点到直线的距离公式推导

点到直线的距离公式的七种推导方法
湖南省 黄爱民 赵长春
已知点 直线求点P到直线 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）
1、 定义法
证：根据定义，点P到直线 的距离是点P到直线 的垂线段的长，如图1，
设点P到直线的垂线为 ，垂足为Q，由 可知 的斜率为
的方程：与联立方程组
解得交点
2、 函数法
证：点P到直线 上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。在上取任意点 用两点的距离公式有，为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：
当且仅当时取等号所以最小值就是
三、不等式法
证：点P到直线 上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。由柯西不等式：
当且仅当时取等号所以最小值就是
四、转化法
证：设直线 的倾斜角为 过点P作PM∥ 轴交于M 显然所以
易得∠MPQ＝ （图2）或∠MPQ＝（图3）
在两种情况下都有所以
五、三角形法
证：P作PM∥ 轴交于M，过点P作PN∥ 轴交于N（图4）
由解法三知；同理得
在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高
六、参数方程法
证：过点作直线 交直线于点Q。(如图1)
由直线参数方程的几何意义知，将 代入 得
整理后得
当 时，我们讨论 与 的倾斜角的关系：
当 为锐角时 （）有（图2）
当 为钝角时 （）有（图3）
得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得
七、向量法
证：如图五，设直线的一个法向量，Q直线上任意一点，则。从而点P到直线的距离为：
附：
方案一：
设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d
方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，
由得.
所以，｜PＲ｜＝｜｜＝
｜PS｜＝｜｜＝
｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜
所以
可证明，当A=0时仍适用
图五