2.3.2圆的一般方程
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教案纸
课 题 2.3.2圆的一般方程 课型 新课
主备人 赵辉 上课教师 赵辉 上课时间 45 分钟
学习目标 讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径
教学重点 圆的一般方程的理解、应用
教学难点 圆的一般方程的理解
教师准备 多媒体教学
教学过程 集备修正
一、复习并引入新课 师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程． 生：(x－a)2+(y－b)2=r2． 师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？ 生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式． 师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？ 生A：是的． 生B：缺少条件A2+B3≠0． 师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？ (书写课题：“圆的一般方程”的探求) 二、新课 师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？ 生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得 x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0．(*) 师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？ 生A：不一定．还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式． 生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件． 师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？ 生：配方． 师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？ (放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．) 1．当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以 3．当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形． 教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程． 师：圆的一般方程有什么特点？ 生A：是关于x、y的二元二次方程． 师：刚才生A的说法对吗？ 生B：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程． 师：特殊在什么地方？ (通过争论与举反例后，由教师总结) 师：1．x2，y2系数相同，且不等于零． 2．没有xy这样的二次项． (追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？ 生：必要条件． 师：还缺什么？ 生：D2+E2－4F＞0． 练习：判断以下方程是否是圆的方程： ①x2+y2－2x+4y－4=0 ②2x2+2y2－12x+4y=0 ③x2+2y2－6x+4y－1=0 ④x2+y2－12x+6y+50=0 ⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0 ⑥x2+y2－12x+6y+F=0 三、应用举例 师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？ 生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程． 师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径． 生B：不用死记，配方即可． 师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择． 例1 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求圆心和半径． 分析 标准方程需定a，b，r；一般方程需定：Ｄ，E，F，显然在没有告诉半径或圆心的情况下选一般方程，解D，E，F时较为简单． 解法：设出一般方程，用待定系数法． 例2 一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(－4，0)和(4，0)，求它的外接圆方程． 解法一 设出一般方程，用待定系数法．(由三角形性质知：顶点为(0，5)) 解法二 设出标准式x2+(y－b)2=r2．(由三角形性质知：顶点为(0，5)，且圆心在y轴上)． 四、小结 注意一般式的特点：1°x2，y2系数相等且不为零；2°没有xy这样的项； 3°D2+E2－4F＞0． 另外，大家考虑：D2+E2－4F有点像什么？像判别式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式．如D、E确定了，则与F的变化有关． 五、作业： 1．求下列各圆的一般方程： ①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)； ②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)． 2．求下列各圆的圆心坐标和半径： ①x2+y2－2x－5=0 ②x2+y2+2x－4y－4=0 ③x2+y2+2ax＝0 ④x2+y2－2by－2b2＝0
作业 习题1-2A：13、14、15
板书
课后反思
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课 题 2.3.2圆的一般方程 课型 新课
主备人 赵辉 上课教师 赵辉 上课时间 45 分钟
学习目标 讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径
教学重点 圆的一般方程的理解、应用
教学难点 圆的一般方程的理解
教师准备 多媒体教学
教学过程 集备修正
一、复习并引入新课 师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程． 生：(x－a)2+(y－b)2=r2． 师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？ 生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式． 师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？ 生A：是的． 生B：缺少条件A2+B3≠0． 师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？ (书写课题：“圆的一般方程”的探求) 二、新课 师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？ 生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得 x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0．(*) 师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？ 生A：不一定．还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式． 生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件． 师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？ 生：配方． 师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？ (放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．) 1．当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以 3．当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形． 教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程． 师：圆的一般方程有什么特点？ 生A：是关于x、y的二元二次方程． 师：刚才生A的说法对吗？ 生B：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程． 师：特殊在什么地方？ (通过争论与举反例后，由教师总结) 师：1．x2，y2系数相同，且不等于零． 2．没有xy这样的二次项． (追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？ 生：必要条件． 师：还缺什么？ 生：D2+E2－4F＞0． 练习：判断以下方程是否是圆的方程： ①x2+y2－2x+4y－4=0 ②2x2+2y2－12x+4y=0 ③x2+2y2－6x+4y－1=0 ④x2+y2－12x+6y+50=0 ⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0 ⑥x2+y2－12x+6y+F=0 三、应用举例 师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？ 生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程． 师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径． 生B：不用死记，配方即可． 师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择． 例1 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求圆心和半径． 分析 标准方程需定a，b，r；一般方程需定：Ｄ，E，F，显然在没有告诉半径或圆心的情况下选一般方程，解D，E，F时较为简单． 解法：设出一般方程，用待定系数法． 例2 一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(－4，0)和(4，0)，求它的外接圆方程． 解法一 设出一般方程，用待定系数法．(由三角形性质知：顶点为(0，5)) 解法二 设出标准式x2+(y－b)2=r2．(由三角形性质知：顶点为(0，5)，且圆心在y轴上)． 四、小结 注意一般式的特点：1°x2，y2系数相等且不为零；2°没有xy这样的项； 3°D2+E2－4F＞0． 另外，大家考虑：D2+E2－4F有点像什么？像判别式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式．如D、E确定了，则与F的变化有关． 五、作业： 1．求下列各圆的一般方程： ①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)； ②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)． 2．求下列各圆的圆心坐标和半径： ①x2+y2－2x－5=0 ②x2+y2+2x－4y－4=0 ③x2+y2+2ax＝0 ④x2+y2－2by－2b2＝0
作业 习题1-2A：13、14、15
板书
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