苏教版数学两直线的位置关系课件
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课件38张PPT。两直线的位置关系知识梳理：一、直线与直线位置关系的确定：1.两直线 ： 和直线 ：（1） ∥（2）两直线垂直，若一直线斜率为0，则另一直线的斜率是否存在？2. 两直线 ： 和 ：
这两种判断方法有优劣之分吗？（1） ∥（2） 方程观点：
联立两直线的方程→二元一次方程组方程组的解注：有唯一解时，方程组的解即为交点坐标二、两条直线的交点：1、两点的距离公式：2. 点到直线的距离公式为：3. 两条平行线l1：Ax+By+C1=0，
l2：Ax+By+C2=0的距离为：三、距离 (1)点关于点对称
点关于点成中心对称的对称中心恰是 这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.
四、对称问题（2）点关于直线对称
由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点坐标.（3）直线关于点对称，直线关于直线对称都可转化为点关于点、点关于直线对称的问题.（4）两点关于点对称、两点关于直线对称的常用结论：
①点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)；②点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y)；
③点(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)；
④点(x,y)关于直线x-y=0对称的点为(y,x)；
⑤点(x,y)关于直线x+y=0对称的点为
(-y,-x).
要点探究探究点1 两直线的位置关系探究点2 距离问题探究点3 对称问题若直线 和直线 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，求实数 的值.析：据对角互补的四边形有外接圆知，两直线垂直.探究点 1：两直线的位置关系例1.法一：据 有，
得，m=-5.法二：据 有，2m+(-5)(-2)=0
得， m=-5. 用这些公式时，有要注意的地方吗？1.这是一道已知两直线的位置关系求某系数的问题.法一用两直线的斜率关系，法二用了项的系数关系.2.两直线的斜率关系公式要在两直线的斜率都存在的前提下才好用，否则分类讨论；3.当给出的是斜截式方程，可以用法一；当给出的是一般式方程，用法二较方便.点评：
求经过直线 ： 和 直线 ：
的交点，且
（1）垂直于直线 ： 的直线
的方程;
（2）平行于直线 ： 的直线
的方程;
（3）在两坐标轴上截距相等的直线方程.例2.
解:（1）方法一:先解方程组
,
得 的交点(-1,2),再由 的斜率求出l的
斜率为- ,于是由直线的点斜式方程
求出l:y-2=- (x+1),即5x+3y-1=0.方法二:l是直线系5x+3y+C=0中的一条，
而l过两直线的交点(-1,2)，
故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出C=-1,
故l的方程为5x+3y-1=0.（2） ∥ ,故是直线系
中的一条,而l过两直线的交点(-1,2),
故 ，
由此求出 ，故l的方程为
.（3）① 当截距为0时，设方程为 ，
将点（-1，2）代入，可得 ，
②当截距不为0时，则斜率为-1，设方程
为 ，将点（-1，2）代入，可得
1.解法一利用点斜式求直线方程，是求直线方程的通法，是大家要能很熟练掌握的方法；2.一般地，直线Ax+By+C=0中系数A,B确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0(m≠C)，其中m待定，这是常常使用的解题技巧（直线系方程）.点评：3.两直线的平行和垂直是两直线位置关系的两种特殊形式，两直线的相交在两直线的位置关系中更为普遍，如下面的变式题.变式题：过点A（0，1）的直线l与直线x-3y+10=0和2x+y-8=0交于M、N，若MN恰好被点A平分，求此直线l的方程.析：所求直线与两已知直线的交点关于点A对称，可以先设出所求直线与已知直线的交点，利用中点坐标公式和点在直线上两个条件求解.解：因为点N在直线2x+y-8=0上，故
可设N(t,8-2t).又A是线段MN的中点，
由中点坐标公式得M(-t,2t-6)，因为
点M在直线x-3y+10=0上，所以
-t-3(2t-6)+10=0，解得t=4,有
M(-4,2),N(4,0)，所求直线方程为
x+4y-4=0. 已知直线过点 (3，4)且与点 (-2.2),
(4.-2)等距离,求直线方程.析：据图观察，有两条直线：一直线与AB平行；一直线与AB相交且经过AB中点.
·探究点2 距离问题 例3.·A·B·Pyxo解：当直线和直线AB平行
时， ，
即 2x+3y-18=0;
当直线过AB中点O（1，0）时，
方程为：y=2(x-1),即 2x-y-2=0·A·B两条平行线分别过点A（6，2）、B（-3，-1）并各自绕点A、B旋转，d表示两直线间的距离.
（1）求 d 的取值范围
（2）当 d 取最大时，求两直线的方程.yxo例4.解：（1） ；（2）当d最大
时，两平行线与直线 垂直. ，
过点 的直线方程为： ，
即 ；过点 的直线方程为：
，即 .点评：这类问题借助几何图形解决更直观，注意数形结合思想的运用.探究点3 对称问题 例5已知直线l:2x-3y+1=0，点A(-1,-2).求：
（1）点A关于直线l对称点A1的坐标；
（2）直线l关于点A对称的直线l1的方程.解:(1)设A1(x,y)，再由已知
得（2）在l上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，
则M,N关于点A的对称点M1,N1均在直线l1
上，易得M1(-3,-5),N1(-6,-7).再由两点式可
得L1的方程为2x-3y-9=0.变式题：光线由点 射出，遇到直线 ：
后被反射，已知反射光线经过
点 ，求反射光线所在直线的方程.·A·B·A1yxo析：点A关于直线的对称点A1在反射光线上.
解：设点A关于l的对称点为 ,则即即所求直线方程为.点评：1.求点关于直线的对称点时，除了用中点坐标公式及斜率关系来求以外，还可用求轨迹的思想——代入法来求解；
2.许多问题隐含对称性，要注意挖掘，充分利用对称变换解决.例如角平分线，线段中垂线，光线反射等等.小结：1.判断两直线平行或垂直时，若用斜率来判断，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条无斜率的情况；
2.在用公式求两平行直线间的距离时，一定要注意两直线的x，y项系数对应相等；3.对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称.要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种.谢谢大家！
这两种判断方法有优劣之分吗？（1） ∥（2） 方程观点：
联立两直线的方程→二元一次方程组方程组的解注：有唯一解时，方程组的解即为交点坐标二、两条直线的交点：1、两点的距离公式：2. 点到直线的距离公式为：3. 两条平行线l1：Ax+By+C1=0，
l2：Ax+By+C2=0的距离为：三、距离 (1)点关于点对称
点关于点成中心对称的对称中心恰是 这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.
四、对称问题（2）点关于直线对称
由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点坐标.（3）直线关于点对称，直线关于直线对称都可转化为点关于点、点关于直线对称的问题.（4）两点关于点对称、两点关于直线对称的常用结论：
①点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)；②点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y)；
③点(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)；
④点(x,y)关于直线x-y=0对称的点为(y,x)；
⑤点(x,y)关于直线x+y=0对称的点为
(-y,-x).
要点探究探究点1 两直线的位置关系探究点2 距离问题探究点3 对称问题若直线 和直线 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，求实数 的值.析：据对角互补的四边形有外接圆知，两直线垂直.探究点 1：两直线的位置关系例1.法一：据 有，
得，m=-5.法二：据 有，2m+(-5)(-2)=0
得， m=-5. 用这些公式时，有要注意的地方吗？1.这是一道已知两直线的位置关系求某系数的问题.法一用两直线的斜率关系，法二用了项的系数关系.2.两直线的斜率关系公式要在两直线的斜率都存在的前提下才好用，否则分类讨论；3.当给出的是斜截式方程，可以用法一；当给出的是一般式方程，用法二较方便.点评：
求经过直线 ： 和 直线 ：
的交点，且
（1）垂直于直线 ： 的直线
的方程;
（2）平行于直线 ： 的直线
的方程;
（3）在两坐标轴上截距相等的直线方程.例2.
解:（1）方法一:先解方程组
,
得 的交点(-1,2),再由 的斜率求出l的
斜率为- ,于是由直线的点斜式方程
求出l:y-2=- (x+1),即5x+3y-1=0.方法二:l是直线系5x+3y+C=0中的一条，
而l过两直线的交点(-1,2)，
故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出C=-1,
故l的方程为5x+3y-1=0.（2） ∥ ,故是直线系
中的一条,而l过两直线的交点(-1,2),
故 ，
由此求出 ，故l的方程为
.（3）① 当截距为0时，设方程为 ，
将点（-1，2）代入，可得 ，
②当截距不为0时，则斜率为-1，设方程
为 ，将点（-1，2）代入，可得
1.解法一利用点斜式求直线方程，是求直线方程的通法，是大家要能很熟练掌握的方法；2.一般地，直线Ax+By+C=0中系数A,B确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0(m≠C)，其中m待定，这是常常使用的解题技巧（直线系方程）.点评：3.两直线的平行和垂直是两直线位置关系的两种特殊形式，两直线的相交在两直线的位置关系中更为普遍，如下面的变式题.变式题：过点A（0，1）的直线l与直线x-3y+10=0和2x+y-8=0交于M、N，若MN恰好被点A平分，求此直线l的方程.析：所求直线与两已知直线的交点关于点A对称，可以先设出所求直线与已知直线的交点，利用中点坐标公式和点在直线上两个条件求解.解：因为点N在直线2x+y-8=0上，故
可设N(t,8-2t).又A是线段MN的中点，
由中点坐标公式得M(-t,2t-6)，因为
点M在直线x-3y+10=0上，所以
-t-3(2t-6)+10=0，解得t=4,有
M(-4,2),N(4,0)，所求直线方程为
x+4y-4=0. 已知直线过点 (3，4)且与点 (-2.2),
(4.-2)等距离,求直线方程.析：据图观察，有两条直线：一直线与AB平行；一直线与AB相交且经过AB中点.
·探究点2 距离问题 例3.·A·B·Pyxo解：当直线和直线AB平行
时， ，
即 2x+3y-18=0;
当直线过AB中点O（1，0）时，
方程为：y=2(x-1),即 2x-y-2=0·A·B两条平行线分别过点A（6，2）、B（-3，-1）并各自绕点A、B旋转，d表示两直线间的距离.
（1）求 d 的取值范围
（2）当 d 取最大时，求两直线的方程.yxo例4.解：（1） ；（2）当d最大
时，两平行线与直线 垂直. ，
过点 的直线方程为： ，
即 ；过点 的直线方程为：
，即 .点评：这类问题借助几何图形解决更直观，注意数形结合思想的运用.探究点3 对称问题 例5已知直线l:2x-3y+1=0，点A(-1,-2).求：
（1）点A关于直线l对称点A1的坐标；
（2）直线l关于点A对称的直线l1的方程.解:(1)设A1(x,y)，再由已知
得（2）在l上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，
则M,N关于点A的对称点M1,N1均在直线l1
上，易得M1(-3,-5),N1(-6,-7).再由两点式可
得L1的方程为2x-3y-9=0.变式题：光线由点 射出，遇到直线 ：
后被反射，已知反射光线经过
点 ，求反射光线所在直线的方程.·A·B·A1yxo析：点A关于直线的对称点A1在反射光线上.
解：设点A关于l的对称点为 ,则即即所求直线方程为.点评：1.求点关于直线的对称点时，除了用中点坐标公式及斜率关系来求以外，还可用求轨迹的思想——代入法来求解；
2.许多问题隐含对称性，要注意挖掘，充分利用对称变换解决.例如角平分线，线段中垂线，光线反射等等.小结：1.判断两直线平行或垂直时，若用斜率来判断，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条无斜率的情况；
2.在用公式求两平行直线间的距离时，一定要注意两直线的x，y项系数对应相等；3.对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称.要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种.谢谢大家！