1.5.1曲边梯形的面积
一、教学目标：
知识与技能：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点：
重点 掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、求极限
难点 对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解
三、教学过程：
1．创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？
这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）
2．新课讲授
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
例1：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？
（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．
把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．
解：
（1）．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为：
分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，，显然，
（2）近似代替
记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积为
==
==
从而得到的近似值
（4）取极限
分别将区间等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有
从数值上的变化趋势：
3．求曲边梯形面积的四个步骤:
第一步：分割．将分为等份，每份区间长为
第二步：近似代替，“以直代取”：，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.
第三步：求和：
第四步：取极限：
说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近
2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值
练习．求围成图形面积
解：1．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为：
分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，， 显然，
（2）近似代替
∵，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积为
==
=
=
从而得到的近似值
（4）取极限
练习
设S表示由曲线，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。
四：课堂小结
求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近 （“以直代曲”的思想）
五：教学后记
曲边梯形的面积（教案）
杭州市源清中学 徐骋
【教学目标】
1、知识与技能目标：
通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。理解求曲面梯形的一般步骤。
2、过程与方法目标：
通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：
体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
【教学重点】
求一般曲面梯形面积的方法。
【教学难点】
对以直代曲、无限逼近思想的理解。
【教学准备】
多媒体电脑、课件等。
【教学过程】
教学环节 教学内容 学生活动 教师活动
创设情景 问题一：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？比如浙江省的国土面积。此问题在学生九年级中已有涉及，在九年级时学生了解过以下求不规则面积的方法：方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”。。方法2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近。方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P足够大时，统计落入不规则图形中的点数A，则图形的面积与正方形面积的比约为。方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。 回顾初中所学内容。 讲评：其中方法1、2蕴含积分的基本思想，方法3用随机模拟的方法，称为“蒙特卡罗方法”，方法4是伽利略测量摆线与直线围成的面积是所用的方法。根据学生的程度选择性的讲评。
问题二：户型图不完全是不规则的，有一边是曲线，其他边是直线，提出房屋面积的测量问题。 比较两种不规则图形的区别 引导、揭示定义
提出概念 概念：如图，由直线x=a,x=b,x轴，曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。 熟悉定义 准确地叙述定义
引导探究 问题三：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况） 由学生已有的知识，提出观点。 投影。归纳学生的观点。
自主探究 探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ （分割） 提出自己的看法，同伴之间进行交流。 进行总结，分配任务。同时用几何画板演示。
探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。（近似代替）、（求和） 写出面积求和式。 ①巡视，给予指导，即时纠正学生中的运算错误。②及时实物投影。③比较三种求和式的优劣，规定近似代替的原则。
探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？ （取极限） 写出分割无限多时，相应的数学含义。 及时实物投影。
探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？（夹逼定理的意义） 发表自己的看法 总结，规范
问题四：如果不是在区间的两个端点取，而是在每一个区间中间取任意一点作为高，会有怎样的结果？ 交流、提出看法 归纳、总结，讲评。
应用新知 练习1：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。练习2：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。 自主完成 巡视、实物展示
归纳总结 1、对于一般曲边梯形，如何求面积？2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？
作业布置 学案与作业
曲边梯形的面积（学案）
杭州市源清中学 徐骋
【学习目标】
1、理解“以直代曲”的意义；
2、理解求曲边梯形面积的四个步骤；
3、了解“近似代替”时取点的任意性。
【课堂程序】
问题一：我们在小学、初中就学面图形面积的问题。有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积，比如浙江省的面积？
问题二：户型图不完全是不规则的，有一边是曲线，其他边是直线，这样的面积又该怎样得出？
概念：如图，由直线x=a,x=b,x轴，曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。
问题三：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？
【知识应用】
1、求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
2、求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
【总结归纳】
1、对于一般曲边梯形，如何求面积？
2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？
【曲边梯形的面积 作业】
1、求由y=x2＋1,和x=0,x=3,x轴围成的曲边梯形面积。
2、求由y=2x2＋1,和x=1,x=3,x轴围成的曲边梯形面积。
1.5.2汽车行驶的路程
一、教学目标：
知识与技能：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）
过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想
情感、态度与价值观：在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观
二、教学重点与难点：
重点 掌握过程步骤：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限
难点 过程的理解
三、教学过程：
1．创设情景
复习：1．连续函数的概念；
2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
2．新课讲授
问题：汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？
分析：由于=，为求S，求曲线与t=0 , 及t=1，所围成的面积,如图
解：1．分割
将区间等分成个小区间： ，，…，
记第个区间为，其长度为：
把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作：
，，…，， 显然，
（2）近似代替
当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，
==
==
从而得到的近似值
（4）取极限
当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤≤b内所作的位移．
例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．
解： 将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．
1．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为
把在分段，，…，上所作的功分别记作：
，，…，
（2）近似代替
有条件知：
（3）求和
=
从而得到的近似值
（4）取极限
所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为：
四：课堂小结
求汽车行驶的路程有关问题的过程．
五：教学后记
§ 1.5.2汽车行驶的路程
【教学目标】
1． 进一步熟悉用分割—近似代替—求和—取极限的思想求汽车行驶的路程．
【教学重点】分割—近似代替—求和—取极限的思想求汽车行驶的路程．
【教学难点】分割—近似代替—求和—取极限的思想求汽车行驶的路程．
【教学过程】
一、复习引入：
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
二、讲解新课：
问题：汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间分成个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得（单位：km）的近似值，最后让趋紧于无穷大就得到（单位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．
解：1．分割
在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…， 记第个区间为，其长度为
把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作：，，…，
显然，
（2）近似代替 当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动
即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，则有
①
（3）求和 由①得，
=
=
==
从而得到的近似值
（4）取极限
当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，
从而有
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积．
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤≤b内所作的位移．
三、课堂练习：
弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功
解： 将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．
1．分割 在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，
其长度为把在分段，，…，上所作的功分别记作：，，…，
（2）近似代替
由条件知：
（3）求和
=
从而得到的近似值
（4）取极限
所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为：
四、课堂小结：（略）
五、作业：（略）
§1.5.3定积分的概念
授课人：陈联沁 班级：高二(13) 时间：2007-12-10
教学目标：
1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；
2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；
3.理解掌握定积分的几何意义．
教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
复习：
1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
二．新课讲授
1．定积分的概念
一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，
其中积分号，－积分上限，－积分下限，－被积函数，－积分变量，－积分区间，－被积式。
说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）记为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分的几何意义。
说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号。
分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。
考察和式
不妨设
于是和式即为
阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？
3．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1；
性质2（定积分的线性性质）；
性质3（定积分的线性性质）；
性质4（定积分对积分区间的可加性）
(1) ； (2) ；
说明：①推广：
②推广:
③性质解释：
三．典例分析
例1．利用定积分的定义，计算的值。
分析：令；
（１）分割
把区间n等分，则第i个区间为：，每个小区间长度为：；
（２）近似代替、求和
取，则（３）取极限
.
例2．计算定积分
分析：所求定积分是所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为。
即：
思考：若改为计算定积分呢？
改变了积分上、下限，被积函数在上
出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）
例３．计算定积分
分析：利用定积分性质有，
利用定积分的定义分别求出，，就能得到的值。
四．课堂练习
计算下列定积分
1．
2．
3．课本练习：计算的值，并从几何上解释这个值表示什么？
五．回顾总结
1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．
六．布置作业
P50 3、5
性质4
性质1
1
2
y
x
O
x
x
x
1 x
1 x
y
1 x
y
y
图4
a
b
x
y
O
y=f(x)
图1
图4
a
b
x
y
O
y=f(x)
x
y
O
y=x2
图3
特别帮助：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)
t
O
v
1
EMBED Equation.DSMT4
PAGE
-16-1.6微积分基本定理
一、【学习目标】：
知识与技能：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感、态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、【复习引入】
定积分的概念及用定义计算
三、【创设情境】
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为，即___________________
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
__________________________________
而。
四、【新知探究】
微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式
一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
五、【例题精讲】
例1：计算下列定积分：
（1）； （2）。
例2：计算下列定积分：。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
例3：汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
六、【随堂练习】练习
七、【课堂小结】
八、【课后巩固】习题
1.6微积分基本定理
一、教学目标：
知识与技能：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感、态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、教学重点与难点：
重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义
三、教学过程：
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为，即
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=
而。
亦可如右解释：
对于一般函数，设，是否也有
若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
证明：因为=与都是的原函数，故
－=C（） 其中C为某一常数。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）； （2）。
解：（1）因为，
所以。
（2））因为，
所以
。
练习：计算
解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
===
例2．计算下列定积分：
。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为，
所以
，
，
.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四：课堂小结：
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
五：教学后记：
(a)
O
A(a)
B(b)
s (a)
s (b)
v(t)
(a)
2
451.4 生活中的优化问题举例
一、【学习目标】：
知识与技能：使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、【创设情境】
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
三、【新知探究】
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1．与几何有关的最值问题；
2．与物理学有关的最值问题；
3．与利润及其成本有关的最值问题；
4．效率最值问题。
解决优化问题的方法：
利用导数解决优化问题的基本思路：
四、【例题精讲】
例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
.
例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
例3：磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．
（1） 是不是越小，磁盘的存储量越大？
（2） 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
五、【随堂练习】
1．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
2．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
3．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
4．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．
5．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
6．有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？
六、【课堂小结】
1．利用导数解决优化问题的基本思路：
2．解决优化问题的方法：
七、【课后巩固】
1、2
§1.4生活中的优化问题举例（3课时）
一、教学目标：
知识与技能：使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点：
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
三、教学过程：
一）创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
二）新课讲授
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与物理学有关的最值问题；
3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
三）典例分析
例1．海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为
。 求导数，得
。令，解得舍去）。
于是宽为。
当时，<0；当时，>0.
因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是
令 解得 （舍去）
当时，；当时，．
当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
（2）半径为cm时，利润最大．
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．
当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小．
例3．磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．
（3） 是不是越小，磁盘的存储量越大？
（4） 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量 ×
（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．
（2）为求的最大值，计算．
令，解得
当时，；当时，．
因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
例4．汽油的使用效率何时最高
我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？
（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？
分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（单位：L），表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题．
通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系．
从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．
解：因为
这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90．
因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，约为 L．
例5．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积
．
令 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16 000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3
解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积
．（后面同解法一，略）
由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．
事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2, 由V=πR2h，得，则
S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2
令 +4πR=0
解得，R=，从而h====2
即h=2R, 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
提示：S=2+h=
V(R)=R=
)=0 ．
例6．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入，
利润
令，即，求得唯一的极值点
答：产量为84时，利润L最大
例7．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.
解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b
∴AD=h+b, ∴S= ①
∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b ②
由①得b=h,代入②,∴l=
l′==0,∴h=, 当h<时，l′<0,h>时，l′>0.
∴h=时，l取最小值，此时b=
例8．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．
【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x ＞0，y ＞0，
则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），
在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2．
设矩形的面积为S，则S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2．
由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x ＝，易知
x ＝是S在（0，2）上的极值点，
即是最大值点，
所以这种矩形中面积最大者的边长为和．
【点评】
应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．
练习：1：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，
由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有
y ＝×30＋×40，y′＝－＋20，
令y′＝0，得x ＝15，且y″＝，f″(15)＞0，
所以当x ＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，
故 当x ＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10（次）．
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．
2：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？
【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，
则CD ＝．
y ＝500（50－x）＋700＝25000－500 x ＋700，
y′＝－500＋700 · (x 2＋1600)· 2 x＝－500＋，
令y′＝0，解得x ＝．
答：水厂距甲距离为50－千米时，总费用最省．
【点评】
当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）．
四）课堂练习
1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积）
5．课本 练习
五）回顾总结
1．利用导数解决优化问题的基本思路：
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
六．布置作业
建立数学模型
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
_
x
_
x
_
60
_
60
x
x
建立数学模型
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
_
60
_
x
_
x
_
60
x
x1.7定积分的简单应用
一、【学习目标】
知识与技能：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感、态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、【复习引入】
1.求曲边梯形的思想方法是什么？
2.定积分的几何意义是什么？
3.微积分基本定理？
三、【例题精讲】
利用定积分求平面图形的面积
例1：计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
例2：计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
例3：求曲线与直线，轴所围成的图形面积。
总结：求曲边梯形面积的方法与步骤：
(1)
(2)
(3)
(4)
（二）、定积分在物理中应用
(1)求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即
例4：一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．
(2)变力作功：一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs .
探究：如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到
例5：如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ ）
A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J
四、【随堂练习】练习
五、【课堂小结】
六、【课后巩固】习题
定积分的简单应用
一、教学目标：知识与技能：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感、态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、教学重点与难点：
重点 曲边梯形面积的求法
难点 定积分求体积以及在物理中应用
三、教学过程：
1、复习
1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？
3、微积分基本定理是什么？
2、定积分的应用
（一）利用定积分求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：，所以两曲线的交点为（0，0）、
（1，1），面积S=，所以=
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线和所围成的图形的面积.
例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线与曲线的交点的横坐标，直线与 x 轴的交点．
解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．
解方程组 得直线与曲线的交点的坐标为（8,4) .
直线与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2
由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．
例3.求曲线与直线
轴所围成的图形面积。
答案：
练习
1、求直线与抛物线所围成的图形面积。
答案：
2、求由抛物线及其在点M（0，－3）
和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
略解：，切线方程分别为、
，则所求图形的面积为
3、求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为
4、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲
线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程.
略解：如图由题可设切点坐标为，则切线方程
为，切线与轴的交点坐标为
，则由题可知有
，所以切点坐标与切线方程分别为
总结：1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即.
因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数的图像与轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.
2、求曲边梯形面积的方法与步骤：
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
2．求平面曲线的弧长
设曲线AB方程为，函数在区间上可导，且连续，则曲线AB的弧长为 .
3．求旋转体的体积和侧面积
由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积为.
其侧面积为.
（二）、定积分在物理中应用
(1)求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即
例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．
解：由速度一时间曲线可知：
因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：
答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .
2．变力作功
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs .
探究
如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到
例5．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx ,
其中常数 k 是比例系数．
由变力作功公式，得到
答：克服弹力所作的功为.
例6．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求
（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间。
分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即
略解：（1）设A到C的时间为t1则1.2t=24, t1=20(s),则AC＝
（2）设D到B的时间为t21则24-1.2t2=0, t21=20(s),
则DB＝
（3）CD=7200-2240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s）
例3：如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ A ）
A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J
略解：设，则由题可得，所以做功就是求定积分。
练习：
四：课堂小结
本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。
五:教后反思
y=x2
EMBED Equation.DSMT4
O
x
y
o
x
y
x
y
o
y=－x2+4x-3
x
x
O
y=x2
A
B
C
PAGE
- 47 -1.5.1曲边梯形的面积
一、【学习目标】：
知识与技能：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、【创设情境】
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？
连续函数的定义：如果函数_______________上的图像是一条______________的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
三、【新知探究】
例:求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？
（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？
四、【课堂小结】
求曲边梯形面积的四个步骤:
五、【课后巩固】
练习
1.5.1曲边梯形的面积
一、教学目标：
知识与技能：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点：
重点 掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、求极限
难点 对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解
三、教学过程：
1．创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？
这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）
2．新课讲授
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
例1：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？
（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．
把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．
解：
（1）．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为：
分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，，显然，
（2）近似代替
记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积为
==
==
从而得到的近似值
（4）取极限
分别将区间等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有
从数值上的变化趋势：
3．求曲边梯形面积的四个步骤:
第一步：分割．将分为等份，每份区间长为
第二步：近似代替，“以直代取”：，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.
第三步：求和：
第四步：取极限：
说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近
2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值
练习．求围成图形面积
解：1．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为：
分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，， 显然，
（2）近似代替
∵，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积为
==
=
=
从而得到的近似值
（4）取极限
练习
设S表示由曲线，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。
四：课堂小结
求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近 （“以直代曲”的思想）
五：教学后记
1.5.2 汽车行驶的路程
一、【学习目标】：
知识与技能：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）
过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想
情感、态度与价值观：在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观
二、【复习引入】
1．连续函数的概念；
2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
三、【新知探究】
问题：汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？
解：1．分割
2．近似代替
3．求和
4．取极限
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤≤b内所作的位移．
四、【随堂练习】
弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．
五、【课堂小结】
六、【课后巩固】
练习2
1.5.2 汽车行驶的路程
一、教学目标：
知识与技能：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）
过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想
情感、态度与价值观：在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观
二、教学重点与难点：
重点 掌握过程步骤：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限
难点 过程的理解
三、教学过程：
1．复习：1．连续函数的概念；
2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
2．新课讲授
问题：汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？
分析：由于=，为求S，求曲线与t=0 , 及t=1，所围成的面积,如图
解：1．分割
将区间等分成个小区间： ，，…，
记第个区间为，其长度为：
把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作：
，，…，， 显然，
（2）近似代替
当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，
==
==
从而得到的近似值
（4）取极限
当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤≤b内所作的位移．
例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．
解： 将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．
1．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为
把在分段，，…，上所作的功分别记作：
，，…，
（2）近似代替
有条件知：
（3）求和
=
从而得到的近似值
（4）取极限
所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为：
四：课堂小结
1.5.3定积分的概念
一、【学习目标】：
1．通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；
2．借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；
3．理解掌握定积分的几何意义．
二、【复习引入】
1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）
2．对这四个步骤再加以分析、理解、归纳，抽象出共同点．
三、【新知探究】
1．定积分的概念：
2．定积分的几何意义：
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？
3．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
（1）
（2）
（3）
四、【例题精讲】
例1：利用定积分的定义，计算的值。
例2：计算的值。
例3：计算的值。
五、【随堂练习】
计算下列定积分
1．
2．
六、【课堂小结】
七、【课后巩固】
练习、 A 4、5
§1.5.3定积分的概念
授课人：陈联沁 班级：高二(13) 时间：2007-12-10
教学目标：
1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；
2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；
3.理解掌握定积分的几何意义．
教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
复习：
1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
二．新课讲授
1．定积分的概念
一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，
其中积分号，－积分上限，－积分下限，－被积函数，－积分变量，－积分区间，－被积式。
说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）记为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分的几何意义。
说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号。
分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。
考察和式
不妨设
于是和式即为
阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？
3．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1；
性质2（定积分的线性性质）；
性质3（定积分的线性性质）；
性质4（定积分对积分区间的可加性）
(1) ； (2) ；
说明：①推广：
②推广:
③性质解释：
三．典例分析
例1．利用定积分的定义，计算的值。
分析：令；
（１）分割
把区间n等分，则第i个区间为：，每个小区间长度为：；
（２）近似代替、求和
取，则（３）取极限
.
例2．计算定积分
分析：所求定积分是所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为。
即：
思考：若改为计算定积分呢？
改变了积分上、下限，被积函数在上
出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）
例３．计算定积分
分析：利用定积分性质有，
利用定积分的定义分别求出，，就能得到的值。
四．课堂练习
计算下列定积分
1．
2．
3．课本练习：计算的值，并从几何上解释这个值表示什么？
五．回顾总结
1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．
六．布置作业
P50 3、5
1
性质1
性质4
EMBED Equation.DSMT4
1
v
O
t
x
x
x
1 x
1 x
y
1 x
y
y
y
y
1 x
y
1 x
1 x
x
x
x
2
y
x
O
