（华东师大版九年级上）数学：24.4中位线应用拓展

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九年级上第24章第4节中位线知识拓展
例1. 如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为AD、BC的中点，EF⊥MN交AB于E，交CD于F，求证：∠AEF=∠DFE.
分析 欲证∠AEF=∠DFE，由MN⊥EF想到延长BA、CD与NM的延长线交于P、Q，只需证明∠EPN=∠Q.如何利用中点的条件？想到三角形的中位线.连线BD，取BD的中点G，则有由于AB=CD，进而有GM=GN，∠GMN=∠GNM.然后再转化∠EPN=∠Q.从而证出结论.
证明 延长BA、CD分别与NM的延长线交于P、Q，连结BD，取BD的中点G，连结GM、GN.
∵G、M分别为△ABD的边BD、AD的中点，
∴
同理可得：
又∵
∵∥∥，
∴
∴
∴（等角的余角相等）
说明 添辅助线是证明几何题的难点，尤其像本题要添多条辅助线，更为困难.掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是在分析中自然添辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结.
例2．如图，C为已知线段AB外一点，以AC，BC为边，分别向的外侧作正方形ACFD和正方形BCGE，不论C点的位置在AB的同侧怎样变化，
求证：（1）D，E到AB所在直线的距离之和为定值；
（2）线段DE的中点M为定点.
证明：（1）作于，于，于.
∵，且21世纪教育网
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∴
∴
∴
∴
∴.
同理：
∴（为定值）
（2）过M作于N.
∵ ，
∴
∵，
∴
∵ ，21世纪教育网
∴
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∴
∴
∴.
即N为AB的中点（为定点）
又∵（为定值），
∴M为定点.
分析 本题综合考查了平行线等分线段定理，梯形中位线定理及全等三角形的判定与性质等，易错点是对定值、定点不理解，解题关键是作如图所示的四条辅助线.
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