正弦定理
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“正弦定理”教学设计
一、基本说明
1教学内容所属模块： 必修5
2年级：高二
3所用教材出版单位： 人民教育出版社（A版）
4所属的章节： 第一章第一节第1课时
5学时数： 45 分钟
二、教学设计
1、教学目标：
（1）让学生从已有的几何知识出发, 利用《几何画板》探究任意三角形边角关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
（2）通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。
（3）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
2、内容分析：
教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出过程。
3、学情分析：
中学生已经具有了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强。因此本文的教学设计将运用多媒体技术让学生在实验中发现正弦定理，再引导学生证明结论，突出重点，突破难点。
4、设计思路：
本节课主要采用实验探究的教学方式，教学过程分为六个环节：结合实例，提出问题→观察特例，提出猜想→数学实验，深入探究→归纳小结，完善猜想→证明猜想，得出定理→运用定理，解决实例。
三、教学过程
1、结合实例，提出问题
如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点
之间的距离。测量者在A的同侧，在所在
的河岸边选定一点C，测出AC的距离是20米，，能求A、B两点间的距离吗？这个问题可以抽象出什么样的数学问题？
设计意图：创设问题情境，引出问题，激发学生学习兴趣。引导学生对这一实际问题进行数学抽象，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。
2、观察特例，提出猜想
在初中已经学过解直角三角形，在中，已知，，引导学生回忆在直角三角形中，边长和角度之间有什么样的关系。学生易得出以下猜想：
，，
则（1）
，所以（2）
进一步提问：这两个关系式能否推广到任意三角形？
设计意图：在直角三角形中引导学生利用已有知识得两个简洁的边角关系，激活学生头脑中的已有知识；然后提出“能否推广到任意三角形”这个问题，打破学生原有的认知平衡，有利于调动学生学习探究、接纳新知识的心理倾向。
3、数学实验，深入探究
利用几何画板进行数学实验。画一个三角形，度量出三边长度和三个角度的数值，计算显示一组的值，一组的值，不断拖动三角形的一个顶点，改变三角形的形状，观察各组比值的变化，直观地检验所提出的两个猜想。猜想（1）的三个比值一直都相等，猜想（2）的两个比值并不是一直都相等，因此剔除猜想（2），保留猜想（1）。
图2 用几何画板进行正弦定理的猜想实验。
设计意图：利用几何画板进行数学实验，能激起学生的好奇心和探究欲望，使学生体会到数学的系统演绎和实验归纳两个侧面。
4、归纳小结，完善猜想
归纳小结数学实验结果，完善猜想：在任意三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，都等于此三角形外接圆直径。
设计意图：引导和鼓励学生扮演数学家的角色，模拟数学家的思维方式和过程，归纳总结数学实验结果，主动地投入到数学发现的过程中，发展创造性思维能力。
5、证明猜想，得出定理
证明思路一：引导学生先对锐角三角形的情形进行证明。启发学生将要证的连等式分成两个等式来证明，然后过C点作高CD，把斜三角形分成两个直角三角形，借助CD相等进行证明。再由学生对钝角三角形的情形进行证明。
证明思路二：引导学生作出三角形外接圆，利用直径所对的圆周角是直角构造出直角三角形进行证明。
设计意图：通过作辅助线（辅助圆）把斜三角形转化为直角三角形，把学生不熟悉的问题转化为熟悉的问题，引导学生利用已有知识解决新问题。
6、运用定理，解决实例
让学生掌握正弦定理的内容及公式特征，讨论正弦定理可以解决哪几类有关三角形的问题。
例1、在中，已知，， ，解三角形。
练习1、 在中，已知， ，，解三角形。
例2、在中，已知，，，解三角形（角度精确到，边长精确到）。
练习2、 在中，已知， ，，解三角形。
练习3、解决本节课引入环节提出的问题。
设计意图：让学生动手利用所学生知识解决新问题，提高学生的学习热情的动力，更好地掌握和运用正弦定理。
课堂总结：正弦定理的发现、证明及运用。
作业布置：P4练习，习题1.1A1
A
C
B
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“正弦定理”教学设计
一、基本说明
1教学内容所属模块： 必修5
2年级：高二
3所用教材出版单位： 人民教育出版社（A版）
4所属的章节： 第一章第一节第1课时
5学时数： 45 分钟
二、教学设计
1、教学目标：
（1）让学生从已有的几何知识出发, 利用《几何画板》探究任意三角形边角关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
（2）通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。
（3）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
2、内容分析：
教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出过程。
3、学情分析：
中学生已经具有了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强。因此本文的教学设计将运用多媒体技术让学生在实验中发现正弦定理，再引导学生证明结论，突出重点，突破难点。
4、设计思路：
本节课主要采用实验探究的教学方式，教学过程分为六个环节：结合实例，提出问题→观察特例，提出猜想→数学实验，深入探究→归纳小结，完善猜想→证明猜想，得出定理→运用定理，解决实例。
三、教学过程
1、结合实例，提出问题
如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点
之间的距离。测量者在A的同侧，在所在
的河岸边选定一点C，测出AC的距离是20米，，能求A、B两点间的距离吗？这个问题可以抽象出什么样的数学问题？
设计意图：创设问题情境，引出问题，激发学生学习兴趣。引导学生对这一实际问题进行数学抽象，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。
2、观察特例，提出猜想
在初中已经学过解直角三角形，在中，已知，，引导学生回忆在直角三角形中，边长和角度之间有什么样的关系。学生易得出以下猜想：
，，
则（1）
，所以（2）
进一步提问：这两个关系式能否推广到任意三角形？
设计意图：在直角三角形中引导学生利用已有知识得两个简洁的边角关系，激活学生头脑中的已有知识；然后提出“能否推广到任意三角形”这个问题，打破学生原有的认知平衡，有利于调动学生学习探究、接纳新知识的心理倾向。
3、数学实验，深入探究
利用几何画板进行数学实验。画一个三角形，度量出三边长度和三个角度的数值，计算显示一组的值，一组的值，不断拖动三角形的一个顶点，改变三角形的形状，观察各组比值的变化，直观地检验所提出的两个猜想。猜想（1）的三个比值一直都相等，猜想（2）的两个比值并不是一直都相等，因此剔除猜想（2），保留猜想（1）。
图2 用几何画板进行正弦定理的猜想实验。
设计意图：利用几何画板进行数学实验，能激起学生的好奇心和探究欲望，使学生体会到数学的系统演绎和实验归纳两个侧面。
4、归纳小结，完善猜想
归纳小结数学实验结果，完善猜想：在任意三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，都等于此三角形外接圆直径。
设计意图：引导和鼓励学生扮演数学家的角色，模拟数学家的思维方式和过程，归纳总结数学实验结果，主动地投入到数学发现的过程中，发展创造性思维能力。
5、证明猜想，得出定理
证明思路一：引导学生先对锐角三角形的情形进行证明。启发学生将要证的连等式分成两个等式来证明，然后过C点作高CD，把斜三角形分成两个直角三角形，借助CD相等进行证明。再由学生对钝角三角形的情形进行证明。
证明思路二：引导学生作出三角形外接圆，利用直径所对的圆周角是直角构造出直角三角形进行证明。
设计意图：通过作辅助线（辅助圆）把斜三角形转化为直角三角形，把学生不熟悉的问题转化为熟悉的问题，引导学生利用已有知识解决新问题。
6、运用定理，解决实例
让学生掌握正弦定理的内容及公式特征，讨论正弦定理可以解决哪几类有关三角形的问题。
例1、在中，已知，， ，解三角形。
练习1、 在中，已知， ，，解三角形。
例2、在中，已知，，，解三角形（角度精确到，边长精确到）。
练习2、 在中，已知， ，，解三角形。
练习3、解决本节课引入环节提出的问题。
设计意图：让学生动手利用所学生知识解决新问题，提高学生的学习热情的动力，更好地掌握和运用正弦定理。
课堂总结：正弦定理的发现、证明及运用。
作业布置：P4练习，习题1.1A1
A
C
B
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