（华东师大版九年级上）数学：24.3相似三角形素材 与图形的相似有关的开放题
文档属性
| 名称 | （华东师大版九年级上）数学：24.3相似三角形素材 与图形的相似有关的开放题 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 40.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-10-25 15:46:00 | ||
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文档简介
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与图形的相似有关的开放题
相似三角形是初中数学的重点内容，是每年中考必考内容，特别是开放型的相似问题更受命题者关注，它对培养和考查学生的发散能力大有裨益．现以近年来中考题为例加以浅析，希望对同学们有所启发．
一、条件开放型
例1.（2005龙岩）如图，要使ΔADB∽ΔAB C，那么还应增加的条件
是_________（填写一个你认为正确的条件）
解析：本题考查了相似三角形的判定，要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件．由题意可知，两个三角形以有一组角即∠A=∠A，故要使ΔADB∽ΔAB C，可添加一组角相等即∠ADB=∠C或∠ABC=∠ADB，也可添加一组对应边．21世纪教育网
例2（2004陕西）如图2，矩形ABCD，AD=A，AB=B，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则A,B间的关系一定满足（ ）
A． A≥B； B．A≥B； C. A≥B； D．A≥2B.
21世纪教育网
解析：由于矩形是轴对称图形，根据其对称性可知，通常情况下点P的位置有两个，它们关于BC的垂直平分线对称；如果存在一点P，则该点必为BC的中点，此时△ABP≌△DCP，则AP=DP，△APD为等腰直角三角形．要使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则它们都是等腰直角三角形．此时，，即A=2B．
当点P的位置有两个时，A>2B．
总之，A≥2B．故选D.
二、结论开放型
例3 （2004江苏淮安）已知：如图3，在□ABCD中，点E为边CD上的一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，请你写出图中的一对相似三角形：△______∽△_________．(只使用图中已有字母，不再添加辅助线)
解析：本题有多种答案．注意到AD//CF，则△EDA∽△ECF；注意到CE//BA，则△ABF∽△ECF；利用相似形之间的“传递性”，有△ABF∽△EDA．
三、图形开放
例4 （2003泰州）如图，由边长为1的25个小正方形组成
的正方形网格上有一个△ABC；在网格上画出一个与△ABC相
似且面积最大的△A1B1C1，使它的三个顶点都落在小正方形的
顶点上，则△A1B1C1的最大面积是__________.
解析：正方形对角线A1C1为最长边，求出A1C1与AC的比即
为相似比，从二确定另外两边的长．符合条件的三角形共有八
个，只需画一个即可，最大面积为5．
例5 （2004烟台）如图5，现有两个边长为12的正方形ABCD与A B C D ，已知点B、C、B 、C 在同一直线上，且点C与点B 重合，请你利用这两个正方形，通过截割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为13的三角形．要求：⑴借助原图拼图；⑵简要说明方法；⑶指明相似的两个三角形．
解析：方法：①连结BD并延长交A′D′于点E，交C′D′延长线与点F；②将△D A′E绕点E旋转至△F D′E位置；③△BAD∽△F C′B．且相似比为1:3．
评注：这两题虽然没有繁琐的证明过程，但解法颇具开放性．操作与求索相容，探究与创新同途，全面考查了学生的数学素质．
四、知识迁移开放
例6 （2005杭州）我们已经越过了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形，比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．[来源:21世纪教育网]
现在给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；
④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单第说明理由．
解析：本题对相似三角形的概念展开思考，不难发现：圆和正六边形是相似图形，因为它们对应的元素都成比例；菱形和长方形不是相似图形，因为它们对应的元素不一定成比例．
例7 （2001泰州）阅读下面的短文，并解答下列问题．
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把他们叫相似体． [来源:21世纪教育网]
如图6，甲、乙是两个不同的正方体，它们的一切 A B
对应线段之比都等于相似比A ：B
设Ｓ甲、Ｓ乙分别表示这两个正方体的表面积，则
Ｓ甲／Ｓ乙＝６A2／６B2＝(A／B)3，又设Ｖ甲、Ｖ乙 分别
表示这两个正方体的体积，则Ｖ甲／Ｖ乙＝A3／B3＝(A／B)3． 甲 乙
⑴ 下列几何体，一定属于相似体的是（ ）
Ａ．两个球体 Ｂ．两个圆锥体 Ｃ．两个圆柱体 Ｄ．两个长方体
⑵ 请归纳相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ②相似体表面积的比等于 ，③相似体体积的比等于 ．
⑶ 假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）
解析：（1）A；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方；（ 3）60.75千克．
评注：这类问题建立在已学知识的基础上，对已学知识加以引申，发散，可引导学生在学习新知识的同时主思考，积极探索，提高对知识的更高的认识．这正符合新课标提出的“不同的人在数学上获得不同的发展”的要求．[来源:21世纪教育网]
图1
图2
图3
图4
E
B
C
D
D
A
C
B
A
图5
图6
图7
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与图形的相似有关的开放题
相似三角形是初中数学的重点内容，是每年中考必考内容，特别是开放型的相似问题更受命题者关注，它对培养和考查学生的发散能力大有裨益．现以近年来中考题为例加以浅析，希望对同学们有所启发．
一、条件开放型
例1.（2005龙岩）如图，要使ΔADB∽ΔAB C，那么还应增加的条件
是_________（填写一个你认为正确的条件）
解析：本题考查了相似三角形的判定，要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件．由题意可知，两个三角形以有一组角即∠A=∠A，故要使ΔADB∽ΔAB C，可添加一组角相等即∠ADB=∠C或∠ABC=∠ADB，也可添加一组对应边．21世纪教育网
例2（2004陕西）如图2，矩形ABCD，AD=A，AB=B，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则A,B间的关系一定满足（ ）
A． A≥B； B．A≥B； C. A≥B； D．A≥2B.
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解析：由于矩形是轴对称图形，根据其对称性可知，通常情况下点P的位置有两个，它们关于BC的垂直平分线对称；如果存在一点P，则该点必为BC的中点，此时△ABP≌△DCP，则AP=DP，△APD为等腰直角三角形．要使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则它们都是等腰直角三角形．此时，，即A=2B．
当点P的位置有两个时，A>2B．
总之，A≥2B．故选D.
二、结论开放型
例3 （2004江苏淮安）已知：如图3，在□ABCD中，点E为边CD上的一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，请你写出图中的一对相似三角形：△______∽△_________．(只使用图中已有字母，不再添加辅助线)
解析：本题有多种答案．注意到AD//CF，则△EDA∽△ECF；注意到CE//BA，则△ABF∽△ECF；利用相似形之间的“传递性”，有△ABF∽△EDA．
三、图形开放
例4 （2003泰州）如图，由边长为1的25个小正方形组成
的正方形网格上有一个△ABC；在网格上画出一个与△ABC相
似且面积最大的△A1B1C1，使它的三个顶点都落在小正方形的
顶点上，则△A1B1C1的最大面积是__________.
解析：正方形对角线A1C1为最长边，求出A1C1与AC的比即
为相似比，从二确定另外两边的长．符合条件的三角形共有八
个，只需画一个即可，最大面积为5．
例5 （2004烟台）如图5，现有两个边长为12的正方形ABCD与A B C D ，已知点B、C、B 、C 在同一直线上，且点C与点B 重合，请你利用这两个正方形，通过截割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为13的三角形．要求：⑴借助原图拼图；⑵简要说明方法；⑶指明相似的两个三角形．
解析：方法：①连结BD并延长交A′D′于点E，交C′D′延长线与点F；②将△D A′E绕点E旋转至△F D′E位置；③△BAD∽△F C′B．且相似比为1:3．
评注：这两题虽然没有繁琐的证明过程，但解法颇具开放性．操作与求索相容，探究与创新同途，全面考查了学生的数学素质．
四、知识迁移开放
例6 （2005杭州）我们已经越过了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形，比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．[来源:21世纪教育网]
现在给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；
④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单第说明理由．
解析：本题对相似三角形的概念展开思考，不难发现：圆和正六边形是相似图形，因为它们对应的元素都成比例；菱形和长方形不是相似图形，因为它们对应的元素不一定成比例．
例7 （2001泰州）阅读下面的短文，并解答下列问题．
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把他们叫相似体． [来源:21世纪教育网]
如图6，甲、乙是两个不同的正方体，它们的一切 A B
对应线段之比都等于相似比A ：B
设Ｓ甲、Ｓ乙分别表示这两个正方体的表面积，则
Ｓ甲／Ｓ乙＝６A2／６B2＝(A／B)3，又设Ｖ甲、Ｖ乙 分别
表示这两个正方体的体积，则Ｖ甲／Ｖ乙＝A3／B3＝(A／B)3． 甲 乙
⑴ 下列几何体，一定属于相似体的是（ ）
Ａ．两个球体 Ｂ．两个圆锥体 Ｃ．两个圆柱体 Ｄ．两个长方体
⑵ 请归纳相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ②相似体表面积的比等于 ，③相似体体积的比等于 ．
⑶ 假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）
解析：（1）A；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方；（ 3）60.75千克．
评注：这类问题建立在已学知识的基础上，对已学知识加以引申，发散，可引导学生在学习新知识的同时主思考，积极探索，提高对知识的更高的认识．这正符合新课标提出的“不同的人在数学上获得不同的发展”的要求．[来源:21世纪教育网]
图1
图2
图3
图4
E
B
C
D
D
A
C
B
A
图5
图6
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