知探究
如图，⊿ABC是直角三角形，
CD为斜边AB上的高．
提出问题：
图1
1．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：⊿ACD与⊿CBD，⊿BDC与⊿BCA，⊿CDA与⊿BCA）
2．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系：
⊿ACD与⊿CBD中，CD2= AD·BD ,
⊿BDC与⊿BCA中，BC2= BD·AB ,
⊿CDA与⊿BCA中，AC2= AD·AB ．
这三个关系式形式上完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义：
从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．
一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段．
点和线段的正射影简称为射影．
图2
请学生结合射影定义及图1，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理：
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
三 例题分析
例1 如图3，圆O上一点C在直径AB上的射影为D．AD=2，DB=8,求CD、AC和BC的长．
解：∵∠ACB是半圆上的圆周角，
∴∠ACB=90°，即⊿ABC是直角三角形．
由射影定理可得：
CD2=AD·BD=2×8=16，解得CD=4；
AC2=AD·AB=2×10=20，解得AC=2；
BC2=BD·AB=8×10=80，解得BC= 4．
（师生一起分析思路，由学生完成求解．）
图3 图4
例2 如图4，⊿ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD2=AD·BD．求
证：⊿ABC是直角三角形．
证明：在⊿CDA和⊿BDC中，∵点C在AB上的射影为D，
∴CD⊥AB．
∴∠CDA=∠BDC=90°．
又∵CD2=AD·BD，
∴AD:CD=CD:DB．
∴⊿CDA∽⊿BDC．
在⊿ACD中， ∵∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠BCD+∠ACD=90°．
∴∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°．
∴⊿ABC是直角三角形．
（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的．学生在这个命题的证明中，可能对如何建立条件与结论之间的关系有些困难．教学中可从如下两方面来引导：
①“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；
②我们往往将等式CD2=AD·BD变形为,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形” ．学生明确了上述思路就容易得出本例的证明了．）
四 课堂练习
1 在⊿ABC中，∠C=90°, CD是斜边AB上的高．已知CD=60，AD=25，求BD、AB、AC、BC的长．（直接运用射影定理．）
2 如图，已知线段a、b，求作线段a和b的比例中项．
(引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同的作图方法．)
五 课堂小结
（引导学生从知识内容和思想方法两方面进行归纳．）
1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用．
2 思想方法：化归．
六 课后作业
1 基础训练：在⊿ABC中，∠C=90°, CD⊥AB，垂足为D，AC=12,BC=5,求CD的长．
2 小组探究：请学生以四人学习小组为单位，探究是否还有其它的方法来证明射影定理．（培养学生的创造性思维及团结协作的能力．）
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