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九年级上第24章第4节中位线知识拓展
例1. 如图,四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别为AD、BC的中点,EF⊥MN交AB于E,交CD于F,求证:∠AEF=∠DFE.
分析 欲证∠AEF=∠DFE,由MN⊥EF想到延长BA、CD与NM的延长线交于P、Q,只需证明∠EPN=∠Q.如何利用中点的条件?想到三角形的中位线.连线BD,取BD的中点G,则有由于AB=CD,进而有GM=GN,∠GMN=∠GNM.然后再转化∠EPN=∠Q.从而证出结论.
证明 延长BA、CD分别与NM的延长线交于P、Q,连结BD,取BD的中点G,连结GM、GN.
∵G、M分别为△ABD的边BD、AD的中点,
∴
同理可得:
又∵
∵∥∥,
∴
∴
∴(等角的余角相等)
说明 添辅助线是证明几何题的难点,尤其像本题要添多条辅助线,更为困难.掌握一般添辅助线的规律是必要的,更为重要的是在分析中自然添辅助线,添辅助线是分析问题过程的一个步骤,这是几何证明的较高层次,要在实践中仔细体会,不断摸索,不断总结.
例2.如图,C为已知线段AB外一点,以AC,BC为边,分别向的外侧作正方形ACFD和正方形BCGE,不论C点的位置在AB的同侧怎样变化,
求证:(1)D,E到AB所在直线的距离之和为定值;
(2)线段DE的中点M为定点.
证明:(1)作于,于,于.
∵,且21世纪教育网
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∴
∴
∴
∴
∴.
同理:
∴(为定值)
(2)过M作于N.
∵ ,
∴
∵,
∴
∵ ,21世纪教育网
∴
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∴
∴
∴.
即N为AB的中点(为定点)
又∵(为定值),
∴M为定点.
分析 本题综合考查了平行线等分线段定理,梯形中位线定理及全等三角形的判定与性质等,易错点是对定值、定点不理解,解题关键是作如图所示的四条辅助线.
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