高中数学立体几何专题讲义资料（共计二十九讲）

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第二章 多面体和旋转体专项训练（3）
棱台
【例题精选】：
例1：若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题是否正确，说明理由。
解：未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，所以看一个几何体是否棱台，不仅要看是否有两个面平行，其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点。
小结：棱台的定义，除了用它作判定之外，至少还有三项用途：
①为保证侧棱延长后交于一点，可以先画棱锥再画棱台；
②如果解棱台问题遇到困难，可以将它还原为棱锥去看，因为它是由棱锥截来的；
③可以利用两底是相似多边形进行有关推算。
例2：正四棱台上，下底面边长为a，b，侧棱长为c，求它的高和斜高，侧面积。
分析：棱台的有关计算都包含在三个直角梯形及两个直角三角形OBE和中，而直角梯形常需割成一个矩形和一个直角三角形对其进行求解，所以要熟悉两底面的外接圆半径（）内切圆半径（）的差，特别是正三、正四、正六棱台。
略解：
例3：棱台的上、下底面面积分别是16，81，有一平行于底面的截面，截面面积为36，则这个截面截得的两棱台高的比是：
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶4
分析：设截得的两棱台高顺次为，将棱台恢复成棱锥，设棱锥顶点到棱台上底面距离为h，由平行于底面截面的性质：
答案：C。


例4：如图，棱台的下底面，上底面，平行于底面的截面的面积分别是。且截面把棱台的高自上而下分为m∶n，两棱，求证：
分析：因棱台平行于底面的截面没有给出具体值，所以需将其还原为棱锥，使用棱锥的关于平行截面的性质，此题的实质是用题设的各量去求，这就需利用棱锥平行于底面的截面的性质列方程求解。
解：将此棱台还原为棱锥，并设棱锥的顶点到棱台上底面的距离为x，高被分成自上而下的两段mt，nt，则依题意得：
例5：正四棱台的高，侧棱，对角线长分别为7cm，9cm，11cm，求它的侧面积。
解：如图，在中过A作于E，
则AE=OO1=7cm
例6：如图：在棱台中，已知底面ABC，
和底面ABC所成的角是，求这个棱台的全面积。
分析：先要作出和底面ABC所成的角，因为这是一个一般的棱台，需求出各侧面面积与两底面面积的和，这就须充分使用所给出的直线与平面的位置关系。
解：由底面ABC，知侧面底面ABC，作于D，则底面ABC，故AB是在底面ABC内射影，所以与底面ABC所成的角，于是。
因为由三垂线定理逆定理知∽ABC，可知 和ABC均为等腰直角三角形。
在，故AB=AD＋DB=2a，。
例7：一个棱锥的侧面积是Q，在高SO上取一点，过点作平行于底面的截面得一棱台，求这个棱台侧面积。
解：如图，棱锥S—ABC的截面过且与底面ABC平行，过S作于E，SE交于，连结OE，。
例8：已知正三棱台两底边长分别为5cm和8cm，高为3cm，求截面和底面ABC所成的二面角及截面的面积。
解：取BC中点D，则，过A作为平面ABC与平面所成二面角的平面角。
设上、下底面中心分别为的中点为，
，故平面与底面所成二面角的平面角为。
又


例9：已知正三棱台侧面与底面所成的角为，侧棱与底面所成的角为，求tg ∶tg的值。
解：如图，设为上下底面中心，E、F为，BC的中点，连结，AF，EF，则，。
为侧面与底面所成二面角的平面角
即
过E作，设棱台的高为h，上、下边长为。
连结于点H，则
为侧棱与底面所成的角。
即
例10：如图，正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，求从A沿棱台侧面到C的最短路程。
分析：求表面两点距离的最小值，可通过展开面去解决，虽然从A沿侧面到C有两条路线，但这是正四棱台。两条路线的路程是相同的，因而只需研究其中一条路线就可以了，所以此题不必将侧面全部展开，只展开一部分就可以了。
解：将此棱台的侧面部分展开，则展开图中的线段AC的长就是要求的最短路程，
例11：如图，在正四棱台内，以小底为底面。大底面中心为顶点作一内接棱锥。已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件。
分析：这是一个棱台与棱锥的组合体问题，也是立体几何常见的问题，这类问题的图形往往比较复杂，要认真分析各有关量的位置和大小关系，因为它们的各量之间的关系较密切，所以常引入方程、函数的知识去解。
解：如图，过高的中点E作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高EE1和棱锥的斜高为EO1，设，所以
①式两边平方，把②代入得：
显然，由于，所以此题当且仅当时才有解。
小结：在棱台的问题中，如果与棱台的斜高有关，则常应用通过高和斜高的截面，如果和棱台的侧棱有关，则需要应用通过侧棱和高的截面，要熟悉这些截面中直角梯形的各元素，进而将这些元素归结为直角三角形的各元素间的运算，这是解棱台计算问题的基本技能之一。
【专项训练】：
一、选择题：
1、已知下列命题：
①棱台的两条不相邻的侧棱所在的直线可以是异面直线
②四条侧棱都相等的棱台一定是正棱台
③棱台的高可以和它的某一条侧棱长相等
④两底面平行且为相似多边形的棱台一定是正棱台
⑤有两个面是相互平行的相似多边形，其余各面都是梯形的多面体一定是棱台
那么，正确的命题有：
A．0个 B．1个 C．3个 D．5个
2、正三棱台上、下两底面边长分别是2和6，侧面与底面所成二面角为，则高为：
A．2 B．3 C．4 D．5
3、正三棱台上下两底面边长分别为5cm，8cm，高是3cm，过下底面一边和此边所对的一上底面的顶点作截面，侧截面面积为：
A． B． C． D．
4、正四棱台两底面边长分别为，侧棱和底面所成角为，那么它的侧面积为：
A． B．
C． D．
5、正四棱台所在直线与所在直线是：
A．相交直线 B．平行直线
C．不互相垂直的异面直线 D．互相垂直的异面直线
二、填空题：
1、棱台的上、下底面面积是，这个棱台的高和截得这个棱台的原棱锥的高的比是 。
2、正四棱台上、下底面的边长分别为，侧面和底面成二面角，过相对两侧棱的截面面积是 。
3、正六棱台上、下底面边长分别为1和2，侧面与底面所成二面角为，侧棱台的高为 ，侧面积为 。
三、解答题：
1、在正三棱台中为边且与棱平行的截面，求证截面为矩形。
2、设棱台的两底面均为正三角形，下底面边长为a，上底面边长为b，长为c，一条侧棱垂直于底面，求棱台的侧面积。
【答 案】：
一、选择题：
1、B 2、 A 3、C 4、D 5、C
二、填空题：
三、解答题：
1、证明略
2、
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第一章 直线和平面综合练习(2)
空间直线和平面
【例题精选】
例1、已知S为平面ABCD外一点, 且四边ABCD为平行四边形, M、N分别是SA、BD上的点, 且。
求证: MN∥平面SBC
分析: ①要证: MN∥平面SBC, 只要在平面SBC内找一条直线和MN平行。
②问题转化为如何找平行直线, 连结AN并延长交BC于G, 连SG, 则SG为平面ASG与平面SBC的交线, 且MN在平面SAG内, 从而只要在平面SAG内证MN∥SG即可。
证明: 连结AN并延长交BC于G, 连结SG
∵BG∥AD
∴
又∵
∴
∴MN∥SG
∵SG平面SBC,
MN平面SBC
∴MN∥平面SBC
评述: ①本题主要考查线面平行的判定。
②要证线面平行, 转化为证明线线平行。问题的关键是在平面内如何找到一条直线, 使某与平面外的直线平行, 一般利用平行两直线共面的性质找。
例如本例中, 利用过MN的平面SAG和平面SBC相交, 从而找到交线SG与MN平行。
例2、
1、在空间四边形ABCD中, 已知AC = AD, BD = BC, 求证: ABCD。
2、在空间四边形ABCD中, 已知ACBD, ADBC, 求证: ABCD。
分析:
1、要证CDAB, 只要证明其中一条直线垂直于过另一条直线的平面即可, 由题目中等腰条件, 选择证明CD垂直于过AB的平面。
2、如何找这样的平面, 利用等腰条件, 取CD的中点, 连AE、BE, 则平面ABE为所找平面。
证明: 取CD的中点E, 连AE、BE
∵AC = AD, CE = DE
∴AECD
∵BC = BD, CE = DE
∴BECD
∵AEBE = E
∴CD平面ABE
∵AB平面ABE
∴CDAB
分析:
1、条件ACBD, ADBC, 可以看作斜线AD, AC与平面BCD内的直线的位置关系, 从而联想到用三垂线定理或其逆定理证明命题。
2、如何找斜线在平面内的射影, 显然是过A点作直线垂直于平面BCD, 这样斜线与直线的位置关系, 通过射影与直线的位置关系判定。
证明: 过A点作AO垂直于平面BCD于O
连BO, CO, DO
∵AO平面BCD, ACBD
∴COBD
∵AO平面BCD, ADBC
∴DOBC
∴O为△BCD的垂心
∴BOCD
∴ABCD
评述:
1、本题主要考查线线垂直的证明。
2、证明线线垂直, 常用的依据有: 平面几何中, 垂直的定义定理; 直线和平面垂直的家义; 三垂线定理和它的逆定理; 与两平行线中的一条垂直的直线垂直另一条等等, 应该选哪个, 要根据题目给出的条件而定。
例3、如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。
求证: ①ANBC
②SC平面ANM
分析: ①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。
②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。
证明: ①∵SA平面ABC
∴SABC
又∵BCAB, 且ABSA = A
∴BC平面SAB
∵AN平面SAB
∴ANBC
②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B
∴AN平面SBC
∵SCC平面SBC
∴ANSC
又∵AMSC, 且AMAN = A
∴SC平面ANM
评述: 1、本题主要考查线面垂直与线线垂直的判定
2、这是一道典型的线面垂直关系的问题, 充分使用线面垂直和线线垂直的转化关系。要证线面垂直, 先证线线垂直; 要证线线垂直, 先证线面垂直, 反复论证, 才能推出最后的结论。
例4、已知: 如图, △ABC中, ACB = 90, CD平面, AD, BD和平面所成的角分别为30和45, CD = h, 求: D点到直线AB的距离。
分析: 1、先找出点D到直线AB的距离, 即过D点作DEAB, 从图形以及条件可知, 若把DE放在△ABD中不易求解。
2、由于CD平面, 把DE转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求DE在平面内的射影长。
解: 连AC, BC, 过D作DEAB, 连CE, 则DE为D到直线AB的距离。
∵CD
∴AC, BC分别是AD, BD在内的射影。
∴DAC, DBC分别是AD和BD与平面所成的角
∴DAC = 30, DBC = 45
在Rt△ACD中,
∵CD = h, DAC = 30
∴AC =
在Rt△BCD中
∵CD = h, DBC = 45
∴BC = h
∵CD, DEAB
∴CEAB
在Rt△ACB中
∴
∴在Rt△DCE中,
∴点D到直线AB的距离为。
评述: 1、本题主要考查点到直线的距离, 三垂线定理与逆定理和解直角三角形。
2、点到直线的距离通过三垂线定理或三垂线定理的逆定理转化到三角形中求解。即: 先求出斜线（即距离）在平面内的射影长, 然后利用勾股定理求斜线段长。
3、在解三角形的过程中, 若与垂直有关, 则有时可用面积法解决问题, 例如本例中, 面积, 从而可求出CE。
例5、如图: △ABC的ABC= 90, V是平面ABC外的一点, VA = VB = VC = AC, 求VB与平面ABC所成的角。
分析: 1、要求VB与平面ABC所成的角, 应作出它们所成的角。
2、要作出VB与平面ABC所成的角, 只要找出VB在平面ABC内的射影就可以了。
3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然找V点, V点在平面内的射影在何处？由条件可知, 射影为△ABC的外心。
解: 作VO平面ABC于O, 则OB为VB在平面ABC内的射影,
∴VBO为VB与平面ABC所成的角。
连OA、OB、OC, 则OA、OB、OC分别为斜线段VA、VB、VC在平面ABC内的射影。
∵VA = VB = VC
∴OA = OB = OC
∴O为△ABC为外心
∵△ABC为直角三角形, 且AC为斜边
∴O为AC的中点
设VA = a, 则VA = VC = AC = a,
在Rt△VOB中,
∴VBO = 60
∴VB与平面ABC所成的角为60。
评述: 1、本题主要考查直线与平面所成的角
2、求直线与平面所成角时, 一般作出该角, 然后通过解三角形求出角的大小。作出所成角的关键是在直线找一点（一般是线段端点、中点等特殊点）, 过这一点作平面的垂线, 然后要判定垂足的位置, 这是找直线与平面所成角的核心。
3、注意: 有时垂线与平面垂直, 即所成的角为90, 此时需要通过证明直线与平面垂直。
例6、已知a和b是异面直线, 并且ab, 平面直线a, 且b不在内, 求证: b∥。
分析: 1、要证b∥, 只要证b∥内的一条直线, 则需过b作一平面与平面相交, 然后证b平行两平面的交线即可。
2、如何找过b的平面内呢？该平面肯定与直线a有关（即平行）, 这样才能使用条件a, 所以过b上一点作a的平行线, 平行线与b, 确 定一个平面, 为所找的平面。
证明: 过b上一点P, 作直线c∥直线a.
∵a
∴c
设c与的垂足为B。
∵bc = P
∴b, c确定一个平面
则相交于过B点的一条直线
设
∵c
d
∴cd
∵ab
a∥c
∴cb
在平面内
∵cb, cd
∴b∥d
∵d
∴b∥
评述: 1、本题综合考查线面平行和线面垂直的位置关系。
2、在解决综合题的过程中, 要充分使用题目中所给条件, 使它们有机地结合起来, 为解决问题服务, 例如本例中, 解决问题的关键是如何找过b的平面, 使其与线面平行和线面垂直都有密切的联系, 这时, 可以联想到平移直线a（平移直线a的过程中, 直线a与平面的垂直关系不变）, 这样命题就得到了论证。
例7、□EFGH的四个顶点, 分别在空间四边形ABCD的各边上, 求证BD∥平面EFGH, AC∥平面EFGH
分析: 1、要证BD∥平面EFGH, 只要在平面EFGH内找一条直线与BD平行即可, 由图可知, 转证EH∥BD。
2、由EH∥FG, 且FG在平面BDC内, 所以EH∥平面BDC, 从而就得到EH∥BD
证明: ∵EFGH是平行四边形
∴EH∥FG
∵FG平面BDC
EH平面BDC
EH∥FG
∴EH∥平面BDC
∵EH平面ABD
平面ABD平面BPC = BD
∴EH∥BD
∵EH平面EFGH
BD平面EFGH
∴BD∥平面EFGH
同理: AC∥平面EFGH
评述: 1、本题主要综合考查线面平行的判定和转化思想。
2、本题是一道比较典型的线面平行问题, 充分使用了线线平行, 线面平行之间的转化关系。要让线面平行, 常转化为求证线线平行; 要证线线平行, 常转化为求证线面平行, 经过反复转证后才能推出结论。
例如本例: 要证BP∥平面EFGHBD∥EHEH∥平面BPCEH∥FG。
例8、已知, 正方体ABCD—A1B1C1D1中, M, N, P分别是棱AB, BC, DD1中点, 求证: PB平面B1MN
分析: 1、要证明结论成立, 只需证明PB垂直于平面B1MN内的两条相交直线。
2、由图形可看出, 用三垂线定理可证明PBMN。
3、只要再证明PBB1M（或B1N）即可。但PB为什么垂直于B1M就看不出来了, 其实也是用三垂线定理, 只是由于图形的位置不易察觉。验证PB在平面内的射影与B1M垂直。
证明: ∵AM = BM, BN = NC
∴MN∥AC
∵BDAC
∴MNBD
∵D1D平面ABCD
∴BD为PB在平面ABCD内的射影
∴PBMN
取A1A的中点Q, 则PQ∥AD
∵AD侧面ABB1A1
∴PQ侧面ABB1A 1
∴QB为PB在侧面ABB1A1内的射影
设QB与MB1交于点E
在△AQB和△BMB1中
∵AQ = BM
AB = BB1
QAB = MBB1 = 90
∴△QAB≌MBB1
∴1 = 2
∵3 + 2 = 90
∴3 + 1 = 90
∴MEB = 90
即QBB1M
∴PBMB1
∵PBMN
PBMB1
MNMB1 = M
∴PB平面B1MN
评述: 1、本题主要考查直线和平面垂直的位置关系以及三垂线定理
2、要证线面垂直, 转化为证线线垂直。要证线线垂直可用三垂线定理或通过转化证线面垂直。例如本例中证PB垂直于B1M时, 上面的证明用三垂线定理证其垂直关系, 或先证B1MBQ, B1MPQ, 从而得到B1M平面PQB。
3、三垂线定理是研究平面内的直线与平面的斜线及其在平面内的射影三者之间的位置关系, 它与这个平面的所在位置无关。不要只习惯在水平放置的平面上运用三垂线定理, 同时要善于在竖直或倾斜放置的平面上运用三垂线定理来判定直线与直线的垂直关系。例如本例中的平面ABB1A1是竖直的。
例9、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中, AB = a, 求C点到平面BDC1的距离。
分析一: 1、要求点到平面的距离, 只要找出点在平面上的射影即可, 或过点作平面的垂线。问题转化为过C点找直线与平面BDC1垂直。
2、在正方体中, 对角线A1C与BD, BC1, DC1都垂直, 从而得到AC平面BDC1。
解法一: 连A1C, 设A1C与平面BDC1交于O2点
在正方体中: ∵A1CBD
A1CBC
∴A1C平面BDC1于O2
同理设A1C平面AB1D1于O1
平面AA1C1C截平面AB1D1和平面C1BD所得截面图形为右图:
在矩形AA1C1C中, A1E = EC1, AF = FC
可证A1O1 = O1O2 = CO2
∵A1C =
∴
∴C到平面BDC1的距离为
分析二: 把C点和平面BDC1所在的图形从正方体中分离开。由于BC = DC = CC1, 所以C点在平面BDC1的射影是△BDC1的外心, 这样就可以求距离了。
解: 过C点作CO平面BDC1于O
连BO1, DO, C1O
∵BC = CD = CC1
∴BO = DO = C1O
∴O为△BDC1的外心
∵BD = DC1 = BC1 =
∴△BDC1为等边三角形
∴O为△BDC1的重心
∴在Rt△COC1中
∴点C到平面BDC1的距离为
评述:
1、本题综合考查了线面垂直的位置关系及其应用。
2、解法一中, 利用正方体中线与线的特殊关系（即A1CBD等）找线面垂直。在求距离的过程中, 利用对称性, 把距离转化到矩形AA1C1C中解决。
3、解决立几问题时, 有时常用隔离图形的方法, 把图形从复杂的图形中分离出来, 这样分离出来的图形更简单, 更容易研究它的性质。
【综合训练】
1、已知: 正方体ABCD—A1B1C1D1 中, A1C1B1D1 = O1, 求证AO1∥截面BC1D
2、如图: 平面平面, AB∥∥, 求证AB∥L。
3、已知: 在△ABC中, ACB = 90, AB平面, , C在上的射影为O, AC和BC与平面所成角分别为30和45, CD是△ABC的AB边上的高线, 求CD与平面所成的角的大小。
4、如图: AB与CD是两条异面直线, 且CA = CB, DA = DB, 求证ABCD。
5、已知: 梯形ABCD中, AB∥CD, CD平面, AB∶CD = 2∶3, AB到的距离为10cm, 求梯形对角线交点O到的距离。
6、如图中: VA = VB = VC, AB = AC, E、F、G、H分别为AB、VB、VC、AC的中点, 求证: EFGH是矩形。
7、如图: BAC = 90在平面内, PA是的斜线段, PAB = PAC = 60。
（1）求PA与平面所成角。
（2）设P是PA上的一点, PD = m, 求PD在内的射影长。
8、已知正方形ABCD, SA平面ABCD, 过A作一平面与SC垂直, 且分别交SC, SB, SD于K、E、H。求证: E、H分别是点A在直线SB、SD上的射影。
9、已知三个平面两两相交, 有三条交线, 求证这三条交线交于一点或互相平行。
10、如图, 空间四边形ABCD中, E、F分别是BD、CD的中点, L是DE的中点, 且AB = BC = CD = DA = AC = BD = a。
（1）求证: CE∥平面ALF;
（2）求CE与平面ALF间的距离。
【答案】
1、提示: 设AC, 只要证明AO1∥C1O即可
2、提示: 过AB作平面r交于CD, 则AB∥CD。
过AB作平面交于EF, 则AB∥EF。
∴EF∥CD
∴CD∥
∴CD∥L
∴AB∥CD
∴AB∥L
3、提示: 连结OD, 则OD是CD在平面上的射影。
∴CDO为CD与平面所成的角
设CO = h, 则
∴
∴
∴
∴
即CD与平面所成的角为60。
4、提法: 取线段AB的中点O, 连CO、DO
∵AC = BC, AO = BO
∵COAB
同理DOAB
∴AB平面CDO
∴ABCD
5、提示: 过B作BH于H, 则BH为AB到的距离, 即BH = 6cm
连CH, 过O作OHCH, 则OH∥BH
∴
∴OH为O到平面的距离。
由平行几何知识, 可得:
∴cm
6、提示: ∵
∴EFGH为平行四边形
过V作VO平面ABC于O
∵VA = VB = VC
∴O为△ABC的外心
∵AC = BC
∴O在△ABC的BC边的高上即AOBC
∴AVBC（三垂线定理）
∵AV∥EF, FG∥BC
∴EFFG
∴四边形EFGH为矩形
7、提示:
（1）作PO平面于O, 作OMAC于M, ONAB于N,
连PM, PN, 则PMAC, PNAB
在△PMA和△PNA中
PMA = PNA = 90
PAM = PAN = 60
PA = PA
∴△PMN≌△PNA
∴PM = PN
∴OM = ON
∴AO为BAC的平分线
设PA = a, PAM = 60, 则
OAM = 45, 则
∵PO
∴PAO为PA与所成的角
在Rt△POA中
∴PAO = 45即PA与所成角为45
（2）PD在内的射影长为。
8、提示:（只要证AESB, AHSD即可）
∵SA平面ABCD, BC平面ABCD
∴SABC
又∵BCAB, 且SAAB = A
∴BC平面SAB
∵AE平面SAB
∴BCAE
∵SC平面AEKH
∴SCAE
∵SCBC = C
∴AE平面SBC
∵SBC平面SBC
∴AESB, 即E为A在直线SB上的射影
同理H为A在SD上的射影。
9、提示: 设三个平面为、、r, 且 = c,
∵
∴
平面内的直线c与b交于一点成平行。
（1）若c与b交于一点, 设
∵
∴
∵
∴
∴
∴a、b、c交于一点
（2）若b∥c
∵
∴c∥r
∵
∴c∥a
∴a∥b∥c
10、提示: ∵F、L是DC、DE的中点
∴CE∥FL且CE平面ALF
∴CE∥平面ALF
（2）作AO平面BCD于O点
∵AB = AC = AD, 且△BDC为等边三角形
∴O为△BDC的外心
∴O在DC上
过O作OMLF于点M
∴AMLF,
过O作OHAM于H
∵LFAM, LFMO
∴LF平面AMO
∵OH平面AMO
∴LFOH
∵OHAM且
∴OH平面ALF
∴OH为EC与平面ALF间的距离
在Rt△AOM中
∵
∴
∴CE与平面ALF的距离为
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第二章 多面体和旋转体专项训练（6）
体积变换
【例题精选】：
例1 三棱锥P-ABC中，已知，求这个三棱锥的体积。
分析：直接求此三棱锥的体积条件不够（ 用不上），故可用割补法，将它分成以为顶点的两个三棱锥，并选用以 为底。
解：
小结：此题连结AD，PD也行，分成两个三棱锥的体积之和即 。
例2 如图，三棱柱 上一点，求


解法一：设 的距离为
把三棱柱 为相邻侧面的平行六面体，此平行六面体体积为原三棱柱体积的两倍。
解法二：
小结：把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法，平行六面体的每一个面都可以当作柱体的底，有利于体积变换。
例3 如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为
分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比。
解：
小结：此题若用 计算是比较麻烦的，因为台体的上底面半径还需用导出来，我们用 的体积之间有比例关系，可以直接求出。
例4 正四棱锥被一平面所截，此平面通过底面一边，并垂直于它相对的侧面，正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面成角，求截面将棱锥分成的两部分的体积之比。
分析：截面把四棱锥分成的两部分，其一仍是四棱锥可以直接求体积，其二不是我们所掌握的简单多面体，不宜直接求体积，我们可以转化成两个四棱锥的差来解决。
解：设AD，BC的中点分别为M，N，作平面SMN，交EF于P，连PN（如图）
以上几个例题是利用和、差、倍比的方法求体积，计算时我们要设法把不规则的几何体转化为规则的几何体的和与差，把未知的几何体转化为已知的几何体的倍与比，转换时找准各基本元素的关系是前提，等积是关键。
例5 三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB中点，E为AC中点，求四棱锥S-BCED的体积。
分析：可先利用四棱锥与三棱锥高相等，底面积间关系，找出两个锥体体积间关系，再计算三棱锥S-ABC的体积，由，可以直接算出高和底面积。
解：
例6 正四棱台之比为1∶2，
求：（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）
小结：由于（1）中的锥体的高是台体的高，所以两体积之比可转化为两底面积之比，再由上下底边长之比为。
（2）中两锥体的高是同一线段即C到侧面ADD1A1之距，所以两体积之比等于两底面之比，而两底面面积又是等高的两个三角形面积，因此两体积之比等价于两底的两边长之比为1∶2。
（3）中两锥体一个是三棱锥，一个是四棱锥，它们的高对应相等，比较两底面面积即可。
例7 已知的正方体，E、F分别为的中点，求四棱锥的体积。
分析：如图先证是菱形，再把四棱锥分成两个等积的三棱锥，最后求体积。
解：
小结： 这个等式虽然说的是同一个几何体的体积，但是由于观察的角度不同，繁简大不相同，如果计算的体积时，底面积与高都不好求，而计算 的体积时，底面积和高都是显然的。
例8 正方体中，E、F分别为B1B和CD中点，
（1）求证平面；
（2）当的体积。
分析：
解：（1）如图，取AB中点G，连结A1G，得
由平面几何知识可证出
（2）
等底面积，等高
小结：利用平行的线与面，面与面之间的距离处处相等，可以将普通位置的锥体转移到特殊位置的锥体，使计算得以实施。
例9 求证正四面体内一点到各面的距离之和等于一个顶点到它的对面的距离。
已知：如图，在正四面体ABCD中，P是它内部一点，设它到各面的距离分别为顶点A到底面BCD的距离为h，
求证：
分析：此题类似正三角形内一点到各边距离之和等于一边上的高，也可把此题看成它的发展，自然想利用类似证明上面命题的方法去证把P点当作棱锥的顶点，各面分别当作底面，将正四面体分成四个棱锥，这样正四面体的体积就等于这四个棱锥的体积之和，便可推知命题正确。
证明：连结PA，PB，PC，PD，将正四面体分成四个棱锥，则
例10 如图，长为b的线段EF在棱长为a的正方体的棱AB上移动，的中点，H点在上移动，求点H到平面EFG的距离。
分析：因为H是动点，作出H点到平面EFG的距离有困难，为此把EFGH看成一个四面体，分别以为底，计算这个四面体的体积，建立方程去解。
解：
【专项训练】：
一、选择题：
1、表面积相等的等边圆柱和正方体中
A．等边圆柱体积较大 B．体积相等
C．正方体体积较大 D．两者体积大小无法比较
2、四棱锥被一个与底面平行的截面分成上下两部分，已知截面到棱锥顶点的距离与截面到柱底面的距离之比为1∶2，则截面上、下两个几何体的体积之比为
A． B． C． D．
3、长方体的长、宽、高分别为，那么互不相邻的四个顶点所确定的四面体的体积为
A． B． C． D．
4、直三棱锥上的两个点，且 ，则棱锥B-APQ的体积为
A． B． C． D．
5、三棱台中，则三棱锥
的体积之比是
A．1∶1∶1 B．1∶1∶2 C．1∶2∶4 D．1∶4∶4
二、填空题：
1、正方体的中点，则截面 的面积为 ；截面 将正方体分成两部分，其体积之比为 。
2、一个直平行六面体的底面是面积为Q的菱形，过侧棱的两个对角面的面积分别为M和N，则这个平行六面体的体积为 。
3、三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为3cm2，4cm2，6cm2，则此三棱锥的体积为 。
三、解答题：
1、三棱锥，求三棱锥 的体积。
2、正四棱锥的所有棱长都相等，E、F分别为SD和BC中点
（1）求异面直线EF和SB所成角的大小；
（2）求三棱锥 的体积之比。
【答 案】：
一、
1、A 2、B 3、B 4、A 5、C
二、
1、 2、 3、4cm3
三、
1、在 由余弦定理得
=，
2、（1）取SA中点P，可证得PBEF为□，则为异面直线EF和SP所成角
（2）
设S到底面ABCD距离为h，E到平面DBC的距离为
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第一章 直线和平面 专项训练（6）
空间两个平面（二）
【精选例题】：
例1 如图，从二面角的棱上一点在面引一条射线，，AG与面，求这二面角的大小。
解：如图，从点G作
例2 有公共边的两个等腰三角形，它们所在的半平面构成的二面角，公共底边的长是16cm，一个三角形的腰长是17cm，另一个三角形的两腰互相垂直，求这两个等腰三角形的顶点间的距离。
解：如图，取BC中点D，连结
中，依据等腰三角形的性质，
故这两个等腰三角形顶点间的距离是13cm。
例3 如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将分别沿虚线折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点P，则面PCD与面ECD所成的二面角为 度。
答案：30
分析：折叠以后，平面图形（a）变为空间图形（b），为方便，可以改变观察空间图形的角度，看直观图（c），中点。
依据等腰三角形的性质，
小结：本题是1993年高考理科填空题（23）。折叠问题，应注意折叠前后平面图形和空间图形中的元素的数量关系和位置关系，哪些改变了，哪些没有改变。
例4 如图，分别垂直于正三角形ABC所在平面，且，求平面所成的锐角二面角的度数。
分析：本题求无棱二面角的度数，因而需要先找到二面角的棱。平面EAF和平面ABC有一公共点A，必相交于过点A的一条直线，故先将求这两个平面的交线AG是非常重要的。
解：如图，
由三垂线定理，
例5 如图，
求证：
证明：
例6 如右图，已知
求证：
分析：要证面面垂直，根据两个平面垂直的判定只需证线面垂直，再转化证线线垂直。
证明：
小结：要重视在证明过程中，正确使用符号语言，加强对空间基本图形的认识（元素间的位置关系和数量关系），要重视“转化”的数学思想方法的运用。
例7 如图，在正方体
（1）证明：；
（2）求所成的角；
（3）证明：
分析：题（1）中的证明，可由出发，也可由上的射影是由三垂线定理证得，题（2）的解法总是通过平移，把两条直线（异面）置于同一平面上（即共面相交），再求交角来实现的，而平移点和平移面的选取方法很多，同学们不妨试试用其他方法求之，而题（3）的证法首先应考虑常规证法即证面面垂直只要证线面垂直即可，而证线面垂直，首先想到一个平面的一条直线垂直于另一个平面的两条相交直线就可以了；本题是1997年全国高考题第（23）题的前三问，主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力。
解：（1）
（3）
【专项训练】：（45分钟）
一、选择题：
1、二面角是指
A．两个平面相交所成的图形
B．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转而成的图形
C．从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面组成的图形
D．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
2、平面则一定有
A． B．
C． D． 以上都有可能
3、若平面则交线内的射影是
A．一条直线 B．一条线段
C．一个点 D．一条射线
4、对于直线的一个充分条件是
A． B．
C． D．
5、已知二面角到平面，那么上的射影的距离为
A． B．1 C． D．
6、直角三角形斜边AB在平面所成的角分别是则这直角三角形所在的平面与平面所成的二面角的大小是
A． B． C． D．
7、过正方形ABCD的顶点作线段那么平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小为
A． B． C． D．
8、等边边长为1，BC边上的高为AD，沿AD折成直二面角，则A到BC的距离为
A． B． C． D．
二、填空题：
9、在二面角的一个面内有一个点P，它到棱的距离是它到另一个面所在平面的距离的倍，则这个二面角的大小是 。
10、若两条异面直线的距离为4，它们所成的角为，这两条直线上各有一点，距其公垂线垂足的距离都是3，则这两点间的距离是 。
11、若空间一点到二面角的两个面的距离分别为1和，到棱的距离是2，则这二面角的大小是 。
12、已知是平面，给出下列命题：
若内的两条相交直线，则；
若内的所有直线；
若
若；
若
其中正确的命题序号是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：
13、已知：如下图，在
求证：
14、如下图，在二面角是锐角，比较。
第13题 第14题
15、在平面折起，使它和的二面角，问直线DE取在何处，折起后的三角形顶点A（可记A）到BC边的距离最短，最短距离是多少？
【答 案】：
一、
1、D 2、D 3、C 4、C 5、A 6、D
7、B 8、D
二、
9、 10、 11、
12、、
三、
13、证明：
14、解：
15、如图，，由等腰的性质，及
，
所成的二面 角
根据余弦定理，
边的距离最短，最短距离是 。
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第一章平面和直线(2)
空间直线和平面（一）
【例题精选】：
例1：如果一条直线分别与两个相交平面平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行。
已知：如图，∩
求证：
分析：由求证想判定，方法有
（1）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
（2）公理4：若，，则
（3）直线和平面平行的性质定理，即“线面平行，线线平行”，同学们，还有其它方法以后再学。
证明：在内任取一点，过直线a、点A可作一平面r，使∩，在内任取一点，过直线a、点B可作平面，使∩。
∩
∴
同理，
∴，
∴∩
∴
∴
例2：空间四边形ABCD，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，如果四边形EFGH为平行四边形，求证AC∥平面EFGH。
分析：要证“线面平行”，根据“线面平行”的判定定理，只要证明“线线平行”就可以了。
证明：如图，
∴
∴
∩
例3：求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交。
已知：∩
求证：
分析：当直接证b与相交受阻或不易证时，通常采用间接证中的反证法，它的主要特征是“推出矛盾”。在进行反设时，要注意原结论相反的方面是只有一种情形，还是有若干情形，如果只有一种情形，那么只需就这种情形去推出矛盾，如果有若干种（本命题是两种）那么必须针对每一种情形分别推出矛盾才可。
证明：如图，
假设
（1）若
∩。
（2）若，直线b和点确定平面，∩
∴
∴这也与∩矛盾。
故 假设不能成立。
因而。
例4：在平面内有直角BAC，在其两边上取AB=5cm，又，并且垂直于，求PA、PC的长。
解：如图，
∴
∩
例5：已知：空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形MNPQ是一个矩形。
分析：首先要证明四边形MNPQ是共面四边形而非空间四边形，然后再证四边形MNPQ是平行四边形。最后再证某一个角是直角即可。
证明：如图，连结AC。
在中，M、N为AB、BC中点
同理，∩
例6：已知：如图，在正方体－中，
求证：对角线
证明：在正方体－中
∵
∩
∴
∴∩
∴
∴
∴
∩
∴
例7：如果一条直线和一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线。必在这个平面内。
已知：如图，
求证：
证明：假设
∴∩
∴
∴这与平行公理（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）矛盾。
∴假设不成立。
故
小结：当用直接法证明直线在平面内不易证时，往往采用反证法证之。
例8：如图，已知梯形ABCD中的一底AB在平面内，另一底DC在平面外，对角线交点O到平面的距离为d，若AB：CD=p：q。求CD和平面的距离。
解：∵ CD在平面外，.
∴
作
则
即
∴
而
故CD和平面的距离为。
小结：同学们注意立体几何计算题往往需要首先作好辅助线（或辅助平面），然后证明满足条件要求，最后进行准确的运算。
【专项训练】：
一、选择题：
1、直线a在平面外则
A． B．a与至少有一个公共点
C． a∩=A D．a与至多有一个公共点
2、直线a//平面M，直线，则b与M的关系
A． B． C． D．不能确定
3、直线a与直线b垂直，b又垂直于平面，则a与的位置关系是
A． B． C． D．
4、已知直线a、b、平面M，下列条件中，可以判定的是
A． B．
C． D．
5、下列命题中，真命题的个数有
（1）两条异面直线不能同时垂直于一个平面。
（2）经过一点不能有两条直线和同一条直线垂直。
（3）经过一点不能有两条直线和一个平面垂直。
（4）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线这个平面内的任何一条直线都垂直。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、若a、b是异面直线，过a作平面与b平行，则这样的平面
A．不存在 B．有两个
C．有且只有一个 D．有无穷多个
7、过平面外一点
A．存在无数条直线和这个平面垂直
B．存在无数条直线和这个平面内的一条直线平行
C．只有一条直线和这个平面垂直
D．只有一条直线和这个平面内的一条直线垂直
8、如果平面外的一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直
二、填空题：
9、已知⊙O的直径AB，⊙O所在平面，C是圆周上不同于A、B的点，连结AC、BC。则BC与PC的位置关系是 。
10、在正方体－中，平面和平面的交线与棱的位置关系是 ；截面和直线的位置关系是 。
11、如图，在空间四边形ABCD中，AB=DA，BC=CD，则异面直线AC、BD所成角的大小为 。
12、如图，在空间四边形ABCD中，AB=DA、BC=CD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点且AC=4，BD=2 . 则四边形EFGH的面积为 面积单位。
三、解答题：
13、已知：a、b是异面直线，，。
AB为a与b的公垂线且∩
求证：C//AB
14、已知：如图，平面∩平面，直线，直线。若，于C，于E。
求证：
15、AB、CD是平面M内相距28cm的两条平行线，EF在M外，EF//AB，且EF与平面M相距15cm，EF和AB相距17cm，求EF与CD之间的距离。
【答案】：
一、选择题：
1、 D 2、D 3、D 4、C 5、C 6、C
7、C 8、C
二、填空题：
9、垂直 10、平行；平行 11、 12、2
三、解答题：
13、证明：如图，
从点A作b//b
∵
∴
∵
∴
∵，又a∩b=A
可设相交两直线a、b所确定的平面为r。
∴
∵∩
∴
∴
∴
∴
14、证明：
∵
∴
又∩
∴
∴
∵
∴∩
∴
∴
15、分两种情况：
（1）如图，过EF上一点P作
∵
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（2）如图，同理可证，
同理可求，
∵
∴
在
∴EF与CD之间的距离为39cm.
故 EF与CD之间的距离是25cm或39cm.
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第一章 直线与平面 综合练习
【例题精选】：
例1：判断题
（1）三个点确定一个平面 （ ）
（2）凡四形都是平面图形 （ ）
（3）一条线段在一个平面内，则线段延长线上任意一点也都在这个平面内 （ ）
（4）四条边都相等的四边形是菱形 （ ）
解：（1）不在一条直线的三点确定一个平面，若三个点在一条直线上，则确定不了一个平面，故错误；
（2）、（4）可能是空间四边形，故错误；
（3）是正确的，一条线段在一个平面内直线上，至少有两个点在平面内，保证直线上所有点在平面内。
例2：语句“直线l经过平面外一点M”用符号表示为
A． B．
C． D．
解：A、B中未表明M淘汰A、B，M l, M，则 l与不一定相交，故选C。
例3：语句“直线a与b相交于平面内一点M”用符号可表示为
A．
B．
C．
D．
解：“直线a与b相交于平面内一点M”并不一定直线a和b一定在平面，故淘汰A， “直线a与b相交于平面内一点M”也可能a 、b均在平面内，故淘汰B，也可能直线a在内淘汰D，而把各种可能性都包含在内，不论a，b ，或，或 a , ，或都可以有，故选C。
例4：画出图中水平放置的四边形OABC的直观图，
解：画出对斜坐标xoy使 xoy = 45°, oy 轴上单位长取ox轴上单位长的一半，在斜坐标系中，画O、A、B、C的对应点上的方法是，横、纵坐标与原来的坐标保持一致，于是
，连结OA，AB，BC，CO，四边形OABC就是四边形OABC的直观图。


图1
评述：oy轴的单位长为O x轴的单位长的一半，各点的横、纵坐标的数值保持不变，纵坐标字的实际长轴为原来的一半，在斜坐标系中点的坐标是由该点做平行于Ox轴及oy构成的平行四边形两条邻边的长短而定的（与坐标轴方向相同为正，相反为零）。
例5：如图3：已知直线a // b A a , B b , C b，求证：a、b与直线 AB、AC共面。
证明1：∵ a // b ∴ a、b确定一个平面。
证明2： ∵ a // b ∴ a、b确定一个平面。
又∵ 确定平面,
又∵、都经过不共线的三点A、B、C
∴ 与重合，即a、b、AB、AC共面。
评述：证明1是先确定一个平面，再证明其它点、直线在其内达到证共面的目的，证明2，先确定两个平面，再证明这两个平面是重合的，亦达到证明共面的目的，这两种方法都是常用方法。
例6：三个两两相交的平面有多少条交线？交线的位置怎样？
分析：先考虑两个平面相交，然后再考虑第三个平面与前面两个平面的相交关系，进而决定交线的条数和交线的位置关系。
解：（1）= a，第三个平面r也能过a，此时，三个平面两两相交，交线只有1条（如图4（1））。
（2）= a，第三个平面r与a 不相交，而与、分别交于b、c，则 a // b // c, 此时三个平面两两相交，有三条交线，它们是互相平行的。（如图4（2））。
（3） = a，第三个平面r与a相交一点O，而与、分别交于 b、c，则a, b, c都过O点，此时，三个平面两两相交，交线有3条，这3条交线相交于一点。
例：若不共点四条直线两两相交，那么，这四条直线在一个平面内，
已知：直线a, b, c, d不共点，且两两相交。
求证：直线a, b, c, d 共面。
分析：直线a, b, c, d不共点，且两两相交，且两两相交有两种情况如下，必须分别加以证明。
证明：（1）设，（如图4）那么直线d与d外一点O，可确定一个平面，
（2）设a, b, c, d中没有三线共点的情况（图5），过a, b作平面，∵ 直线C与a, b相交，设交点分别P、Q， ∴，∴ 直线PQ 、即C ，同理d ，故a, b, c,d共面。
评述：两种情况，不能以偏概全，立几中出错往往是因为某种特殊形成立，而其它情况不成立而产生的。
例7：三个互不重合的平面，能把分成多少部分？
分析：三个平面的位置不同，则把空间分成的部分也不同，需要分情况加以讨论。
解：（1）当三个平面彼此不相交，则把空间分成四部分；（图6）
（2）当三个平面相交于一条直线或其中两个平面不相交第三平面与它们都相交，把空间分成六部分。（图7、8）
（3）当三个平面相交于三条平行直线时，将空间分成七部分。（图9）
（4）当三个平面相交于过一点的三条直线时，将空间分成八部分。（图10）
例8：已知一组平行线都与直线b相交，求证它们共线。
证明1：如图11，直线a1 // a2 // ……// an，它们与直线b分别交于，
∴ a1与b确定平面
∵ a1 // a2，∴a1、a2 确定平面
∴
又
即平面、都过两条相交直线a、b。
∴ ，是同一平面，∴ a2在平面内，
同理，可证a3……an，都在平面内，
即a1, a2……an，及b共面，
证明2：由a1与b作平面，在内直线b上取点A2，过点A2在平面内作a2 // a1，由于过直线a1外一点A2作a1的平行线只能作一条A(平行公理)，故a2与a 2重合，∴ a 2在平面内，同理， 都在平面内。
评述：证明1是根据推论1判断与重合，证明2是根据平行公理确定a2与a 2重合都可以达到共面的目的。
例9：如图12，平面和平面相交于a, 点A在平面内（A a），点B、C在平面内（B、C a），作出过A、B、C
三点的平面r 。
错解：∵ A、B、C三点不在一直线上，∴A、B、C三点作平面r，如图12（1）。
辨析：过三点A、B、C作平面r 是可以的，但是具体作图未能作出r与的交线，是个很大的缺点，应该找到r平面与平面的另一交点（一个交点为A）。
正确作法为图12（2），连结BC，并延长BC与棱相交于D点，再连结AD，此时D a, 面
，则由AD、BCD所确定的平面就是r。
评述：若BC的延长线与a不相交，即BC // a，则可在内过A作b // a，由b与BC两条平行线确定的平面就是r（图12（3））。
例10：如图13，四边形ABCD中，AB // DC，AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面M相交于E、F、G、H
求证：E、F、G、H必在同一直线上。
分析：要证E、F、G、H四点共线，只须证平面ABCD与平面M相交即可，
证明：∵ AB // CD
∴ A、B、C、D在同一平面上，设ABCD所在平面为N，
∵ E、F、G、H分别在直线AB、BC、CD、AD上，
∴ E、F、G、H 都在平面N上，
∴ E、F、G、H 必在M、N的交线上，
即 E、F、G、H同在一直线上。
【综合练习】：
1．是非判断题（正确打“√”，不正确打“×”）
①若平行四边形有3个顶点在平面内，则这个平行四边形就平面内 （ ）
②正方形就是空间图形 （ ）
③两组对边分别相等的四边形一定是平面图形 （ ）
④4条边都相等的四边形是菱形 （ ）
⑤平面与平面有3个相异的公共点，则与重合 （ ）
⑥“∵ 直线AB在平面内，C是直线AB上一点，所以C在平面内”，用符号表示为“AB , C AB, ∴ C ” （ ）
⑦四个点中的任意三个不共线，则这四个点必不共面 （ ）
⑧若两个平面、有一个公共点，则 （ ）
2．两个平面重合的条件是
A．有两个公共点 B．有三个公共点
C．有无数个公共点 D．有不共线的三个公共点
3．空间中有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么可确定的平面
A．可能一个，也可能三个 B．可能两个，也可能四个
C．可能三个，也可能四个 D．可能一个，也可能四个
4．一条直线和这条直线上外不在同一直线上的三个点，最多可以确定的平面个数是
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
5．下列四个命题：
①过三点确定一个平面 ②四边形是平面图形
③三条直线两两相交确定一个平面 ④两个相交平面把空间分成四部分
其中错误的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．不共面的四个点最多可以确定 个平面，不共线的四个点可以确定 个平面。
7．如图：，在平面内作直线b与a相交。
8．已知直线a，点A a，求证：过点A作直线a // a，则a 在由a与A所确定的平面内。
9．空间4条直线两两平行，有且只有3条在同一平面内，它们可以确定几个平面？为什么？
10．空间4条直线两两平行，且无3条在同一平面内，它们可以确定几个平面？为什么？
11．如图中的各点坐标分别为A (4, 4), B (8, 4), C (8, －4), D (4, －4), O (0, 0)。画出水平放置的五边形OABCD的直观图（用斜二测画法）。
提高篇
12．空间四条直线，其中每两条都相交，这些直线确定的个数是
A．1个 B．4个 C．6个 D．不确定
13．一条直线和另外两条直线相交，过其中的两条直线的平面个数可能是
A．一个或3个 B．1个或2个
C．1个或2个或3个 D．2个或3个
12．用反证法证明：内则直线AB与平面只有一个公共点。
13．空间有不共面的四个点A、B、C、D，求证：至少存在四个平面、六条直线，此四个平面不共点，此六条线不共面。
14．已知：直线平面 = A又直线b // a，
求证：直线b与平面有且只有一个交点。
15．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，O是正方形的中心，
（1）求AA1与CC1确定的平面与B、D、C1三点确定的平面的交线。
（2）求证：A1C与B、D、C1确定的平面的交点M在C1O上。 第11题
16．如图：设M、N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1、CC1上的点，
（1）画出B1M与平面ABCD的交点；
（2）画出由B1、M、N三点确定的平面与平面ABCD的交线。
【答案】：
基础篇
1．①√ ②√ ③× ④× ⑤× ⑥× ⑦× ⑧×
2．D 3．D 4．C 5．C
6．四个，一个或四个 7．在内延长a与l交于A，过点A在平面任一作一直 线b即可，
8．提示：用证明两个平面重合的方法
9．4个平面，三条在同一平面的平行线，确定一个平面，此平面外的一直线与平面内的3 条平行线可确定3个平面，共有4个平面。
10．6个平面，设4条平行为a, b, c, d，每两条可确定一个平面，故a,b; a,c; a,d; b,c; b,d; c,d
共可确定6个平面。
11．
提高篇
12．（D）因为四条直线每两条都相交，有以下几种情况：
（i）若四条直线不交于同一点两两相交，或虽交于同一点，但四条直线共面，只能确 定一个平面；
（ii）若四条直线交于同一点，但有三条直线共面，可确定四个平面；
（iii）若四条直线交于同一点，无三条直线共面，可确定6个平面。
13．C，当三条直线同在一个平面内，可确定1个；当a与b、c 都相交，a与b，a 与 c各确定一个平面，而b与c不能确定一个平面，共确定2个，当a, b, c三线共点，3 条直线又不共面，就确定了3个平面，故选C。
12．证：若直线AB 与平面有两个公共点，则直线AB在平面内，与B 矛盾。
13．根据平面基本性质：A、B、C三点确定一个平面（∵ A、B、C三点不可能共线， 否则A、B、C、D四点一定共面，）同理A、C、D；A、B、D；B、C、D
分别确定一个平面，另外，由两点决定一条直线，则A、B、C、D四点可决定 AB、AC、AD、BC、BD、CD六条直线。
若四个平面共点（设为A），则平面BCD与平面BAD公共不在一直线上三点（B、 D、A）即两个平面重合，故此四个平面不共点；若六条线AB、AC、AD、BC、 BD、CD共面，则A、B、C、D四点共面，与题设矛盾，故六条直线不共面。
14．证：过b和a作平面，显然 ，否则与重合，与矛盾。
，∴ , 必相交于过A的一条直线C，则a, b, c都在平面内，
又a // b, ∴ b必与c有一个交点，又c , ∴ b与有一个交点，又 ，故b与只能有一个交点，即b与有且仅有一个公共点。
15．（1）两个平面的交线为CO1；点C、点O是两个平面的公共点，两个平面只能有一 条交线，即CO1；
（2）
16．∵ 平面ABB1A1
延长B1M交BA延线于E，即B1M与平面ABCD的交点；
（2）连B1N开延长交DC的延线于F，连结EF，则EF就是平面B1MN与平面ABCD
的交线。
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第一章 直线与平面 综合练习(三)
【例题精选】：
例1：下面哪一个推理是正确的（其中a, b, c表示直线，表示平面）
A． B．
C． D．
解：A中无a ，当a, b 且a // b得不出a // ，B中a与b可能是异面直线，D中a, b可能相交也可能异面，故淘汰ABD，而C中当a, b, c在同一平面中，显然成立，当a, b, c是空间中直线，∵ a // b，依据异面直线所成角的定义，b与c所成角等于a与c所成角，∴ b与c成90°，∴ b c, 选C。
例2：在空间四边形ABCD中，AB CD, AC BD,
求证：AD BC
分析：已知是线线垂直，求证也是线线垂直，比较容易想到三垂线定理或逆定理，或是证明一直线垂直另一直线所在平面，从图5所看，AD垂直BC所在平面不适合，故创造条件使用三垂线定理及其逆定理，由AB CD, 可视为斜线AB垂直平面BCD中的CD，要运动用垂线定理，必须画出平面BCD的垂线。
解：过A作平面BCD的垂线AO，（O为垂足）
连结BO，则BO为斜线AB在平面BCD内的射影，
∵ AB CD ∴ BO CD
同理，CD BD 故O为△BCD的垂心
∴ BO BC ∴ DO为AD在平面BCD内射影
∴ AD BC
例3：AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，这三条线段的中点分别E、F、G，
求证：AC // 面EFG, BD // 面EFG
解：E、F、G是不在同一平面内的三条线段AB、BC、CD的中点，那么EF // AC，FG // BD（图6）
显然：EF 面EFG
AC 面EFG
又EF // AC， ∴ AC // 面EFG
同理：BD // 面EFG
评述：正确地作出图形，是解决本题的关键。
例4：求证：如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行。
已知：平面∩平面， = b
又直线a // , a //
求证：a // b
分析1：已知直线a与平面, 平行，由直线上平面平行的性质，必定可以过直线a作一平面，使之与, 相交，其交线分别为c, d，则a // c, a // d，再根据线面平行的判定定理可以得到c // ，从而有c // b, ∴ a // b
证明：过a作平面，使之与, 都相交，
设∩ = c, ∩
∵ a // c, a // d, ∴ a // c // d,
又d , c ,
∴ a // c // d
∴ c //
又∩ = b
c ，因此c // b, ∵ a // c // d, ∴ a // b
分析2：欲证a // b，可在b上任取一点A， 证明过A且平行于a的直线c也在内，则b与c重合，可用同一法加以证明。
证明2：在两平面的交线b上任取一点A，即A b，∴ A , A , 过a, A，作一平面，则与, 必相交，
设∩ = c, ∩ = d
根据线面平行的性质定理有：
a // c, a // d, ∴ A , A , A
故c, d应是一直线，又c , d
∴ A c, A d, ∵ 过直线外一点，只能引一直线平行于已知直线，
即c是, 的交线，c与b重合
∴ a // b
评述：凡是命题的条件与结论是唯一的，常可以构造也与结论相同的图形，然后利用唯一性的公理定理，证明所作图形与已知图形相重合，这就是“同一法”，它与“反证法”都是间接证法。
例5：求证：如果一条直线与一平面平行，那么过这两个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内。
已知：直线a // 平面，P , P b, b // a
求证：b
分析：证明直线在平面内，唯一的推理是公理1，但是此题不具备公理1的条件，为此，采用间接证法。
证明1：∵ a //, 显然P a， P a
过a, P作平面，设∩ = b, 则P b，
根据线面平行的性质定理有b // a
又 b // a, 且P b, P b，由平行公理知b一b重合，∴ b在a 内
证明2：∵ a // b, a, b可以确定一个平面，
又∵ P , P b, 由公理2，平面, 必相交于过P点的一条直线C，
∵ a //, 又a , ∩ = c, ∴ a // c
又a // c, b∩c = P
由平行公理已知，过直线a外一点P有且只有1条直线与直线a平行，故直线D与C重合。
∴ b
评述：证法1利用推论1，证法2利用推论3，然后都在平面内找到一条与a 平行的直线，根据平行公理得到它们与b重合。
例6：已知：a, b是异面直线，c是a, b的公垂线，平面∩平面 = d，且a , b ,
求证：c // d或c与d重合
分析与证明：欲证c // d，由已知c a, a , 由c, a确定的平面与的交线为c1，则c1 a, c // c1, 从而只须证：d // c1即可，欲证d // c1，只须证c1 //, 欲证c1 // , 只须证c1 平行于内一条直线即可，而由b, c决定的平面与的交线为c2，只须证：c1 // c2即可
由已知b c, b , ∴ b c2可得c2 // c, 从而有c2 // c1故证此题思路已通。
证明：过a, c作平面，∩= c1,
∵ a c, a , ∴ c1 a, 则 c1 // c,
再过b, c作平面，平面∩ = c2
同理得：c2 // c, ∴ c1 // c2, ∴ c1 //
∵ ∩ = d, 且c1，∴ c1 // d, 故c // d,
特别地当,异面直线a, b的公垂线就是d时，亦成立。


例7：已知直线AO与平面M斜交于O， AB M, B是垂足，直线OC ， ABO =,
BOC = , AOC = ,
求证：cos · cos
分析：若OC OB，则由三垂线定理有OC OA,
即： = = 90° 显然cos = cos ·cos
若OC不垂直OB，不防设，的都是锐角，
否则，的补角是锐角，利用直角形的线段比可得到结论
证明：设，都是锐角，过B作BD DC 于D
连结AD， ∵ BD是AD在平面M内的射影
∴ AD OC
∵ AB OB
∴
评述：如果, , 都是锐角，于是cos < cos , cos < cos
∴ > , > , （与的大小不定）由此可知，斜线与平面所成角，是斜线与平面任意直线所成角中的最小值（即 < ）
例5：一个直角所在的平面外有一点，这点和直角顶点的距离是23cm，和两条直角边的距离都是17cm，求这点室直角所在平面的距离。
已知： BAC = 90° A、B、C
P , 且PA = 23cm,
PE AB, PF AC, 且PE = PF = 17cm
求：点P到平面的距离
分析：求点P到平面的距离，必须由点P向平面引垂线，关键是确定垂足的位置，由题设条件知点P到 BAC的两条边的距离相等，则垂足必在 BAC的平分线上。
解：如图12， BAC = 90°, 且在平面内，P在平面外，PA = 23cm，PE AB, PF AC, E、F为垂足，PE = PF = 17cm,
作PO = 平面，O为垂足，则PO就是所求的距离，且O在 BAC的平分线AO上，
连结OE、OF、OA，根据三垂线定理的逆定理得OE AB, OF AC
在Rt△PEA和Rt△PFA中，PE = PF，PA公用，
∴ Rt△PEA Rt△PFA
∴ AE = AF, 又 BAC = 90°
从面AEOF是正边形
∴
在Rt△POE中，（cm）
即P到直线所在平面的距离为7cm.
例9：如图13所示，在Rt△ABC中，已知： C = 90°, AC = 18, BC = 32, D是AB的中点，DE 平面ABC， DE = 12
求：E到AC、BC的距离
分析：首先应确定点E的射影D到直线AC、BC的垂足F、G，从而可求得EF、EG即可。
解：过点D在平面ABC内作DF AC于F，作DG BC于G，连接EF、EG，根据三垂线定理可知：EF AC,，EF BC，
∵ D为AB中点， C = 90°, 即AC BC
∴ DF // BC, 且DF =BC = 16， DE = 12
∴ 在Rt△DEF中，
在Rt△EDG中，DG = AC = 9
即E到AC的距离是20，E到BC的距离为15。
评述：三垂线定理及其逆定理在解决空间图形中有关垂直计算距离、讨论各种角等方面的问题，都有着广泛的应用。
【综合练习】：
1．是非判断题
① 一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。（ ）
② 平行于同一平面的两条直线平行。（ ）
③ 两条平行线中的一条平行于一个平面，另一条也平行于这个平面。（ ）
④ 过平面的一斜线的斜足且与它的射影垂直的直线与这斜线垂直。（ ）
⑤ 若l垂直内任一直线，则l 。（ ）
⑥ 过平面外一点且只有一个平面与已知平面平行。（ ）
⑦ 若直线a // （平面）、直线b // （平面），则a与b可能不平行。（ ）
⑧ 若一条直线和一个平面平行，则这条直线和这个平面内无数多条直线平行。（ ）
⑨ 平行于同一条直线的两条直线平行。（ ）
⑩ a, b是异面直线，则过空间任一点可作一平面与a,b都平行。（ ）
2．直线a平行于平面M，则a与平行于M内的
A．任意一条直线 B．一条确定的直线
C．所有直线 D．无穷多条平行直线
3．若平面外一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，则这条直线与这个平面的位置关系是
A．平行 B．垂直 C．相交 D．平行或相交
4．已知直线a, b，平面M，且a // b，a M, 则b与M的位置关系是
A．b // M B．b M
C．b // M或b M D．b 与M相交
5．下列命题中
①过一点，一定存在和两条异面直线都平行的平面；
②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行；
③若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行；
④平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行。
正确的命题个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若直线a // 平面M，直线c a, 则c与M的位置关系是 。
7．若直线a与平面M的一条垂线垂直，则a与M的位置关系是 。
8．设平面的斜线l与平面所成角为30°, 是平面内不过斜足的任一直线，则a与l所成角的取值范围是 。
9．求证：平面外两条平行线之一平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面。
10．求证：经过两条平异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行。
11．一条直线a若和直线l在平面上的射影垂直，则a与l的位置关系是
A．一定垂直 B．一定异面
C．垂直或异面 D．以上答案都不对
12．平面内有一四边形ABCD，P为外一点，P到四边形的各边距离都相等，则这四边形
A．必有外接圆 B．必有内切圆
C．既有外接圆又有内切圆 D．必是正方形
13．对于已知直线a，如果直线b同时满足3个条件：①与a成异面直线；②与a的夹角为定值；③与a的距离为定值d，那么这样的直线
A．唯一确定 B．有2条 C．有4条 D．有无数条
14．正三角形ABC的边长为a，P为△ABC所在平面外的一点，且PA = PB = PC，则P到平面ABC的距离是 。
15．点P不在△ABC所在平面内，O是△ABC的外心，若PA = PB = PC，求证：PO 平面ABC。
16．求证：空间四边形ABCD的两条对角AC、BD到空间四边形各边中点，E、F、G、H所在平面的距离相等。
【答案】：
1． ①× ②× ③× ④× ⑤√ ⑥√ ⑦√ ⑧√ ⑨√ ⑩×
2．D 3．D 4．C 5．A
6．平行、相交或在平面内。
7．a // M或a M
8．[30°, 90°]
9．先用线面平行的性质定理，再用线面平行的判定即可。
10．先证存在性，再证唯一性，证唯一性用反证法。
11．D ∵ 直线a未标明是平面内的直线，也可以是平面外。
12．B ∵ P点到各边距离相等，因此P点在平面内射影到四边形各边距离也相等，故 存在四边形的内切圆。
13．D 若AB是异面直线a, b的公垂线，AB∩a = A, AB∩b = B，AB = d, a 与b成角，将AB， b绕直线a旋转，则每旋转到一位置b时，a与b仍是异面直线，a与b距离不变，故 b有无数条。
14． P在平面ABC中的射影为正△ABC的中心，用勾股定理即可算出距离。
15．提示：用同一法，过P作PH 平面ABC于H，证明H为△ABC的外心即可得PO 平面ABC。
16．提示：∵ AC // 平面EFGH，BD // 面EFGH，A到面EFGH的距离就是AC到面 EFGH的距离，B到面EFGH的距离就是BD到面EFGH的距离，而AB的中点E在 面EFGH内，故此两距离相等。
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第一章 直线与平面（二）
【例题精选】：
例1 “a、b是异面直线”是指：
上述结论中，正确的是
A．，， B．，，
C．， D．，
答案：选D
小结：注意掌握文字语言和符号语言的“互相翻译”。
例2 已知平面
求证：b，c是异面直线。
分析：当直接证法不易证时，可采用反证法，其实质是证明命题的逆否命题成立，即首先提出和求证结论相反的假定，再推出矛盾。从而说明假设不成立，因而结论成立。
证明：如图，假设b、c不是异面直线，即b、c 共面
则b//c或b、c相交
（1）若
（2）
综上所述，证明假设不是异面直线不成立，故是异面直线。
小结：证明空间两条直线是异面直线，条件具备，可采用直接证法，利用异面直线的判定定理来证明。本命题条件不具备，通常采用间接证法中的反证法，它的主要特征是“推出矛盾”，在进行反设时，要注意原结论相反的方面是只有一种情形，还是有若干种情形，若只有一种情形，那么只需就这种情形去推出矛盾；若有若干种（本题有两种），那么必须针对每一种情形分别推出矛盾才可。
例3 如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为AB、CD中点，AC=4，BD=
求证：。
分析：证明两条异面直线互相垂直，根据定义，只要求出这两条异面直线所成的角是直角就可以了。
证明：取BC中点R，连结PR，QR
的中位线，根据三角形中位线定 理
小结：此题是通过两条异面直线所成角的数量关系来判定两条异面直线的位置关系，而求两条异面直线所成的角只要通过平移转化为共面夹角就可以了，要注意平移点、平移面的选取。
例4 如图，在空间四边形ABCD中，各边长和对角线长均为a，点E、F分别是BD、AC中点，求异面直线AE、BF所成的角的余弦值。
分析：求两条异面直线所成的角，一般先通过平移，把异面直线所成的角转化为共面夹角来处理，根据定义，空间一点O的选择是任意的，但为了简便，通常O点取在两条异面直线的某一条上或其他更为方便的地方，下面给三种解法依次将O点（共面角的顶点）取在了点E、F、B处，恰当地选取平移点和平移面是计算两条异面直线所成角的基本技能。
解法一：如图，连结DF，取DF中点G，连结GE、 GA
解法二：如图，连结CE，取CE中点G，连结GF
故异面直线
解法三：如图，在平面DAB中，作BG||EA交直线DA于G


依据余弦定理，
故异面直线
小结：本题重点考察两条异面直线所成的角，方法很多，只有深刻地理解其概念，掌握求两条异面直线所成角的基本方法，才能灵活运用方法及准确地计算来解决问题。
例5 选择题：若异面直线则过空间任一点所成角都是，这样的直线有且仅有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
分析：如图，把异面直线点，由条件知则
的邻补角的角平分线PQ满足条件。又平面ABCD的两条斜线PM、PN，使
，也满足条件。故满足条件是3条。
答案：选C。
例6 如图，已知所在平面外一点，且
，求异面直线的距离。
分析：虽然不相交，所以AC不是异面直线BE和AC的公垂线，而根据异面直线所成角的定义，任何和AC平行的直线都和BE、AC垂直。又和AC平行且和PC相交的直线必在平面APC内，由于BE和平面APC有公共点E，所以在平面APC内经过E和AC平行的直线EF一定是异面直线BE和PC的公垂线。
解：在
小结：对于异面直线的距离，高考只要求会计算已给出公垂线时的距离；求两条异面直线的距离，一般可根据它的定义分两步进行：（1）确定两条异面直线的公垂线，在确定时应注意两条异面直线的公垂线是一条直线，它具有和这两条异面直线都垂直，并且都相交这两个属性；（2）计算公垂线在两条异面直线间线段的长度。
【专项训练】：（45分钟）
一、选择题：
1、下述四个命题中，正确的命题是
A．已知直线a、b、c，若a与c相交，b与c相交，则a与b也相交
B．已知直线a、b、c 若a与c是异面直线，b与c是异面直线，则a与b也是异 面直线
C．
D．
2、如果空间两条直线互相垂直，那么它们
A．一定相交 B．是异面直线
C．是共面直线 D．一定不平行
3、已知a、b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
4、如图，ABCD－
则所成角的余弦值是
A． B． C． D．
5、分别是空间四边形ABCD各边的中点，若对角线BD=2，AC=4，则的值是
A．5 B．10 C．12 D．不能确定
6、直线m与n是异面直线，直线a与m、n相交，直线b也与m、n相交，那么a与b的关系是
A．a//b B．a、b相交 C．a、b异面 D．a与b不平行


M
7、如图，在棱长为1的正方体分别为 的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是
A． B．
C． D．
8、正方体的12条棱中，组成异面直线的对数有
A．20 B．24 C．12 D．8
二、填空题：
9、空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。若AC=BD，则四边形EFGH是 ；若则四边形EFGH是 。
10、长方体中，长和宽都是1cm，高是2cm，那么异面直线 所成角的余弦值是 。
11、如图，在空间四边形ABCD中，各边长和对角线的长都是a，E是AD中点。则异面直线AB和CE所成角的余弦值等于 。
12、如图，在空间四边形ABCD中，CD=2AB=4，E、F分别为AC、BD的中点，且，则所成的角等于 。
三、解答题：
13、已知：a、b是异面直线，分别在a、b上取点A、B和点C、D（A与B、C与D不重合）。求证：AC、BD是异面直线。
14、如图，在正方体中，P、Q分别是的中点，求异面直线所成角的余弦值。
第14题 第15题
15、如图，空间四边形ABCD，连结对角线AC和BD，E、F分别是BC、AD的中点，AB=BC=CD=DA=AC=BD。
（1）求证：EF是异面直线BC、AD的公垂线；
（2）设AB=a，求异面直线BC、AD间的距离。
【答案】：
一、选择题：
1、D 2、D 3、C 4、A 5、B 6、D
7、D 8、B
二、填空题：
9、菱形 矩形 10、 11、 12、
三、解答题：
13、反证法，如图，
假定AC、BD不是异面直线，即共面
14、取
15、（1）
（2）
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第一章 直线和平面综合练面与空间两直线位置关系
【例题精选】
例1：求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内。
分析：
①用数学符号表示题设和结论。
②要证l1, l2, l3共面，只要找一个平面，使得三条直线l1, l2, l3都在这个平面内，关键是如何找这个平面。
已知：l1,∩ l2= A, l2∩ l3 = B l3∩l2 = C
求证：l1, l2, l3共面
证法一：∵ A, B, C不共线
∴ A, B, C三点确定一个平面 （公理3）
∵ A l2 , B l2
∴ l2
同理l1 l3
∴ l1, l2, l3共面
证法二：∵ B l1
∴ l2和点B确定一个平面 （推论1）
∵ A l1, l1
∴ A
∵ A =
∴A l2
∵
∴
而
∴
同理
共面
证法三：∵
∴ 确定一个平面 （推论2）
∵
∴
同理
评述：①本题主要考查公理3及其推论和共面问题。
②证明共面问题时一种常用的方法是“归一法”，一般先根据题设中的点或直线，确定一个平面，然后再证明其它的点和直线都在这个平面内。确定平面时，一般用公理3及其推论，例如本例中方法一用公理3确定平面，方法二用推论确定平面，方法三用推论2确定平面。
例2：如果三条平行线都与一条直线相交，那么这四条直线共面。
分析：①这是一条文字题，先用数学符号表示题目中的题设和结论。
②由确定两个或两个以上的平面，然后再证这些平面重合。
已知：l1 // l2 // l3,
求证：共面
证明：∵ l1 // l2
∴ l1 、 l2确定一个平面，
同理，l2、l3确定平面，
∵
由上面可知、均为两相交直线l1、l2确定的平面
∴ 与重合
∴共面
评述：①本题主要考查共面问题，即判定或证明点和直线在同一平面内的问题。
②证明共面的一种方法是“同一法”。一般先根据题设确定两个或两个以上的平面，然后再证这些平面重合（利用公理3或推论中的一个根据去证）
③本命题可以推广：如果n条平行线都与一条直线相交，那么这n + 1条直线共面。
例3：
已知：正方体ABCD——A1B1C1D 1中，G，H分别是的中点，求：DH，BG，C C1延长后相交于一点。
分析：要证明三线共点，先证DH和BG相交于一点，然后再证CC1过一点即可。
证明：
又∵
∴
∴ G、H、B、D四点共线
且GHDB为梯形
∴ 延长DH、BG后必交于点P
∵ P BG, BG 平面BCC1B1
∴ P 平面BCC1B1
同理P 平面CC1D1D
∴ 点P在平面BCC1B1和平面CC1D1D的交线上，
又∵平面BCC1B1平面CC1D1D = CC1
∴P C C1
∴ DH、BG、CG延长后相交于一点
评述：①本题主要考查三线共点问题
②证明三线共点时，一般先证明其中一条直线为其它两条直线所在的两个平面的交线，然后再证其它两条直线的交点为两个平面的公共点，从而得到交点在交线上。
例4：
如图直线a,b,c中，a //b, l与a是异面直线，且l与b不相交，求证l与b是异面直线， 分析：此题用定义和判定定理去证都不容易，所以用反证法。
证明：假设l与b不是异面直线，则l与b可能相交，也可能平行，若l与b相交，这与已知矛盾，若l与b相交，这与已知矛盾。
若l // b， 又∵ a // b ∴ l // a
这与l与a是异面直线矛盾
∴ 假设不成立
∴ l与b是异面直线
评述：①本题主要考查异面直线的判定和反证明
②证明题有时不能直接证明时，可选择反证法，一般先否定结论，经过正确的推理，找出与题设或事实相反的矛盾，从而否定假设，肯定结论。简单概括为“否定结论——推出矛盾——否定假设——肯定结论”，分这四步进行证题。
③在这类证明题中，若两条直线不是异面直线，有两种处理的方法：
1、把两条直线看作共面，再利用共面的问题证明。
2、对两条直线的位置关系进行分类讨论，即两条直线平行或相交。
例5：
已知空间四边形ABCD中，AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F分别为AB、CD的中点，
（1）求证：EF 为AB和CD的公垂线
（2）求异面直线AB和CD的距离
解；①连接BD和AC，AF和BF，DE和CE
设四边形的边长为a
∵ AD = CD = AC = a
∴ △ABC为正三角形
∵ DF = FC
∴ AF DC 且AF =
同理 BF = A
即△ AFB为等腰三角形
在△ AFB中，
∵ AE = BE
∴ FE AB
同理在 △ DEC中
EF DC
∴ EF为异面直线AB和CD的公垂线
解： ②在 △ AFB中
∵ EF AB且
∴
∵
∴ EF为异面直线AB和CD的距离
∴ AB和CD的距离为
评述：①本题主要考查异面直线间的距离的证明和求法。
②求异面直线距离时，一般把所要求的距离放到特殊的三角形和四边形（包括正方形，菱形，梯形等）中去求解。
例6：
在正方体ABCD——A1B1C1D1中，设棱长为a , E、F分别为BB1，CC1的中点，
求：AE和BF所成角的余弦值。
分析：要求两平面直线AE和BF所成的角，转化为平面角解决问题。
解：连接DF 、EF、BD
∵E、F分别为BB1, CC1的中点
∴
又∵ BC BC
∴ EF AD
∴ E、F、D、A四点共面
且四边形EFDA为平行四边形
∴ DF // AE
∴ DFB 为AE 和BF 所成的角或所成角的补角。
在△ ADF中
BD = a
同理 DF =
∴ cos BFD =
评述： ①本题主要考查异面直线所成角的求法。
②把异面直线所成角转化平面角时，在其中一条直线取一点点和另一条直线确定一个平面，在这平面上过点引直线的平行线，这样角就得到了转化。例如本例，在BF上取点F，点F和直线AE，确定平面AEFD，直线DF // AE，这样 DFB为所转化的平面角。
例7：
空间不共面的三条线段AA1，BB1，CC1两两平行，且互不相等
证明：AB与A1B1，BC与B1C1，AC与A1C1分别相交，且三个交点共线。
分析：①证明直线相交，只要证明直线在平面且不行即可。
②证明三个交点共线，只要证明这三个交点为两个不重合平面的公共点，从交点在两个平面的交线上。
证明：∵ //
∴ 四点共面且为梯形 ∴ 必相交
同理，相交
相交
设
∵
∴
同理
同理：
∴
∴
即：P、R、Q三点共线
评述：①本题主要考查三点共线问题。
②证明三点共线问题时，只要证明这三个点均为两个不重合平面的公共点即可，这样可得到三点均在这个平面上的交线上。
例8：
如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD上的点，且，求证：MN与AD、BC所成的角相等。
分析：①利用直线平移，将异面直线所成角转化为相交直线的角。
②证明两个角相等，一般把两个角都转化到同一个三角形中，然后证明三角形为等腰三角形即可。
证明：作MT // AD交BD于T，连接TN
∵ MT // AD
∴ ①
∵
∴
∴ TN // BC
∵ MT // AD
∴ ②
∵ TN // BC
∴ ③
②÷③ 得
④
由①得
代入④得
∴ MT = NT
∴ 在△ TMN中
TMN = TNM ⑤
∵ MT // AD
∴ TMN是MN 与AD所成的角
同理 TNM是MN与BC所成的角
∴ 由⑤ 得 MN与AD、BC所成的角相等
评述： ①本题主要考查异面直线所成角和平面几何的比例线段定理。
②在学习立体几何时，由于一般情况下都要把立体几何知识转化为平面几何知识， 所以要注意平面几何知识方法技能的复习。
例9：
如图BCDE为平行四边形，AC交平面BD于C，AB交平面BD于B，分别延长AB，AC到F、G，使BF = AB，CG = 2AC，求证FG与ED是异面直线。
证明：
即AC与平面BD只有一个公共点C
平面BD
在平面AFG中
∵ AB = DBF，CG = 2AC
∴
∴ FG BC
∴ FG 与BC相交
设H = BGBC
∴ H BC
∵ ED // BC
∴
又∵ H 平面BD，EDC平面BD，且G平面BD
∴ ED与FG为异面直线
评述：①本题主要考查异面直线的判定和逻辑推理能力。
②用判定定理判定异面直线时，一定要验证定理中的每一个条件后，才能用定理判 定。例如本例中要验证：① ② ③
④ 。
在平时的推理中要注意推理的严密性。
例10：
在长方体A′B′C′D′——ABCD中，AB = BC = 2，BB′= 1
设Q为AD′与B′D所成角，求cos
分析一：设A′D与AD′交于E点，过E点引
B′D的平行线。B′D与点E确立平面A′B′D，在平面内A′B′D作做B′D的平行线即可。
解法一：设AD′与A′D交于E点
取A′B′的中点F，连接EF。
在△ A′B′D中
∵ A′F =FB′, A′E = ED
∴ B′D // EF
∴ D′EF为AD′与B ′D所成的角或所成角的补角
在长方体A1B1C1D1——ABCD中
在△ EFD′中
分析二：设B′D与BD′交于O点，从B′D上的点O，引AD′的平行线。
AD′与点O确定平面AD′B，在平面AD′B中作AD′的平行线即可。
解法二：设 交于O
取AB的中点G，连接OG
在△ ABD′中
∴ GOD为AD′与BD′的所成角或所成角的补角。
∴
分析三：在长方体中BC′//AD′，AD′与B′D所成角可转化为B′D与BC′所成角。BC′与B′D上一点B′确定平面B′BCC′，在平面B′BCC′内，过
B′点作BC′的平行线即可。
解法三：延长CB到H，使BH = HC
∵
∴ 四边形为平行四边形
∴
∴ HB′D为AD′与B′D所成角或所成角的补角
分析四：由解法三，可以联想到“补”一个同样大小的长方体，然后把问题放到一个更大的长方体中解决。
解法四：如图，补一个与长方体——ABCD同样大小的长方体——CEFD
∵
∴ 为所成的角或所成角的补角
同解法三可得：
∴
∴
评述：①本题主要考查异面直线所成角、余弦定理、空间想象力和数学中的“转化思想” ②把异面直线所成角转化平面角时，关键是在一条直线上找一点，再过这一点作另一条直线的平行线。一般情况此点均为特殊点——中点，比例点，线段的端点等等。
③处理立体几何的问题，要善于捕捉立体图形的特点，对图形进行适当的“割”或“补”，使得图形特殊化或简单化，从而问题也就变得容易解决。
【综合练习】
一、选择题：
1．两个平面重合的条件是
A．有两个公共点 B．有能组成三角形的三个公共点
C．有三个公共点 D．有无穷多个公共点
2． 平面、的公共点多于2个，则、
A．重合 B．有一条公共直线
C．有无数个公共点 D．有两条相交的公共直线
3．设a，b是异面直线，b，c也同异面直线，则a与c的位置是
A．异面 B．平行 C．相交 D．平行、相交或异面
4．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角的关系是
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定
二、已知直线不AB、BC、AC分别交平面于P、R、Q三点如图，求证P、R、Q三点共线。
三、已知正方体ABCD——中，，
求证：P 直线B1O
第2 题 第3题
四、已知平面平面 = a, A a, AC, B a, BD , 求证：AC、BD是异面直线。
五、已知E、F、G、H分别是空间四边 形ABCD各边的中点，若EG FH，求证：AC = BD
第4题 第5题
六、正方体ABCD——中，E、F分别为AB、AD的中点，求：
①所成角的大小。
②所成角的大小。
③所成角的大小。
七、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H分别是CD和DA上的点，且DH=AD，DG =DC，求证：EH、FG、BD相交于一点。
八、已知正方体ABCD——A1B1C1D 1中，E、F、G、H、M、N分别是所在各棱的中点，求证中点共面。
第一题 第二题
九、已知经过同一点O的三条直线a、b、c不共面，点M、点P在a上，点N在b上，点Q在c上，求证，MN和PQ是异面直线。
十、 在空间四边形ABCD中，AB = AD = 2，BC = DC = 1，AD和BC成60°角，E、F分别为AB、DC中点，求AB和CD所成角和EF。
第三题 第四题
十一、在正方体ABCD——A1B1C1D 1中 ，E为AA1的中点，画出经过D1、E、C三点的平面和平面ABB1A1的交线。
【答 案】
1．B 2．C （提示：、可能相交，可能重合 ）
3．D （提示：如图
a, c平行 a, c相交 a, c异面
4．D （提示：正方体中
其中一个角为 D1DC = 90° E为BC上一点， DEC两边分别为DE、EC，
其中DC EC，D1D DE 但 DEC不确定）
二、提求：证明：P、Q、R为平面ABC与平面的公共点。
三、提示：证明：P点既在平面BDD1B1内，又在平面AB1C内。
四、提示：反证法。
五、提示：证明：先证四边形EFGH为平行四边形，然后证四边形EFGH为菱形。
六、（1）60° （2）90° （3）60°
提示：（1）连AC。
（2）连BD且A1G // AC。
（3）连BD，转化为第1题
七、略证：连AC、EF、GH
∴
∴为梯形
必交于一点，设为P
∴ P 平面ABD
P 平面BCD
又∵ 平面ABD平面BCD = BD
∴ O BD
∴ EH、FH、BD相交于一点
八、略证：连
同理：EFGN确定平面
又∵ 相交直线NE、EF即面内，又在内
∴ 、重合
∴六点共面。
九、：用判定定理证明：
略证：设相交直线a, b确定一个平面.
∵ a, b不共面，且Q C
十、60° ；
提示：，则AD与DG成60°角
连BG，则GBCD为平行四边形
∴ AB与BG所成角等于AD与DC所成角，
即AB与BG所成角为60°
∵ BG // CD
∴ AB与BG所成角等于AB与CD所成角，
即：AB与CD所成角为60°
∴ FH与HE所成角为60°
∵ FHE = 60° 或120°
当 FHE = 60° 时
∵
同理，当 FHE = 120°时
十一、
提示：（1）延长D1EDA交于H。
（2）连HC交AB于G。
（3）连EG为所求直线。
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第二章 多面体和旋转体专项训练（5）
多面体的体积
【例题精选】：
例1 一个平行六面体各面都是全等的菱形，边长为a，锐角为，求它的体积。
解：
例2 三棱柱的底面是正三角形，边长是的射影是角。
求：三棱柱的体积。
解：
例3 三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且OA=a，OB=b，OC=c，
求体积。
解：
例4 正方体
求：（1）三棱锥
（2）
解：（1）
（2）
例5 三棱锥
其余各棱长为17cm，求体积。
解：
例6 三棱锥的底面三边分别为3，5，6，点P到三边的距离都等于
求：体积。
解：
例7 正三棱台上、下两底面边长分别为2cm和4cm，侧面和底面所成的角为，求体积。
解：如图正三棱台
例8 正四棱台的侧棱长为3cm，两底面边长分别为1cm和5cm，求体积。
解：
例9 棱台的高为9cm，体积为42cm3，两个底面面积的差是6cm2，求它的两个底面面积。
解：设棱台上、下底面面积分别为
(1)式两边平方
棱台的上、下底面面积分别为2cm2和8cm2。
例10 已知：ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB，AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2
求点B到平面EFG的距离。
解：
【专项训练】：
1、若长方体中过同一顶点的三个面的面积分别为，则长方体的体积为
A． B．
C． D．
2、正六棱柱的一个底面面积是最长的对角线与底面成角，则这个正六棱柱的体积是
A．18cm3 B．cm3 C．24cm3 D．cm3
3、平行于棱锥底面的截面把棱锥的高由上到下分成2∶1两部分，则棱锥被分成的两部分的体积之比是
A．8∶1 B．8∶27 C．8∶19 D．4∶27
4、正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥使B，C，D三点重合，则这个三棱锥的体积为
A． B． C． D．
5、三棱锥中，三条侧棱两两垂直， 的面积为S，则P到平面ABC的距离为
A． B． C． D．
6、一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则它的体积为 。
7、正棱锥的高增为原来的n倍，底面边长缩为原来的，它的体积变为原来的 倍。
8、正四棱锥底面积为Q，侧面积为S，则它的体积为 。
9、正方体中顶点A处的三条棱中点分别为E，F，G，则棱锥A-EFG与原正方体的体积比为 。
10、棱台的体积为76cm3，高6cm，一个底面面积为18cm2，则另一个底面面积为 。
【答 案】：
1、B 2、D 3、C 4、B 5、B 6、4
7、 8、 9、1∶48 10、8cm2
旋转体的体积
【例题精选】：
例1 四边形，绕y轴旋转一周，
求所得旋转体的体积。
解：
例2 四边形，绕y轴旋转一周，
求所得旋转体的体积。
解：
例3 正六边形边长为a，以其一边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积。
解：设绕直线l旋转所得的几何体的体积为
直角梯形AGBF绕直线l旋转所得的几何体的体积为
矩形BCEF绕直线l旋转所得的几何体的体积为
例4 求等边圆柱和它的内切球的体积比。
解：设内切球半径为r
例5 求等边圆锥和它的内切球的体积比。
解：如图，设内切球半径为r
例6 已知：圆台外切于球，已知圆台侧面积与球面积之比为4∶3，
求：圆台体积与球体积之比。
解：如图，设圆台上、下底半径为
球半径为R
把（1），（3）代入（2）
例7 一个倒圆锥形的容器，它的轴截面是一个正三角形，在这容器内注入水，并且放入一个半径为r的铁球，水平面恰好和球相切。
问将球从圆锥内取出后，水平面高是多少？
解：设球取出后，水平面高为h
如图（1）
如图（2）
例8 顶点朝下的圆锥形封闭容器，高为H，注入水后，水面恰过高的中点，将此容器倒放，使顶点朝上，求这时水面的高。
解：设所求水面的高为h
如图（1）
如图（2）
【专项训练】：
1、圆锥的中截面把圆锥分成两部分，这两部分的体积比为
A．1∶4 B．1∶6 C．1∶7 D．1∶8
2、一个全面积为24cm2的正方体，有一内切球，那么该球的体积为
A． B． C． D．
3、球，球的外切等边圆柱，球的外切等边圆锥的体积比为
A．1∶2∶4 B．2∶3∶4 C．2∶3∶6 D．4∶6∶9
4、若球的大圆面积扩大为原来的3倍，同它的体积扩大为原来的
A．3倍 B．9倍 C．27倍 D．倍
5、圆柱的侧面展开图边长分别为a，2a，则圆柱的体积是
6、圆锥的侧面积为，母线长为2，则它的体积为
7、圆台的体积是 ，侧面展开图是半圆环，它的大半径等于小半径的3倍，这个圆台上底面半径是
8、把半径为3cm，4cm，5cm的三个铁球熔化后做成一个大铁球，则大铁球半径为
【答 案】：
1、C 2、B 3、D 4、D
5、 6、 7、3cm 8、6cm
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第一章平面和直线
二、空间两条直线
【例题精选】：
例1 “a、b是异面直线”是指：
上述结论中，正确的是
A．，， B．，，
C．， D．，
答案：选D
小结：注意掌握文字语言和符号语言的“互相翻译”。
例2 已知平面
求证：b，c是异面直线。
分析：当直接证法不易证时，可采用反证法，其实质是证明命题的逆否命题成立，即首先提出和求证结论相反的假定，再推出矛盾。从而说明假设不成立，因而结论成立。
证明：如图，假设b、c不是异面直线，即b、c 共面
则b//c或b、c相交
（1）若
（2）
综上所述，证明假设不是异面直线不成立，故是异面直线。
小结：证明空间两条直线是异面直线，条件具备，可采用直接证法，利用异面直线的判定定理来证明。本命题条件不具备，通常采用间接证法中的反证法，它的主要特征是“推出矛盾”，在进行反设时，要注意原结论相反的方面是只有一种情形，还是有若干种情形，若只有一种情形，那么只需就这种情形去推出矛盾；若有若干种（本题有两种），那么必须针对每一种情形分别推出矛盾才可。
例3 如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为AB、CD中点，AC=4，BD=
求证：。
分析：证明两条异面直线互相垂直，根据定义，只要求出这两条异面直线所成的角是直角就可以了。
证明：取BC中点R，连结PR，QR
的中位线，根据三角形中位线定 理
小结：此题是通过两条异面直线所成角的数量关系来判定两条异面直线的位置关系，而求两条异面直线所成的角只要通过平移转化为共面夹角就可以了，要注意平移点、平移面的选取。
例4 如图，在空间四边形ABCD中，各边长和对角线长均为a，点E、F分别是BD、AC中点，求异面直线AE、BF所成的角的余弦值。
分析：求两条异面直线所成的角，一般先通过平移，把异面直线所成的角转化为共面夹角来处理，根据定义，空间一点O的选择是任意的，但为了简便，通常O点取在两条异面直线的某一条上或其他更为方便的地方，下面给三种解法依次将O点（共面角的顶点）取在了点E、F、B处，恰当地选取平移点和平移面是计算两条异面直线所成角的基本技能。
解法一：如图，连结DF，取DF中点G，连结GE、 GA
解法二：如图，连结CE，取CE中点G，连结GF
故异面直线
解法三：如图，在平面DAB中，作BG||EA交直线DA于G


依据余弦定理，
故异面直线
小结：本题重点考察两条异面直线所成的角，方法很多，只有深刻地理解其概念，掌握求两条异面直线所成角的基本方法，才能灵活运用方法及准确地计算来解决问题。
例5 选择题：若异面直线则过空间任一点所成角都是，这样的直线有且仅有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
分析：如图，把异面直线点，由条件知则
的邻补角的角平分线PQ满足条件。又平面ABCD的两条斜线PM、PN，使
，也满足条件。故满足条件是3条。
答案：选C。
例6 如图，已知所在平面外一点，且
，求异面直线的距离。
分析：虽然不相交，所以AC不是异面直线BE和AC的公垂线，而根据异面直线所成角的定义，任何和AC平行的直线都和BE、AC垂直。又和AC平行且和PC相交的直线必在平面APC内，由于BE和平面APC有公共点E，所以在平面APC内经过E和AC平行的直线EF一定是异面直线BE和PC的公垂线。
解：在
小结：对于异面直线的距离，高考只要求会计算已给出公垂线时的距离；求两条异面直线的距离，一般可根据它的定义分两步进行：（1）确定两条异面直线的公垂线，在确定时应注意两条异面直线的公垂线是一条直线，它具有和这两条异面直线都垂直，并且都相交这两个属性；（2）计算公垂线在两条异面直线间线段的长度。
【专项训练】：（45分钟）
一、选择题：
1、下述四个命题中，正确的命题是
A．已知直线a、b、c，若a与c相交，b与c相交，则a与b也相交
B．已知直线a、b、c 若a与c是异面直线，b与c是异面直线，则a与b也是异 面直线
C．
D．
2、如果空间两条直线互相垂直，那么它们
A．一定相交 B．是异面直线
C．是共面直线 D．一定不平行
3、已知a、b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
4、如图，ABCD－
则所成角的余弦值是
A． B． C． D．
5、分别是空间四边形ABCD各边的中点，若对角线BD=2，AC=4，则的值是
A．5 B．10 C．12 D．不能确定
6、直线m与n是异面直线，直线a与m、n相交，直线b也与m、n相交，那么a与b的关系是
A．a//b B．a、b相交 C．a、b异面 D．a与b不平行


M
7、如图，在棱长为1的正方体分别为 的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是
A． B．
C． D．
8、正方体的12条棱中，组成异面直线的对数有
A．20 B．24 C．12 D．8
二、填空题：
9、空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。若AC=BD，则四边形EFGH是 ；若则四边形EFGH是 。
10、长方体中，长和宽都是1cm，高是2cm，那么异面直线 所成角的余弦值是 。
11、如图，在空间四边形ABCD中，各边长和对角线的长都是a，E是AD中点。则异面直线AB和CE所成角的余弦值等于 。
12、如图，在空间四边形ABCD中，CD=2AB=4，E、F分别为AC、BD的中点，且，则所成的角等于 。
三、解答题：
13、已知：a、b是异面直线，分别在a、b上取点A、B和点C、D（A与B、C与D不重合）。求证：AC、BD是异面直线。
14、如图，在正方体中，P、Q分别是的中点，求异面直线所成角的余弦值。
第14题 第15题
15、如图，空间四边形ABCD，连结对角线AC和BD，E、F分别是BC、AD的中点，AB=BC=CD=DA=AC=BD。
（1）求证：EF是异面直线BC、AD的公垂线；
（2）设AB=a，求异面直线BC、AD间的距离。
【答案】：
一、选择题：
1、D 2、D 3、C 4、A 5、B 6、D
7、D 8、B
二、填空题：
9、菱形 矩形 10、 11、 12、
三、解答题：
13、反证法，如图，
假定AC、BD不是异面直线，即共面
14、取
15、（1）
（2）
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第一章 直线和平面综合练习(3)
【例题精选】
例1 已知α∥β，AB、CD为夹在αβ间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点，求证：EF∥α，EF∥β
分析一、要证线面平行，只要证明直线平等于 平面中的一条直线即可，由中线，联想到构造三角形，然后利用三角形的中位线平行于底边的性质求证
证明一、连结AF并延于交β于G
∵AG∩CD=F
∴AG与CD确定平面γ
则rnα=AC rnβ=DG
∵α∥β
∴AC∥DC
∴
∵AF=FG
在ΔABG中
∵AE=BE AF=FG
∴EF∥BG
∵BGα且EFα
∴EF∥α
同理EF∥β
分析二、要证线面平面，只要找到过直线的一个平面与平面平行即可，问题转化为如何找过直线EF的平面与平面αβ平行。过C点作AB的平行线交β于H ，取CH的中点，平面EGF为所要找的平面，即利用中点的性质找平面。然后证明还将有同EGF与αβ平行即可
证明：过C作CH∥AB交β于H
取CH的中点G，
连结EG、GF、EF
∵CH∥AB
∴CH与AB确定一个平面γ
则rnα=AC rnβ=BH
∵α∥β
∴AC∥BH
∵AE=BE，CG=GH
∴EG∥BF
∴EG∥β
在ΔCHD中
∵CG=GH，CF=FD
∴GF∥HD
∴GF∥β
∵EG∩GF=G
∴平面EFG∥β
∵EF平EFG
∴EF∥β
同理EF∥α
评述：①本题主要考查线面平行、面面平行的判定与性质
②证明线面平行的问题，可以通过线线平行或面面平行来证明，例如本例中法一选构造三角形，由三角形中位线的性质得到线线平行（即EF∥BG），从而得到线面平行（即EF∥β）。法二构造平面EFG，然后通过中点的性质，证明线面平行（即EG∥β，FG∥β）从而得到面面平行，最终得到线面平行（即EF∥β）
③在证明平行的问题中，线线平行，线面平行，面面平行这三者之间可以相互转化，反复论证，直到证明出结论为止。
例2 已知SA、SB、SC是共点于S的且不共面的三条射线，∠BSA=∠ASC=45°,∠BSC=60°，求二面角B-SA-C的大小
分析：先作二面角B-SA-C的平面角，根据给定的条件，在棱S上取一点P，分别是在两个平面内作直线与棱垂直
解：在SA上取一点P
过P作PR⊥SA交SC于R
过P作PQ⊥SA交SB于Q
∴∠QPR为二面角B-SA-C的平面角设PS=a
∵∠PSQ=45°，∠SPQ=90°
∴PQ=a，SQ=a
同理PR= a，SR= a
∵∠PSQ=60°，SR=SQ= a
∴ΔRSQ为正三角形则RQ= a
∵PR2+PQ2=2a2=QR2
∴∠QPQ=90°
∴二面角B-SA-C为90°
评述：①本题主要考查二面角
②作二面角的常用方法有三种，其中一种是定义法，即指在二面角的棱上取一特殊点，直接依定义作出平面角，例如本例
例3 如图平面S⊥平面ACB，ΔSAC是边长为4的等边三角形，ΔACB为直角三角形，∠ACB=90°，BC=，求二面角S-AB-C的余弦值。
分析：先作出二面角的平面角。由面面垂直可得线面垂直，作SD⊥平面ACB，然后利用三垂线定理作出二面角的平面角
解：过S点作SD⊥AC于D，过D作DM⊥AB于M，连SM
∵平面SAC⊥平面ACB
∴SD⊥平面ACB
∴SM⊥AB
又∵DM⊥AB
∴∠DMS为二面角S-AB-C的平面角
在ΔSAC中SD=4×
在ΔACB中过C作CH⊥AB于H
∵AC=4，BC=
∴AB=
∵S=1/2AB·CH=1/2AC·BC
∴CH=
∵DM∥CH且AD=DC
∴DM=1/2CH=
∵SD⊥平面ACB DM平面ACB
∴SD⊥DM
在RTΔSDM中
SM=
=
=
∴cos∠DMS=
=
=
评述：①本题主要考查二面角的作法和转化。
②用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角边是一种常用的方法。一般过其中一个面的一特殊点作另一个平面的垂线，然后再用定理作二面角的平面角，如本例中，过平面SAB中的一点S作⊥平面ACB，要判断定出垂足的位置，然后过D作DM⊥AB，并且SM由三垂线定理得SM⊥AB，从而∠SMD为二面角的平面角，或过S作SM=AB，并连DM，由三垂线定理的逆定理得DM⊥AB，从而∠SMD为二面角的平面角,或过S作SM⊥AB，并连DM，由三垂线定理的逆定理得DM⊥AB，从而∠SMD为二面角的平面角
例4如图：二面角α分析：从棱与平面角所在平面的位置关系入手，即棱与所在平面垂直，边就是说找到一个平面与棱垂直，这样平面角也就出来 了
解：过P作PA⊥α于A
过P作PB⊥β于B则PA=，PM=4PA、PB确定平面 γ
设γnl=M，则αnγ=AM βnγ=BM
∵PA⊥α l∈α
∴PA⊥l
同理PB⊥l
∴l⊥γ 则PM=
∵AM，BM
∴LAM，LBM
∴AMB为二面角α连PM
在RTΔPAM中
sin∠AMP=
∴∠AMP=30°
在RTΔPMB中
sin∠PMB=
∴∠PMB=45°
∴∠AMB=∠AMP+∠BMP
=45°+30°
=75°
∴二面角α-l-β为75°
叙述：①本题主要考查二面角
②垂面法也是作二面角的平面角的一种常用方法。一般过一个特殊点或一条特殊线段（该线段与棱是垂直的）作棱的垂面，这样平面角就能作出来了。
例5 已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC
分析一：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可
证明一、：取BC中点D 连结AD、PD
∵PA=PB；∠APB=60°
∴ΔPAB为正三角形
同理ΔPAC为正三角形
设PA=a
在RTΔBPC中，PB=PC=a
BC=a
∴PD=a
在ΔABC中
AD=
=a
∵AD2+PD2=
=a2=AP2
∴ΔAPD为直角三角形
即AD⊥DP
又∵AD⊥BC
∴AD⊥平面PBC
∴平面ABC⊥平面PBC
分析二、要证明面面垂直，只要在其中一平面内取一点，并过该点作另一平面的垂线，然后证明垂线在该平面。本题过A点作AD⊥平面PBC，然后证明AD在平面ABC内即可
证明：过A点作AD⊥平面PBC，连PD、BD、CD
∵PA=PB，∠APB=60°
∴ΔPAB为正三角形
同理ΔPAC为正三角形
∴PA=AB=AC
∴AD⊥平面PBC
∴PD=BD=DC
∴D点为ΔPBC的外心
∵ΔPBC为直角三角形且∠BPC=90°
∴D在直线BC上
∵BC平面ABC
A平面ABC
∴AD平面ABC
∴平面ABC⊥平面PBC
分析三：要证明面面垂直，只要证明两平面所构成的二面角为直二面角即用定义证明
证明三：取BC中点D，连AD、PD
∵PA=PB，∠APB=60°
∴ΔPAB为正三角形
同理ΔPAC为正三角形
∵AC=AD，DB=DC
∴AD⊥BC
同理PD⊥BC
∴∠ADP为二面角A-BC-P的平面角
在RTΔBPC中，BD=DC
∴PD=BD
又∵AD=AD，AP=AB
∴∠ADP=∠ADB=90°
∴二面角A-BC-P为90°
即平面AB⊥平面PBC
评述：①本题主要考查面面垂直的判定
②证明面面垂直常用的两种方法：
⑴利用判定定理，在一个平面内找到一条垂直于另外一个平面的垂线，法一中，是在平面中找出一条特殊的线段，然后证明该线段垂直于另外一个平面，法二中过其中一个平面上一点作另外一个平面的垂线，然后证明该垂线在平面内。
⑵利用定义
例6 如图正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，求异面直线AD与BF所成角的余弦值。
分析：①由于AD∥BC，所以把AD与BF所成角转化为∠FBC，②把∠FBC放到ΔFBC中求解，显然要找FC与BC、BF的关系③把FC转化到ΔFDC中求解
解：连结FC、FD，设AB=a
∵AD⊥AB AF⊥AB
∴∠DAF为二面角D-AB-F的平面角
∴∠DAF=60°
∵AD=AF=a
∴ΔADF为正三角表则DF= a
∵CD∥AB，AB⊥面ADF
∴CD⊥面ADF
∴CD⊥DF
在RTΔFDC中
FC=
=
在ΔFCB中，BC=a，BF=
∴cos∠FBC=
=
评述：①本题主要考查异面直线所成角和二面角
②题目中有线线角，线面角，面面角时，应先把它们作出来，然后放到三角形中，充分利用三角形中边角的关系解决问题。
例7正方形ABCD中，以对角线BD为折线，把ΔABD折起，使二面角Aˊ-BD-C 为60°，求二面角B-AˊC-D的余弦值
分析：要求二面角B-AˊC-D的余弦值，先作出二面角的平面角，抓住图形中AˊB=BC，AˊD=DC的关系，采用定义法作出平面角∠BED（E为AC的中点）然后利用余弦定理求解
解：连BD、AC交于O点
则AˊO⊥BD，CO⊥BD
∴∠AˊOC为二面角Aˊ-BD-C的平面角
∴∠AˊOC=60°
设正方形ABCD的边长为a
∵A′O=OC=1/2AC=
∠A′OC=60°
∴ΔA′OC为正三角形则A′C=
取A′C的中点，连DE、BE
∵A′B=BC
∴BE⊥A′C
同理DE⊥A′C
∴∠DEB为二面角B-A′C-D的平面角在ΔBA′C中
BE=
同理DE=
在ΔBED中，BD=
∴ cos∠BED=
=
=--
∴二面角B-A′C-D的余弦值为-
评述：①本题主要考查二面角的求法
②本题也是一个“折叠问题”，在解题过程中要分析清楚折叠前后的不变量和变量（主要指线段长度和角度。一般情况下，折痕两边图形中的“对应”的量通常是变化的。例如本例中ΔABD折到ΔA′BD时，A′O与BD的垂直关系没有变，但ΔA′BD中的A′点与ΔBDC中的C点之间的距离发生了变化。
例8 如图在二面角α-β-γ中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA=AD，MN依次是AB、PC的中点
⑴ 求二面角α-β-γ的大小
⑵ 求证明：MN⊥AB
⑶ 求异面直线PA与MN所成角的大小
分析⑴ 用垂线法作二面角的平面角
⑵ 只要证明AB垂直于过MN的一个平面即可
⑶ 过点A作MN的平行线，转化为平面角求解
解：⑴ 连PD
∵PA⊥α，AD⊥l
∴PD⊥l
∴∠PDA为二面角α-β-γ的平面角
在RTΔPAD中
∵PA=PD
∴∠PDA=45°
∴二面角α-β-γ为45°
⑵ 设E是DC的中点，连ME、NE
∵M、N、E分别为AB、PC、D的中点
∴ME∥AD，NE∥PD
∴ME⊥l，NE⊥l
∴l⊥平面MEN
∵AB∥l
∴AB⊥平面MEN
∵MN平面MNE
∴MNAB
⑶ 设Q是DP听中点，连NQ、AQ
则NQ∥DC，且NQ=1/2DC
∵AM∥DC，且AM=1/2AB=1/2DC
∴QN∥AM，QN=AM
∴QNMQ为平行四边形
∴AQ∥MN
∴∠PAQ为PA与MN所成的角
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线
∴∠PAQ=45°
即PA与MN所成角的大小为45°
评述：①本题综合考查线线角、二面角和线面垂直
②在综合题中，要把涉及到的各种角、距离在图片正确的表示出来，然后再从三角形的边角关系出发求解
例9 如图平面AC和BD交于B，它们所成的二面角为45°，P为面AC内一点，Q为面BD内一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上，又设PQ与平面BD所成角为β，∠CMQ=Q（0°<θ<90°），线段PM的长为α，求线段PQ的长
分析：MQ为PQ在平面BD上的射影则点C在平面BD上的射影R在MQ，R在BC上的射影为N，则∠RNP为二面角A-BC-D的平面角，设未知量PQ=X，通过找X与已知量Q、β，45°的关系求解
解：过P作PR⊥MQ于R
∵MQ为PQ在平面BD上的射影
∴平面PMQ⊥平面BD，且∠PQR=β
∴PR⊥平面BD
过R作RN⊥BC于N
则PN⊥BC
∴∠PNR的二面角A-BC-D的平面角
∴∠PNR=45°
设PQ=X
在RTΔPRD中 PR=Xsinβ
在RTΔPNR中
PN=
NR=PR=Xsinβ
在RTΔMNR中
MN=NRCtgθ=XsinβCtgθ
在RTΔPMN中
MN2+PN2=PM2
即（XsinβCtgθ）2+（Xsinβ）2=a2
∴X=
∴线段PQ的长为
评述：①本题主要考查二面角以及函数与方程思想
②立体几何的计算中，有时运用方程的观点，设欲求的几何量为未知量X，寻找出由题没推出的几何量之间的等量关系，列出方程（组），通过解方程（组），使问题获解。
【综合练习】
1、 填空题
1 夹在平行平面α、β间的线段AB=8，AB与α成角45°，则α和β之间的距离为
2 平面α∥β，AB⊥α于A，交β于B，AB=5CM，直线CD和αβ分别交于C和D，CD=，则直线CD和α所成的角
3 二面角α-l-β等于60°，P∈α，PA⊥l，A∈l，Q∈B，QB⊥l，B∈l，PA=QB=AB=m，则P、Q两点之间的距离为
4 空间四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，ΔABC的面积为15CM2，ΔACD的面积为9CM2，AC=6CM，BD=7CM，则面角B-AC-D的大小为
2、 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证平面AB1D1∥平面C1BD
3、 空间一点P到二面角α-l-β的两个面的距离分别为1和，P到l的距离等于2，求二面角α-l-β的大小
4、 如图ΔABC是等腰三角形，AB=AC=17，BC=16，P是平面ABC外一点，二面角P-BC-A等于60°，ΔPBC是等腰三角形，求点A到平面PBC的距离。
5、 在四边形ABCD中，AB=BC=2，AD=CD=，∠ABC=120°，将ΔABC沿对角线折起来，使得BD之间的距离等于*
⑴ 求证：AC⊥BD
⑵ 求二面角B-AC-D的大小
6、 如图：平面α内有四边形ABCD，AC、BD交于O，AB=AD，BC=CD，∠ABC=120°，PA⊥α⑴若AB=PA=，求点P到直线BC的距离和二面角P- CB-A的正切值⑵求证平面PBD⊥平面ACP
7、 如图SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E；又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的度数
8、 已知AD是ΔABC的高，E是AD上一点，且AD=1/2ED，过E作直线MN∥BC，交AB、AC于点MN，沿MN将ΔAMN折起到ΔA′MN，使A′ED=60°，求证平面A′MN⊥平面A′BC
9、 如图ΔABC中，∠ACB=90°，BC=a，∠BAC=30°，PB⊥平面ABC，PA和平面ABC成30°，求点B到平面PAC 的距离。
10、 如图，边长为a的正三角形ABC中，DE∥BC交AB、AC于D、E，将ΔABC沿DE折成60°的二面角，求DE在何位置时，折起后A′到BC的距离最短，这个最短距离为多少？
【答　案】
1、① ②30° ③ ④120°（用垂面法作二面角的平面角过BD作平面α⊥AC即可）
2、提示：法一、证明：B1D1∥平面C1BD
AB1∥平面C1BD
法二、证明：AC⊥平面C1BD
AC⊥平面AB1D1
3、75°或15°（提示分点P在二面角内和二面角外两种情况讨论）
4、60°，（提示：①用定义法：取BC的中点D，则∠ADP为二面角的平面角
②可证BC⊥平面PAD及平面PAD⊥平面PBC，过A作AE⊥PD，则AE为A到平面PBC的距离）
5、提示：⑴取AC的中点Z，可证AC⊥BZ，AC⊥DE，AC⊥平面BDE，则AC⊥BD
⑵∠BZD是二面角B-AC-D的平面角，∠BZD=30°
6、提示①用三垂线定于是或其逆定理作二面角P-BC-A的平面角。
过A作AG⊥BC交CB的延长线于G点，连PG，AG=得PG=
∴二面角的正切值为
证明：BD⊥AC，BD⊥AP，得到BD⊥平面PAC则结论正确
7、60°（提示：利用垂面法求解，可证BD⊥平面DAC，则∠EDC为二面角的平面角。可求得∠SCA=30°在RTΔDEC中，∠EDC=90°—∠DCE=
60°
8、（提示：由A′E⊥MN，DE⊥MN得MN⊥平面A′ED ∵BC∥MN
∴BC⊥平面AED
∴BC⊥A′E
在ΔA′ZE中，A′E=1/2ED，由余弦定理得（AD）=3/4DE
∵（A′E）2=（A′D）2=（1/2ED）2+3/4DE2+DE2
∴∠EA′D=90°
∴A′E⊥A′D
∴A′E⊥平面A′BC
得平面A′MN二平面A′BC
9、（提示：①先证平面PBC⊥平面PAC
②过B作BD⊥PC于D，则BD为所求
在ΔPAB中可求PB=
在RTΔPBC中 PC==
BC=）
10、提示：作AF⊥BC于F，交DE于G
可得∠A′GF为二面角的平面角
则∠A′GF=60°
可得BC⊥平面A′GF
则AF为A′到BC的距离
设AG=X，GF=AF—AG=
在ΔA′GF中由余弦定理得
A′F2=
∴当X=时，A′F是最小值
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第二章 多面体和旋转体专项训练（4）
旋 转 体
【例题精选】：
例1：把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长10cm。
求：圆锥的母长？
解：设圆锥的母线长为，圆台上、下底半径为。
答：圆锥的母线长为cm。
例2：轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱。
已知：等边圆柱的底面半径为r
求：全面积。
解：
例3：轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥。
已知：等边圆锥底面半径为r
求：全面积
解：
例4：圆台上底面半径为3，下底面半径为8，高为12。
求：全面积。
解：
例5：已知圆锥底面半径是3，高是4。
求：侧面展开图的圆心角？
解：
例6：已知：圆锥侧面展开图是半径18，圆心角为的扇形。
求：全面积。
解：
例7：已知：圆台的母线长为5cm，两底面半径比为2∶5，侧面展开图的圆心角为。
求：圆台的侧面积。
解：设圆台两底半径为2a，5a。
例8：已知：一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱。
（1）求圆柱的侧面积
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大
解：（1）设内接圆柱底面半径为r。
②代入①
（2）
例9：如图，圆锥底面半径为2cm，母线AB=6cm，从B点拉一条绳子，绕圆锥侧面转至AB中点M处。
求：这条绳子最短是多少？
解：侧面展开图中线段BM即为所求。
例10：在半径为25cm的球内有一个截面，它的面积是。
求：球心到这个截面的距离。
解：设球半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d。
球心到这个截面的距离为24cm。
例11：在半径为R的球作一个内接圆柱。
求：这个圆柱的最大侧面积。
解：设内接圆柱底面半径为r，母线长为l
例12：半径为5的球面，被一个平面截得的截面半径为4。
求：所得的球冠的面积。
解：如图
球冠面积为。
例13：地球的半径为R，要使电视卫星的电波能直射到地球表面积的，
问：卫星要发射到多高？
解：如图
卫星发射的高度为2R
【专项训练】：
1、圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，这两部分面积的比为：
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
2、圆锥的母线长为35，侧面展开图圆心角为，则圆锥的高是
A．21 B．23 C．26 D．28
3、圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为
A．10cm B． C． D．
4、圆台的上、下底面和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为
A． B．100 C．14 D．169
5、球内接正方体的表面积与球面积的比为
A．2∶ B．3∶ C．4∶ D．6∶
6、圆柱的轴截面的面积为S，则圆柱的侧面积为
7、圆台的下底半径是上底半径的3倍，且母线与底面成角，则它的侧面展开图的圆心角为
8、圆锥轴截面顶角为，母线长为l，过顶点作圆锥的截面，最大截面面积为
9、半径为41cm的球内有一与球心相距9cm的截面，这截面周长是
10、若球冠面积是截得它的球的面积的，则球冠的高是球半径的
【答 案】：
1、C 2、D 3、B 4、B 5、A
6、 7、 8、 9、 10、
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第二章 多面体和旋转体（2）
棱 锥
【例题精选】：
例1：下列棱锥中，一定为正棱锥的是哪些？
（1）侧棱相等，侧面与底面所成的角也相等。
（2）侧棱与底面所成的角相等，且顶点在底面内的射影是底面多边形的外心。
（3）侧面与底面所成角相等，且侧棱与底面所成的角相等。
（4）侧面都是以侧棱为腰的全等的等腰三角形。
分析：（1）由侧棱相等，可推知顶点在底面内的射影是底面多边形的外心，由侧面与底面所成的角相等，可推知顶点在底面内的射影是底面多边形的内心，由外心、内心重合可知底面是正多边形，且顶点在底面内射影是正多边形的中心，一定是正棱锥。
（2）所给的两个条件是等价的，其实等于一个条件不一定是正棱锥。
（3）可推知顶点在底面内的射影是外心，也是内心，且这两心重合，一定是正棱锥。
（4）由条件知棱锥的侧棱相等，可推知顶点在底面内射影是底面多边形的外心，即底面多边形有一个外接圆，又由条件知底面多边形的各边相等，所以底面是正多边形，且顶点在底面的射影是正多边形的中心，值得注意的是这小题改为侧面是全等的等腰三角形，那就不一定是正棱锥了。
小结：注意正棱锥中的等价条件，并会用它来判定一个棱锥是否是正棱锥。
例2：有一三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面：
A．必然都不是直角三角形
B．至多只有一个是直角三角形
C．至多有两个直角三角形
D．可能都是直角三角形
分析：关键是构造出符合已知条件的三棱锥，并使三个侧面的三角形尽可能多的是直角三角形，如图底面ABC，BCAC，由三垂线定理得BCSC，所以是直角三角形，又SA底面ABC，SAB、SAC也都是直角三角形，故选D。
答案：D
例3：（1）棱锥的底面面积为Q，求它的中截面面积
（2）棱锥中平行底面的截面面积是底面积一半，则该截面把侧棱分成两段，
上、下两段的长的比为多少？
（3）棱锥被两个平行于底面的平面所截，将棱锥高截得三段线段长的比为1∶
2∶3，则两个截面面积比是多少？
分析：应用棱锥的平行于底面的截面的性质及比例的有关知识解决此题：
（1）
（2）由已知
（3）以Q2为底面可得：
例4：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面所成角为，求它的侧面积。
分析：求侧面积关键是斜高的计算，在作出斜高时应选择合理作法便于使用题目的已知条件，因此应采取间接作法。
解：作SO⊥底面ABC于O，连结AO延长交BC于D，连结SD。
为正三角形，O为中心
AD⊥BC，由三垂线定理得SD⊥BC
即SD为斜高
又
例5：（1）正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，求侧面与底面所成的二面角。
（2）棱长都是a的三棱锥的高是 ；中截面面积是 ；侧棱与底面所成角的正弦是 ，相邻两面所成角余弦 。
分析：此题目的在于要掌握棱锥中的一些常见的基本运算。
解：（1）设底面边长为，斜高为
解（2）
例6：三棱锥S—ABC，底面ABC是边长为a的正三角形，侧面SAC也是正三角形，且侧面SAC⊥底面ABC，求这个三棱锥的侧面积。
分析：由于三个侧面并不都全等，因此应当分开计算，由于SAC是边长为a的正三角形，面积比较容易计算，而另两个侧面由条件可判断是全等的，由于底边已知。只需计算此面内斜高。
解：取AC中点D，连结SD，在ABC内作DE⊥AB于E，连结SE。
∵SAC为正三角形
∴SD⊥AC，又面SAC⊥面ABC于AC。
∴SD⊥面ABC，由三垂线定理得SE⊥AB
∵ASC为正三角形
∴
小结：在侧面积和体积的计算中经常会遇到斜高和高的计算，需要借助于第一章中直线与平面及平面与平面的垂直合理地作出相应垂线，能进行相关的计算。
例7：已知三棱锥的三条侧棱互相垂直，三个侧面面积分别为1.5cm2，2cm2，6cm2，求它的全面积。
分析：若按题目所给条件先画图求解，元素间的位置关系不能很直观地表现出来，若把其中侧面画在三棱锥底面的位置，那么问题就比较容易解决了。
解：如图，SO⊥AO，SO⊥BO，AO⊥BO，侧面积，，。
设三条棱
∴
解得
作OD⊥AB于D连结SD，根据三垂线定理SD⊥AB。
在RtABO中，
在RtSOD中，
例8：如图，棱锥底面是矩形，底面积为1cm2，有两个侧面SAD，SCD垂直底面ABCD，侧面SAB与底面所成角为，侧面SBC与底面所成角为，求棱锥侧面积。
解：设底面边长，高为h
在RtSAD和RtSDC中
例9：如果正四棱锥的侧面是正三角形，求证它的相邻两个侧面所成的二面角，是侧面与底面所成二面角的2倍。


分析：涉及二面角的问题，一定要先找到这个二面角的平面角，这是解决问题的关键，本题给出正四棱锥及侧面是正三角形这两个已知条件，要充分利用它们先找出要证的两个二面角的平面角，然后再证明。
证明：如图在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD 为正方形，各侧面均为正三角形
设底面中心为O，E、F分别为VC、BC的中点，连结VO，VF，BE，DE，OE，OF。
∴BED是二面角B—VC—D的平面角，且OE平分BED，设BED=，
则BEO=DEO=
VO⊥平面ABCD， OF⊥BC
∴VF⊥BC，即VFO是正四棱锥V－ABCD的侧面与底面所成二面角的平面角。
设
若令正四棱锥的侧棱长为a，则
小结：遇到有关角的大小比较问题，在确定了角的位置后，应用三角函数关系进一步进行论证，这是常用的方法。
例10：如图，四棱锥P—ABCD底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD且AB=2，CD=4，PA⊥底面ABCD，侧面PBC为一边长等于10的正三角形，求侧面PAD与侧面PBC的夹角的正弦。
解：
在ECP中由于BE=BC=BP
又在底面直角梯形中易求AD
而由PA=AD=AE知
（2）
由（1）、（2）知即为侧面PAD与侧面PBC所成二面角的平面角。
侧面PAD
在RtPCD中CD=4，PC=10
小结：要寻找二面角的平面角，需先寻找二面角的棱，已知有一点P需再找一点使之成为两平面交点即为棱上点：AD与BC必相交，交点E即为两平面交点，故PE为二面角的棱。
【专项训练】：
一、选择题：
1、三棱锥S－ABC中，SA=SB，则顶点S在底面ABC上的射影必在ABC的：
A．∠ACB的平分线上 B．AB边的中线上
C．AB边的高上 D．AB边的垂直平分线上
2、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则此棱锥的一条侧棱，分成两段之比为：
A．1∶2 B．1∶ C．1∶（－1） D．1∶（+1）
3、正四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，则截面面积为：
A． B． C． D．
4、正三棱锥S－ABC的底面边长为a，侧棱长为b，过AC、BC中点且平行于侧棱SC的截面面积为：
A．ab B． C． D．
5、正n棱锥侧面都是正三角形，那么n的最大可能取值为：
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题：
1、正三棱锥的侧面积是27cm2，底面边长是6cm，则它的高是 。
2、正四棱锥P－ABCD的侧棱长与底面边长相等，则相邻两个侧面所成的二面角的余弦值为 。
3、三棱锥S－ABC的底面中，，侧棱SA⊥底面ABC，且SA=a，侧棱SB和SC分别与底面成和角，底面ABC的边BC的长是 。
三、解答题：
1、三棱锥S－ABC的棱长都相等，E、F分别为棱SC、AB的中点。
（1）求直线SF和BE所成角的余弦值。
（2）求直线AE与平面ABC所成角的余弦值。
2、棱锥的底面是正方形，有相邻的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面与底面成角，最长的侧棱长为14cm，求这个棱锥的高。
【答 案】：
一、选择题：
1、D 2、C 3、C 4、C 5、B
二、填空题：
1、 2、 3、
三、解答题：
1、（1）；（2） 2、
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第一章 直线与平面
【例题精选】：
例1 如图所示，平面AEF与平面ABC只有一个公共点A吗？说明理由。
分析：平面是无限延展的，这是平面最本质的属性，也是理解“平面”概念的关键，平面AEF或平面ABC表示一个无限延展的平面的位置，并不意味着平面就是AEF或ABC或平行四边形等其他形状的平面图形，平面是没有边界的。不能把平面与具体的平面图形如三角形、平行四边形混同起来，正因为平面是无限延展的，所以当平面AEF与平面ABC有一个公共点A时，就不只有一个公共点A，它们必然要相交于经过A点的一条直线，同时根据公理2如果两个平面有一个公共点A时，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线，也证明平面AEF与平面ABC不只有一个公共点A。
答案：平面AEF与平面ABC不只有一个公共点A，根据平面无限延展的属性和公理2，平面AEF和平面ABC有且只有一条通过A点的公共直线。
小结：同学们在以后的学习中，只要看到表示平面的图形、符号或文字，就应当立即想到“平面是无限延展的”。
例2 选择题：“点P在平面的交线l上”的正确符号语言是
A． B．
C． D．
分析：逐一验证排除
答案：C
例3 填空题：过四条平行直线最多可以确定 个平面。
分析：设这四条平行线分别为a、b、c、d，依据公理3的推论3，ab、ac、ad、bc、bd、cd共可确定6个平面，也可把这四条平行线放到正方体中，如右图所示，依据公理3的推论3可确定6个平面。
答案：6
小结：同学们是否可以退一步，过三条平行直线最多可以确定多少个平面去思考，然后在加上一条如何处理，也可确定6个平面，进一步养成从不同角度去分析思考同一个命题的习惯。
例4 一条直线和不共线三点可确定几个平面？
分析：分类讨论，一直线和三点共面；一直线和两点共面；一直线和一点共面。
答案：当一直线和三点共面时，可确定一个平面，如右图，当一直线和两点共面时，可确定三个平面，如下图
当一直线只和一点共面时，确定四个平面，如图
小结：此问题的解决不仅需要确定平面的条件即公理3及其推论1、2、3，还需要同学们学会分类讨论的数学思想方法。
例5 如图，已知ABC在平面外，它的三边所在的直线分别交于P、Q、R三点，求证：点P、Q、R共线。
分析：根据公理2，只要证明这三点在两个平面的交线上即可。
证明：
小结：在直线和平面的位置关系和数量关系的证明、计算、作图中，经常需要判断点共线、线共面、线共点等问题，这些基本问题经常要运用平面的基本性质即三个公理和公理3的三个推论来解决。本命题就是利用公理2证明这三个点在两个平面的交线上或者证第三个点在前两个点的确定的直线上。
例6（1）一条直线和两条平行直线都相交，证明：这三条直线在同一个平面内。
（2）证明：与同一条直线相交的所有平行线都有同一平面内。
分析：先根据公理3作一个平面，若能判定其余直线有两个点在这个平面内，那么根据公理1可以判定这些直线共面，若其余直线分别只有一个点在这个平面内，要作辅助平面，用两个平面重合的方法证明这些直线共面。
证明：（1）如图，设
（2）如图，设
小结：这是证明线共面的典型命题。证明（1）时，应根据确定平面的条件恰当选哪两个条件确定一个平面才有利于证明，证明（2）时用“任一”代表“所有”进行证明的思想方法应该学会。
例7 求证：不在同一平面的两两相交的三条直线必共点。
已知：如图，直线a、b、c两两相交，且不共面。
求证：a、b、c交于一点。
证明：设a、b确定平面
小结：同学们可试试用反证法来证明。
例8 三个平面能把空间分成几部分？画图说明。
答案：可分成4、6、7、8个部分，如下图（A）、（B）、（C）、（D）、（E）。
小结：同学们应学会画图的基本步骤：先画基本线、再画面面的交线，然后画每个面的“边线”（注意平行、等长）、最后可用实线、虚线区分前后（也可只画实线如（E））。
【专项训练】：（45分钟）
一、选择题：
1、空间四点可以确定几个平面
A．1个 B．4个 C．无数个 D．以上情况都可能
2、三条直线两两相交，最多可以确定几个平面
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、三条直线两两平行，最多可以确定几个平面
A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个
4、用六根边为a的火柴棍，可以拼成边长为a的正三角形个数最多为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5、下列说法中不正确的是
A．经过不共线的三点有一个平面
B．经过三点，可能有一个平面
C．经过三点，确定一个平面
D．经过不共线的三点，有且只有一个平面
6、空间四点中，三点共线是这四个点共面的
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分条件，也非必要条件
7、下列各个条件中，可以确定一个平面的是
A．三个点 B．两条不重合的直线
C．一个点和一条直线 D．不共点的两两相交的三条直线
8、两两相交且不重合的四条直线可确定平面的个数最多是
A．1个 B．2个 C．3个 D．6个
二、填空题：
9、共点的三条直线可以确定 个平面。
10、不共线的四个点可以确定 个平面。
11、三条直线相交于一点，过每两条直线作一个平面，最少可作 个平面，最多可作 个平面。
12、三条直线相交于两点，过每两条相交直线作一个平面，最少可作 个平面，最多可作 个平面。
三、解答题：


13、已知：如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别为AB、AA1的中点。
求证：CE、D1F所在直线必相交，且交点在AD所在直线上。
14、如图，
【答案】：
一、选择题：
1、D 2、C 3、C 4、C 5、C 6、A
7、D 8、D
二、填空题：
9、1或3 10、1或4 11、1，3 12、1，2
三、解答题：
13、如图，延长CE、D1F
∽
由公理2，知平面
14、由条件
即P、Q、R三点共线
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第一章 直线与平面 综合练习(四)
【例题精选】：
例1、已知不重合的直线a、b和不重合的平面, 下列命题中, 正确的命题是
( )
A． B．
C． D．
解: A中a与b可能异面, B中可能, C中b与可能平行、斜交或在面内, 淘汰ABC, D中由a∥b, , 选D。
例2、设表示平面, m表示直线, 且m不在内, 并有①; ②; ③, 以其中任意两个为条件, 另一个为结论, 可以构造出三个命题, 其中正确的命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解: 1)由正确。∵, 故在内一定存在m∥m, 又∵, ∴, 由;
2)由正确, ∵
作直线n垂直于的交线, ∴∴m∥n, 而, ∴。
3)由。∵, 又∵, 而m的方向可以任意转动, 当m∥b, 则。故正确的命题是两个, 选C。
例3、如果直线a和b没有公共点, 则下列命题中正确的是( )
A．与a、b都垂直且相交的直线只有一条
B．存在经过a而与b垂直的平面
C．存在过a而与b平行的平面
D．过a而不过b的平面一定平行于b
分析: 由于题设中a与b没有“公共点”, 有两种情况, 一是平行直线另一是异面直线, 都必须加以考虑, 有一种情况不成立, 则该命题不正确。
解: A与a、b都垂直相交的直线只有一条, 当a、b是异面直线时, 正确, 当a∥b时, 该命题不正确, 淘汰A。
B中当a∥b时, 不存在经过a而与b垂直的平面, 淘汰B。
D中, 当a、b为异面直线时, 过a而不过b的平面不一定平行于b, 例如, 在b上取一点B, , 过a、B作平面过a而不过b与b不平行。
C中不论a∥b或是a与b为异面直线, 都存在过a而与b平行的平面。当a、b异面时, 在a上任取一点A, 过点A作b∥b, 过a、b确定的平面, 满足过a而与b平行, 当a∥b时, 显然存在过a而与b平行的平面, 故选C。
例4、一条直线与平面角为的二面角的两个半平面相交且与棱垂直, 直线与二面角两个面所成的角分别为和r, 则( )
A． B．
C． D．不确定
分析: 二面角的棱垂直于平面角所在平面, 设直线AB垂直于二面角的棱a, 只须找到AB与二面角的两个半平面所成的角, 即可找三个角之间的关系。
解: 设二面角为M—a—N, 其棱为a, 直线ABa, 在平面N内, 过A作ACa于C, 连结BC, 则ACB即为二面M—a—N的平面角, (为) , ∵a面ABC, ∴面ABC面N, ∴BAC即为直线AB与平面N所成角(为) , 同理ABC为直线与平面M所成角(为r), 在ABC中, 显然, 故选A。
例5、一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直, 则这两个二面角( )
A．互补 B．互余 C．互补或互余 D．不确定
错解: 选A为图5, 当二面角—a—与二面r—b—的二条棱a∥b时, 两个二面角互补, 。
辨析: 两面角的两个面分别垂直于另一个两面角的两个面, 不一定两条棱互相平行。
如果
—a—的大小也不变(仍为), 当直线b绕A点转动一下, b转到b, 则b。此时, 二面角r—b—的平面角就不等于, ∴。
正解: 选D。
例6、如图6, 已知二面角—l—成60, PA, 且PA = 1, PB = 2, 求点P到棱l的距离。
分析: 欲求点P到棱l的距离, 似乎应过P点向棱引垂线PC(C为垂足), 那么PA、PB、PC是否在同一平面内？不易判定, 证明较繁。由已知条件PA则PAl, 同理PBl, 因而l垂直由PA、PB确定的平面r, 故lr, 若, PC即为点P到棱l的距离。
解: 过PA、PB作平面r, 设, 连结PC, 由已知PA, 可得lPA, lPB, ∴lr, ∴lAC, lBC, 故ACB为二面角的平面角, PC为点P到l的距离, 又∵PAAC, PBBC, ACB = 60, 故P、A、C、B四点共圆为图7, 在PAB中, APB = 120, PA = 1, PB = 2,
∴, ∴AB = , 由, 即点P到二面角棱的距离为。
例7、如图8, P是RtABC外一点, 且PA = PB = PC, C = 90, 求证: 平面PAB平面ABC。
分析: 欲证平面PAB平面ABC, 只须证平面PAB内(或平面ABC)找到一条直线使之为另一平面的垂线。
证明1: 根据已知条件, 取斜边AB的中点O, 连结PO和CO, 则已知POAB(等腰, 三线合一), 又∵RtABC斜边中点到三顶点等距离, 故CO = AO = BO, 故PCO≌PAO≌PBO, ∴POC = POA = POB = 90, ∴POCO, 即PO平面ABC, 从而有平面PAB平面ABC。
证明2: 过P点向平面ABC作垂线, 垂足为O, ∵PA = PB = PC, ∴OA = OB = OC, 故O点应为ABC外接圆的圆心, 而Rt ABC的外接圆的圆心就是斜边AB的中点, ∴OAB, 故PO平面PAB, 而PO平面ABC, ∴平面PAB平面ABC。
评述: 证明2实际上是同一法, 从P点向平面引垂线, 证得垂足即为斜边的中点。
例8、对于直线m、n和平面, 能使成立的条件是( )
A． B．
C． D．
解: 由于mn, 当m、n异面垂直时, m∥, 直线方向不能确定, 不予考虑, 而m∥n时, m与n的方向是相同的, 又∵∴, ∴, 故选C。
例9、已知m、l是直线, 是平面, 给出下列命题:
①若l垂直于内的两条相交直线, 则;
②若l平行于, 则l平行内所有直线;
③若;
④若;
⑤若∥l。
其中正确的命题的序号是 (注: 把你认为正确的命题的序号都填上)。
解: 正确的有①④, 其中①是线面垂直的判定定理, ④是两个平面垂直的判定定理。
错误的②中l与平面内的直线可能是异面的。③中可能平行, 也可能斜交。⑤中m与l可能是异面直线。
例10、是两个不同的平面, m、n是平面之外的两条不同直线, 给出四个论断:
①mn ② ③ ④
以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题: 。
解: 正确的论断有i)
ii)
例11、如图9, 自二面角—l—的棱上一点A, 在平面内引射线AB, 和棱成45角, 若AB和另一平面成30角, 求二面角—l—的度数。
分析: 已知直线AB与棱成45角, AB与平面成30, 求二面角—l—的度数, 必须将线面角及二面角的平面角加以落实, 否则无从下手。
解: 在内AB上取一点B, 过B向平面引垂线BO, O为垂足, 再由O向棱引垂线OC, C为垂足, 连结BC、AO, 则BCO为二面角—l—的平面角, AOB为直线AB与平面所成角, AOB = 30, 又BAC = 45, BCAC, 不妨设BO = 1, 在RtABO中, BOA = 90, BAO = 30, BO = 1, ∴AB =, 在RtABC中, C = 90, BAC = 45, AB = , ∴BC = , 在RtBOC中, BOC = 90, BO = 1, BC = ,
∴, ∴BCO = 45, 二面角—l—的度数是45。
例12、已知ABCD是边长为4的正方形, E、F分别是AB、AD的中点, GC垂直于ABCD所在的平面, 且GC = 2, 求点B到平面EFG的距离。
分析: 欲求点B到平面EFG的距离, 转化为直线BD到平面EFG的距离(∵BD∥面EFG), 又转化为点O(), 到平面EFG的距离, 再转化为点O到直线GH()(∵面EFG面ACG), 最后转化为点O到点K(OKGH, G为垂足)的距离(见图11)
解: 如图11, 连结EG、FG、EF、BD、AC, EF、BD分别交于AC于H、O, 因为ABCD是正方形, E、F分别为AB和AD的中点, 故EF∥BD, H为AO的中点, BD不在平面EFG上, 否则, 平面EFG和平面ABCD重合, 从而点G在平面ABCD上, 与题设矛盾。
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG, 所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离。
∵BDAC,
∴EFHC,
∵GC平面ABCD,
∴EFGC,
∴EF平面HCG,
∴平面EFG平面HCG, HG是这两个垂直平面的交线, 作OKHG交HG于点K, 由两平面垂直的性质定理知OK平面EFG, 所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离。
∵正方形ABCD的边长为4, GC = 2
∴AC = 4,
∴在RtHCG中,
由于RtHKO和RtHCG有一锐角是公共的, 故HKO∽HCG,
∴
即点B到平面EFG的距离为。
评述: 应用, 设B到面EFG的距离为x, 则
, 求中解出x即可, 不需要找到点B到平面EFG的垂线的垂足, 也不需要将B点到平面EFG的距离, 转化为点O()到平面EFG的距离。
例13、已知, 如图12, 正方体ABCD—A1B1C1D1中, 棱长为a, E为AA1的中点, 求平面BED1和平面A1B1C1D1相交所成较小的二面角的正切值。
分析: 求二面角的大小, 必须找出二面角的平面角, 而现在两个平面仅有一个交点, 因此, 应找到两平面的交线, 再作出二面角的平面角即可。
解: 平面BED1与平面A1B1C1D1已知一个交点D1,
延长BE与B1A1的延线交于F, 点F为两平面第二个公共点,
连结D1F, D1F为二面角的棱,
∵EA1面A1B1C1D1, 过A1有平面A1B1C1D1内作A1GD1F, 连结EG, 则A1GE即为二面角B—D1F—B1的平面角。
∵E为AA1的中点, ∴,
∴RtBAE≌RtA1EF, ∴A1F = a
又A1D1 = a, D1A1F = 90, A1GDF1
∴ ∴tgA1GE = ,
∴平面BED1与平面A1B1C1D1相交所成较小的二面角的正切值为。
评述: 两个平面相交成四个二面角, 相对的两个二面角相等, 相邻的两个二面角互补, 若此题求较大的二面角的正切值, 则为－。
【综合练习】：
1、是非判断题
①若一个平面内任何一条直线都与另一个平面平行, 则这两个平面平行。
②夹在两个平行平面间平行线段长相等。
③两个平面分别与第三个平面相交, 若交线平行, 则这两个平面平行。
④两点A与B相距5cm, 那么和这两点距离都是1cm的平面有两个。
2、平面∥平面, 且夹在间线段AB、CD等长, 则AB与CD的位置关系为
( )
A．平行或相交 B．平行或异面
C．平行或相交或异面 D．以上都不对
3、过平面的一条斜线作与这平面垂直的平面, 这平面有( )
A．不存在 B．至少一个 C．唯一的一个 D．有无数个
4、正ABC边上为1, ADBC, 沿AD折直二面角, 则A到B的距离为( )
A． B． C． D．
5、将边长为a, A = 60的菱形ABCD沿对角线BD折起使A、C两点间的距离为, 则此时二面角A—BD—C的余弦值是 。
6、设P为正ABC所在平面外一点, PA、PB、PC与平面所成的角相等, D为AB的中点, 则平面PCD与平面的位置关系是 。
7、如图, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E为CC1的中点, O为底面中心,
求证: ①A1O面BED;
②平面BDE平面A1ACC1。
8、如图(1), 在等腰梯形ABCD中, AB = 20, DC = 12, MN分别为AB、CD的中点, 高MN = 2, 如果沿MN折成120的二面角(如图(2))
求: ①AC的长;
②AC与MN所成角的余弦值;
③AC与平面ADNM所成角的正弦值;
④二面角C—AB—M的正切值。
9、下列命题正确的是( )
A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线, 那么这条直线垂直于这个平面
B．两条平行直线在一个平面内的射影仍是两条平行的直线
C．如果两个平面同垂直于一条直线, 那么这两个平面平行
D．如果两个平面同垂直于一个平面, 那么这两个平面平行
10、已知直线a、b和平面M、N、P, 则下列命题中错误的是( )
A．∥M, aNMN B．M∥P, PNMN
C．MP, PNMN D．ab, aM, bNMN
11、二面角—l—为60, 内一点A到的距离为, 则A在上的射影A到的距离为( )
A．1 B． C． D．2
12、已知两个平面互相垂直, 一条直线与两个平面相交, 那么这条直线与两个平面所成角之和( )
A．小于90 B．等于90 C．大于90 D．不大于90
13、m和n是两条异面直线, 平面过m而平行于n, 平面过n而平行于m, 求证: ∥。
14、平行四边形ABCD中, AB = 4, BC = 2, A = 60, 沿对角线BD将ABD折起到ABD, (如图), 使二面角A—BD—A等于30,
(1)求A到平面BCD的距离;
(2)求异面直线AD与AB所成角的余弦值。
【答案】:
1、①②③④
2、C 3、C 4、D 5、 6、垂直
7、提示: ①先证A1OBD, 再证A1OEO, 在A1OE中, 计算A1O, EO, A1E的长用勾股逆定理可证: A1OEO, ②用面面垂直判定定理即可。提示: ①过C作CEMB于E, 在ACE中, 求AC = 16;
8、②ACE即AC与MN所成角, cosACE =
③作CFDN交DN延线于F, 可证FAC即为AC与平面ADNM所成角, CF =
④作EGAB于G, 则CGE为二面角的平面角, EG = 2, tgCGE =
9、C
A中无数条直线可以是一组平行直线, B当这两条平行线都与平面垂直时, 射影是两个点, 也可能是一条直线, 此时这两条平行线所在平面与投影平面垂直。D中两个平面可以相交, 故淘汰ABD。
10、C
平行性可以传递, 垂直性不能传递, M、N都垂直P, M与N可能相交, 可能平行, 故C命题错误。
11、B
为图ANC中, AA = , , ∴AC = 1, AC = 2, 。
12、D
当AB垂直于棱时, 两角之和为90, 当AB与棱不垂直时, 两个角之和小于90, 故选D。
13、提示: 根据两平面平行的判定定理, 只要证一个平面有两条相交直线都平行于另一平面。也可以用反证法证明。
14、由已知条件AB = 4, BC = 2, A = 60, 由余弦定理可算出BD2 = 12, 故ADB = 90, 得A在面BDC上的射影O在AD延长线上, 可求得AO = 1, (2), AD与AB所成角, 即为AD与DC所成角, 应用余弦定理算出OC2 = 19－(O为垂足), 应用勾股定理算出AC2 = 20－, 再应用余弦定理求余弦值
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期末考前复习
【例题精选】：
例1：从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任何两条直线所在的直线都是异面直线，则k的最大值是
A．2 B．3 C．4 D．5
分析： 选出的k条线中不可能有正方体的四条或四条以上的棱，因此我们把问题分为选出的k条线中有正方体的3条棱，2条棱，1条棱，0条棱来研究。
当选出的k条线中有正方体的三条棱时，无论画上哪条面对角线都是不能满足要求，只有这三条直线两两成异面直线，此时k=3，当选出的k条线中有正方体的2条棱时，这时最多可以再画上两条面对角线，使这四条满足要求此时k=4；当选出k条线中有正方体1条棱时，这时最多可以画上两条对角线，使这三条线满足要求，此时k=3，当选出的k条线中没有正方体的棱时，这时最多可以画出4条面对角线使得这四条线满足要求，此时k=4，综上可知k的最大值是4，故选C。
例2：已知：如图，ABEF和ABCD是两个全等的矩形，M，N分别是BD和EF上的点，且BM=EN，
求证：MN//平面ADF
证明：过M和N分别作AB的平行线，分别交AD，AF于Q，P，连结PQ
例3：如图，正三棱柱中，已知，求证
分析：此题是证明两条异面直线互相垂直，三垂线定理经常可作为两条异面直线互相垂直的判定方法，此题也具备了应用三垂线定理的关键条件——线面垂直，接此思路不难出证法。
证法：延长BC到D，使CD=BC延长连结CD，AD，AD，DD。
由已知有，所以
由已知所作辅助线有
例4：二面角为，线段AB的端点，A，B到棱a的距离分别为，A，B在棱a上射影M，N间的距离为4，求（1）线AB与平面所成角的大小。（2）异面直线AB与a所成角大小
解：（1）作
（2）
例5：如图，设所在的两个平面互相垂直且
求：（1）A，D连线与平面BCD所成的角。
（2）A，D连线和直线BC所成的角
（3）二面角A—BD—C的正切。
解：（1）延长CB在面ABC内作于E，连结DE
（2）
（3）
例6：平行六面体的棱长都相等，且
（1）求证平面
（2）若
解：（1）
（2）
例7：三棱锥S—ABC，底面ABC为边长为a的正三角形，侧面SAC也是正三角形，且侧面，求这个三棱锥的侧面积。
解：取AC中点D，连结SD，
作
例8：正三棱台，侧面与下底面夹角为，下底边长为a，侧面积为S，求上底面边长。
解：设两底中心为O1，O，M1，M2分别为两底边中点，连结O1O，M1M，O1M1和OM，则
故此正三棱台的上底边长为
例9：相邻两边长分别为27cm，12cm锐角为的平行四边形，绕过锐角顶点且垂直于较长边的直线（此直线在平行四边形所在平面内）旋转一周，求所得旋转体的表面积。
解：
所得旋转体为圆台内挖走一个圆锥。
例10：将半径为72cm的扇形OAB，剪去一个小扇形OCD后剩下的扇环ABCD的面积为，如果将此扇环卷成一个圆台的侧面，则圆台的下底半径与上底半径之差为6cm，求圆台侧面展开图的中心角及台高。
解：如图设圆台上，下底面半径为分别为r1、r2，高和母线长分别h，l由题意得
解方程组得
分析：利用侧面积公式，体积公式，扇形中心角的计算公式，直角三角形的边角关系式等。可以把圆锥，圆台中的各几何量统一在一个方程组中，通过解方程解决未知量问题，是立体几何中常用的方法。
例11：如图，一个圆锥底面半径OB=10，母线长PB=60，
（1）若从B点沿侧面绕一周回到B点，最短的距离为多少？
（2）若从B点沿侧面绕两周回到B点，最短距离为多少？
解：将圆锥的侧面展开，圆锥底面周长=，侧面展开图的弧长，半径为60，中心角，这就是从B出发绕侧面一周回到B点的最短距离。
将两个扇形拼起来得扇形PBB2
由
这就是从B出发绕侧面绕两周回到B点的最短距离。
例12：圆柱的轴截面是ABCD正方形，点E在底面圆周上，于F。
（1）求证面DEB
（2）如果圆柱和三棱锥D—ABE的体积之比等于，求直线DE与平面ABCD所成角正切。
解：（1）如图由圆柱性质平面ABE
（2）作
小结：此题是圆柱与棱锥组合，组合方式是棱锥内接于圆柱，它们各元素之间关系是：棱锥与圆柱等高，棱锥的底面积与圆柱底面积之比为1∶，圆柱自身高与底直径相等，这些关系是解决此题的重要依据。
【专项训练】：
一、选择题：
1、两个对角面是矩形的平行六面体是
A．正方体 B．长方体
C．直平行六面体 D．正四棱柱
2、在四棱锥的4个侧面中，直角三角形最多可以有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、一个长方体的表面积为22cm2，所有棱长之和为24cm，则长方体的对角线长是
A． B． C． D．
4、侧面为等边三角形的正三棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为
A． B． C． D．
5、棱台的上、下底面面积分别为16和81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面与上下两底面的距离的比为
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶4
6、若圆锥的轴截面的顶角的余弦值为，则它的侧面展开图的圆心角等于
A． B． C． D．
7、一圆台的轴截面的面积为S，母线与底面所成角为，则圆台的侧面积为
A． B． C． D．
8、半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是
A． B． C． D．
9、球内接正方体的表面积与球的表面积之比为
A． B． C． D．
10、把面积为S的菱形以它的一条边为轴旋转一周，所得旋转体的表面积为
A． B． C． D．
11、地球半径为R，在北纬圈上有两点A，B，A点的经度为东经，B点的经度为西经，则A，B两点的球面距离为
A． B． C． D．
12、三棱台ABC—A1B1C1中，AB∶A1B1=1∶2，则三棱锥A1—ABC，B—A1B1C，C—A1B1C1的体积之比为
A．1∶1∶1 B．1∶1∶2
C．1∶2∶4 D．1∶4∶4
二、填空题：
13、圆锥的全面积为，侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的高为 。
14、圆柱轴截面对角线长为定值，要使圆柱的侧面积最大，这圆柱轴截面对角线与底面所成角大小为 。
15、正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AA1中点，F是CD中点，若正方体棱长为1，那么由E到F沿表面最短线路的长是 。
16、一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 。
17、边长为1的正方形ABCD，E、F分别为BC，CD的中点，把正方形ABCD沿AE、EF、AF折成一个四面体A—EFC，使点C，B，D三点重合，则它的体积是 。
三、解答题：
18、把半径为72cm的扇形OAB，剪去一个小扇形OCD后，剩下扇环面积为，用这个扇环卷成一个圆台的侧面，则这圆台上，下底面边长之差为6cm，求这圆台高及侧面展开图圆心角大小。
19、圆锥的高与底面半径相等，它的内接圆柱的高与底面半径也相等，求这圆锥的全面积与圆柱全面积比
20、已知正四棱锥P—ABCD的各条棱之长均为13，M，N分别为PA与BD上一点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8
（1）求证MN//面PBC
（2） 求异面直线MN与AD所成角的余弦
21、已知三棱锥S—ABC中，SA=18，BC=16，AB=AC=SB=SC=17
（1）求二面角S—BC—A的余弦值。
（2）求三棱锥S—ABC的体积。
【答 案】：
一、
1、C 2、D 3、C 4、D 5、C
6、C 7、B 8、A 9、A 10、B
11、D 12、C
二、
13、 14、 15、 16、
17、
三、
18、、
19、∶1
20、（1）略 （2）
21、（1） （2）576
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第二章 多面体和旋转体专项训练
多面体简介、棱柱
【例题精选】：
例1：已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则：
A．
B．
C．
D．它们之间不都存在包含关系
分析：书中对棱柱有几种分类方法，这些几何体在每一种分类中都有其名称，容易混淆，如正四棱柱如果按底面多边形的边数分类，它是四棱柱，如果按侧棱与底面是否垂直分类它是直四棱柱——正四棱柱，如果按平行六面体和非平行六面体来分它是底面是正方形的长方体，根据以上分析应选B。
例2：四棱柱是平行六面体的充分但不必要条件是：
A．侧面是平行四边形 B．两相邻的侧面是矩形
C．底面是平行四边形 D．各侧面都是菱形
分析：由于A、B都不是四棱柱是平行六面体的充分条件，而C是四棱柱是平行六面体的充要条件，故应选D，对于D，由各侧面是菱形可得出其底面为菱形，但平行六面体的底面不一定是菱形。
例3：设过长方体同一顶点的三个面的对角线长分别是，那么这个长方体的对角线长是
分析：设长方体的三条棱长分别为，依题意，三式相加得，长方体对角线。
例4：过直三棱柱一条侧棱做一个平面与侧棱所对的侧面相交，形成一个截面，证明此截面为矩形。
分析：应用棱柱的基本性质即可得证。
已知：直三棱柱，过侧棱的截面与侧面。
求证：截面为矩形
证明：∵平面ABC//平面
面
例5：正四棱柱的对角线长为9cm，全面积为1440cm2，求它的底面边长和高。
解：设正四棱柱的底面边长为a，高为b，
则
小结：把握棱柱的基本计算即抓住棱柱的基本量如底面边长，高及侧棱长等。
例6：斜三棱柱的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，AA与底面相邻的两边AB、AC成角，求棱柱的侧面积。
分析：求棱柱的侧面积有两种方法，其一是求各侧面积之和；其二是作直截面，用公式计算。
解法一：如右图，作A1O面ABC于O，于E，于F，由三垂线定理。
在中。
解法二：如右图，作于M，连CM。
可证得，
例7：如图，正三棱柱，过AB做截面，截面与底面ABC所成角的平面角为，截面面积为32，求CD长。
分析：条件中，二面角的平面角构造方法应利用三垂线定理或利用等腰三角形中双垂直来构造均可，计算CD，若一眼未看出是多少，应设未知数列方程，利用方程思想进行相关计算。
解：取AB中点E，连结CE，DE。
例8：如图，斜三棱柱底面是直角三角形，，，侧棱与底面成，且，求此棱柱的高。
分析：需先作出侧棱与底面所成的角，这就需根据题设分析在底面内的射影落在什么位置（AB上）然后用方程的思想求出所求的高。
解：作，故，又，所以DC是在底面ABC上射影，从而是侧棱与底面所成的角，于是。
由此可知，是棱柱的高，设，当D在线段AB内时，
在中，，解得或，当D落在AB的位置上也有同样的结果，故所求棱柱高为。
小结：此题不仅使用了直线和平面的位置关系的知识，还使用了方程知识，用方程解决立体几何中的长度面积、体积计算是常见的，因为在立体几何中，容易找到有关长度、面积、体积、角度等等量关系，因而就可以引入方程函数去解题。
例9：直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为，求直平行六面体的侧面积。
解：设底面边长为a，侧棱长为l，两对角线分别为c，d。
则
消去c，d由（1）得，代入（3）得
小结：（1）此题需大胆设元，为列方程方便，可以将对角线设出，但设而不解。
（2）需大胆消元，整体代入。三个方程四个未知数不能将其一一解出，也没有必要；需要a与l的乘积，把它看作一个整体进行计算。
例10：如图，在平行六面体中，底面是边长为a的正方形，侧棱长为b，且，求这个平行六面体的全面积和高。
解：过
例11：求证：平行六面体的四条对角线交于一点，且在这一点互相平分。
已知：平行六面体分别为体对角线。
求证：相交于O且被 O平分
证明：
四条对角线相交于一点O，且被O平分
小结：平行六面体可以看成由平行四边形发展而来，所以许多平行四边形（包含它的特例矩形、菱形、正方形）的性质可引伸到平行六面体中来（包含它的特例长方体，正方体），证明中可通过平行四边形的有关知识去证。
例12：如图甲：平行六面体，对角线AC与平面ABD，平面CD分别交于H、G。求证：AH=HG=GC。
分析：此题可看成由一个平行四边形其一组对边的中点分别与对边相应顶点连线将一条对角线三等分发展而来的，所以需转化为平行四边形这一命题去证。
证明：连结AC，AC，分别与BD，交于O，，则A1O，CO1分别是平面与平面平面的交线。由H是平面与平面的公共点，知H在上，即H为和的交点，同理G为和的交点，如图乙。
在平行四边形中，O为AC中点，故，所以为平行四边形，于是OH//GC，由O为AC中点知H为AG中点。
同理G为G1H的中点。
小结：以上几题均是关于平行六面体的命题，一方面说明它在棱柱中重要地位，另一方面也说明平行六面体是平行四边形的发展，它有许多类似于平行四边形的性质，因此使用平面辅助图（乙）是解立体几何问题时常采用的方法。
【专项训练】：
一、选择题：
1、设四个集合分别为P={直四棱柱}，Q={正四棱柱}，R={长方体}，S={正方体}，下列关系正确是：
A． B．
C． D．
2、正方体的对角线长是9，它的棱长是：
A． B． C． D．
3、下列命题中不正确的是：
A．平行六面体的各个面都是平行四边形
B．棱长都相等的长方体是正方体
C．有一个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱
D．直棱柱的高与侧棱长相等。
4、平行六面体ABCD—A1B1C1D1的两个对角面AA1C1C和BB1D1D都是正方形，那么这个平行六面体一定是：
A．正方体 B．长方体 C．直平行六面体 D．正四棱柱
5、斜棱柱的侧面中如果有矩形那么其个数最多是：
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：
1、正方体的全面积为96cm2，它的对角线长等于 。
2、正六棱柱的高和底面边长都是a，它的全面积等于 。
3、长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱中的两条棱所成的角都是60，那么它与第三条棱所成的角是
4、正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱及底面边长都是a。则顶点C1到棱AB的距离为 。
三、解答题：
1、正四棱柱的对角线A1C与底面ABCD成30角，求截面与底面ABCD所成角的正切值。
2、正三棱柱是底面边长为8cm，过底边BC和顶点A的平面与底面成60角的二面角，求正三棱柱的高和截面的面积。
【答 案】：
一、选择题：
1、C 2、A 3、C 4、B 5、C
二、填空题：
三、解答题：
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第一章 直线和平面 专项训练（4）
空间直线和平面（二）
【例题精选】：
例1：设P为直角三角形ABC所在平面外一点，,P到两直角边的距离都是cm
求：PC与平面所成的角。
分析：求一条斜线和平面所成的角，由直线和平面所成角的定义可知，要找到或作出由这斜线上一点到这个平面的垂线，连结垂足和斜足的直线就是斜线在平面上的射影，而斜线和射影所成的锐角即为所求。
解：如上图，从点P作
.
∵OE、OF是斜线PE、PF在平面上的射影
∴（三垂线定理）
又∵
∴OE=OF
∴
∵
∴CO是斜线PC在平面上的射影
∴
∴
故 PC与平面所成角是。
例2：已知：如图，点O是的垂心，.求证：
证明：连结AO，并延长交BC于D.
∵
∴ PA是平面ABC的斜线
AO是PA在平面ABC上的射影
又 ∵O是的垂心
∴
∴（三垂线定理）
例3：已知：如右图，
求证：
证明：连结AM.
∵
∴
∴AB=AC,M是BC中点
∴
∴（三垂线定理的逆定理）
例4：如右图，正方体.
求证：
分析：证线面垂直常转化证线线垂直，若能在平面内找到两条相交直线都与垂直即可.而证线线垂直，常想到是否可利用三垂线定理及其逆定理，同学是否可以考虑用其他方法证之。
证明：∵
∴DB是斜线D1B在平面ABCD上的射影
又
∴ （三垂线定理）
同理，
而∩
∴
例5：如右图，AB和平面M所成的角是，AC在平面M内，AC和AB在平面M上的射影AB1所成的角是，设.
求证：
分析：作辅助线把开放图形中的角和放到封闭图形即某两个直角三角形中，利用锐角三角函数来解决。
证明：在平面M内，从点B1作于D，连结BD.
∵
∴（三垂线定理）
故
例6：如右图，
求证：
证明：从点A作
交BD于F，
.
∵
∴（三垂线定理的逆定理）
同理，.
∴点O是的垂心
∴
∴
∴（三垂线定理）
小结：注意空间线线垂直和共面线线垂直的相互转化常可以通过三垂线定理及其逆定理来完成。
例7：如下图，P是所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，
求证：
证明：连结CH并延长交AB于D，连结PD.
∵ ∩
∴
∴
∵
∴
又CD是斜线PC在平面ABC的射影
∴（三垂线定理的逆定理）
CD是斜线PD在平面ABC的射影
∴ （三垂线定理）
∵PH·CD=PC·PD，CD2=PC2+PD2
∴ （1）
同理，在
PD·AB=PA·PB，AB2=PA2+PB2
（2）
由（1）、（2）可得
例8：如右图，线段AB在平面内，线段平面成角.已知AB=a，AC=BD=b，求CD的长.
分析：三垂线定理及其逆定理的实质分别是平面的斜线和平面内直线垂直的判定和性质。命题题设已具备了定理的条件，因而就可以思考运用三垂线定理及其逆定理来解决。
解：如上图，作
∵ 是斜线BD在平面上的射影
∴ 是DB和平面所成的角
即
∵
∴ （三垂线定理的逆定理）
连结AD1，在
∵ DB=b
∴
在
作交AC于E
则四边形D1DEA为矩形
∴
在
∴
【专项训练】：（45分钟）
一、选择题：
1、平面外一条直线和这个平面所成的角是，则的范围是
A． B．
C． D．
2、直线a、b在平面外，若a、b在平面上的射影是同一条直线，则a与b是
A．平行 B．相交或平行
C．异面或平行 D．异面或相交
3、若两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线是
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或相交或异面
4、从平面外一点P引平面的垂线PO和斜线PA、PB，已知PA=8，PB=5，且，那么点P到平面的距离是
A．3 B．4 C．5 D．6
5、直线与平面内共点的三条直线a、b、c分别成等角，那么直线与平面所成的角是
A． B． C． D．
6、A、B、C、D是空间四个点，且，则直线BD与AC
A．垂直 B．平行
C．相交 D．位置关系不确定
7、如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是
A． B．
C． D．
8、相交成角的两条直线和一个平面所成的角分别是，则这两条直线在该平面上的射影所成的角的余弦值是
A． B． C． D．
二、填空题：
9、已知P是所在平面外一点，点O是P在平面上的射影，若P到的三个顶点距离相等，则O是的 ；若是直角三角形，则O位于 ；若P到的三边距离相等，且O在内，则O是的 。
10、从平面外一点P引该平面的相交直线，使得P点到交点的距离等于1，则这样的直线可以作 条。
11、在平面内有线段AB为直径的一个圆，C是圆上的一个点，BC=a，AC=b，过C作的垂线段CD，若CD=c，则D点到直线AB的距离为 。
12、已知矩形ABCD，AB=9cm，AD=16cm，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，且PA=12cm，则P到AB的距离是 ；P到AD的距离是 ；P到BC的距离是 ；P到CD的距离是 。
三、解答题：
13、如右图，过直角三角形ABC的直角顶C，作线段CD垂直于这个三角形所在的平面，已知CA=30cm，CB=40cm，CD=32cm，求点D到AB的距离。
14、求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等。
15、如右图，OA、OB、OC为两两垂直的三条射线，它们与平面M的交点分别为A、B、C，平面M于H，求证：（1）点H是的垂心。（2）的面积是与的面积的比例中项。
【答 案】：
一、选择题：
1、D 2、B 3、D 4、B 5、D 6、A 7、B 8、B
二、填空题：
9、外心；斜边中点；内心。
10、0条或1条或无数条。
11、
12、12cm, 12cm, 15cm, 20cm.
三、解答题：
13、解：过D作则DE就是D到AB的距离。连结CE，CE是斜线DE在平面上的射影
∵
∴（三垂线定理的逆定理）
∴
答：点D到AB的距离为40cm.
14、证明：依据线面不同的位置关系分别证明如下：（1）当两条平行线中有一条直线和平面平行或在平面内时，则别一条直线一定和平面平行或平面内，这时两条直线和平面所成的角都是角，故相等。（2）当两条平行线中有一条直线和平面垂直时，则另一条也一定和平面垂直，这时两条直线和平面所成的角都是，故相等，（3）当两条平行线中有一条直线是平面的斜线时，则另一条直线也是平面的的斜线如下图
若a∥b，且a、b都是平面的斜线，斜足分别是A、B。在a、b上分别取P、Q两点，作于M，作于N，连结AM，BN，则直线AM、BN分别是a、b在平面上的射影。
∴
∵
∴
∴
即斜线a、b和平面所成的角相等，故两条平行线和同一平面所成的角相等。
15、证明：（1）∵∩
∴
∴
CH是OC在平面ABC上的射影
∴ （三垂线定理的逆定理）
同理，
∴ 点H是的垂心.
（2）∵
∴
∵
∴
的面积用表示，的面积用表示，的面积用表示.
∴故得证.
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第一章 直线与平面 综合练习(二)
【例题精选】：
例1：两条直线分别与第三条直线异面，则这两条直线的位置关系是：
A．异面 B．相交
C．异面或相交 D．异面或相交或平行
解：可借助于异面直线的判定命题（课本P10例）
图3中b 、c与a成异面，但b∥c，图4中，，图5中b、c与a成异面，而b与c也成异面，故选D。
例2：试画出三条直线，使它们两两成异面直线。
画法：作
证明：根据异面直线判别命题，
例3：已知：a、b成异面直线，
求证：AC、BD也成异面直线。
证明：（反证法）
若AC、BD不是异面直线，
则AC、BD必在某一平面内，
即
∴与a，b是异面直线矛盾，故AC、BD也成异面直线。
例4：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
（1）有哪些棱所在的直线与直线BC1成异面直线？求直线BC1和它们所成角的大小；
（2）求直线BC1和面对角线CD1所成角的大小。
解：由图8知：AD面ABCD，，
即异面直线AD与BC1成45角。
同理，。
（2）连接
得四边形为平行四边形。
∵正方体的六个面是全等的正方形。
∴。
∴。
于是异面直线BC1和CD1成60角。
例5：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
（1）求证：EFGH是平行四边形；
（2）若AC = BD，求证EFGH是菱形；


（3）若AC⊥BD，求证EFGH是矩形。
分析：无论是平行四边形、菱形还是矩形，都是平面图形，所以首先必须证明E、F、G、H四点共面，然后根据平行四边形、菱形、矩形的图形特点给予证明，这里关键是证明两条直线平行，而平面几何中三角形的中位线定理和公理4是证明它的主要依据。
证明：如图9
（1）∵E、F分别是AB、BC的中点，
EF是的中位线，
∴
同理
∴（公理4）
因而E、F、G、H 4点共面
又
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）∵EH是的中位线，
（3）
评述：证明中将空间图形中某一平面部分，完全可以运用平面几何知识，平几中的中位线定理非常重要，它既有位置关系又有数量关系。（如）本题中，并不一定要求均为中点，只要满足，此命题仍然成立。
例6：在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、E1分别是棱AB，A1B1的中点，求异面直线AB和C1E1的距离。
解：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
例7：已知：直线不共面，且都经过同一点O，M、P为直线a上的两点，N是直线b上的一点，Q是直线C上的一点，如图11。
求证：MN和PQ是异面直线。
证明：假设MN和PQ不是异面直线。
则它们在同一个平面内。
这样，都平面内，与已知条件，不共面矛盾，故MN，PQ是异面直线。
例8：长方体ABCD—A1B1C1D1长和宽都是4cm，高是2cm，（如图12（1）），
求和所成角的度数。
解1：如图12（2）将平移到，则就是异面直线和所成的角，连结EC1，在中，
由余弦定理得
解2：如图12（3），取的中点O，则O点也是的中点，
∴O点在平面内，过O点作
，则∠FOB（或它的补角）就是和
所成的角，在中，
解3：如图12（4），连结DB，AC相交于，则O为DB的中点，
在平面ABCD内，过B作∥AC
与DA，DC的延长线分别交于E、F。则∥AC∥EF，∠（或它的补角）就是异面直线和所成的角。
即是等腰 底边EF上的中线。
∴。故异面直线所成角为90。
评述：解1是平移至，解2是平移至EF，解3平移直线A1C1至直线EF，先将异面直线所成角转化为相交直线所成角，一般说来，要使这个交角成为某个三角形的内角，如果这个角为钝角，则应取它的补角。
例9：如图13，在正方体中，E是的中点，F是上的点，但∶，问AE、CF是否为异面直线？为什么？
分析：，
只须找到，
H在不在直线AE上，即可用异面直线判定命题判定是异面直线。
解：在平面ABB1A1内延长，AE交BB1延长线于G，在平面内延长CF交BB1延长线于H。
∵E是的中点，在中，∵
∴为BG的中点。
在中，又，∴。
。
于是AG平面平面
且直线平面
∴AE和CF是异面直线。
评述：若，则H与G必重合，于是AE和CF是两条相交直线，就不是异面直线，表明不能只从表面上看，似乎AE与CF既不平行，又不相交，应该认识到四边形仅是平面的一部分，AE，CF也只是直线的一部分，应注意直线可以无限延长，平面可以向四面无限延展。
例10：已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点，或互相平行。
已知：三个平面且。
求证：交于一点或互相平行。
分析：此题结论有两种情况，一是三线交于一点或是三线互相平行，三线情况复杂，先退一步考虑二线与或是相交或是平行，与必共面，事实上，
不是相交就平行，然后再讨论c与a、b的关系。
证明：
从而交于一点或是。
（1）如图14（1），若，则，且
（2）如图14（2），若，
如果相交，那么由（1）验证，交线b也过a、c 的交点，这与矛盾。
评述：在证题过程中，要注意分情况考察，因为共面的两条直线有两种可能，或相交，或平行。
【习题】：
1、是非判断题：
①不相交的两条直线是异面直线。（ ）
②四边形的内角和等于360。（ ）
③不在平面内的两条直线是异面直线。（ ）
④一条直线和两条平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交。（ ）
⑤空间四条直线，如果，且。（ ）
⑥在空间过直线外一点和这条直线平行的直线有且只有一条。（ ）
⑦和一直线同时垂直的两条直线不一定平行。（ ）
⑧和同一直线都是异面直线的两条直线是异面直线。（ ）
⑨和同一直线同时垂直的两直线有可能也垂直。（ ）
⑩和同一直线同时平行的两直线一定平行。（ ）
2、已知：直线，则a与b的位置关系为：
A．a∥b B．a与b相交
C．a与b异面 D．上述情况都可能发生
3、分别与两异面直线都相交的两条直线的位置关系是：
A．一定异面 B．一定平行
C．一定相交 D．相交或异面
4、如图15，a与b是异面直线，在b上取A、B两点，作且垂足分别为。
则AA1与BB1的位置关系是 。


5、在正方体中，与 所成可转化为 ，大小等于 。
6、如图16，平面、
，，问AC与BD是否平行？为什么？
7、如图17，在空间四边形ABCD中，各边长及对角线长都等于a，E为AD的中点，求AB和CE所成角的余弦值。
8、与两条异面直线都垂直的直线：
A．只有一条
B．有无数系
C．可能一条也可能无数条
D．以上都不对
9、在正方体AC1中，M为CD的中点，N为CC1的中点，则异面直线AM、D1N所成角的余弦值是：（图18）
A． B．
C． D．
10、已知空间三条直线，，与c成30角，则b和c所成角的范围是：
A．[60，90] B．[30，90]
C．[60，120] D．[30，120]
11、已知两条异面直线a，b，在a、b，外取一点O，过O与a和O与b分别作两个平面和，，那么直线a、b和PQ位置关系怎样？
12、如图19，在正方体中，分别是，的中点，求异面直线AE和BF所成角的余弦。
13、已知AB、CD为两条异面线段，M，N分别为它们的中点，求证：
【答案】：
1、①× ②× ③× ④× ⑤√ ⑥√ ⑦√
⑧× ⑨√ ⑩√
2、D 3、D
4、异面直线
5、
6、AC与BD是异面直线
7、
8、B
9、D（提示：过M作MP∥ND1交DD1于P，连结AP，解，求和余弦值即可。）
10、A 由于a与c成30角，此时c可以绕a成30角，在空间旋转一周，（如圆锥的母线与圆锥的轴成30角），在某一位置b可以c垂直，当a、b、c共面时，b与c成60，故b与c所成角的范围为[60，90]。
11、a、b不都和PQ平行。①a、b都与PQ相交，但不交于同一点；②a、b中有一条直线与PQ平行，不可能a、b都与PQ平行。
12、余弦值=。提示：将BF平移到AG（G为DD1的中点）则即为异面直线AE和BF所成角。
13、利用三角形中位线定理及三角形两边之和必大于第三边定理证明。
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第二章 多面体和旋转体
多面体
【例题精选】
例1．三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长b，∠A1AB=∠A1AC=
60°
⑴求证：三棱柱的侧面BB1C1C是矩形
⑵求三棱柱的侧面积。
⑴分析：只需证明B1B⊥BC。由于B1B∥A1A从而只需证明A1A⊥BC。由于∠A1AB=∠A1AC=60°，所以A1A在平面ABC上的射影AO是∠CAB的角平分线，由于△ABC为正三角形，得AO⊥BC所以A1A⊥BC（三垂线定理）
⑴证明：过A1作A1O⊥平面ABC于O
∵∠AAC=∠AAB=60°
∴AO为∠BAC的平分线
∵△ABC为正三角形
∴AO⊥BC
∴A1A⊥BC
∵B1B⊥A1A
∴B1B⊥BC
∴侧面BB1C1C是矩形
⑵分析（一）：作此棱柱的直截面，用公式：
S斜棱柱侧=直截面周长X侧棱长
分析（二）：分别求出三个侧面的面积即可。侧面BB1C1C为矩形，其面积为ab， 侧面AA1B1B，AA1C1C是全等的平行四边形，面积均为absin60°
⑵解法一：过B作BD⊥A1A于D，连DC
∵AC=AB，AD=AD，∠DAC=∠DAB
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADC=∠ADB=90°且BD=CD
∴△BCD为三棱柱的直截面
在Rt△ABC中，AD=AB·sin60° =
∴S侧=（BD+BC+DC）·AA1
=（）·b
=（）ab
解法二：∵侧面BB1C1C为矩形
∴S□=ab
∵S□=S□=absin60°=
∴S侧=S□S□+S□
= ab+
= ()ab
评述：⑴本题主要考查斜棱柱的性质和三垂直线定理
⑵求斜棱柱的侧面积时，有两种方法
一：根据条件，求出各个侧面的面积
二：作斜棱柱的直截面，然后抻用公式
S侧=直截面周长×侧棱长 求解
例2．正三棱台上、下底面边长之比为1∶2，侧面与底面所成的三面角是60°，求⑴侧棱和底面所成角的正切值，⑵侧面积和两底面面积和的比
分析：已知上、下底面边长之比为1∶2，不妨设它们分别是a与2a，然后利用题设中的条件把棱台中的有关元素都用a表示。然后在棱台中的直角梯形和直角三角形中求解。
解：⑴设正三棱台的上、下底面边长分别为a，2a。
设上、下底面中心分别为O，O1，延长BO交AC于D，延长B1O1于D1 连DD1OO1
∴BD⊥AC，B1D1⊥A1C1
过D作DE⊥B1D1于E，过B作BF⊥B1D1于F
∴DE⊥平面A1B1C1，BF⊥平面A1B1C1
∵D1E⊥A 1C1
∴DD1⊥A1C1
∴∠DD1E为侧面与底面所成三面角的平面角则∠DD1E=60°
∵BF⊥面A1B1C1
∴∠BB1F为侧棱与底面所成的角。
在正△ABC中
∴
同理：B1O1
在直角梯形OO1D1D中D1E=O1D1－OD
=
=
在Rt△DED1中，∠DD1E=60°
∴DE = DE1·tg60°
=
=
DD1=
在Rt△BB1F中：BF=DE=
B1F=B1O1－BO
=
=
∴tg∠BB1F=
⑵解法一：S△ABC=
S△=
S侧=3·S
=3·
=
=
S侧∶（S△ABC +S△）
= ∶
= 6∶5
解法二：S上=
S下=
S侧=
∴S侧∶（S上+S下）= 6∶5
评述：①本题主要考查正棱台的性质和面面角，线面角。
②解决棱台有关问题时，一般利用棱台中的直角三角形和直角梯形，把所有的 量联系起来，找出相互间的关系，然后解决问题。
③在棱台中，利用下面这个公式解题有时更方便，
S下－S上 = cos·S侧
例3．三棱锥V—ABC中，VA=VB=VC=a，VA⊥VB，VA⊥VC，当三棱锥体积最大时，⑴求三棱锥顶点V到底面ABC的距离，⑵求二面角V－BC－A的正弦值。
⑴分析：要求体积的最大值，先要求出体积的解析表达式，由是原直设中的垂直条件可得V=
⑴解：∵VA⊥VB，VA⊥VC
∴VA⊥平面VBC
∴VV-ABC =VA-BCV
=
=
=
当且仅当∠BVC=90°时取等号
∴当VB⊥VC时三棱锥V－ABC体积最大，最大值为
由勾股定理可得AB=BC=AC=
∴
过V作VO⊥平面ABC于O
则VO为V到平面ABC的距离
∵VV-ABC = VA-VBC
∴
∴VO=
即V到底面ABC 的距离为
⑵分析：利用垂线法作出二面角的平面角
⑵解：∵VA=VB=VC
∴V在平面ABC上的射影O为△ABC的外心
连AO并延长交BC于H，连VH
∴AH⊥BC
∵VO⊥底面ABC
∴VH⊥BC
∴∠VHO为二面角的平面角
在Rt△BVC中∵BH=HC
∴VH=
在Rt△VOH中sin∠VOH=
评述：①本题主要考查体积
②在体几何中，有三角函数的基本不等式比较容易解决最值问题
③三棱锥中求体积时经常用到转换顶点位置的方法，使得三棱锥的体积更容易 表示
④求点到面的距离可通过体积相等来解即体积法
例4．已知四棱台上，下底面对应边分别是a，b，试求其中截面把此棱台侧面分成的两部分面积之比
分析：已知棱台上、下底面对应边的比，而棱台的中截面又平行于上、下底面，故可把棱台恢复成棱锥，利用棱锥平行于底面的截面的性质求之
解：设A1B1C1D1是棱台ABCD－A2B2C2D2的中截面，延长各侧棱交于P点。
∵BC=a，B2C2=b
∴B1C1=
∵BC∥B1C1
∴
∴
同理
∴
同理：
由等比定理，得
评述：①本题主要考查棱台的性质
②台体还原成锥体是常用的解题技巧。锥体若被平行于底的截面所截，截锥与 原锥对应量的比均可通过对应的棱长的比来表示。例如对应侧面积之比等于 对应棱长的平方比等等
③若本题把“中截面”改为“平行于底面且把高 自上而下分成m∶n两段的截 面”，同样可以用这种方法做。
例5．四棱锥S－ABCD的侧棱与底面边长相等，E、F分别为SD和BC的中点，求
⑴异面直线EF与SB所成角的大小
⑵三棱锥S－EBC的体积与四棱锥S－ABCD的体积
⑴分析：由中点联想到作中位线，取SC的中点M，则MF∥SB，这样SB与EF所成角转化为EF与MF所成的角
方法一：
⑴解：设SC的中点为M，边MF，ME，则MF∥SB，
EM∥DC
∴∠EFM为EF与SB所成角或所成角的补角
设SA的中点为N，连结EN，BN
则EN∥
∵BF
∴ENBF
∴四边形ENBF显平行四边形
∴EF=BN
设四棱锥的棱长为a，
在△SAB中，BN⊥SN
BN=
∴EF=
在△EMF中：MF=
ME=
∴cos∠EFM=
∴∠EFM=30°
即EF与SB所成的角为30°
方法二：由方法一可知EF∥BN
∴∠SBN为EF与SB所成角或所成角的补角
在正△SBA中，BN⊥SA
则∠SBN=30°
∴SB与EF所成的角为30°。
⑵分析：四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长相等，因而元素间会有较特殊的度量关系，逐步找出VS-EBC与VS-ABCD的关系
⑵解：∵E是SD的中点
∴VB-SEC=VB-DEC
∵VS-EBC=VB-SEC
且VB-SEC +VB-DEC=VS-BDC
∴VS-EBC=
∵VS-BDC=
∴
即
评述：⑴本题主要考查特殊棱锥的性质和体积，
⑵在多面体中寻找异面直线所成的角时，要注意“选点”，本题中选B作EF 的平行线比选F作SB的平行线要容易
⑶在求体积时，要充分利用等底的两上几何体的体积比等于高的比，等高的两 个几何体的体积比等于底面面积的比的等 积代换的思想，使得解法明了，简 捷，发现此解法的关键在于认清E为中点及对棱锥性质透彻地理解。
例6．如图已知A1B1C 1—ABC是正三棱柱，D是AC中点
⑴证明AB1∥平面DBC1
⑵假设AB1⊥BC1求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的度数
⑴分析：证明AB1∥平面DBC1只需证明AB1平行于DBC1中的一条直线，由中点联想到使用中位线的性质。
⑴证明：连B1C、BC1交于E点
则B1E=EC
连DE
∵AD=DC
∴DE∥AB1
∵DEC平面DBC1 AB1平面DBC1
∴AB1∥平面DBC1
⑵分析：由⑴可知DE∥AB1以及AB1⊥BC，得DE⊥BC
再由正棱柱的性质，利用垂线法作出二面角的平面角
⑵解：作DF⊥BC于F
则DF⊥面B1BCC1
连EF
∵DE∥AB1 AB1⊥BC1
∴DE⊥BC1
∴EF⊥BC1
∴∠DEF为二面角的平面角
设AC=a
在Rt△DFC中DC=
∴DF=DC·cos60°=
CF=DC·sin60°=
取BC中点G，连EG
∵EC=BC
∴EG⊥BC
GF=GC－CF=
BF=BC－CF=
在Rt△BEF中EG⊥BF
可得EF2=GF·BF=
∴EF=
在Rt△DFE中tg∠DEF=
∴∠DEF=45°
∴二面角D－BC1－C为45°
评述：⑴本题综合考查正棱柱的性质和线面关系，空间想象力
⑵在构造二面角的平面角时要注意垂足F的位置
⑶在立体几何中，要能熟练地应用guh 面几何知识进行必要的计算
例7．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=
⑴求证：PD⊥平面ABCD
⑵求异面直线PB与AC所成的角
⑶求二面角A－PB－D的大小
⑷在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径
⑸求四棱锥外接球的半径
⑴分析：要证PD⊥平面ABCD，只需证PD垂直于平面ABCD内的两条相交线，而所给已知量都是数，故可考虑勾股定理的逆定理
⑴证明：∵PD=a，AD=a，PA=
∴PD2+DA2=PA2
同理∴∠PDA=90°
即PD⊥DA，PD⊥DC
∵AO∩DC=D
∴PD⊥平面ABCD
⑵分析：从图形的特殊性，应先考虑PB与AC是否垂直，若不 垂直然后再转化
⑵解：连结BD
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AC
∵PD∩BD=D
∴AC⊥平面PDB
∵PB平面PDB
∴AC⊥PB
∴PB与AC所成的角为90°
⑶分析：由于AC⊥平面PBD，所以用垂线法作出二面角的平 面角
⑶解：设AC∩BD=0，过A作AE⊥PB于E
连OE
∵AO⊥平面PBD
∴OE⊥PB
∴∠AEO为二面角 A－PB－D的平面角
∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB
∴PA⊥AB
在Rt△PDB中，
在Rt△PAB中，
∵
∴
在Rt△AOE中
∴∠AEO=60°
∴二面角A－PB－D的大小为60°
⑷分析：当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个 面的距离均相等，联想到用体积法求解
⑷解：设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S， 连SA、SB、SC、SD、 SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的 高均为R
∵
∴
∴
∴球的最大半径为（）
⑸分析：四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五的距离均为半径，
只要找出球心的位置即可，在Rt△PDB中，斜边PB的中点为F，则 PF=FB=FD不要证明FA=FC=FP即可
⑸解：设PB的中点为F
∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD
在Rt△PAB中：FA=FP=FB
在Rt△PBC中：FP=FB=FC
∴FP=FB=FA=FC=FD
∴F为四棱锥外接球的球心
则FP为外接球的半径
∵FP=
∴
∴四棱锥外接球的半径为
评述：⑴本题主要考查棱锥的性质以及内切外接的相关知识点
⑵“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要 是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问 题，例如本例中球内切于四棱锥中时，球与四棱锥的五个面相切，即球心到 五个面的距离相等
⑶求体积或运用体和解决问题时，经常使用等积变形，即把一个几何体割补成 其它几个几何体的和或差
【综合练习】
1．正四棱柱的对角线长为9cm，全面积为144cm2，求它的体积。
2．已知长方体的全面积为11，十二条棱长之和为24，求这个长方体的一条对角线的长度。
3．如图在直三棱柱ABC—A1B1 C1中，A1C1=B1C1=2，∠A1B1C1=90°，A1A=
⑴求证：
⑵求平面ABC与平面A1B1C1所成锐角二面角的度数
第3题 第7题
4．正三棱锥的高为h，侧面与底面所成的角为60°，求它的全面积和体积。
5．正三棱锥P－ABC中，MN分别为侧棱PB、PC的中点，若截面AMN垂直侧面PBC，求棱锥的侧面积与底面积之比
6．三棱锥S－ABC中，侧棱与底面都成60°角，并且底面△ABC三个角满足
A∶B∶C=1∶2∶9，求此棱锥的高
7．四棱锥S－ABCD的底面为矩形，且AB=3，BC=4，高为SO，O是底面对角线的交点，SO=1，M为SA的中点，求：二面角M—BD—A的正切值。
8．正三棱台ABC—A1B1C1的两底边长分别为a，b (a>b)，侧面和底面所成的角为60°，求棱台的侧面积和体积。
9．三棱台ABC—A1B1C1的一个侧面AA1C1C是底角为45°
的等腰梯形，且该侧面与底面垂直，又底面△ABCK ∠ACB=90°
⑴求证二面角A－B1B－C是直二面角
⑵若AB=5，BC=3，求二面角A1－AB－C的正切值
10．如图：A1B1C1 －ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值。
第1题 第2题 第3题
11．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中AC=BC，D为AB的中点，平面ABC⊥平面ABB1A1，异面直线BC1与AB1互相垂直，⑴求证：AB1⊥CD ⑵求证：AB1⊥平面A1CD ⑶若CC1与平面ABB1A1距离为1，A1C=，AB1=5，求三棱锥A1－ACD的体积
12．三棱柱ABC－A1B1C1，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EBC1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，求V1∶V2
13．三棱台ABC－A1B1C1中已知A1A⊥底面ABC，A1A=A1B1=B1C1=a，B1B⊥BC，且B1B和底面ABC成45°角，求此三棱台的体积。
14．已知四棱锥S－ABCD中，底面为正方形，SA⊥底面AC，且AB=SA=a，M，N分别是AB，SC的中点 ⑴求证：AB⊥MN ⑵求证：MN是异面直线AB和SC的公垂线段⑶求MN的长度 ⑷求二面角B－SC－D的度数
第5题
15．如图，在三棱台ABC－A1BC中A1B1 是A1C与B1C1的公垂线，已知AB=3cm，AA1=AC=5cm ⑴求证：平面ABC⊥平面A1B1C1，⑵若二面角A1－AB－C的大小为
60°，求三棱锥C－ABA1的体积 ⑶求二面角A1－AC－B的正切值
【答案】：
1、108cm2或112cm3
提示：设底两边长为a cm，高为b cm
则
∴
2、5
提示：设过一顶点的三条枝分别为a，b，c。
则
3、60
提示：（1）可得
（2）∵平面ABC∥平面
∴所求角转化为二面角
由图可知为二面角的平面角。
4、
提示：通过棱锥中的直角三角形可求得底面边长为2h。
5、∶1
6、
提示：作SO⊥平面ABC于O
∵SA、SB，SC与平面ABC所成角均为60°
∴O为的外心
可得
由正弦定理
得AO = 3
然后在Rt中求SO。
7、
提示：作MN∥SO于AC于N
过N作NE⊥BD于E，连ME。
则∠NEM为二面角的平面角
过A作AF⊥BO于F。
则
8、
9、
提示：（1）延于交于O点
证明：OA⊥CO，OA⊥BC即可
（2）作OD⊥AC于D，则OD⊥平面ABC
过D作DE⊥AB于E，连OE，
∠OED为二面角的平面角。
10、
提示：取BC中点E，连则EF∥BD1
连AE，可求
由余弦定理得结果。
11、
提示：（1）CD⊥平面ABB1A1
（2）取A1B1中点E，连BE
则
可证
∴
（2）
可求
在Rt中可求
12、7∶5
提示：设，棱柱高为h
13、
14、，二面角为120°
提示：（1）
（2）连
（3）
在Rt中，
（4）过B作BF⊥SC于F，连FD，则BF = FD
则∠BFD为二面角的平面角在Rt中BF，
然后用余弦定理求∠BFD。
15、（提示略）
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第一章 直线与平面（四）
【例题精选】：
例1：设P为直角三角形ABC所在平面外一点，,P到两直角边的距离都是cm
求：PC与平面所成的角。
分析：求一条斜线和平面所成的角，由直线和平面所成角的定义可知，要找到或作出由这斜线上一点到这个平面的垂线，连结垂足和斜足的直线就是斜线在平面上的射影，而斜线和射影所成的锐角即为所求。
解：如上图，从点P作
.
∵OE、OF是斜线PE、PF在平面上的射影
∴（三垂线定理）
又∵
∴OE=OF
∴
∵
∴CO是斜线PC在平面上的射影
∴
∴
故 PC与平面所成角是。
例2：已知：如图，点O是的垂心，.求证：
证明：连结AO，并延长交BC于D.
∵
∴ PA是平面ABC的斜线
AO是PA在平面ABC上的射影
又 ∵O是的垂心
∴
∴（三垂线定理）
例3：已知：如右图，
求证：
证明：连结AM.
∵
∴
∴AB=AC,M是BC中点
∴
∴（三垂线定理的逆定理）
例4：如右图，正方体.
求证：
分析：证线面垂直常转化证线线垂直，若能在平面内找到两条相交直线都与垂直即可.而证线线垂直，常想到是否可利用三垂线定理及其逆定理，同学是否可以考虑用其他方法证之。
证明：∵
∴DB是斜线D1B在平面ABCD上的射影
又
∴ （三垂线定理）
同理，
而∩
∴
例5：如右图，AB和平面M所成的角是，AC在平面M内，AC和AB在平面M上的射影AB1所成的角是，设.
求证：
分析：作辅助线把开放图形中的角和放到封闭图形即某两个直角三角形中，利用锐角三角函数来解决。
证明：在平面M内，从点B1作于D，连结BD.
∵
∴（三垂线定理）
故
例6：如右图，
求证：
证明：从点A作
交BD于F，
.
∵
∴（三垂线定理的逆定理）
同理，.
∴点O是的垂心
∴
∴
∴（三垂线定理）
小结：注意空间线线垂直和共面线线垂直的相互转化常可以通过三垂线定理及其逆定理来完成。
例7：如下图，P是所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，
求证：
证明：连结CH并延长交AB于D，连结PD.
∵ ∩
∴
∴
∵
∴
又CD是斜线PC在平面ABC的射影
∴（三垂线定理的逆定理）
CD是斜线PD在平面ABC的射影
∴ （三垂线定理）
∵PH·CD=PC·PD，CD2=PC2+PD2
∴ （1）
同理，在
PD·AB=PA·PB，AB2=PA2+PB2
（2）
由（1）、（2）可得
例8：如右图，线段AB在平面内，线段平面成角.已知AB=a，AC=BD=b，求CD的长.
分析：三垂线定理及其逆定理的实质分别是平面的斜线和平面内直线垂直的判定和性质。命题题设已具备了定理的条件，因而就可以思考运用三垂线定理及其逆定理来解决。
解：如上图，作
∵ 是斜线BD在平面上的射影
∴ 是DB和平面所成的角
即
∵
∴ （三垂线定理的逆定理）
连结AD1，在
∵ DB=b
∴
在
作交AC于E
则四边形D1DEA为矩形
∴
在
∴
【专项训练】：（45分钟）
一、选择题：
1、平面外一条直线和这个平面所成的角是，则的范围是
A． B．
C． D．
2、直线a、b在平面外，若a、b在平面上的射影是同一条直线，则a与b是
A．平行 B．相交或平行
C．异面或平行 D．异面或相交
3、若两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线是
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或相交或异面
4、从平面外一点P引平面的垂线PO和斜线PA、PB，已知PA=8，PB=5，且，那么点P到平面的距离是
A．3 B．4 C．5 D．6
5、直线与平面内共点的三条直线a、b、c分别成等角，那么直线与平面所成的角是
A． B． C． D．
6、A、B、C、D是空间四个点，且，则直线BD与AC
A．垂直 B．平行
C．相交 D．位置关系不确定
7、如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是
A． B．
C． D．
8、相交成角的两条直线和一个平面所成的角分别是，则这两条直线在该平面上的射影所成的角的余弦值是
A． B． C． D．
二、填空题：
9、已知P是所在平面外一点，点O是P在平面上的射影，若P到的三个顶点距离相等，则O是的 ；若是直角三角形，则O位于 ；若P到的三边距离相等，且O在内，则O是的 。
10、从平面外一点P引该平面的相交直线，使得P点到交点的距离等于1，则这样的直线可以作 条。
11、在平面内有线段AB为直径的一个圆，C是圆上的一个点，BC=a，AC=b，过C作的垂线段CD，若CD=c，则D点到直线AB的距离为 。
12、已知矩形ABCD，AB=9cm，AD=16cm，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，且PA=12cm，则P到AB的距离是 ；P到AD的距离是 ；P到BC的距离是 ；P到CD的距离是 。
三、解答题：
13、如右图，过直角三角形ABC的直角顶C，作线段CD垂直于这个三角形所在的平面，已知CA=30cm，CB=40cm，CD=32cm，求点D到AB的距离。
14、求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等。
15、如右图，OA、OB、OC为两两垂直的三条射线，它们与平面M的交点分别为A、B、C，平面M于H，求证：（1）点H是的垂心。（2）的面积是与的面积的比例中项。
【答案】：
一、选择题：
1、D 2、B 3、D 4、B 5、D 6、A 7、B 8、B
二、填空题：
9、外心；斜边中点；内心。
10、0条或1条或无数条。
11、
12、12cm, 12cm, 15cm, 20cm.
三、解答题：
13、解：过D作则DE就是D到AB的距离。连结CE，CE是斜线DE在平面上的射影
∵
∴（三垂线定理的逆定理）
∴
答：点D到AB的距离为40cm.
14、证明：依据线面不同的位置关系分别证明如下：（1）当两条平行线中有一条直线和平面平行或在平面内时，则别一条直线一定和平面平行或平面内，这时两条直线和平面所成的角都是角，故相等。（2）当两条平行线中有一条直线和平面垂直时，则另一条也一定和平面垂直，这时两条直线和平面所成的角都是，故相等，（3）当两条平行线中有一条直线是平面的斜线时，则另一条直线也是平面的的斜线如下图
若a∥b，且a、b都是平面的斜线，斜足分别是A、B。在a、b上分别取P、Q两点，作于M，作于N，连结AM，BN，则直线AM、BN分别是a、b在平面上的射影。
∴
∵
∴
∴
即斜线a、b和平面所成的角相等，故两条平行线和同一平面所成的角相等。
15、证明：（1）∵∩
∴
∴
CH是OC在平面ABC上的射影
∴ （三垂线定理的逆定理）
同理，
∴ 点H是的垂心.
（2）∵
∴
∵
∴
的面积用表示，的面积用表示，的面积用表示.
∴故得证.
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第一章 直线与平面（三）
【例题精选】：
例1：如果一条直线分别与两个相交平面平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行。
已知：如图，∩
求证：
分析：由求证想判定，方法有
（1）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
（2）公理4：若，，则
（3）直线和平面平行的性质定理，即“线面平行，线线平行”，同学们，还有其它方法以后再学。
证明：在内任取一点，过直线a、点A可作一平面r，使∩，在内任取一点，过直线a、点B可作平面，使∩。
∩
∴
同理，
∴，
∴∩
∴
∴
例2：空间四边形ABCD，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，如果四边形EFGH为平行四边形，求证AC∥平面EFGH。
分析：要证“线面平行”，根据“线面平行”的判定定理，只要证明“线线平行”就可以了。
证明：如图，
∴
∴
∩
例3：求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交。
已知：∩
求证：
分析：当直接证b与相交受阻或不易证时，通常采用间接证中的反证法，它的主要特征是“推出矛盾”。在进行反设时，要注意原结论相反的方面是只有一种情形，还是有若干情形，如果只有一种情形，那么只需就这种情形去推出矛盾，如果有若干种（本命题是两种）那么必须针对每一种情形分别推出矛盾才可。
证明：如图，
假设
（1）若
∩。
（2）若，直线b和点确定平面，∩
∴
∴这也与∩矛盾。
故 假设不能成立。
因而。
例4：在平面内有直角BAC，在其两边上取AB=5cm，又，并且垂直于，求PA、PC的长。
解：如图，
∴
∩
例5：已知：空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形MNPQ是一个矩形。
分析：首先要证明四边形MNPQ是共面四边形而非空间四边形，然后再证四边形MNPQ是平行四边形。最后再证某一个角是直角即可。
证明：如图，连结AC。
在中，M、N为AB、BC中点
同理，∩
例6：已知：如图，在正方体－中，
求证：对角线
证明：在正方体－中
∵
∩
∴
∴∩
∴
∴
∴
∩
∴
例7：如果一条直线和一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线。必在这个平面内。
已知：如图，
求证：
证明：假设
∴∩
∴
∴这与平行公理（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）矛盾。
∴假设不成立。
故
小结：当用直接法证明直线在平面内不易证时，往往采用反证法证之。
例8：如图，已知梯形ABCD中的一底AB在平面内，另一底DC在平面外，对角线交点O到平面的距离为d，若AB：CD=p：q。求CD和平面的距离。
解：∵ CD在平面外，.
∴
作
则
即
∴
而
故CD和平面的距离为。
小结：同学们注意立体几何计算题往往需要首先作好辅助线（或辅助平面），然后证明满足条件要求，最后进行准确的运算。
【专项训练】：
一、选择题：
1、直线a在平面外则
A． B．a与至少有一个公共点
C． a∩=A D．a与至多有一个公共点
2、直线a//平面M，直线，则b与M的关系
A． B． C． D．不能确定
3、直线a与直线b垂直，b又垂直于平面，则a与的位置关系是
A． B． C． D．
4、已知直线a、b、平面M，下列条件中，可以判定的是
A． B．
C． D．
5、下列命题中，真命题的个数有
（1）两条异面直线不能同时垂直于一个平面。
（2）经过一点不能有两条直线和同一条直线垂直。
（3）经过一点不能有两条直线和一个平面垂直。
（4）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线这个平面内的任何一条直线都垂直。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、若a、b是异面直线，过a作平面与b平行，则这样的平面
A．不存在 B．有两个
C．有且只有一个 D．有无穷多个
7、过平面外一点
A．存在无数条直线和这个平面垂直
B．存在无数条直线和这个平面内的一条直线平行
C．只有一条直线和这个平面垂直
D．只有一条直线和这个平面内的一条直线垂直
8、如果平面外的一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直
二、填空题：
9、已知⊙O的直径AB，⊙O所在平面，C是圆周上不同于A、B的点，连结AC、BC。则BC与PC的位置关系是 。
10、在正方体－中，平面和平面的交线与棱的位置关系是 ；截面和直线的位置关系是 。
11、如图，在空间四边形ABCD中，AB=DA，BC=CD，则异面直线AC、BD所成角的大小为 。
12、如图，在空间四边形ABCD中，AB=DA、BC=CD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点且AC=4，BD=2 . 则四边形EFGH的面积为 面积单位。
三、解答题：
13、已知：a、b是异面直线，，。
AB为a与b的公垂线且∩
求证：C//AB
14、已知：如图，平面∩平面，直线，直线。若，于C，于E。
求证：
15、AB、CD是平面M内相距28cm的两条平行线，EF在M外，EF//AB，且EF与平面M相距15cm，EF和AB相距17cm，求EF与CD之间的距离。
【答案】：
一、选择题：
1、 D 2、D 3、D 4、C 5、C 6、C
7、C 8、C
二、填空题：
9、垂直 10、平行；平行 11、 12、2
三、解答题：
13、证明：如图，
从点A作b//b
∵
∴
∵
∴
∵，又a∩b=A
可设相交两直线a、b所确定的平面为r。
∴
∵∩
∴
∴
∴
∴
14、证明：
∵
∴
又∩
∴
∴
∵
∴∩
∴
∴
15、分两种情况：
（1）如图，过EF上一点P作
∵
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（2）如图，同理可证，
同理可求，
∵
∴
在
∴EF与CD之间的距离为39cm.
故 EF与CD之间的距离是25cm或39cm.
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第一章平面和直线(3)
空间直线和平面（二）
【例题精选】：
例1：设P为直角三角形ABC所在平面外一点，,P到两直角边的距离都是cm
求：PC与平面所成的角。
分析：求一条斜线和平面所成的角，由直线和平面所成角的定义可知，要找到或作出由这斜线上一点到这个平面的垂线，连结垂足和斜足的直线就是斜线在平面上的射影，而斜线和射影所成的锐角即为所求。
解：如上图，从点P作
.
∵OE、OF是斜线PE、PF在平面上的射影
∴（三垂线定理）
又∵
∴OE=OF
∴
∵
∴CO是斜线PC在平面上的射影
∴
∴
故 PC与平面所成角是。
例2：已知：如图，点O是的垂心，.求证：
证明：连结AO，并延长交BC于D.
∵
∴ PA是平面ABC的斜线
AO是PA在平面ABC上的射影
又 ∵O是的垂心
∴
∴（三垂线定理）
例3：已知：如右图，
求证：
证明：连结AM.
∵
∴
∴AB=AC,M是BC中点
∴
∴（三垂线定理的逆定理）
例4：如右图，正方体.
求证：
分析：证线面垂直常转化证线线垂直，若能在平面内找到两条相交直线都与垂直即可.而证线线垂直，常想到是否可利用三垂线定理及其逆定理，同学是否可以考虑用其他方法证之。
证明：∵
∴DB是斜线D1B在平面ABCD上的射影
又
∴ （三垂线定理）
同理，
而∩
∴
例5：如右图，AB和平面M所成的角是，AC在平面M内，AC和AB在平面M上的射影AB1所成的角是，设.
求证：
分析：作辅助线把开放图形中的角和放到封闭图形即某两个直角三角形中，利用锐角三角函数来解决。
证明：在平面M内，从点B1作于D，连结BD.
∵
∴（三垂线定理）
故
例6：如右图，
求证：
证明：从点A作
交BD于F，
.
∵
∴（三垂线定理的逆定理）
同理，.
∴点O是的垂心
∴
∴
∴（三垂线定理）
小结：注意空间线线垂直和共面线线垂直的相互转化常可以通过三垂线定理及其逆定理来完成。
例7：如下图，P是所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，
求证：
证明：连结CH并延长交AB于D，连结PD.
∵ ∩
∴
∴
∵
∴
又CD是斜线PC在平面ABC的射影
∴（三垂线定理的逆定理）
CD是斜线PD在平面ABC的射影
∴ （三垂线定理）
∵PH·CD=PC·PD，CD2=PC2+PD2
∴ （1）
同理，在
PD·AB=PA·PB，AB2=PA2+PB2
（2）
由（1）、（2）可得
例8：如右图，线段AB在平面内，线段平面成角.已知AB=a，AC=BD=b，求CD的长.
分析：三垂线定理及其逆定理的实质分别是平面的斜线和平面内直线垂直的判定和性质。命题题设已具备了定理的条件，因而就可以思考运用三垂线定理及其逆定理来解决。
解：如上图，作
∵ 是斜线BD在平面上的射影
∴ 是DB和平面所成的角
即
∵
∴ （三垂线定理的逆定理）
连结AD1，在
∵ DB=b
∴
在
作交AC于E
则四边形D1DEA为矩形
∴
在
∴
【专项训练】：（45分钟）
一、选择题：
1、平面外一条直线和这个平面所成的角是，则的范围是
A． B．
C． D．
2、直线a、b在平面外，若a、b在平面上的射影是同一条直线，则a与b是
A．平行 B．相交或平行
C．异面或平行 D．异面或相交
3、若两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线是
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或相交或异面
4、从平面外一点P引平面的垂线PO和斜线PA、PB，已知PA=8，PB=5，且，那么点P到平面的距离是
A．3 B．4 C．5 D．6
5、直线与平面内共点的三条直线a、b、c分别成等角，那么直线与平面所成的角是
A． B． C． D．
6、A、B、C、D是空间四个点，且，则直线BD与AC
A．垂直 B．平行
C．相交 D．位置关系不确定
7、如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是
A． B．
C． D．
8、相交成角的两条直线和一个平面所成的角分别是，则这两条直线在该平面上的射影所成的角的余弦值是
A． B． C． D．
二、填空题：
9、已知P是所在平面外一点，点O是P在平面上的射影，若P到的三个顶点距离相等，则O是的 ；若是直角三角形，则O位于 ；若P到的三边距离相等，且O在内，则O是的 。
10、从平面外一点P引该平面的相交直线，使得P点到交点的距离等于1，则这样的直线可以作 条。
11、在平面内有线段AB为直径的一个圆，C是圆上的一个点，BC=a，AC=b，过C作的垂线段CD，若CD=c，则D点到直线AB的距离为 。
12、已知矩形ABCD，AB=9cm，AD=16cm，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，且PA=12cm，则P到AB的距离是 ；P到AD的距离是 ；P到BC的距离是 ；P到CD的距离是 。
三、解答题：
13、如右图，过直角三角形ABC的直角顶C，作线段CD垂直于这个三角形所在的平面，已知CA=30cm，CB=40cm，CD=32cm，求点D到AB的距离。
14、求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等。
15、如右图，OA、OB、OC为两两垂直的三条射线，它们与平面M的交点分别为A、B、C，平面M于H，求证：（1）点H是的垂心。（2）的面积是与的面积的比例中项。
【答案】：
一、选择题：
1、D 2、B 3、D 4、B 5、D 6、A 7、B 8、B
二、填空题：
9、外心；斜边中点；内心。
10、0条或1条或无数条。
11、
12、12cm, 12cm, 15cm, 20cm.
三、解答题：
13、解：过D作则DE就是D到AB的距离。连结CE，CE是斜线DE在平面上的射影
∵
∴（三垂线定理的逆定理）
∴
答：点D到AB的距离为40cm.
14、证明：依据线面不同的位置关系分别证明如下：（1）当两条平行线中有一条直线和平面平行或在平面内时，则别一条直线一定和平面平行或平面内，这时两条直线和平面所成的角都是角，故相等。（2）当两条平行线中有一条直线和平面垂直时，则另一条也一定和平面垂直，这时两条直线和平面所成的角都是，故相等，（3）当两条平行线中有一条直线是平面的斜线时，则另一条直线也是平面的的斜线如下图
若a∥b，且a、b都是平面的斜线，斜足分别是A、B。在a、b上分别取P、Q两点，作于M，作于N，连结AM，BN，则直线AM、BN分别是a、b在平面上的射影。
∴
∵
∴
∴
即斜线a、b和平面所成的角相等，故两条平行线和同一平面所成的角相等。
15、证明：（1）∵∩
∴
∴
CH是OC在平面ABC上的射影
∴ （三垂线定理的逆定理）
同理，
∴ 点H是的垂心.
（2）∵
∴
∵
∴
的面积用表示，的面积用表示，的面积用表示.
∴故得证.
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期中考前练习
一、选择题（每题5分，共50分）
1、如果平面外的一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直
2、直线a、b在平面外，若a、b在平面上的射影是同一条直线，则a与b是
A．平行 B．相交或平行 C．异面或平行 D．异面或相交
3、平面a //平面，则a、b两直线一定是
A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无公共点的直线
4、设直线a在平面M内，命题甲：平面M平行于平面N；命题乙：直线a平行于平面N，则甲是乙的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分且必要条件 D．非充分又非必要条件
5、如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，BC1 与对角面BB1D1D所成的角是
A． B．
C． D．
6、在空间四边形ABCD中，M，N分别是AD、BC的中点，且，如果M、N与AB、CD所成的角分别为a、，那么
A． B． C． D．的大小关系不确定
7、在正方体ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF，EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点为P，那么四面体A-EFP中必有
A．
B．
C．
D．
8、已知平面 a //平面，过P的两条直线分别交于A、B、C、D四点，AC且，则AC的长是
A．10 B．9 C．8 D．7
9、相交成90角的两条直线和一个平面所成的角分别是30，45，则这两条直线在该平面上的射影所成的角的余弦值是（B）
A． B． C． D．
10、下列命题中，a、b、c表示不同的直线，a、表示不同的平面，其真命题共有
①若，则// a ;
②若，则a // b;
③a是a的斜线，b是a在a内的射影，则
④若，则。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题5分，共20分）
11、正方形ABCD沿对角线AC折叠，使二面角B—AC—D成直二面角，求异面直线AB与CD所成的角等于 。
12、等腰三角形ABC和等腰直角三角形ABD有公共的底边AB，它们所在平面成60角，若AB=16m，AC=17cm,则CD= 。
13、在空间四边形ABCD中，各边长和对角线的长都是aE是AD中点。则异面直线AB和CE所成角的余弦值等于 。
14、过四条平行直线最多可以确定 个平面。一条直线和不共线三点最多可以确定 个平面。
三、解答题
15、异面直线AB与CD的公垂线是AC、AB与CD所成的角是60度，若AB=CD=5，AC=4，求异面直线AC与BD所成的角。
16、二面角M—a—N中，点点，点A到a的距离是4，点B到a的距离是，若AB与a所成的角是30度，求二面角M—a—N的平面角的大小。
17、在平面a内有一边长为a的等边△ABC，在△ABC中 ，,沿DE将△ABC折起，使它和△ ABC所在半平面成60的二面角，问直线DE取在何处，折起后的三角形顶点A（可记为）到BC边的距离最短，最短距离是多少？
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第一章 直线和平面 专项训练
平 面
【例题精选】：
例1 如图所示，平面AEF与平面ABC只有一个公共点A吗？说明理由。
分析：平面是无限延展的，这是平面最本质的属性，也是理解“平面”概念的关键，平面AEF或平面ABC表示一个无限延展的平面的位置，并不意味着平面就是AEF或ABC或平行四边形等其他形状的平面图形，平面是没有边界的。不能把平面与具体的平面图形如三角形、平行四边形混同起来，正因为平面是无限延展的，所以当平面AEF与平面ABC有一个公共点A时，就不只有一个公共点A，它们必然要相交于经过A点的一条直线，同时根据公理2如果两个平面有一个公共点A时，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线，也说明平面AEF与平面ABC不只有一个公共点A。
答案：平面AEF与平面ABC不只有一个公共点A，根据平面无限延展的属性和公理2，平面AEF和平面ABC有且只有一条通过A点的公共直线。
小结：同学们在以后的学习中，只要看到表示平面的图形、符号或文字，就应当立即想到“平面是无限延展的”。
例2 选择题：“点P在平面的交线l上”的正确符号语言是
A． B．
C． D．
分析：逐一验证排除
答案：C
例3 填空题：过四条平行直线最多可以确定 个平面。
分析：设这四条平行线分别为a、b、c、d，依据公理3的推论3，ab、ac、ad、bc、bd、cd共可确定6个平面，也可把这四条平行线放到正方体中，如右图所示，依据公理3的推论3可确定6个平面。
答案：6
小结：同学们是否可以退一步，过三条平行直线最多可以确定多少个平面去思考，然后在加上一条如何处理，也可确定6个平面，进一步养成从不同角度去分析思考同一个命题的习惯。
例4 一条直线和不共线三点可确定几个平面？
分析：分类讨论，一直线和三点共面；一直线和两点共面；一直线和一点共面。
答案：当一直线和三点共面时，可确定一个平面，如右图，当一直线和两点共面时，可确定三个平面，如下图
当一直线只和一点共面时，确定四个平面，如图
小结：此问题的解决不仅需要确定平面的条件即公理3及其推论1、2、3，还需要同学们学会分类讨论的数学思想方法。
例5 如图，已知ABC在平面外，它的三边所在的直线分别交于P、Q、R三点，求证：点P、Q、R共线。
分析：根据公理2，只要证明这三点在两个平面的交线上即可。
证明：
小结：在直线和平面的位置关系和数量关系的证明、计算、作图中，经常需要判断点共线、线共面、线共点等问题，这些基本问题经常要运用平面的基本性质即三个公理和公理3的三个推论来解决。本命题就是利用公理2证明这三个点在两个平面的交线上或者证第三个点在前两个点的确定的直线上。
例6（1）一条直线和两条平行直线都相交，证明：这三条直线在同一个平面内。
（2）证明：与同一条直线相交的所有平行线都在同一平面内。
分析：先根据公理3作一个平面，若能判定其余直线有两个点在这个平面内，那么根据公理1可以判定这些直线共面，若其余直线分别只有一个点在这个平面内，要作辅助平面，用两个平面重合的方法证明这些直线共面。
证明：（1）如图，设
（2）如图，设
小结：这是证明线共面的典型命题。证明（1）时，应根据确定平面的条件恰当选哪两个条件确定一个平面才有利于证明，证明（2）时用“任一”代表“所有”进行证明的思想方法应该学会。
例7 求证：不在同一平面的两两相交的三条直线必共点。
已知：如图，直线a、b、c两两相交，且不共面。
求证：a、b、c交于一点。
证明：设a、b确定平面
小结：同学们可试试用反证法来证明。
例8 三个平面能把空间分成几部分？画图说明。
答案：可分成4、6、7、8个部分，如下图（A）、（B）、（C）、（D）、（E）。
小结：同学们应学会画图的基本步骤：先画基本线、再画面面的交线，然后画每个面的“边线”（注意平行、等长）、最后可用实线、虚线区分前后（也可只画实线如（E））。
【专项训练】：（45分钟）
一、选择题：
1、空间四点可以确定几个平面
A．1个 B．4个 C．无数个 D．以上情况都可能
2、三条直线两两相交，最多可以确定几个平面
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、三条直线两两平行，最多可以确定几个平面
A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个
4、用六根边为a的火柴棍，可以拼成边长为a的正三角形个数最多为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5、下列说法中不正确的是
A．经过不共线的三点有一个平面
B．经过三点，可能有一个平面
C．经过三点，确定一个平面
D．经过不共线的三点，有且只有一个平面
6、空间四点中，三点共线是这四个点共面的
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分条件，也非必要条件
7、下列各个条件中，可以确定一个平面的是
A．三个点 B．两条不重合的直线
C．一个点和一条直线 D．不共点的两两相交的三条直线
8、两两相交且不重合的四条直线可确定平面的个数最多是
A．1个 B．2个 C．3个 D．6个
二、填空题：
9、共点的三条直线可以确定 个平面。
10、不共线的四个点可以确定 个平面。
11、三条直线相交于一点，过每两条直线作一个平面，最少可作 个平面，最多可作 个平面。
12、三条直线相交于两点，过每两条相交直线作一个平面，最少可作 个平面，最多可作 个平面。
三、解答题：


13、已知：如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别为AB、AA1的中点。
求证：CE、D1F所在直线必相交，且交点在AD所在直线上。
14、如图，
【答案】：
一、选择题：
1、D 2、C 3、C 4、C 5、C 6、A
7、D 8、D
二、填空题：
9、1或3 10、1或4 11、1，3 12、1，2
三、解答题：
13、如图，延长CE、D1F
∽
由公理2，知平面
14、由条件
即P、Q、R三点共线
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第一章 直线和平面 专项训练（3）
空间直线和平面（一）
【例题精选】：
例1：如果一条直线分别与两个相交平面平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行。
已知：如图，∩
求证：
分析：由求证想判定，方法有
（1）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
（2）公理4：若，，则
（3）直线和平面平行的性质定理，即“线面平行，线线平行”，同学们，还有其它方法以后再学。
证明：在内任取一点，过直线a、点A可作一平面r，使∩，在内任取一点，过直线a、点B可作平面，使∩。
∩
∴
同理，
∴，
∴∩
∴
∴
例2：空间四边形ABCD，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，如果四边形EFGH为平行四边形，求证AC∥平面EFGH。
分析：要证“线面平行”，根据“线面平行”的判定定理，只要证明“线线平行”就可以了。
证明：如图，
∴
∴
∩
例3：求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交。
已知：∩
求证：
分析：当直接证b与相交受阻或不易证时，通常采用间接证中的反证法，它的主要特征是“推出矛盾”。在进行反设时，要注意原结论相反的方面是只有一种情形，还是有若干情形，如果只有一种情形，那么只需就这种情形去推出矛盾，如果有若干种（本命题是两种）那么必须针对每一种情形分别推出矛盾才可。
证明：如图，
假设
（1）若
∩。
（2）若，直线b和点确定平面，∩
∴
∴这也与∩矛盾。
故 假设不能成立。
因而。
例4：在平面内有直角BAC，在其两边上取AB=5cm，又，并且垂直于，求PA、PC的长。
解：如图，
∴
∩
例5：已知：空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形MNPQ是一个矩形。
分析：首先要证明四边形MNPQ是共面四边形而非空间四边形，然后再证四边形MNPQ是平行四边形。最后再证某一个角是直角即可。
证明：如图，连结AC。
在中，M、N为AB、BC中点
同理，∩
例6：已知：如图，在正方体－中，
求证：对角线
证明：在正方体－中
∵
∩
∴
∴∩
∴
∴
∴
∩
∴
例7：如果一条直线和一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线。必在这个平面内。
已知：如图，
求证：
证明：假设
∴∩
∴
∴这与平行公理（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）矛盾。
∴假设不成立。
故
小结：当用直接法证明直线在平面内不易证时，往往采用反证法证之。
例8：如图，已知梯形ABCD中的一底AB在平面内，另一底DC在平面外，对角线交点O到平面的距离为d，若AB：CD=p：q。求CD和平面的距离。
解：∵ CD在平面外，.
∴
作
则
即
∴
而
故CD和平面的距离为。
小结：同学们注意立体几何计算题往往需要首先作好辅助线（或辅助平面），然后证明满足条件要求，最后进行准确的运算。
【专项训练】：
一、选择题：
1、直线a在平面外则
A． B．a与至少有一个公共点
C． a∩=A D．a与至多有一个公共点
2、直线a//平面M，直线，则b与M的关系
A． B． C． D．不能确定
3、直线a与直线b垂直，b又垂直于平面，则a与的位置关系是
A． B． C． D．
4、已知直线a、b、平面M，下列条件中，可以判定的是
A． B．
C． D．
5、下列命题中，真命题的个数有
（1）两条异面直线不能同时垂直于一个平面。
（2）经过一点不能有两条直线和同一条直线垂直。
（3）经过一点不能有两条直线和一个平面垂直。
（4）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线这个平面内的任何一条直线都垂直。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、若a、b是异面直线，过a作平面与b平行，则这样的平面
A．不存在 B．有两个
C．有且只有一个 D．有无穷多个
7、过平面外一点
A．存在无数条直线和这个平面垂直
B．存在无数条直线和这个平面内的一条直线平行
C．只有一条直线和这个平面垂直
D．只有一条直线和这个平面内的一条直线垂直
8、如果平面外的一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直
二、填空题：
9、已知⊙O的直径AB，⊙O所在平面，C是圆周上不同于A、B的点，连结AC、BC。则BC与PC的位置关系是 。
10、在正方体－中，平面和平面的交线与棱的位置关系是 ；截面和直线的位置关系是 。
11、如图，在空间四边形ABCD中，AB=DA，BC=CD，则异面直线AC、BD所成角的大小为 。
12、如图，在空间四边形ABCD中，AB=DA、BC=CD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点且AC=4，BD=2 . 则四边形EFGH的面积为 面积单位。
三、解答题：
13、已知：a、b是异面直线，，。
AB为a与b的公垂线且∩
求证：c/AB
14、已知：如图，平面∩平面，直线，直线。若，于C，于E。
求证：
15、AB、CD是平面M内相距28cm的两条平行线，EF在M外，EF//AB，且EF与平面M相距15cm，EF和AB相距17cm，求EF与CD之间的距离。
【答 案】：
一、选择题：
1、 D 2、D 3、D 4、C 5、C 6、C
7、C 8、C
二、填空题：
9、垂直 10、平行；平行 11、 12、2
三、解答题：
13、证明：如图，
从点A作b//b
∵
∴
∵
∴
∵，又a∩b=A
可设相交两直线a、b所确定的平面为r。
∴
∵∩
∴
∴
∴
∴
14、证明：
∵
∴
又∩
∴
∴
∵
∴∩
∴
∴
15、分两种情况：
（1）如图，过EF上一点P作
∵
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（2）如图，同理可证，
同理可求，
∵
∴
在
∴EF与CD之间的距离为39cm.
故 EF与CD之间的距离是25cm或39cm.
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第一章 直线和平面 专项训练（2）
空间两条直线
【例题精选】：
例1 “a、b是异面直线”是指：
上述结论中，正确的是
A．，， B．，，
C．， D．，
答案：选D
小结：注意掌握文字语言和符号语言的“互相翻译”。
例2 已知平面
求证：b，c是异面直线。
分析：当直接证法不易证时，可采用反证法，其实质是证明命题的逆否命题成立，即首先提出和求证结论相反的假定，再推出矛盾。从而说明假设不成立，因而结论成立。
证明：如图，假设b、c不是异面直线，即b、c 共面
则b//c或b、c相交
（1）若
（2）
综上所述，证明假设不是异面直线不成立，故是异面直线。
小结：证明空间两条直线是异面直线，条件具备，可采用直接证法，利用异面直线的判定定理来证明。本命题条件不具备，通常采用间接证法中的反证法，它的主要特征是“推出矛盾”，在进行反设时，要注意原结论相反的方面是只有一种情形，还是有若干种情形，若只有一种情形，那么只需就这种情形去推出矛盾；若有若干种（本题有两种），那么必须针对每一种情形分别推出矛盾才可。
例3 如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为AB、CD中点，AC=4，BD=
求证：。
分析：证明两条异面直线互相垂直，根据定义，只要求出这两条异面直线所成的角是直角就可以了。
证明：取BC中点R，连结PR，QR
的中位线，根据三角形中位线定 理
小结：此题是通过两条异面直线所成角的数量关系来判定两条异面直线的位置关系，而求两条异面直线所成的角只要通过平移转化为共面夹角就可以了，要注意平移点、平移面的选取。
例4 如图，在空间四边形ABCD中，各边长和对角线长均为a，点E、F分别是BD、AC中点，求异面直线AE、BF所成的角的余弦值。
分析：求两条异面直线所成的角，一般先通过平移，把异面直线所成的角转化为共面夹角来处理，根据定义，空间一点O的选择是任意的，但为了简便，通常O点取在两条异面直线的某一条上或其他更为方便的地方，下面给三种解法依次将O点（共面角的顶点）取在了点E、F、B处，恰当地选取平移点和平移面是计算两条异面直线所成角的基本技能。
解法一：如图，连结DF，取DF中点G，连结GE、 GA
解法二：如图，连结CE，取CE中点G，连结GF
故异面直线
解法三：如图，在平面DAB中，作BG||EA交直线DA于G


依据余弦定理，
故异面直线
小结：本题重点考察两条异面直线所成的角，方法很多，只有深刻地理解其概念，掌握求两条异面直线所成角的基本方法，才能灵活运用方法及准确地计算来解决问题。
例5 选择题：若异面直线则过空间任一点所成角都是，这样的直线有且仅有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
分析：如图，把异面直线点，由条件知则
的邻补角的角平分线PQ满足条件。又平面ABCD的两条斜线PM、PN，使
，也满足条件。故满足条件是3条。
答案：选C。
例6 如图，已知所在平面外一点，且
，求异面直线的距离。
分析：虽然不相交，所以AC不是异面直线BE和AC的公垂线，而根据异面直线所成角的定义，任何和AC平行的直线都和BE、AC垂直。又和AC平行且和PC相交的直线必在平面APC内，由于BE和平面APC有公共点E，所以在平面APC内经过E和AC平行的直线EF一定是异面直线BE和PC的公垂线。
解：在
小结：对于异面直线的距离，高考只要求会计算已给出公垂线时的距离；求两条异面直线的距离，一般可根据它的定义分两步进行：（1）确定两条异面直线的公垂线，在确定时应注意两条异面直线的公垂线是一条直线，它具有和这两条异面直线都垂直，并且都相交这两个属性；（2）计算公垂线在两条异面直线间线段的长度。
【专项训练】：（45分钟）
一、选择题：
1、下述四个命题中，正确的命题是
A．已知直线a、b、c，若a与c相交，b与c相交，则a与b也相交
B．已知直线a、b、c 若a与c是异面直线，b与c是异面直线，则a与b也是异 面直线
C．
D．
2、如果空间两条直线互相垂直，那么它们
A．一定相交 B．是异面直线
C．是共面直线 D．一定不平行
3、已知a、b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
4、如图，ABCD－
则所成角的余弦值是
A． B． C． D．
5、分别是空间四边形ABCD各边的中点，若对角线BD=2，AC=4，则的值是
A．5 B．10 C．12 D．不能确定
6、直线m与n是异面直线，直线a与m、n相交，直线b也与m、n相交，那么a与b的关系是
A．a//b B．a、b相交 C．a、b异面 D．a与b不平行


M
7、如图，在棱长为1的正方体分别为 的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是
A． B．
C． D．
8、正方体的12条棱中，组成异面直线的对数有
A．20 B．24 C．12 D．8
二、填空题：
9、空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。若AC=BD，则四边形EFGH是 ；若则四边形EFGH是 。
10、长方体中，长和宽都是1cm，高是2cm，那么异面直线 所成角的余弦值是 。
11、如图，在空间四边形ABCD中，各边长和对角线的长都是a，E是AD中点。则异面直线AB和CE所成角的余弦值等于 。
12、如图，在空间四边形ABCD中，CD=2AB=4，E、F分别为AC、BD的中点，且，则所成的角等于 。
三、解答题：
13、已知：a、b是异面直线，分别在a、b上取点A、B和点C、D（A与B、C与D不重合）。求证：AC、BD是异面直线。
14、如图，在正方体中，P、Q分别是的中点，求异面直线所成角的余弦值。
第14题 第15题
15、如图，空间四边形ABCD，连结对角线AC和BD，E、F分别是BC、AD的中点，AB=BC=CD=DA=AC=BD。
（1）求证：EF是异面直线BC、AD的公垂线；
（2）设AB=a，求异面直线BC、AD间的距离。
[答案]：
一、选择题：
1、D 2、D 3、C 4、A 5、B 6、D
7、D 8、B
二、填空题：
9、菱形 矩形 10、 11、 12、
三、解答题：
13、反证法，如图，
假定AC、BD不是异面直线，即共面
14、取
15、（1）
（2）
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第一章 直线和平面 专项训练（5）
空间两个平面（一）
【例题精选】：
例1 已知：a、b是两条异面直线，a分别平行于平面也分别平行于平面和，求证：
证明：
（两个平面平行的判定定理的推论）
小结：两个平面平行的判定定理的推论是指：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行，它的好处在于直接通过线线平行来判定面面平行。
例2 两条直线与两个平行平面相交，求证：夹在平行平面间的两条线段中点的连线与这两个平面平行。
证明：如右图，平面
（夹在两个平行平面间的平行线段相等）
（直线和平面平行的判定定理）
同理，
小结：同学们应学会添加辅助平面、辅助线、创造运用概念和定理的环境；还要养成按步思维、按步表达的习惯。
例3 如图，直线AC、DF被三个平行平面所截，求证：
证明：如图，过点A在平面ADF上，
例4 如图，两条异面直线AC、DF与三个平行平面分别相交于和，又分别与平面的交点为G、H，
求证：四边形HEGB为平行四边形
证明：
例5 是线段AB上的两点，且，平面的两个平行平面，过A、B分别作直线和平面相交于
求证：
证明：如图，
小结：根据命题条件画出草图，然后依据草图，观察分析空间图形（含平面图形）的性质，创造合理运算的环境是很重要的。
例6 如下图，在棱长为a的正方体中，
（1）求证：平面；


（2）求平面的距离。
分析：证面面平行，可依据两个平面平行的判定定理转化为证线面平行，也可以根据垂直于同一直线的两个平面平行转化为证这两个平面都垂直于体对角线AC1就可以了。（2）的求解要根据（1）中证明了面面平行，才说明这两个平面间距离存在，再求解，注意把空间图形的计算转化为平面图形的计算。
（1）证法一：
证法二：
（2）解：
故平面
小结：在命题证明和求解过程中，同学们要注意转化的数学思想的运用；求两条异面直线的距离问题可转化为求两个平行平面间的距离问题，比如在正方体中，异面直线A1B和B1C的距离可以转化为两个平行平面的距离。
【专项训练】：（45分钟）
一、选择题：
1、在正方体中下列四对截面中彼此平行的一对截面是
A． B．
C． D．
2、平面两直线一定是
A．平行直线 B．相交直线
C．异面直线 D．无公共点的直线
3、已知直线条件甲：条件乙：，那么条件甲是条件乙的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4、若的位置关系是
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定
5、下述命题中，其正确命题的个数是
（1）垂直于同一直线的两个平面互相平行
（2）平行于同一直线的两个平面互相平行
（3）垂直于同一平面的两条直线互相平行
（4）平行于同一平面的两条直线互相平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、若平面的所有直线中
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
7、已知平面的两条直线分别交四点，，则AC的长是
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题：
8、若两个平面分别垂直于两条相交直线，则这两个平面的位置关系是 。
9、若两条平行线中的一条和一个平面垂直，另一条和另一个平面垂直，则这两个平面的位置关系是 。
10、夹在平行平面间距离等于 。
11、平面直线b分别交 于D、E、F，且AB=2，DE=4，EF=3，则AC= 。
12、已知平面
的距离是2，B到b的距离是5，AB=4，则a、b间的距离是 。
三、解答题：
13、如图，所在平面外一点，分别是 的重心，
（1）求证：平面
（2）求
14、若两个平面互相平行，如果一条直线与其中一个平面相交，求证它也和另一个平面相交。
15、AC和BD是分别夹在两个平行平面之间的两条线段，若 ，
上的射影的和为14cm，求这两个平行平面间的距离。
【答 案】：
一、
1、A 2、D 3、B 4、C 5、B 6、D
7、B
二、
8、相交 9、平行 10、 11、
12、（提示：按同侧、异侧分类求出）
三、
13、（1）证：如图，取PB中点Q
（2）
∽
14、已知：平面
求证：
证明：（用反证法）
（1）
（2）
15、解：如图，从点A作
故两平行平面间的距离是12cm
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