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3．4 实际问题与一元一次方程
教学目标：
1、使学生会列一元一次方程解有关应用题.
2、培养学生分析解决实际问题的能力. 21世纪教育网
复习引入：
1、在小学里我们学过有关工程问题的应用题，这类应用题中一般有工作总量、工作时间、工作效率这三个量. 这三个量的关系是：
（1）__________ （2）_________ （3）_________
人们常规定工程问题中的工作总量为______.
2、由以上公式可知：一件工作，甲用a小时完成，则甲的工作量可看成________，工作时间是________，工作效率是_______. 若这件工作甲用6小时完成，则甲的工作效率是_______.
讲授新课：
1、例题讲解：
一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成.
问：甲乙合做，需几小时完成这件工作？
（1）首先由一名至两名学生阅读题目.
（2）引导
Ⅰ:这道题目的已知条件是什么？
Ⅱ：这道题目要求什么问题？
Ⅲ：这道题目的相等关系是什么？
（3）由一学生口头设出求知数，并列出方程，师生共同解答；同时教师在黑板上写出解题过程，形成板书.
2、练习：
有一个蓄水池，装有甲、乙、丙三个进水管，单独开甲管，6分钟可注满空水池；单独开乙管，12分钟可注满空水池；单独开丙管，18分钟可注满空水池，如果甲、乙、丙三管齐开，需几分钟可注满空水池？ 21世纪教育网
此题的处理方法：
Ⅰ：先由一名学生阅读题目；
Ⅱ：然后由两名学生板演；
3、变式练习：
丙管改为排水管，且单独开丙管18分钟可把满池的水放完，问三管齐开，几分钟可注满空水池？要求学生口头列出方程.
4、继续讲解例题
一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成.
若甲先单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做，问：还需几小时完成？ 21世纪教育网
（1）先由学生阅读题目
（2）引导：
Ⅰ:这道题目的已知条件是什么？
Ⅱ：这道题目要求什么问题？
Ⅲ：这道题目的相等关系是什么？
（3）由一学生口头设出求知数，并列出方程，师生共同解答；同时教师在黑板上写出解题过程，形成板书.
5、练习：
（1）一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成.
若乙先做2小时，然后由甲、乙合做，问还需几小时完成？
（2）一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做15小时完成，若先由甲、丙合做5小时，然后由甲、乙合做，问还需几天完成？
以上两题的处理方法：
Ⅰ：先由两名学生阅读题目；
Ⅱ：然后由两名学生板演；
Ⅲ：其他学生任选一题完成.
Ⅴ：评讲后对第一题提出：这项工程共需几天完成？
Ⅵ：第一题还可根据什么等量关系列出方程呢？根据此相等关系列出方程（学生口答）.
6、编应用题：
（1）根据方程：3/12+x/12+x/6=1，编应用题.
（2）事由：打一份稿件.
条件：现在甲、乙两名打字员，若甲单独打这份稿件需6小时打完，若乙单独打这份稿件需12小时打完.
要求：甲、乙两名打字员都要参与打字，并且要打完这份稿件.
处理方法：由学生编出应用题，并设出未知数，列出方程. 21世纪教育网21世纪教育网
课堂总结：
工程问题中的三个量的关系.
课堂作业：
见作业本
选做题：
一件工作，甲单独做6小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做18小时完成，若先由甲、乙合做3小时，然后由乙丙合做，问共需几小时完成
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课题： 第三章 一元一次方程小结
教学任务分析
教学[来源:21世纪教育网]目标 知识技能 通过回顾与思考，使学生有目的地梳理所学的知识，形成知识体系
数学思考 使学生反思知识获得的过程，形成自己对所学知识较为深刻、独特的理解
解决问题 提高自己的归纳、概括等能力，形成反思的意识
情感态度 通过应用举例，充分展示数学美与自然美之间完美的结合，提高学生的审美情趣，激发学习热情
重点 掌握一元一次方程的解法步骤，灵活地进行方程变形
难点21世纪教育网 能运用方程解决实际问题
板书设计
课题 一元一次方程小结
课后小结[来源:21世纪教育网] 本章知识结构图 实际问题 数学问题（一元一次方程） 解方程 检验实际问题的答案 数学问题的解（x = a）
教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
回顾与思考方程是刻画现实世界的有效数学模型，运用方程解决问题，关键是分析问题中的数量关系，找出其中能表示题目全部含义的相等关系.在寻找相等关系中，一种是明显的相等关系，它是通过问题中的一些关键性词语表现出来的；另一种是隐晦的相等关系，必须在审题时，分析题意而得到，有时我们可以借助图表等分析.在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义，你怎样判断一个方程的解是否符合要求？ 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1. 学生与教师一起回忆本章的学习内容，找出关键内容 培养学生边学习边反思的学习习惯
教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
例题例1 解方程 （3x－6）= x － 3 解法1：去分母，得 5（3x－6）= 12x －90去括号，得 15x －30 = 12x －90 移项，合并得 3x = －60系数化为1，得 x = －20 例2 一家游泳馆每年6~8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元，试讨论并回答：什么情况下，购会员证与不购证付一样的钱？什么情况下，购会员证比不购证更合算？什么情况下，不购会员证比购证更合算？分析：这是一个探索性问题，购会员证合算，还是不购证合算，这与进入游泳馆的次数有关，我们可以用方程解决这个问题. 学生自己做并找一名学生在黑板上做并讲解21世纪教育网[来源:21世纪教育网]学生先思考、讨论然后回答，如何解决此问题 培养学生良好的学习习惯培养学生解决实际问题的能力
教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
解：（1）设在6~8月期间共购x张入场卷，购会员证与不购证付一样的钱. 购会员证：x张入场券共需费用是（80＋x）元； 不购会员证：x张入场券共需费用是3x元.根据相等关系，列方程80＋x = 3x 解方程，得 x = 40 所以在6~8月期间，共购入场券40张时，购会员证与不购会员证付一样的钱.（2）购入场券多于40张时，购会员证比不购证合算.（3）购入场券小于40张时，不购会员证比购证合算. 与学生一起探讨解题过程，寻求最佳方案 培养学生的方程思想
练习与作业
1、 解下列方程
（1）3（x－1）＋2（x＋1）= －6
（2）
（3）
2、儿子今年13岁，父亲今年40岁，父亲的年龄可能是儿子4倍吗？
3、一人从家走到汽车站，第一小时走了3千米，他看了一下表，估计按
这个速度要迟到40分钟，因此，他以每小时4千米的速度走剩下的路，
结果反而提前45分钟到达，求此人的家到汽车站的距离？
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课题： 3.2 一元一次方程的讨论（1）
教学目标 ①经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．②学会合并（同类项），会解“ax＋bx=c”类型的一元一次方程．③能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程．④初步体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化。
教学难点 分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程
知识重点 建立方程解决实际问题，会解 “ax＋bx=c”类型的一元一次方程
教学过程（师生活动） 设计理念
设置情境提出问题 （出示背景资料）约公元825年，中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》．“对消”与“还原”是什么意思呢？通过下面几节课的学习讨论，相信同学们一定能回答这个问题． 出示问题1：某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。前年这个学校购买了多少台计算机？ 本节引子与上一节的“阅读与思考”相呼应，同时提出下面几节要讨论的内容，起到承上启下的作用，又有助于增加学习数学的兴趣，扩大知识面，感受数学的历史和文化的陶冶，提高数学紊养． 以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系．
探索分析解决问题 引导学生回忆：设问1：如何列方程？分哪些步骤？师生讨论分析：设未知数：前年购买计算机x台21世纪教育网找相等关系：前年购买量＋去年购买量＋今年购买量=140台列方程：x＋2x＋4x=140设问2：怎样解这个方程？如何将这个方程转化为x=a的形式？学生观察、思考：21世纪教育网根据分配律，可以把含 x的项合并，即x＋2x＋4x=（1＋2＋4）x=7x老师板演解方程过程：（略）为帮助有困难的学生理解，可以在上述过程中标上箭头和框图。设问3：以上解方程“合并”起了什么作用？每一步的根据是什么？学生讨论、回答，师生共同整理：“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x=a的形式。 指明解题思路，强化本章的中心问题分析到位，渗透模型化的思想。初步渗秀化归思想。为使解方程的主线更连续，这里暂不提“同类项”一词，淡化名称。使学生养成说理的习惯。
课堂练习 学生练习课本上练习1、2
拓广探索比较分析 对于问题1还有不同的未知数的设法吗？学生思考回答：若设去年购买计算机x台，得方程若设今年购买计算机x台，得方程21世纪教育网 尝试不同解法，培养发散思维和择优意识。
综合应用巩固提高 一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3：5，问黑色皮块有多少？学生思考、讨论出多种解法，师生共同讲评。 解决实际问题，体验数学来源于实践，又服务于实践的意义。
小结与作业
课堂小结 提问：你今天学习的解方程有哪些步骤，每一步依据是什么？今天讨论的问题中的相等关系有何共同特点？学生思考后回答、整理：解方程的步骤及依据分别是：合并和系数化为1总量=各部分量的和 以问题的形出现，引导学生思考、交流，梳理所学知识。训练学生的口头表达能力，养成及时归纳总结的良好学习习惯。
本课作业 必做题：课本习题中1、3①②、4、6选做题：在一卷古埃及草卷 中，记载着这样一个数学问题“啊哈 ，它的全部，与它的，其和等于19。”你能求这问题中的他吗？阅读诗文：三百一十五里关，初行健步并不难。次日脚痛减一半，六朝才得至其返。欲问每朝行数里，请公仔细算相还。 感受数学文化
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
本课设计体现教科书的编写意图，抓住方程这条主线，突出方程的讨论，带动有关预备知识的学习．将与一元一次方程有关的整式概念分散于解方程的过程之中，回避了代数式、同类项等概念，淡化了系数的概念，对它们采用“够用即可”的处理方式．练习题、作业题的设计也体现这一用意，突出方程的实际应用价值． 在重视方程的应用价值的同时关注其文化内涵．以在数学史上对解方程颇有影响的一部著作，即生活在约780~850年间的阿拉伯数学家阿尔一花拉子米所著的《对消与还原》一书，提问“对消”与“还原”是什么意思，作为后面要讨论的内容的引子．在作业题中加人埃及纸莎草文书中的问题以及古诗题，向学生介绍古今中外的数学，使学生在数学知识和能力得到提高的同时能够感受到数学文化的熏陶．
课题： 3.2.2 一元一次方程的讨论（1）第2课时
教学目标 1、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性．2、掌握移项方法，学会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想．
教学难点 分析实际问题中的相等关系，列出方程
知识重点 建立方程解决实际问题，会解 “ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程
教学过程（师生活动） 设计理念
提出问题 出示问题2：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？ 以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系．
分析问题 引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路．学生讨论、分析：1、设未知数：设这个班有x名学生2、找相等关系： 这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等．3、列方程：3x＋20=4x-25 … (1) 设问1：怎样解这个方程？它与上节课遇到的方程有何不同？ 学生讨论后发现：方程的两边都有含x的项（3x与4x)和不含字母的常数项（20与－25）． 设问2：怎样才能使它向x=a的形式转化呢？ 学生思考、探索：为使方程的右边没有含x的项，等号两边同减去4x，为使方程的左边没有常数项，等号两边同减去20. 3x－4x=－25－20… （2） 设问3：以上变形依据是什么？ 等式的性质1。 归纳：像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。师生共同完成解答过程。设问4：以上解方程中“移项”起了什么作用？学生讨论、回答，师生共同整理：通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式。 进一步渗透模型化的思想引发学生认知上的冲突，寻求解决途径。在此结合例子解释“项”，没有正式给出项的定义，为突出方程主线，这里不做更多补充，学生可以自然接受。再次渗透化归思想。培养学生说理有据，画框图、标箭头，辅助学生分析。通过观察结果强调“变号”这一特点。使学生认识到移项法则是由于解方程的需要有依据地产生的，在理解基础上记忆法则。
课堂练习 学生练习课本上练习
拓广探索比较分析 对于问题1还有不同的未知数的设法吗？学生思考回答：若设去年购买计算机x台，得方程若设今年购买计算机x台，得方程 及时巩固、反馈
综合应用巩固提高 现在你能解习题第6题吗？有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果送还 和了一条船 ，正每条船坐9人，问这个班共多少同学？ 通完成这部分题，使学生熟悉应用一元一次方程解决实际问题的一般过程，掌握解题的正常程序，不断提高自己分析问题的能力
小结与作业
课堂小结 提问：今天你又学会了解方程的哪些方法？有哪些步聚？每一步的依据是什么？现在你能回答前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”是什么意思吗？今天讨论的问题中的相等关系又有何共同特点？学生思考后回答、整理：解方程的步骤及依据分别是：移项（等式的性质1）合并（分配律）系数化为1（等式的性质2）“对消”与“还原”就是“合并”与“移项”表示同一量的两个不同式子相等。 使学生能理解解方程的目标，，体会解法中蕴含 的程序化思想。21世纪教育网
布置作业 必做题：课本习题第2、3（3）（4）、7、8题选做题：将一块长、宽、高分别为4厘米、2厘米、3厘米的长方体橡皮泥捏成一个底面半径为2厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到0.1厘米， 分层次布置作业。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
本课时同样结合实际问题讨论一元一次方程的解法，注重算理，创设未知向已知转化的条件以及解法中化归思想的渗透，为使学生能观察分析出方程中的某一项在移项前后的变化，画框图、标箭头，辅助学生分析;为使学生对本节中“表示同一量的两个不同式子相等”这个基本的相等关系巩固理解，补充课堂练习及课外选做题，给他们一定的时间和空间，相互合作，自主探究，增强实践能力。 通过这两节的学习，使学生学会解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵程序化的思想，而一元一次方程是最基本的代数方程，对它的理解和掌握对后续学习（其他的方程及不等式、函数等）具有重要的基础作用。因此教学中应注意基础内容的分析归纳，并通过设置必要有练习来落实基础知识和基本技能，使得基础知识和基本技能在学生头脑中留下较深刻的印象是很有必要的。
课题： 3.2.3 一元一次方程的讨论（1）第3课时
教学目标 1、经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、分析和解决问题的能力。2、学会探索数列中的规律，建立等量关系。3、能正确地求解一元一次方程并判断解的合理性。
教学难点 探索并发现实际问题中的等量关系，并列出方程
知识重点 建立一元一次方程解决实际问题。
教学过程（师生活动） 设计理念
创设情境提出问题 前几节课，我们讨论了用一元一次方程解决一些实际问题，其实许多数列、游戏活动中也蕴含着方程知识。出示例1：有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243……其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？ 本例是有关数列的数学问题，题要求出三个未知数，与前几节不同的是，问题中没有明确未知数之间的联系，需要学生观察发现它们的排列规律，问题具有一定的挑战性，能激发学生探索的规律
分析问题 引导学生观察这列数有什么规律？（从符号和绝对值两方面）学生讨论后发现：后面一个数是前一个数的－3倍。师生共同分析，完成解答过程：解：设这三个相邻数中的第一个数为x,则第2个数为－3x，第3个数为－3×(－3x)=9x根据这三个数的和是－1710，得x－3x＋9x=－1710合并，得7x=－243所以－3x=7299x=－2187答：这三个数是－243、729、－2187引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键。学生讨论、分析：探索规律，找出相等关系 如有学生提出不同的设未知数的方法，同样给予鼓励。 通过讨论让学生认识到：用一元一次方程解含多个未知数的问题时，通常先设其中一个为x，再根据其他未知数与x的关系，用含x的式表示这些未知数。完整的解题过程的呈现，利于培养学生有条理地思考与表达。
课堂练习 三个连续的奇数的和是27，求这三个奇数。如果三个连续奇数的和是29，你能求出这三个奇数吗？ 使学生培养检验方程的合理性的习惯。
综合应用巩固提高 在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天的日期的数字之和是39.培训时间是连续的三天，你知道这几天分别是当月的哪几号吗？若培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是当月的哪几号？学生练习，讲评。 选择更结合实际，更贴近学生生活的问题，引导学生用一元一次方程分析和解决它们，增强数学的应用意识。
小结与作业
课堂小结 提问：你是怎样分析数列中的规律的？你学会判明方程的解是否合理吗？试用自己的话概括“用一元一次方程分析和解决实际问题”的一般过程。学生思考、讨论、整理。 使学生对“应用一元一次方程解决实际问题”有较全面、理性的认识，进一步体会模型化的思想。
布置作业 必做题：（1）课本习题第5、9题 （2）三个连续偶数的和是30，求这三个偶数。选做题：小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：“我用笔圈出了2×2的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？”你能帮小红解决吗？
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
从课程标准看，在前面学段中已经有关于简单方程的内容，学生已经对方程有了初步的认识，会用方程表示简单情境中的数量关系，会解简单的方程，即对于方程的历了入门阶段，具备了一定的感性认识基础，这些基本的、朴素的认识为进一步学习方程奠定了基础。在前几节的教学中，充分注意方程的现实背景，加深学生对方程是解决现实问题的一种重要工具的认识。本课例引导学生经历探索数列、游戏活动中数字排列的规律，确立相等关系，列出方程，分析方程解的合理性的过程，从另一个角度加强了学生对应用方程解决问题的模型化的认识。
课题： 3.2.4从古老的代数书说起一元一次方程的讨论（1）
教学目标 经历由实际问题抽象为方程模型的过程，进一步体会模型化的思想。通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值，提高分析问题，解决问题的能力。
教学难点 探究实际问题与一元一次方程的关系。
知识重点 建立一元一次方程解决实际问题
教学过程（师生活动） 设计理念
创设情境提出问题 信息社会，人们沟通交流方式多样化，移动电话已很普及，选择经济实惠的收费方式很有理实意义。 出示例2;观察下列两种移动电话计费方式表：全球通神州行月租费50元/月0本地通话费0.40元/分0.60元/分设计以下问题：你能从中表中获得哪些信息，试用自己的话说说。猜一猜，使用哪一种计费方式合算？一个月内在本地通话200分和300分，按两种计费方式各需交费多少元？对于某个本地通通话时间，会出现两种计费方式的收费一样的情况吗？ 本例是一道与生活相关的移动电话收费的问题，让学生讨论选择经济实惠的收费方式很有现实意义。理解问题是本身是列方程的基础，本例是通过表格形式给出已知数据的，通过设计问题1、2、3让学生展开讨论，帮助理解，培养学生的读题能力和收集信息的能力。
探索分析解决问题 学生充分交流讨论、整理归纳解：1、用“全球通”每月收月租费50元，此外根据累计通话时间按0.40元/分加收通话费;用“神州行”不收月租费，根据累计通话时间按0.60元/分收通话费。不一定，具体由当月累计通话时间决定。3、全球通神州行200分130元120元300分170元180元设累计通话t分，则用“全球通”要收费（50+0.4t）元，用“神州行”要收费0.6t元，如果两种计费方式的收费一样，则0.6t=50+0.4t 移项得 0.6t－0.4t=50 合并，得0.2t=50 系数化为1，得t=250答：如果一个月内通话250分，那么两种计费方式的收费相同。 问题2是开放性的，答案与通话时间有关以表格的形式呈现数据，简单明了，易于比较。通过探究实际问题与一元一次方程的关系，提高分析问题，解决问题的能力。
综合应用巩固提高 一个周末，王老师等3名教师带着若干名学生外出考察旅游（旅费统一支付），联系了标价相同的两家旅游公司，经洽谈，甲公司给出的优惠条件是：教师全部付费，学生按七五折付费;乙公司给的优惠条件是：全部师生按八折付费，请你参谋参谋，选择哪家公司较省钱？学生练习，教师巡视，指导，讨论解是否合理 开放题学生在现实的、富有挑战性的问题情境中多种角度认识问题，多种策略思考问题，尝试解释答案的合理性，培养探索精神和创新意识
课堂小结知识梳理 小组讨论，试用框图概括“用一元一次方程分析和解决实际问题”的基本过程 学生思考、讨论、整理。21世纪教育网 这是第一次比较完整地用框图反映实际问题与一元一次方程的关系。让学生结合自己的解题过程概括整理，帮助理解，培养模型化的思想和应用数学于现实生活的意识。
小结与作业
布置作业自我评价 必做题：习题第2题。一个两位数，个位数字是十位数字的3倍，如果把个位数字与十位数字对调，那么得到的新数比原数大54，求原来的两位数。选做：某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15个人没有座位，如果租用相同数量60座的客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
课程改革的目的之一是促进学习方式的转变，加强学习的主动性和探究性，本章内容涉及大量的实际问题，丰富多彩的问题情境和解决实际问题的快乐更容易激起学生对数学的兴趣，在本节中，引导学生从身边的移动电话收费，旅游费用等问题展开探究，使学生在现实、富有挑战性的问题情境中经历多角度认识问题，多种策略思考问题，尝试解释答案的合性的活动，培养探索精神和创新意识。 在前面几节学习中，已经对利用一元一次方程解决问题的基本过程进行多次渗透，逐步细化，本节要求学生用框图概括，使学生对“应用一元一次方程解决实际问题”有较理性的认识，进一步体会模型化的思想。
实际问题
一元一次方程
设未知数 列方程
实际问题题
列方程
数学问题
（一元一次方程）
实际问题的答案
数学问题的解
检验
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3.1从算式到方程（一）
——一元一次方程
一、教材分析
1．教学目标、重点、难点．
教学目标：
（1）了解什么是方程，什么是一元一次方程．
（2）会用未知数表示生活中的数量关系．
（3）体会用字母表示数的优越性．
重点：知道什么是方程，什么是一元一次方程．
难点：方程的意义和一元一次方程的意义．
2．例、习题的意图
本节课的知识点有三个：
知识点1 通过实例体会方程是研究数量关系的重要数学模型．
方程的学习是初中数学中极其重要的基础知识，它的应用十分广泛，也是今后学习相关学科，如物理、化学等知识的重要工具，因此，使学生学会利用方程的模型去解决实际问题的方法十分重要．
例1中的两个问题的提出，目的是让学生亲身体验两种解法，算术方法和列方程（代数法）方法解决问题，其思维方向是不同的，感受两种解题中，列方程更便于思考，尤其是问题2体现的更加明显，使学生认识到引进未知数列方程解决实际问题的必要性，这是数学的一个进步．
教材P69的思考，利用不同的相等关系还可以有不同的列方程的方法，可根据学生实际情况，教师带领学生完成，不必让学生在思考相等关系上耽误很长时间．
采用填空方法列式，继而列方程是在引导学生得到结论，重点应放在从算式到方程这是一个进步，而不是放在如何列方程上．
知识点2 方程的意义．
例2（补充题）由实际问题引出方程的概念后，为使学生对方程概念有一个准确的认识，补充这个例题． 判断下列各式哪些是等式，哪些是方程，并说出为什么？使学生能正确的认识什么是等式，什么是方程，培养学生的观察能力和言必有据的良好学习习惯．
知识点3 一元一次方程的意义．
借助例2引出一元一次方程的意义，在具体题目中，注意培养学生的说理能力．
例3（补充题）巩固一元一次方程的概念，求某些未知数的值．
3．认知难点及突破方法
教学难点之一是方程的概念，应使学生在具体问题中，分清什么是等式，什么是方程，建立起等式不一定是方程，但方程一定是等式的正确认识．
教学难点之二是一元一次方程的概念，应紧紧抓住一元一次方程的概念，引导学生通过观察、比较、学生之间的交流，来认识什么是一元一次方程．
二、新课引入
填空：
1、 小明的体重是11公斤，爸爸的体重是小明体重的7倍少1，爸爸的体重是 76 公斤，如果小明的体重是公斤，那么爸爸的体重是 公斤．
2、 从王家庄到青山的路程是千米，汽车行驶需2小时，则汽车的速度可以表示为千米/时．
三、例题讲解
例1 问题1 （补充题） 小明爸爸的体重是76公斤，他比小明体重的7倍少1公斤，你知道小明的体重是多少公斤吗？不限解法，说出你的思考．
用算术解法： （公斤）．
用方程解法（即代数法）：设未知数，找相等关系，列方程求解．
此题的相等关系是：爸爸的体重＝小明体重的7倍－1．
解：设小明体重为公斤，根据题意，得 ，解得．
答：小明的体重是11公斤．
让学生比较两种解法思维方式有什么不同？哪种解法更便于思考？
算术法属于逆向思维，列方程（代数法）属于顺向思维，未知数作为已知数直接参与列式，方程解法从思维方式上直接，更便于思考，所以说方程解法优于算术解法（可能会有一部分学生说算术解法更好，这里不能强加给学生这个结论，随即引出问题2，让学生自己去感受）．
问题2：教材P68章前图中的问题．
引导学生搜集表中的信息：王家庄到青山需3小时，青山到秀水需2小时，王家庄到秀水需5小时；搜集图中的信息：青山距翠湖50千米，翠湖距秀水70千米，青山距秀水120千米．
用算术法解，可由汽车从青山到秀水用2个小时及两地相距50＋70＝120千米，得到汽车的时速为（千米），进而得出王家庄距离秀水共（3＋2）×60＝300（千米），最终求出王家庄距翠湖300－70＝230（千米），列综合算式为：（50＋70）÷2×（3＋2）－70＝230（千米），还有其它列式方法请学生课下完成，在这不必耽误更多时间，重点放在下面的用方程方法上．
用方程（代数法）解，用教材P68填空部分，引导学生列方程． 注意利用书上的示意图，帮助学生理解问题，直接设未知数，利用汽车匀速行驶，各段路程的车速是相等的这个关系列方程，得．
以后我们将学习如何求出这个方程中的未知数，从而得出王家庄到翠湖的路程．
教材P69思考栏目，带领学生完成．
也可以利用：“路程比等于时间比”这个相等关系列方程，得．
若间接设未知数，王家庄到青山的路程为千米，则根据题意，得
．也可以利用：“路程比等于时间比”这个相等关系列方程，得．
注意：各种列方程的方法，可结合学生实际情况，如果学生有困难，教师要带领学生得出，以便控制课堂时间，重点应放在对方程解法的感受上．
问题2中对两种解法（算术解法和方程解法）比较其思维方式的优劣，得出用方程解决问题更直接，更便于思考．
归纳为：
设未知数 列方程21世纪教育网
实际问题 一元一次方程
注意收集题目中所提供的表格、图形信息，多角度全面思考问题．
本章我们将学习一元一次方程．
1．方程的意义：列方程时，要先设字母表示未知数（一般用），然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式，这样的等式叫做方程．
注意：等式是含有等号的式子． （这里的等式指只含一个等号的式子）
方程满足两个条件
例2（补充题）下列各式哪些是等式，哪些方程，为什么？
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）．
分析：解这个题目可根据方程的意义来判断． 含有未知数的等式叫做方程，否则就不是方程． 21世纪教育网
培养学生细心观察，言必有据的良好学习习惯．[来源:21世纪教育网]
答案：（1）不是等式，所以也不是方程，因为只有运算关系没有相等关系．（2）是等式，但不是方程，因为虽然是等式但不含有未知数．（3）是等式，也是方程．（4）是等式，也是方程．（5）不是等式，所以也不是方程．（6）是等式，也是方程．（7）是等式，也是方程．（8）是等式，也是方程．（9）是等式，也是方程．
可以进一步让学生指明方程中的未知数是什么？
2．一元一次方程的意义：只含有一个未知数（元），且未知数的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程．
注意：一元一次方程首先是方程，其次一元指一个未知数，这里不考虑同一个未知数出现了几次，且未知数的最高指数是1次．
再来看前面例1（一题多用），我们从方程中选出一元一次方程是第（3）、（6）、（7）；方程（4）含有两个未知数和；方程（8）未知数的最高次数不是1；方程（7）中的，底数不是未知数，其次数与未知数的次数无关；方程(9)未知数在分母，不是一元一次方程，今后我们再研究它是什么方程．
回顾前面例1中的问题1和问题2，所列的方程是什么方程？21世纪教育网
例3※（补充题）已知关于的方程是一元一次方程，求的值．
分析：由一元一次方程的意义，只有，即，得．
解：略．
四、随堂练习
1、(补充题)选择题：
（1）下列各式中，是方程的是（ ）．
A． B． C． D．
(2 ) 在方程，，，, ，中，是一元一次方程的有（ ）个．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
2．（补充题）七年级一班全体学生去旅游，租车每人交20元，还差19元；每人交21元，又多18元，设该班有名学生，可用式子_____________或______________表示租车的费用，并列方程为________________．
答案：1．（1）D； （2）B．
2． ；；2．
五、课后练习[来源:21世纪教育网]
1．（补充题）指出下列方程中的未知数是什么，方程的左边是什么，方程的右边是什么？并且判断它是否是一元一次方程？
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）．
2． （补充题）方程 是一元一次方程，则等于（ ）．
A． B． C． D．
3． （补充题）若关于的方程是一元一次方程，则、的取值是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（补充题）甲厂有某种原料120吨，乙厂有同样原料96吨，现在每天甲厂用原料15吨，乙厂用原料9吨，请你用数学式子表示x天后两厂剩下的原料相等．
5． 教材P75习题2．1 5、6、7．
答案：1． 略． 2． A 3． B 4． 设天后两厂剩下原料相等，则有．
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3.3 解一元一次方程
一、学习目标
1．知道解一元一次方程的去分母步骤，并能熟练地解一元一次方程。
2．通过讨论、探索解一元一次方程的一般步骤和容易产生的问题，培养学生观察、归纳和概括能力。
二、重点：解一元一次方程中去分母的方法；培养学生自己发现问题、解决问题的能力。
难点：去分母法则的正确运用。[来源:21世纪教育网]
三、学习过程：（一）、复习导入
1、解方程：（1）； （2）2(x－2)－(4x－1)=3(1－x)
2、回顾:解一元一次方程的一般步骤及每一步的依据
3、（只列不解）为改善生态环境，避免水土流失，某村积极植树造林，原计划每天植树60棵，实际每天植树80棵，结果比预计时间提前4天完成植树任务，则计划植树_____ 棵。
（二）学生自学p99--100
根据等式性质 ，方程两边同乘以 ，得
即得不含分母的方程：4x－3x＝960
X＝960
像这样在方程两边同时乘以 ，去掉分数的分母的变形过程叫做 。依据是
(三)例题：[来源:21世纪教育网]
例1 解方程： 21世纪教育网
解 :去分母，得 依据
去括号，得 依据
移项，得 依据
合并同类项，得 依据
系数化为1，得 依据
注意：1）、分数线具有
2）、不含分母的项也要乘以 （即不要漏乘）
讨论：小明是个“小马虎”下面是他做的题目，我们看看对不对？如果不对，请帮他改正。
（1）方程去分母，得
（2）方程去分母，得
（3）方程去分母，得 21世纪教育网
（4）方程去分母，得
通过这几节课的学习，你能归纳小结一下解一元一次方程的一般步骤吗？
解一元一次方程的一般步骤是：
1． 依据 ;
2． 依据 ;
3． 依据 ；
4． 化成的形式；依据 ;
5． 两边同除以未知数的系数，得到方程的解 ; 依据 ;
练一练：见P101练习 解下列方程：（1）（2）
（3）思考：如何求方程
小明的解法：解 ：去百分号，得 同学看看有没有异议？
四、小结：谈谈这节课有什么收获以及解带有分母的一元一次方程要注意的一些问题。[来源:21世纪教育网]
五、课堂检测：
1、去分母时,在方程的左右两边同时乘以各个分母的_____________,从而去掉分母,去分母时,每一项都要乘,不要漏乘,特别是不含分母的项,注意含分母的项约去分母分子必须加括号，由于分数线具有
2、解方程（1）2x+5=5x-7 (2) 4-3(2-x)=5x (3) =3x-1
(4) =+1 (5)
六、作业P102: 3 , 10.
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