高一函数专题讲义资料（共计十六讲）

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第一章 幂、指、对数函数专项训练（八）
二次函数及幂函数
【例题精选】：
例1 用描点法画出函数的图象。
分析：描点法是画图象的最基本的方法，但应注意避免描点前盲目列表计算，对已经研究过的基本初等函数，由于已经掌握了其图象的大致轮廓，只要找出几个关键的点，即可迅速得到图象，对于其轮廓还不知道的函数图象，则应先对定义域，值域，奇偶性，单调性作出一些理论研究，找出图象的存在范围，大致特征，变化趋势，再列表、计算、描点得其图象。
解：此函数的定义域为[－1，1]，值域为[0，1]，且[－1，1]都成立，即是偶函数，故可先画出第一象限内的部分，再以轴为对称轴画出图象在第二象限的部分
x 0 0.6 0.8 1
y 1 0.8 0.6 0
例2 （1）的图象之间有何关系，由此归纳
的图象之间的关系。
（2）,的图象之间有何关系，由此归纳f(x)与
图象间的关系。
解：（1）向左平移2个单位得到的图象，向右平移1个单位得到的图象。由此归纳：的图象左右平移个单位，当时为左移。当时为右移。
（2）把的图象，向下平移1个单位即得的图象。由此归纳的图象上下平移时为下移。
在此基础上的图象可以由的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位而得到。
小结：关于图象平移，初中已经研究过，现在将其推广到一般情况，并将函数种类推广到其它函数。
例3
分析：图象平移一定要搞清由谁平移之后得到谁。的图象右移3个单位，上移2个单位得的图象。
小结：将平移对象推广到常见函数之后，对于这种由常见函数平移后得到的函数会画它的图象也就可以研究它的性质了。
例4 画出函数的图象，试分析其性质。
分析：先要找出它是哪一种函数平移而来的，它应是由反比例函数平移而来，
（这种变换是解决这类问题的关键），由此说明，是由图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的，如图所示：具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要大致准确，即。故图象一定过（0，－1）和两个关键点，再观察其图象可以得到如下性质：定义域
，单调区间上单调递增；既不是奇函数也不是偶函数，但是图象是中心对称图形，对称中心是（3，－2）。（注意此题两个增区间之间不能用并集号）。
例5 在同一坐标系下作下列图象
分析：的图象关于轴对称，的图象关于
的图象关于原点对称，
的图象与的图象关于直线对称，由此可利用对称关系，画出下列函数图象。
例6 已知二次函数的图象过（1，3），（2，2），（－1，－1）三点
（1）求二次函数的解析式；
（2）设抛物线顶点为求的面积；
（3）求函数在区间上的最大值及相应的值。
解：（1）设
.
（2）由
解得的纵坐标是3，所以
（3）在区间上函数图象如图所示，由此可知的最小值为
小结：求二次函数解析式可以根据题目条件选择
。求二次函数某区间上最值可借助图象，利用数形结合方法加以处理。
例7 函数上是减函数，求实数的取值范围。
分析：不要认为是二次函数，要分别对进行讨论。
解：当上是减函数，当由于是二次函数，开口向上的抛物线，要求根据其对称轴的可能位置必须有时，作同样研究知此时，上不可能是减函数，综上可得
小结：由于函数类型和函数性质的差别，这里运用了分类讨论的思想，往后又运用运动变化的观点考查对称性的变化，图象升降性的规律，实质上后者就是函数思想的应用。
例8 求函数上最大值和最小值。
分析：首先要认清含有参变量的二次函数，实际上是二次函数系，从图象角度认识是一组图象的全体，这些二次函数有些性质是相同的如函数定义域都是轴上截距都是－1，即都过（0，－1）点，开口均向上，且开口大小都相同；但也有很多性质是不同的，如值域，奇偶性，单调性，最值等，它们都是由于参变量的变化而引起函数性质的改变，因而利用数形结合方法比较直观。
图1 图2
图3 图4
解：
小结：此题体现分类讨论与数形结合的两种数学思想的结合。
例9 由半圆和矩形组成的图形（如图）的周长为L，
（1）求图形的面积之间的关系式，并确定定义域。
（2）最大的值是多少？
解：（1）设半圆的半径为
为
由
（2）
小结：利用二次函数知识解决某些几何问题时，注意实际意义对定义域的影响。
例10 长方形使
解：（1）
（2）
与已知矛盾，故此种情况不存在。
小结：以上两题均为二次函数应用问题，应用问题是近年高考热点问题，以二次函数为依托的题目比较多，综合程度较高，应引起重视。
例11 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系。


分析：通过对函数定义域与奇偶性的考察，区分函数图象不同类型，从而确定函数与图象之间的对应关系。
解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：
（1）是 增函数；
通过上面分析，可以得出（1）（A），（2）（F），（3）（E），（4）（C），（5）（D），（6）（B）。
小结：幂函数由于各类性质差异较大，所以对它的研究以迅速准确画出图象为基本要求，不作更高的要求。
例12 比较下列各组中两个值大小
（1）
分析：这类比大小的问题，可以利用函数的单调性来做。把要比较大小的两个数值看作是某个函数的两个函数值，并利用函数的单调性比较它们的大小。是解决“比大小”问题的常用方法之一。
解：（1）
（2）
小结：此类型题解题步骤大致是：
（1）确定函数类型，把要比较大小的两个数值看作是某个函数的两个函数值，这里首要的是明确函数类型，这里两个幂形数同指数不同底数，则应考虑幂函数。
（2）利用函数的单调性：利用函数在指定区间内的单调性，由两个自变量数值的大小，得出相应的函数值大小。
例13 利用幂函数图象，画出下列函数的图象。
（1）
解：（1）的图象 向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以得到函数
的图象。
（2）图象向右平移2个单位，再向下平移 1个单位而得到。



小结：利用幂函数图象通过平移可以画形如的函数图象，并可以根据图象研究这类函数的性质。
【专项训练】：
一、选择题：
1、函数的图象是
（A） （B） （C） （D）
2、把函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得函数的解析式是
A． B．
C． D．
3、设有三个函数，第一个是，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于原点对称，那么第三个函数是
A． B．
C． D．
4、下列函数中既是偶函数又是
A． B． C． D．
5、下列命题中正确的是
A．当
B．
C．是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
二、填空题：
6、函数的定义域是 ；
7、若函数上的最小值为 ；
8、将抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位，则所得新图象的解析式是 ；
9、的解析式是 ；
10、把的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，则 。
三、解答题：
11、已知函数；
（1）指出函数的图象经过怎样平移而得到；
（2）画出的图象。
12、已知幂函数轴对称，试确定的解析式；
13、作出函数的图象并依图指出函数的单调递增区间；
14、图象过原点且在轴上截得的线段长为4，且最大值为4，求此二次函数的解析式。
【答案】：
一、
1、A 2、C 3、C 4、C 5、D
二、
6、 7、－6 8、
9、 10、
三、
11、向右平移1个单位再上移1个单位，图略。
12、由1，3。
13、图象如图
递增区间为
14、
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第一章 幂、指、对数函数专项训练（九）
指数函数、对数函数
【例题精选】：
例1 指数函数的图象只能是
答案：A。
分析：根据指数函数和对数函数的定义，对底数要求应该有
这里要求把图象中反映出来的函数的性质同函数的解析式中有关系数的特征联系。由此由指数函数和对数函数的性质。图象应下降，
的图象应上升，故本题应选A。
小结：指数函数对底数的变化直接影响函数值变化。当指数函数在定义域内为增函数，体现为图象上升，当时指数函数在定义域内为减函数，体现为图象下降。
对数函数是通过反函数角度定义的，因此对底数a也有同样的要求，且增减性与其对应的指数函数的单调性是相同的。
例2 当的取值范围。
答案：或。
分析：不妨把所给函数为指数函数由指数函数的性质结合图象可以得到或
小结：对于指数函数的性质理解必须与图象相结合，要脑中有图，心中有数。对于指数函数结合图象可知当
。
例3 求下列函数的定义域
解：（1）
（2）
（3）
小结：求函数定义域时，遇到简单的指数，对数不等式，可利用函数的单调性或结合函数图象求解。对于含有字母的函数关系求定义域，注意分类讨论。要注意不能将结果做交和并的运算。
例4 比较下列两数大小，并说明理由。
分析：利用函数单调性比较两实数大小，首先要通过观察分析，构造出适当的函数来。对于幂形数，若同指数不同底数，则考虑幂函数，若同底数不同指数，则考虑指数函数。其次比大小时不仅要注意函数的单调性，还要注意幂形数比大小的两数是否都在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小。
对于底数和指数都不相同的幂形数比较大小，通常可以有三种方法：（1）转化成同底数或同指数；（2）以特殊值为中介间接比较大小，这种特殊值常用1，0等；（3）用比较法（取差或取商法）。
解：（1）
（2）
（本题以为中介进行比较，也可以成功）
（3）
（4）
（5）
（6）
（本题若以为中介，都不能成功，因此才换底做差）
例5 比较两个数的大小，说明理由。
解：
小结：此题要特别注意运用分类讨论的思想，既要注意分类讨论对象的可能取值范围又要注意讨论不重不漏，特别是
例6 利用指数函数，对数函数的图象画出下列函数的图象
分析：由于
的图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，即可得到的图象：把的图象向左平移三个单位，再向上平移1个单位即可得到的图象。
小结：利用平移法画图象，首先应搞清被平移图象与所画图象间的关系，以便在相应位置找到画图的依托，其次能在新的依托下准确画出被平移的图象，最后注意图象与两轴的交点是图象的关键点，应大致准确。渐近线是图象的一部分，必须用虚线画出。
例7 讨论下列函数的单调区间
分析：由以上两个函数复合而成。
一般地复合函数单调性规律如下：
函数 单 调 性
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
（1）函数
在定义域内是减函数，当是增函数，所以上是减函数。
注意：不要错解为，忘求定义域。
（2）分析：给出的是复合函数，把它分解为若干函数的方法不是唯一的，还是令的分解方法对研究单调性简捷些，同时注意，函数的单调区间只能是这个函数的定义域的子区间，由得出函数的定义域是
构成的复合函数，并且
时是减函数，时是增函数，在时是减函数，根据复合函数的增减性规律可得所求函数的递增区间是[1，3）。
例9 求函数的单调区间，并指出相应区间的增减性。
解：构成的复合函数，且域是
上是减函数，时是减函数，在时是增函数，且
根据复合函数的单调性的规律，由下表
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第一章 幂、指、对数函数专项训练
集 合
【例题精选】：
例1 下列语句中能表示集合的是
A．细长的长方形的全体
B．著名的艺术家
C．与一条线段两个端点的距离相等的所有的点
D．一切与零很接近的数
解析：因为“细长的长方形”、“著名的艺术家”、“很接近的数”都不满足给定集合的元素应具有确定性的要求，所以都不能描述为集合。答案应选C。
答案：C。
小结：集合是由一些确定对象组成的整体，因此集合中元素具备确定性，对任何元素a与集合A在aA与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立。
例2 设集合，那么下列关系中正确的是
A． B．
C． D．
解析：这里首先考查集合中的关系符号的正确使用。 表示集合，而x表示元素。因此A、C中对有关符号的使用都是不正确的，又 是集合M中的元素，于是有。由此本题应选D。
答案：D。
小结：由本例还可以看到研究两集合的关系，实际上还是从研究元素和集合的关系开始。严格区分元素与集合，以及集合与集合之间的关系及其符号，是准确理解概念，正确使用符号的重要问题。
例3 方程组的解集是
A． B．
C． D．
解析：
答案：C。
小结：因为方程组的解是一对有序实数对（0，1），所以用列举法表示解集应是{(0,1)}。{x=0, y=1}表示综合中的两个元素是两个议程。，集合{0，1}中包含0，1两个元素。集合{(0，1)}是个单元素集合，集合的元素是（0，y）或（x, 1），其中x, y是实数，这个集合有无限多个元素。
例4 设
解：由
的所有子集为，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}。
小结：2个元素的综合有4个子集，3个元素的集合有8个子集。
例5 集合
解析：由于集合A和B中元素是坐标平面内的点，所以集合A表示坐标平面内直线表示坐标平面内直线 表示坐标平面内两条直线。即这里导致错误的原因是定义中逻辑联词“或”的理解。逻辑联词“或”的意义与生活中通常对“或”的理解是有差别的。这里的“或”，可以兼有，即中的元素所属有三种可能：属于A而不属于B，属于B而不属于A，既属于A又属于B。
答案：。
例6 已知全集{不大于8的正奇数}。集合
解：由已知可以得到全集
={4,7,10}。{1,3,4,5,7,10}，{2,4,6,8,9,10,11}， {2,6,8,9,11}, .
小结：要正确理解有关的文字语言和符号语言的含义。尤其对的意义要有深刻认识，它表示不但在A外面而且在B里面。要结合韦恩图加深理解。
例7 设
A．S B．T C． D．x
解析：由于本题也可以利用韦恩图进行判断。分两种情况（如图），。故本题应选A。
答案：A。
小结：本题未给出集合中的元素。只给出两个抽象的集合及其间的关系，这类题一般采用韦恩图加以解决。用韦恩图、数轴上的区间、直角坐标平面上的点集表示集合都属于集合的图示法，对于一些关系较复杂或问题较抽象的情形，要用图形辅助解题，善于把文字语言或符号语言转化成图形语言。
例8 已知全集
解析：利用数轴将，注意这里的 导致这种错误的原因是把实数集R当作全集了，没有重视问题对全集的约定。
答案：。
小结：一个确定的集合，对于不同的全集有不同的补集。补集是在约定全集的前提下定义的，因此给定集合A的补集是由约定的全集和集合A共同决定的。
例9 设A={等腰三角形}，B={等边三角形}，C={直角三角形}，则= ，= 。
解： 不要写成{等腰三角形或等边三角形}。
小结：集合的交，并，补的运算主要针对以下几种类型的集合一是有限集（元素多为离散的）；二是无限集（元素可为连续的）；三是几何对象；四是抽象的集合符号。
例10 若
解析：此题是利用集合语言给出的，除了准确理解集合语言外，还需把它翻译成一般的语言文字叙述，此题的含义为关于的取值范围。
由
例11 若当
解析：本题关键在识别集合语言所表述的意义，如果能认识到这里的已知条件。即“
同时是两个一元二次方程的实根”；则问题不难解决
解：由已知，有
故可求得
因此可得两个方程分别为解第一个方程得
。
于是有
这与集合中元素的互异性不相符合。
【专项训练】：（40分钟）
一、选择题：
1、设集合则下列关系中正确的是
A． B． C． D．
2、A、B是两个非空集合，则下列关系中一定成立的是
A． B．
C． D．
3、满足
A．8 B．7 C．6 D．5
4、全集的
A．交集 B．并集 C．交集的补集 D．并集的补集
5、已知则
A． B． C． D．
二、填空题：
6、已知I={小于10的自然数}，A={不大于9的正奇数}，则 （用列举法表示）
7、集合 。
8、若则a的取值范围是。
三、解答题：
9、若集合
10、集合
。
【答案】：
一、
1、C 2、C 3、B 4、D 5、A
二、
6、{2,4,6,8} 7、
8、
三、
9、当
当解得
10、由
因此两个方程分别为
第一个方程的解为第二个方程的解为所以
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第一章 幂、指、对数函数专项训练（十）
指、对数方程及复习
[例题精选]：
例1 解下列方程
（1） （2） （3）
解：（1）原方程可化为
（2）原方程可化为
（3）原方程可化为
小结：指数函数的定义域是全体实数，因此不必验根。
例2 解下列方程
（1） （2）
解：（1）原方程可化为
解得
（2）将原方程化为
小结：此组题利用换元法解形如其中注意发现隐含的平方关系。
例3 解下列方程
（1） （2）
（3）
分析：对于具体解方程时不一定要将不等式解出，可以先解方程求解后再代入不等式检验即可。
解：（1）原方程可化为
（2）原方程可化为
（3）原方程可化为
小结：此类型的对数方程，利用同底比较法化为有理方程，要用对数运算法则及换底公式，转化成同底对数。
例4 解下列方程
（1） （2）
分析：对于此类方程可以用换元法，把已知方程转化为一元二次方程，然后求解。
解：（1）原方程可化为
经检验均为原方程的解。
（2）原方程可化为
均为原方程解。
例5 解下列方程
（1） （2）
分析：（1）对于形如型的方程可以利用取对数的方法，转化为代数方程，也可以利用幂的运算法则转化成同底幂的问题。
解法一：方程两边取以10为底对数得
小结：此题可解至括号之前。此题是指数方程不必检验。
法二：原方程可化为
（2）对于这类对数方程可直接用对数定义求解。
原方程可化为
例6 利用函数图象求方程解的个数


（1） （2）
分析：利用函数图象可以求某些方程的近似解或研究方程解的个数，即方程的解的个数就是两曲线交点的个数。
解：（1）令如图
两曲线交点有两个


（2）
小结：利用图象求方程解的个数，画图是关键。尤其是两图象的相对位置关系要大致准确。
以下是全章总复习
例7 集合
=
分析：对集合进行运算，先要搞清构成集合的元素的种类。对于集合它实际上是二次函数是函数的值域，故。
小结：认识集合应从构成集合的元素开始，代表函数图象上的点的坐标，元素是有序数对。的值域，元素是实数，这是完全不同的两个集合。
例8 函数
分析：此题可以翻译为关于的范围。转化为含有字母的一元二次不等式解的问题，可以结合二次函数图象加以研究。
解：由题意可得
小结：本题要考虑a = 0的情形，然后排除。
例9 求函数
分析：含有参数的函数实际是函数系问题，要求定义域可以分类进行研究。
解：
例10 求下列函数的值域
（1） （2） （3）
分析：对于求函数值域虽然不要求掌握一般方法，但对于一些典型类型函数求值域问题仍应掌握主要方法。
解：（1），也就是说y = －2时方程无解，∴。
（本题也可以不变形直接观察求解）。
（2）此函数定义域为复合而成，时有此函数值域为[0，5]。
（3）由
小结：判别式法求值域适用于形如不同时为零)的函数。
例11 当在区间上的最小值与最大值。
分析：此题给定了二次函数，是不变的，而研究的区间是变化的，也就是研究二次函数在不同区间上的最值问题。因此应以运动变化观点为指导，结合二次函数的性质，对t进行分类讨论。
解：
此种情况不存在。
小结：（1）对为最大范围，做到不重不漏。
（2）对于对称轴落在研究区间内部的情况，注意端点处的函数值的大小，即比较的大小。
例12 下列函数中，与函数有相同奇偶性的是
A． B．
C． D．
分析：判断的前提是准确判断这五个函数的奇偶性，对于奇偶性的研究重点抓住三件事，首先是恒等：即成立，不是对某一个其次是运算：即对于要经过一定运算、变形之后再看与的关系。最后是图象：即判断奇偶性还可以从几何角度通过图象的对称性得出结论。
由
A．既不是奇函数也不是偶函数
B．既是奇函数也是偶函数
C．是奇函数
D．由于定义域不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数。此题应选C。
答案：C。
例13 已知二次函数的图象过原点和第二，三，四象限则有
A． B．
C． D．
分析：二次函数的图象是解有关二次函数问题的重要手段，其主要思路是数形结合，变抽象思维为形象思维。解题时要从抛物线开口方向，顶点位置，对称轴位置考虑，从已知条件，可知抛物线如图所示，抛物线开口向下，即，且抛物线对称轴在
而抛物线过原点，则于是可以得出对于
故本题应选D。
答案：D
小结：对数形结合思想应从两方面去认识即用数解决形的问题和用形解决数的问题，而后者常被人们忽视，在解决函数问题时应引起重视。
例14 已知
分析：一次函数若互为反函数，则其斜率互为倒数，∴a = 3，而一定过点根据反函数概念有一定在其反函数。∴。
解：
【专项训练】：
一、选择题：
1、函数的定义域，值域是
A．定义域是 B．定义域是
C．定义域是 D．以上均不对。
2、函数的定义域为
A．（1，3） B．（1，3] C． D．
3、已知
A． B．
C． D．
4、下列不等式中正确的是
A． B．
C． D．
5、若函数的定义域是
A． B． C． D．
二、填空题：
6、函数的反函数是 ；
7、若的取值范围是 ；
8、函数的取值范围是 ；
9、函数是增函数的区间是 ；
10、若 。
三、解答题：
11、设
12、已知函数
的范围。
13、设
（1）
（2）
14、已知的最大值和最小值。（提示：先求g(x)的定义域）。
【答案】：
一、
1、C
2、D 提示：由
3、B 提示：
4、A 提示：
5、B 提示：
二、
6、
7、
8、
9、
10、
三、
11、（1）
（2）
12、
13、（1）
（2）
同理可证
均在定义域内为增函数。
14、因为的定义域为[1，3]。
因此当有最大值13。
【专项训练二】：（90分钟）
一、选择题（每题5分）
1、已知函数的定义域为，那么下列关系中正确的是
A． B． C． D．
2、下列函数中是偶函数，且又在上是减函数的是
A． B． C． D．
3、把函数的图象向上平移1个单位得到函数的图象，再把函数的图象 就得到了函数的图象。
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位
4、下列函数中不存在反函数的是
A． B．
C． D．
5、已知的最小值是
A．0 B．1 C． D．
6、
A． B． C． D．
7、已知集合的个数是
A．32 B．16 C．8 D．4
8、已知
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
9、记的大小关系是
A． B． C． D．
10、函数的图象
A．关于点（－2，－3）对称 B．关于点（2，3）对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
二、填空题（每题5分）
11、 ；
12、已知 ；
13、函数的减函数的区间是 ；
14、函数的取值集合是 。
三、解答题：
15、（6分）画出函数
16、（10分）已知函数
（1）求的定义域；
（2）若
17、（6分）已知
18、（8分）如图
平行四边形EFGH的面
积记作S。
（1）求函数的解析式、定义域；
（2）求函数的取值。
【答案】：
一、
1、A 提示：
2、B 3、A
4、D 提示：
5、D 提示：
故最小值为。
6、C 提示：
7、B 提示：
8、B 提示：
9、A
10、A 提示：，故对称中心为（－2，－3）
二、
11、 12、2 13、（－3，1] 14、（－3，1]
三、
15、
坐标系三要素不全扣1分
不过原点扣2分
没有画图依托扣2分。
16、（1） ——————1分
——————1分
——————1分
（2）
——————3分
——————3分
——————1分
17、
——————2分
——————2分
将已知代入得
——————2分
18、（1）
——————2分
——————2分
（2）
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第一章 幂、指、对数函数专项训练（五）
第四节 映射与函数
【例题精选】：
例1 已知
分析：求的解析式，而已知的是一个复合函数。它是由复合而成的，而表示，这里实际上是一种换元。
解：设
另法：受上述换元方法的启发，还可以如下处理：
小结：两种方法中解法一即换元法是一般方法应引起重视，但要注意换元时变量的取值范围是否发生变化。
例2 在边长为4的正方形ABCD边上有一动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动，如图，设动点的解析式和定义域。
解：如图，有当
小结：此题是根据实际问题中变量间的关系确定函数的解析式。这是应用函数的知识解决实际问题的基础。这里所得到的函数，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数我们称作是分段函数。分段函数形式上看似几个函数，但实际上只是一个函数，因此在求定义域或值域时，应是各段区间的并集，由此处理分段函数时关键是处理好局部与整体的关系。
例3 试举几个初中学过的例子，并指出对应的种类。
分析：学习映射应从对应开始，为使学生更易接受映射概念不妨从对应的复习开始，对应是未加严格定义的概念，只作描述性说明，它具有两个集合及第一个集合到第二个集合的对应法则，初中遇到过的对应有：对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一的一个确定的面积和它对应等等。通过举例得到对应有四种表现形式：“一对多”，即集合A中的每个元素不仅对应于集合B的一个元素，而且A中还有同一元素对应于B中多个元素。“多对多”，即集合A中有些元素对应B中多个元素，B中也有些元素对应A中的多个元素。“多对一”，即A中每个元素对应B中一个元素，而且A中还有多个元素对应B中同一个元素。“一对一”，即A中每个元素对应B中的一个元素且B中每个元素只对应A中一个元素，其中映射所研究的是“一对一”与“多对一”这两种特殊的对应。
例4 设集合下面对应法则能构成从的映射的是
A．f∶x B．f∶x
C．f∶x D．f∶x
分析：这里先要搞清映射的概念：a．映射概念的实质要求集合A中的每一个元素，一个不漏的在f的作用下，在B中都有唯一的象；b．映射中集合A、B可以是数集、点集或其它集合，这两个集合是有先后次序的，表示从集合A到B的映射，表示从集合B到A的映射，是截然不同的；c．存在一个集合A到集合B的对应法则f，在对应法则f的作用下，和A中元素a对应的B中元素b叫做a的象，a叫做b的原象，对于集合A中的任何一个元素都有象，且象是唯一的。但不要求集合B中每一个元素都有原象，即集合B中元素b对应的原象有三种可能：在A中有唯一的原象；在A中有原象但不唯一；在A中没有原象。这里根据映射的定义应检验对于A中的任何元素，按照对应法则f，是否在B中都有唯一的元素与之对应，对于(A)当,
对于（C）当
，分别为1，3，7，15。虽然31没有原象, 但仍能构成, 从A到B的映射。故本题应选（D）。
答案：（D）。
例5 设集合的映射，那么的象是 ；中元素0的原象是 。
分析：当
1
小结：对于给定的映射，求指定元素的象应运用代入法，求指定元素的原象则要解方程（或方程组），但并不要求有关方程的解存在唯一。
例6 试说明为什么是函数，从变量观点和集合观点分别解释。
分析：根据初中所学变量定义，在某个变化过程中有两个变量且对于变量
的每一个允许值，变量有唯一确定一个值与它对应，故是函数。从集合映射观点下给出函数的定义，简单地说函数就是一个映射，应是一个从非空数集A到非空数集B的特殊映射。既然函数是映射，因此也能够写成映射的形式，
对于这两个定义（1）它们实质相同，只是叙述的出发点不同。理解变量定义应抓住有两个变量, 以及联系变量的法则，理解映射观点下的函数定义应抓住构成映射的三要素：集合A，集合B和对应法则f。（2）变量观点下的函数定义对于从常量数学向变量数学过渡，树立起运动变化的观点起到了一定作用。而集合映射观点下的函数定义，抽象自然，具有一般性。
例7 试述符号的含义。
分析：对于函数符号是比较抽象的数学符号，对它的理解与认识直接关系着对函数的认识及应用。对的函数的数学表示。从等式角度看，它不是表示的乘积而是表明对于定义域中的任意x，在对应法则f的作用下，即可得到y。如的含义可以是自变量等于3时对应的函数值，或者是定义域集合A中元素3所对应的象，这样利用代入法可求得表示自变量时的函数=
都是一个常量，而的函数，一般情况下它是一个变量，的一个特殊值。
例8 下列各组函数中，是相同的函数的一组是
A． B．
C． D．
分析：三要素分别相同的两个函数应是相同函数，其中只要有一项不同；则它们就不相同。A中两个函数的值域不同：,B中两个函数定义域不同。的定义域为的定义域为，C中两个函数的对应法则不同，因为故应排除A、B、C选择D。
答案：D。
小结：对于也应通过函数三要素的指导，很快取得正确的认识，由于这两个函数的定义域都是R，值域也都是R，对应法则都是乘2加1，故它们是同一函数。
例9 求下列函数的定义域
（1）
分析：给出函数的解析式求其定义域，是求函数定义域的第一种类型，基本思想是寻求使解析式有意义的自变量应适合的条件，并运用解不等式或不等式组方法。
解：（1）由
小结：在这里为了表示定义域方便，引入集合的另一种表示方法：区间表示法，同时为了表示某些集合的需要引入无穷大符号，对于具体问题不固定采用哪种表示方法，可根据习惯或简明的原则来选用。
（2）由
小结：若将函数式变形为是错误的，因为函数是两个不同的函数。因此求函数定义域时，最好不要将原函数随意变形。
（3）由
小结：使解析式有意义所需适合的条件可能不止一个，应将各条件一一列出，构成不等式组再求解，不要列一个解一个。
例10 已知
分析：这里所求的不再是函数值，也就是说不再是一个常量而是变量，故是一个新的函数，它与之间有何关系呢？这里涉及是复合函数的概念，中学阶段不去钻研复合函数的严格定义，可以简单地说：如果的函数即是由这两个函数组成的复合函数（其中定义域的子集）对于这个函数，是中间变量，根据复合函数的概念可以将给定的复合函数分解为若干个基本函数：对于由一个一次函数
例11 已知的定义域。
分析：首先要注意两个函数构成的复合函数，其中，求定义域当然是求自变量x的允许取值范围。
由于以此为条件求x的范围不是难事。
解：由
由
小结：这是求函数定义域的第二种类型即不给出的定义域求的定义域，涉及有关复合函数的知识，由此例可见换元法是处理复合函数问题的基本数学思想方法。
例12 半径为R的等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长之间的函数关系式并求定义域。
分析：（1）这是求函数定义域第三种类型即求由某种实际问题确定的函数关系的定义域，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应注意实际问题对自变量的限制条件，以保证实际问题有意义。
（2）就此题要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为，因此只须用已知量把上底表示出来，即可写出周长的函数式。
如图，
∽
.
【专项训练】：
一、选择题：
1、对于从集合：集合A与集合B一定是数集；A中不同的元素在B中的象必不相同；A中任一元素在B中必有唯一的象；B中元素在A中可能有多个原象，也可能没有原象。其中正确的命题个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、下列从
A． B．
C． D．
3、下列四组函数
A． B．
C． D．
4、设
A． B． C． D．
5、函数的值域是
A． B． C． D．
二、填空题：
6、已知中的原象是 ；
7、函数 ；
8、已知 ；
9、若= ；
10、已知函数则其定义域是 ；
三、解答题：
11、求函数的定义域。
12、已知函数
13、已知的图象过点（1，4）。的解析式。
【答案】：
一、1、B ③④正确 2、B(A中3没象, C中0没象, D中象不唯一) 3、A 4、D 5、C
二、6、 7、 8、(把代入)
9、 10、
三、11、 12、
13、
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第一章 幂、指、对数函数综合练习(3)
指数函数和对数函数
【例题精选】：
例1：四个函数
A．定义域都是R B．图象都不在x轴下方
C．在上都是增函数 D．图象都过点
解：的定义域为，淘汰A。是减函数，淘汰C。，
都过（0,0）淘汰D。四个函数，的值域为，，
的值域为，故选B。
例2：求函数的定义域及单调递增区间。
解：由 ∴
即定义域为
令，则由于是增函数，故只须求 的递增
区间即可，当，单调递增，故的单调递增区间为。
例3：如果且，则下列不等式中正确的是：
A． B． C． D．
解：考虑幂函数是增函数，由于，故，因而A
不正确。
考虑指数函数，∵，故为减函数，又∴
于是B成立，C不成立，对于D。∵，故D也不成立。
由此应选B。
例4：计算：
（1）； （2）
（3）； （4）
（5）
解：（1）原式
；
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
例5：求的反函数。
解：由，
由已知得：
∴反函数为
评述：欲求反函数必须先从原函数的定义域确定原函数的值域，方可确定反函数的定义域，再从原函数反解出，从而得反函数。
例6：求函数的定义域。
解：
∴所求函数的定义域是：
例7：这三个数之间的大小顺序是：
A． B．
C． D．
解：由可知选C。
评述：①是根据指数函数，当，则，也可根据幂函数当则。②是根据对数函数，当时，则。③是根据指数函数，当时，则得到。
例8：设，那么等于：
A． B．9 C．18 D．27
解：由已知可得
选B。
例9：方程的解是：
A． B． C． D．
解：原式即为，∴
∴，选A。
例10：解方程：
解：由原式得
∴
解得：或
经检验为增根，原方程的解为。
评述：对数方程必须验根，无论有无增根，验根是必要步骤。
例11：如图3，当时，函数和的图象只可能是：


解：A中的直线和指数函数图象中的范围均满足， ，而其他选择支中的图象均会出现矛盾的结果。如B中，由直线可得，，而当，时应是增函数，与B中指数曲线是下降的矛盾，在C中，由直线位置可知，。当，时，指数函数应是减函数，不是增函数，在D中，由直线可知，，此时应是增函数，不是减函数，均与选择支中指数曲线矛盾。
例12：求函数的定义域。
解：要使函数有意义必须：
∴定义域为：
评述：由。
例13：讨论函数的增减性。
解：令，则原函数由二次函数和指数函数复合而成，而二次函数当时是减函数，当是增函数，而指数函数是减函数。所以，当时，是增函数，当时是减函数。
评述：复合函数的单调性是由构成复合函数，每一个函数的单调性来确定，倘是增区域，记“＋”，减区间记为“－”，若两个函数都是增区间，则＋·＋得“＋”仍是增区间，若两个函数都是减区间，则－·－得“＋”其结果复合函数仍是增区间，若是一个“＋”，一个“－”，复合函数亦为“－”，即为减区间。
例14：如果，求a的取值范围。
解：当时，适合题意。
当时，也适合题意。
当底数越小，即时，在区间
（0 ,1）内函数的图象在函数
的图象的下方，此时有。
故a的取值范围是或。
例15：设函数满足，则等于： A．2 B． C． D．
分析：由于原函数含参数a，从先确定a，再把原函数中的x，y互换，就得反函数中的x，y。
解：由
原函数为中为原函数的函数值，
故，解得，故选B。
例16：已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）证明函数是奇函数；
（3）证明函数中其定义域上的每个区间上是增函数。
解：（1）由
∴的定义域为。
（2）由（1）知的定义域关于原点对称。
由
故为奇函数。
（3）先证明在上增函数。
设
则
同理有
又
在上是增函数。
又∵是奇函数，而奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，
∴在上也是增函数。
评述：函数在定义域上的每个区间上是增函数，但不能说在定义域上是增函数，如在定义域上的每个区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，∵当，显然但是。
例17：在这四个数中，最小的一个是 。
解：当底数大于1时，底数越大时，时，图象越底，如与相比，当时，的图象在的图象上方。
显然
故四个数中最小。
评述：借助于函数的图象比大小，及利用函数的单调性比大小，都是常用的手段。
例18：解方程
解：原方程化为：
即
例19：解方程
解：原方程化为：
由换底公式得：
即
得 解得
经检验：当时，故舍去，当时适合原方程，是原方程的根。
【综合练习】：
1、计算：（1）
（2）
2、求函数的定义域及值域。
3、求函数的定义域及值域。
4、求函数的反函数。
5、是奇函数，当时，，则当时，的解析式是：
A． B．
C． D．
6、下列函数中，在区间（0,2）上是增函数的是：
A． B．
C． D．
7、已知，那么的取值范围是：
A． B．
C． D．
8、若，则
9、方程的解为
10、求函数的定义域及值域。
11、计算：
12、计算
13、函数的对称轴方程是，求a的值。
14、已知，则的大小关系是：
A．
B．
C．
D．
15、已知，试比较m，n的大小。
16、已知，比较的大小。
【答案】：
1、（1）34 （2）1
2、
3、定义域为，值域为R。
4、
5、B。由即得。
6、C。在B中的定义域为故舍B；
又A、D是减函数。
7、A。取，均有。
8、64
9、－6
10、
11、。提示：用换底公式，将对数的底全换成以10为底即可。
12、6。提示：可用换底公式，如：。
也可令。
13、。∵的对称轴为，∴函数的对称轴为
即，由已知，∴。
14、B。取，显然有
即有，故淘汰A、C，又即
淘汰D，只有B正确。
15、先化同底，得当同时为正数时，
有故，当同时为负数时，
有得。
当有。
综合以上知：m，n的关系为：或或。
16、计算：
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第一章 幂、指、对数函数综合练习(4)
函数（一）
【例题精选】：
例1：设，下列对应法则能构成A到B的映射的是（ ）
（A）f ：xx3－1 （B）f：x(x－1)2
（C）f：x2x－1 （D）f：x2x
分析：
根据映射的定义，应检验集合A中的每一个元素，依照对应法则f,是否在集合B中都有唯一的元素与之对应。
（A）中：x=0时， x3－1=03－1=－1B
（B）中：x=4时，（x－1)2=(4－1)2=9B
（C）经检验，是从A到B的映射
评述：
1、本题主要考查映射的定义；
2、B集保中6没有原象，但不影响D的正确性，即B中元素不一定存在原象。
例2：设f：AB是集合A到B的映射，A=B=
f ：求B中的原象。
解：设原象为，由映射定义得:
得
的原象为（1，2）
评述：
本题主要考查映射的对应法则和方程思想。
例3：与函数y=x为同一函数的是
（1） y=; （2）
（3） （4）y=logaax(a>0,a 1)
（5）
解：（1），对应法则不同；
（2） ，定义域不同；
（3），定义域不同；
（4）相同；
（5），定义域不同；
评述：
（1）本题主要考查函数的三要素；
（2）若两个函数相同，则函数的三要素必须相同。
例4：求函数的定义域。
解：由题意的
函数的定义域为
评述：
本题主要考查对数的真数大于零，零次幂的底数不为零。
例5：求函数的定义域。
解：由题意得：
函数的定义域为：
评述：
1、本题主要考查偶次根式的被开方数不小于零，对数的真数大于零，分式的分母不为零；
2、本题求定义域比较复杂，应注意不要遗漏分母不为零的情况；
3、本题应注意如何用区间表示定义域。
2 、已知 f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域即求复合函数的定义域
例6：已知f(x)的定义域是[2，3]，求函数的与的定义域。
分析：
f(x2+1)是由u=x2+1和复合而成的复合函数，u是 x的函数，求f (x2+1)的定义域实质上是由u 的变化范围确定x的范围。
解：（1）设u=x2+1 则f(x2+1)=f(u)
的定义域为
3、同理
函数的定义域为
评述：
1、本题主要考查复合函数的定义域的求法；
2、解决复合函数有关问题的通法———换元法；
3、求复合函数的定义域，一般来说，按照复合的顺序，由外向内逐个排出它们所必须满足的条件，得出相应的不等式组，不等式组的解就是函数的定义域。
例7：已知
法一：
分析：
由f(x)=3x+1得到函数的对应法则是“乘3加1”，当“f”作用在3x+1上时，也应对3x+1乘3加1
解：
f(3x+1)=3(3x+1)+1
=9x+3+1
=9x+4
法二：
分析：
f(3x+1)可以看作是u=3x+1与y=f(u)复合而成的复合函数
解：设u=3x+1
f(3x+1)=f(u)
=3u+1
=3(3x+1)+1
=9x+3+1
=9x+4
评述：
1、本题考查对函数对应法则的深刻理解
2、本题可以通过复合函数的通用方法———换元法解决问题
例8：已知
法一：
分析：为复合函数，要求出只要先求出，然后再作用于“f”，即可求得：
解：
法二：
分析：
为复合函数，把g(2)当作一个整体，先由“f”作用于g(2),得到关于g(2)的式子，然后再由对应法则“g“作用2，即要
解：
评述：
1、本题主要考查复合函数的对应法则；
2、这种类型的题 ，可有两种处理方法
一种是由外向里‘脱”对应法则
另一种是由里向上“脱”对应法则：
例9：已知f(x)是一次函数，且 f[f(x)]=x+2,求f(x).
分析：
因为f(x)是一次函数，所以可设f(x)=kx+b则可求出f[f(x)],然后利用方程组求
k、b.
解：因为f(x)是一次函数
所以设f(x)=kx+b
f[f(x)]=kf(x)+b
=k(kx+b)+b
=k2x+kb+b
又因为f[f(x)]=x+2
评述：
1、本题主要考查待定系数法和方程思想
2、若已知函数的类型，通常采取待定系数法，先设出函数的解析式，然后根据题目中的其它条件来确定函数。
例10：已知，求f(x)的解析式
法一：
分析： 的含义：对施行对应法则f，如果结果是关于的表达式，那么对应法则“f”也就比较明确了，所以应将转化成用来表达：
解：
法二：
分析：可以看作的复合函数，故联想到用换元法解决问题。
解：设 则
评述：
1本题主要考查对复合函数对应法则的深刻理解及拼凑法，换元法，
2已知的问题的解法
法一：拼凑法：
把转化成关于g(x)的式子，这样对应法则就一目了然。
法二：换元法：
令u=g(x),反解用u表示x，代入中去，即可得f(u)的解析式，从而可得f(x)的解析式。
在实际应用中，哪种简单，就选择哪种方法
3注意函数的定义域 ，例如本题中f(x)的x不能为零。
例11：已知g(x)=1-2x, f[g(x)]=求f(0)
法一：
分析：
要求f(0), 只要把对应法则求出来即可，根据已知条件可转化为复合函数求对应法则的问题。
解：设
法二：
由可知要求f(0),只要求出x,g(x)=0,从可求出
解：令
即1-2x=0
评述：
本题主要考查对复合函数的理解
例12：求函数的值域
分析：
解析式为分式，分子、分母均为一次式，则联想到把分式化简，，由于可以取到除零以外的任何一个数，这样值域也就确定了。
解：
评述：
1本题主要考查分子分母均为一次式的有理分式函数值域的求法。
2这种类型的题 ，主要把解析式化成的形式（其中a，b为常数），然后利用来求值域
3、若求的值域
解：
=
=
=
说明：
①转化方向为的形式
②转化时主要是把的形式中的f(x)转化成关于g(x)的式子，即把g(x)当作一个整体。
4、这种题型推广：求的值域
值域应为
5、观察法是通过把函数解析式变形，化成易判断范围的式子的组合，然后再判断值域
例13：求函数 的值域
分析：
函数为二次函数，联想到把解析式进行配方，然后利用平方数为非负求值域
解：
=
=
例14：求函数的值域
解：
评述：
1这两道题主要考查二次函数的配方，利用平方数非负解决问题
2例14中一定要注意
例15：求函数的值域
分析：
本题函数的解析式也为二次式，若用配方法，不易确定最大、最小值，但图形能直观地反映出的变化趋势，从而能确y 的取值范围。
解：
对称轴为
与x轴的交点为（5，0），（-1，0）
图象开口向上，图象如图，，由图象可知
评述：
1本题主要考查二次函数图象
2图象法主要是通过图象，直观地描绘出图形的变化趋势，从而找出函数的最值，来确定函数的值域。
例16 已知求函数的值域
分析：
分子、分母均为二次式，把函数解析式西边同乘分母，则变成一个方程，这时可归结为方程有解时，y的取值范围是什么？
解:
评述：
1、本题主要考查不同时为零）的值域的求法和转化思想
2、不同时为零）的值域通过转化成一元二次方程有解来解决。
注意：
1、判断二次项系数是否能为零。
2、判断最值能不能取到，例如例16中2能不能取到。
例17：求的值域
分析：
在解析式中，10x为正数，即10x有范围，问题是不是可以转化为通过10x的范围来解决，明显地要用y来表示10x。
解：
评述：
1本题主要是通过10x来解决问题
2界限反求法主要是解析式出现有范围的量，然后用y来表示这个量，利用这个量的范围来求值域
【 综合练习】：
1、求下列函数的定义域；
（1） （2）
（3） （4）
（5）（6）
2 设函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数f(x2) 的定义域（85年，理）
3 已知的定义域为F， 的定义域为G，求FG。
4 已知 求
5 求下列函数的值域
（1） （2）
（3） （4）
（5）
6 已知f(x)是一次函数， f[f(x)]是正比例函数，点（1，4）是这个正比例函数图象上的一点，求f(x)的解析式
【答案】：（略解）
1、（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2 、
3 、 得
4、换元法：令 则
5、
（1）配方法：
（2）判别式法：值域
（3）界限反求法：值域
（4）观察法：值域
（5）图象法：值域
6 设是正比例函数
例1： 已知函数的定义域为[0，1]，求函数F（x）=的定义域
解：由已知可得
当即时定义域为
又 当时定义域为
当即=时定义域为
当即时定义域为
评述：
1本题主要考查复合函数的定义域及分类讨论思想
2在本题中要找出分类讨论的标准即与的大小比较
例2 ： 设试求
解：当时
当时
评述：
1本题主要考查函数对应法则的深刻理解
2处理分段函数的问题要用到分类讨论的思想，还要注意其中整体与局部的关系。
例3 求下列函数的值域
（1）
（2）
（3）
解：
1分析：
可以看作与两个函数的和
因为和在定义域内均为增函数
所以在定义域内为增函数
评述：
本题利用函数的单调性求所给函数的值域，也是求函数值域的方法之一。
2分析：
这一题与第1题的解析式相似，但不是单调函数，所以不能利用单调性解决问题，由于题目中出现根式，联想通过某种变量代换，把根式转化成所熟悉的整式处理故用换元法。
解：设则
评述：
1本题利变是代换把根式转化成为整式解决问题
2换元法主要是通过换元转化成一元二次函数解决问题。
3分析：
解析式中含有绝对值符号，则想办法去绝对值符号，从而简化函数解析式，就确定函数的值域。
解：
当时
由图象可知
评述：
1 本题主要考查含有绝对值符号的函数如何转化成分段函数和分类讨论思想
2 分段函数可以通过图形能很容易求出值域
【综合练习二】：
1、求下列函数的定义域
（1）
（2）
（3）
2、设
3、已知
4、求下列函数的值域
（1） （2）
（3）
（5）
【答案】：（略解）
1、
（1）
（2）
（3）
2、
3、当时
当时
4、（1）利用单调性：定义域
（2）配方法 ：两边同时平方，
（3） 配方法 ：
（4）
注意 ：本题若用判别法，得出的讨论，不正确，因式分子、分母能给分时，应先约分，然后再求值域。
（5） 换元法 ：设
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第一章 幂、指、对数函数专项训练（二）
一元二次不等式
【例题精选】：
例1：求下列不等式的解集。
（1）
（2）
分析：（1）本题的几何意义就是求：到2的距离小于1的实数的范围。
（2）本题的几何意义就是求：到2的距离大于1的实数的范围。
答案：（1） （2）
小结： ，（c大于0）型不等式中对a=1时的几何意义要熟练掌握。对a不等于1时的格式要熟练掌握。
例2：若,求a范围。
分析：左面的集合中x的范围是，右面的集合中x的范围是x>a+3或者x答案：a〈2或a〉6.
小结：对端点处的取值要一一验证.等号的有无是成败的关键.
例3：若,且.求a范围.
分析：把集合A转化为两个集合的并集.即.由知道A是B的一个子集.用数轴研究集合A与B的关系,可以知道
a-6.此时等号是可以存在的.不要漏掉!尽管a=-6,x>a,也就是说x>-6.
答案：a-6.
小结：求字母范围的问题,最常用的方法就是数形结合与分类讨论.端点的有无是这类问题中最容易错的地方.
例4：画出二次函数的图象,
并指出,y=0,y< 0时x的取值范围.
答案: 图象与x轴的交点是(1,0)及(3,0),与y轴的交点是(0,3).顶点是(1,-1).
当y>0时x<1或x>3.当y=0时x=1或x=3.当y<0时,1例5：求下列不等式的解集。
（1）
（2）
（3）
答案：（1） (2)与（1）同 （3）
小结：一元二次不等式的解法.
1、先使 或中的a大于0；
2、设 （a>0）
的解集为
小于0时取中段
的解集为
大于0时取两边
例6：设,a
请独立完成下列表格中的右下方的12格的内容，然后与本表进行对照。
R
R R
小结：若时,要分清解集的各种情形。
（为R,,某数,某数以外,共四种情形.）
例7：不等式的解集为全体实数时,求m的范围.
分析：由二次函数的图象可知，抛物线的开口是向上的。要想y0对一切实数x都成立，与此等价的就是抛物线与x轴没有交点。也就是说判别式要小于0。即：1-4m〈0。
答案：
例8：不等式的解集为全体实数时,求a的范围。
分析：要分类讨论。因为a〈0时不合题意。可分为a〉0及a=0 两种情形。
答案：当a〉0时，0〈a〈16。
当a=0时，合于题意。
所以所求范围是：0a〈16。
小结：与的解集为R等价的说法是
或者a=b=0且c>0其中二次项系数为0的情形最易漏解。
例9：不等式的解集是,求p,q的值.
分析：这是已知解集，求二次不等式的解析式的典型问题。用待定系数法解决。
答案：解集是，而且二次项系数是2的二次不等式的解析式是22 2（x-1）（x-3）〈0。即。与已知不等式相比p=-8。q= -6。
例10：m为何值时,方程有两个负数根？
分析：方程有两个负数根的充要条件是判别式大于等于0，两根和小于0，且两根之积大于0。用维达定理表示两根的和，两根的积。
答案：
例11：已知方程没有实数根,求m范围.
分析：一元二次方程没有实数根的等价条件是判别式小于0。
解答：由，截得k。
例12：二次方程的两个根都大于2,求实数m的取值范围.
分析：二次方程两个根都大于2的充要条件是判别式大于等于0，两根分别减2之后的和大于0，两根分别减2之后的积也大于0。后两个式子可以用维达定理表示。
在此要特别注意：两个数都大于2,与两个数的和大于4，两个数的积也大于4,并不等价。例如：1与7的和或积都大于4，但两数并非都大于2。
解答：当判别式时
m（）
例13：设是方程的两个实数根,求的最小值.
分析：一元二次方程有两个实数根的等价条件是判别式大于等于0。在此条件下，才能用维达定理表示两根的平方和，用配方法求关于m的二次函数的最值。
解答：当，即m2或m时，
==4-。由m的取值范围知，当m=-1时所求有最小值2。
【专项训练】：
一、选择题：
1、不等式（x+2）（3-x）0的解集为
A． B．
C． D．x>3或x2
2、若关于x的不等式的解集为空集，那么
A．a〈0且判别式大于0
B．a〉0且判别式大于0
C．a〉0 且判别式大于等于0
D．a〉0且判别式小于等于0
3、集合A=的子集的个数为
A．16 B．8 C．15 D．7
4、方程有实数解时,m的范围是:
A. 但 B．m>-0.25
C．m<-0.25 D．
5、a>b,c是任意实数时下列各式恒成立的是
A． B．-
C． D．
二、填空题：
1、解不等式。
2、已知不等式的解集为-0.53.不等式恒成立时,b的取值范围是 。
三、解答题：
1、若A=求c的范围。
2、设A=
有已知。求实数a的取值范围。
【答案】：
一、选择题：
1、B 2、B 3、A 4、D 5、C
二、填空题：
1、 2、-1三、解答题：
1、 c2 2、1c2。
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第一章 幂、指、对数函数专项训练（七）
函数性质（二）
例13 求下列函数的反函数：
分析：由于反函数也是函数，因此应从函数三要素上全面理解它与原函数的关系，不仅要把已知函数的解析式看作关于来，还要注意求出已知函数的值域，从而确定反函数的定义域，因为反函数的定义域是原函数的值域，反函数值域是原函数的定义域。
解：（1）由
（2）
小结：由反函数的概念，求反函数的基本步骤分三步：（1）反解：即由
的解析式（2）求域：即求得的值域作为反函数的定义域。（3）改写：按习惯以表示反函数的自变量，以表示反函数的因变量。
例14 设
分析：由于给出了的表达式，因此可以求出其反函数。在判定
的定义域后。代入求的值。这是常用的规范解法。换一个角度思考根据之间的对应关系，求时的的值，于是只要令，由此求得的的值即，于是有下面的解法。
解：令
小结：此种方法来源于对反函数概念的深刻理解。
例15 已知函数又其反函数的图象过点（9，2）求
分析：对于题设条件，其反函数图象过点（9，2），有二种用法：一是求出其反函数，另一是由反函数与原函数的关系知此条件即（2，9）点在原函数图象上。
解：由已知有
小结：合理使用条件使问题求解简捷是数学中应重视的课题。
【专项训练】：40分钟
一、选择题：
1、函数
A．奇函数 B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
2、已知
A．0 B．1 C． D．
3、的解析式是
A． B． C． D．
4、已知函数为
A． B．
C． D．
5、函数时是减函数，的值是
A．－7 B．1 C．17 D．25
二、填空题：
6、已知的值为 ；
7、的单调增区间为 ；
8、若的大小关系为 ；
9、如果函数的值是 ；
10、若
；
三、解答题：
11、求函数的反函数。
12、用函数单调性证明上是单调减函数。
13、若点的图象上，又在其反函数的图象上，试确定的解析式。
14、是定义在（－1，1）上的奇函数，且在（－1，1）上是减函数，又的取值集合。
【答案与提示】：
一、选择：
1、B
提示：
2、D
提示：由
。由于把函数的图象平移，不改变函数的值域，因此直接求的最小值也可以得到正确的结果。
3、A
提示：
4、C
提示：由
反解x时，真数y－1要加括号。
5、D
提示：
二、填空：
6、0 提示：
7、
8、由此可得。
9、
10、
三、解答题：
11、解：
12、证明：
13、由已知得
14、由已知得
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第一章 幂、指、对数函数专项训练（四）
对 数 （一）
【例题精选】：
例1 怎样认识。
解析：此题目的在于揭示指数与对数的关系，认识指对之间的联系。对于数学中的式子，它的成立是有条件的，对于这个对数式来说，首先应考虑使它成立的条件，即这样这个对数符号才是有意义的，其次考虑它的来源，根据对数的定义，应有即有了就有了，因此
对于两式中字母均为同一字母，只是在不同式子名称不同而已。如图所示，指数与对数只是对同一字母在不同形式下的不同名称。从概念上讲应当是一回事，即指数就是对数，对数式只是指数式的一种改写。正因为两式中字母是同一个，所以字母取值范围也是相同的，有相应的限制条件。那么为什么对数定义中规定取某些值时不存在，如不存在；不为0时，可以为任意正数，是不唯一的，即有无数个值。若不为1时，不存在，可以为任何数，是不唯一的。即有无数多个值。因此规定，这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而总是正数。因此应特别强调零和负数没有对数。
小结：正因为从概念上讲指数就是对数，本质相同，形式不同。因此当指数问题解决不了时可以利用对数形式，而对数问题无从下手时，不妨运用指数形式。
例2 （1）将下列指数式写成对数式
（2）将下列对数式写成指数式
解析：指数式与对数式之间的互化，关键是找准的位置，同时由指数式的运算性质可以对等得到对数式的运算性质。
解：（1）
小结：其中以10为底的对数称为常用对数。用符号lg表示，故又可写为lg1=0，同时对于对以e为底的N的对数称为自然对数, 记作lnN，其中是一个无理数，又可以改写为同样由于这是对数的又一基本性质。由上可知，对数的基本性质就是从指对的转化过程中得到的。
（2）
小结：对数两条基本性质在运算化简过程中会经常用到，对它们的记忆可以对照指数进行理解记忆。常用对数和自然对数只要求掌握其定义和符号即可。
例3 试利用指数与对数的关系将一个正数改写为幂的形式。
解析：从概念上讲指数就是对数，两者是等价的。从运算角度上，指数与对数是两种运算这两种运算又存在什么样的关系呢？从是同一个，由此即可以得到所得到的这个关系式称为对数恒等式。从这个式子能够发现指数运算与对数运算是互为逆运算的，因为一个正数N，先对它进行对数运算，然后再进行指数运算，运算结果就是它自身，因此这两种运算是互为逆运算的，这也使得对数恒等式产生是一种必然。同时它的另一个重要作用就是能把一个正数改写为幂的形式。即。但这里出现的两个底必须是同一个。这个特点也就决定了在使用对数恒等式进行对数运算时，前提条件必须是同底的。
例4 利用对数恒等式求值
解：
小结：对数恒等式的应用过程离不开指数运算。一般情况需把指数运算法则与对数恒等式结合起来使用。至于是完全不同的。即前者真数是。以后当对数中的真数是多项式时，必须加括号当作一个整体才行。
例5 计算
解：
小结：对数运算法则在开始使用时，由于学生对对数较陌生，指数运算又不够熟练，所以进行对数运算时有一定困难。为解决这个问题可以训练学生使用法则和性质时每步都要有根据，每一步只做一件事。
在运算过程中，学生经常出现如下，如：
产生这类错误的原因是将积、商、幂的对数与对数的积、商、幂混淆起来了，把对数符号当作表示数的字母进行运算了。纠正这类错误的方法，一方面讲清来源，指明错误所在，另一方面可以利用一些实际题目检验，如给出下面练习：判断下列各式是否正确（）
（）其中（4），（5）小结之间的关系。其中
。对于，主要让学生注意使用法则时，只有所得结论中对数和所给出的对数都存在时等式才能成立。
例6 求值（1） （2）
（3） （4）
解析：此组题主要是对数运算法则的反用，法则的反用最主要的是有反用意识，这是一种逆向思维，对学生的训练应从基础做起，逐步提高综合应用程度，使正用，反用能灵活、有机地结合在一起。
解：（1）原式=
（2）原式
（3）原式
（4）原式
小结：反用对数运算法则以化简对数式在对数运算中是常见问题。通过法则应用，以达到降次，去分母化去分式，及化去根式的作用。
例7 试将换成以k为底的对数。
解析：在对数运算过程中经常会遇到不同底对数进行运算。而对数运算的很多依据如对数运算法则，对数恒等式等都是以同底为前提的，因此将不同底问题化为同底的成为解决问题的关键。实现这件事需要有转化工具即对数换底公式。对数换底公式就是研究任两个不同底的对数之间有什么关系，由此得到
即为换底公式。对于此公式除了要掌握公式本身的内容，了解公式的来源外，还需了解公式的基本功能，把握公式各层次的应用。
第三节 对 数 (二)
例8 求值（1） （2）
（3） （4）化简
解析：（1）换底时选择以2或以3为底均可。解得值为1，对于此题还可将问题一般化，即为这个结论在以后计算过程中是相当有用的。（2）需先把指数进行整理化为同底：只有这样才有可能运用对数运算。选底应具体问题具体分析。此题不妨选以10为底的作为中间桥梁。此题选以10为底进行变换，原式=。（3）此题计算可以不止一种方法。如果把指数当作一种运算，合而治之可以利用换底公式处理。即2，如果把指数看成若干个数的乘积，那么分而治之可以利用指数运算法则和对数恒等式处理，即
。（4）化简此式的目的是认识到换底公式的反用，可以做到化简对数式作用
小结：对数换底公式基本应用重点应放在熟悉公式结构。进行简单运算。
例9 求值。
解析：解题中如果需要利用换底公式计算，那么底数选择的好坏决定解题的繁简程度。此题换底可以有多种方法，但如果利用换底公式的推论则可以略简单一些。即。对于计算也可以有多种处理方法，但目的都是将两个底化为同一个。因此也就存在着化同底的问题：
当然还可以由此也可以看到有了换底公式以后，指数与对数的运算变得更加复杂，灵活了。
解：原式
例10 已知。
解析：如果把lg2和lg3当作两个未知数的话，需从题目所给条件中寻求两个含有lg2和lg3的等式。因此需将已知条件表达的式子。由此需将条件做换底变换。即因此
小结：此题除去换底公式应用外，还需有方程和方程组思想。
例11 求值
解析：化成同底进行运算是解题的第一步，而选择以谁为底是解题的关键。在此题中原则上讲选择任何一个不等于1的正数做底都可以，但选得好才能算得简。因此可遵循少数服从多数的原则化为以15为底的对数进行运算。
解：原式
综上几题可知，处理对数计算问题换底是前提，化同底底是关键，寻找不同底对数间内在联系是重点。
换底公式的实质把不同底的问题转化为同底问题去处理。
例12 若
解：
将已知代入上式得
小结：解题过程中体现出分析综合法的思想，第一步将指数式化为对数式，把条件进行等价变形向结论靠拢。第二步将换成以18为底的对数，把结论向条件靠拢，为用上已知条件而创造条件，第三步利用法则将真数分解。又是结论向条件靠拢。
例13 设（ ）
A． B． C． D．
解析：本题解法较多，常用的方法是由已知求得且最好是同一种字母的表示式。故念都是正数，所以
，故
因此本题选B。
小结：由于的交待是非常必要的。虽然无须写出过程，但在思考过程中这些细小之处，必须予以充分考虑，这样才能培养严密思维的良好习惯。
答案：B。
【专项训练】：
一、选择题：
1、如果那么m等于
A． B． C． D．
2、大
A．3 B．4 C．5 D．6
3、的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
4、若那么下列关系中一定成立的是
A． B．
C． D．
5、的值是
A． B． C． D．
二、填空题：
6、 ；
7、使的取值范围是 ；
8、 ；
9、 ；
10、设 。
三、解答题：
11、
12、已知
13、求证成立的充分条件。
14、若。
【答案】：
一、
1、D 2、B 3、B 4、C 5、D
二、
6、－3 7、 8、 9、 10、
三、
11、－1 12、 13、略 14、
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第一章 幂、指、对数函数专项训练（十一）
第七节 指数函数、对数函数
[例题精选]：
例1 指数函数的图象只能是
答案：A。
分析：根据指数函数和对数函数的定义，对底数要求应该有
这里要求把图象中反映出来的函数的性质同函数的解析式中有关系数的特征联系。由此由指数函数和对数函数的性质。图象应下降，
的图象应上升，故本题应选A。
小结：指数函数对底数的变化直接影响函数值变化。当指数函数在定义域内为增函数，体现为图象上升，当时指数函数在定义域内为减函数，体现为图象下降。
对数函数是通过反函数角度定义的，因此对底数a也有同样的要求，且增减性与其对应的指数函数的单调性是相同的。
例2 当的取值范围。
答案：或。
分析：不妨把所给函数为指数函数由指数函数的性质结合图象可以得到或
小结：对于指数函数的性质理解必须与图象相结合，要脑中有图，心中有数。对于指数函数结合图象可知当
。
例3 求下列函数的定义域
解：（1）
（2）
（3）
小结：求函数定义域中，遇到简单的指数，对数不等式；可利用函数的单调性或结合函数图象求解。对于含有字母的函数关系求定义域。注意分类讨论，且不能将结果做交和并的运算。
例4 比较下列两数大小，并说明理由。
分析：利用函数单调性比较两实数大小，首先要通过观察分析，构造出适当的函数来，对于幂形数，若同指数不同底数，则考虑幂函数，若同底数不同指数，则考虑指数函数；其次化大小时不仅要注意函数的单调性，还要注意幂形数比大小的两数是否都在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小。
对于底数和指数都不相同的幂形数比较大小，通常可以有三种方法：（1）转化成同底数或同指数；（2）以特殊值为中介间接比较大小，这种特殊值常用1，0等；（3）用比较法（取差或取商法）。
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
例5 比较两个数的大小，说明理由。
解：
小结：此题要特别注意运用分类讨论的思想，既要注意分类讨论对象的可能取值范围又要注意讨论不重不漏，特别是
例6
分析：去掉绝对值符号可以用比较差与0的大小的方式判断它们的大小，为此要对的取值范围分情况讨论。
解：
综上所述，对任何
小结：此法是分类讨论去掉绝对值符号，这是基本的方法，除此之外，去掉绝对值符号也常用到的方法，而得到如下解法二
解法二：
都有
小结：前面两种方法不管怎样去掉绝对值，用到的都是求差比较法，当然还可以利用求商比较法，巧妙利用换底公式的反用，把底换掉，避免了对的分类讨论。
解法三：
因为
例7 利用指数函数，对数函数的图象画出下列函数的图象
分析：由于
的图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，即可得到的图象：把的图象向左平移三个单位，再向上平移1个单位即可得到的图象。
小结：利用平移法画图象，首先应搞清被平移图象与所画图象间的关系，以便在相应位置找到画图的依托，其次能在新的依托下准确画出被平移的图象，最后注意图象与两轴的交点是图象的关键点，应大致准确。
例8 讨论下列函数的单调区间
分析：由以上两个函数复合而成。
一般地复合函数单调性规律如下：
函数 单 调 性
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
（1）函数
在定义域内是减函数，当是增函数，所以上是减函数。
（2）分析：给出的是复合函数，把它分解为若干函数的方法不是唯一的，还是令的分解方法对研究单调性简捷些，同时注意，函数的单调区间只能是这个函数的定义域的子区间，由得出函数的定义域是
构成的复合函数，并且
时是减函数，时是增函数，在时是减函数，根据复合函数的增减性规律可得所求函数的递增区间是[1，3）。
例9 求函数的单调区间，并指出相应区间的增减性。
解：构成的复合函数，且域是
上是减函数，时是减函数，在时是增函数，且
根据复合函数的单调性的规律，由下表
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第一章 幂、指、对数函数专项训练（二）
充要条件 指数
【例题精选】：
例1 A是B的充分非必要条件，A是B的必要非充分条件，A是B的充要条件的含义 是什么。并试各举一例。
解析：充要条件是中学数学中重要的逻辑知识，数学是逻辑性很强的学科，学点逻辑知识可以减少犯逻辑错误的机会，为纠正错误提供了根据，还可以帮助我们深刻理解数学中的一系列重要问题。
充要条件是研究“若……则……”形式的命题中条件与结论之间的关系。
如果p成立，那么q成立，即成立的充分条件。
如果q成立，那么p成立，即成立的必要条件。
故的充分非必要条件，BA但AB则A是B的必要非充分条件。AB且BA则A是B的充要条件。
举例：A：两个角是对顶角；B：两个角相等，A是B的充分非必要条件。A： B： A是B的必要非充分条件。A：三角形的三条边对应成比例，B：三角形的三个内角相等，A是B的充要条件。
小结：AB和BA这两个推出关系同时成立时称A与B是等价的，记作AB，因此等价与充要条件在含义上是相同的，A是B的充要条件也称A与B是等价的。
例2 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么
A．丙是甲的充分条件但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件也不是甲的必要条件
解析：由已知有乙甲，丙乙但乙丙，于是有丙乙甲。但是甲丙。否则若甲丙，则乙甲丙这与乙丙相矛盾，故应选A。
小结：此题是利用充分必要条件的概念作判断。
答案：A。
例3 判断下列各题中的什么条件（充分非必要、必要非充分、充要、既不充分也不必要条件）
（1）
（2）两圆外切
（3）
（4）
解：（1）p是q的充分非必要条件
（2）p是q的必要非充分条件
（3）p是q的充要条件
（4）p是q的既不充分也不必要条件
小结：谈充要条件孤立地说某条件是充分条件，或必要条件是无意义的，它研究的是条件与结论的关系，因此在判断时应分清谁是条件谁是结论，再作判断。
例4 （1）两个三角形面积相等成立的 条件是两个三角形全等。
（2）的 条件。
解析：以上两题在叙述方式上有所不同，（1）的叙述方式条件在后，而（2）的叙述方式条件在前，审题时要特别注意条件不一定都在前面，找准条件，再作判断。
解：（1）充分非必要条件；（2）充分非必要条件。
小结：对于“充分”和“必要”两个词的含义作出准确理解是作出正确判断的前提，“充分”的含义: 有了条件A，就有结论B成立，说明有了A，B的成立得到了充分的保证。“必要”的含义：没有条件A，一定不会有结论B，但是有了必要条件A，不一定有结论B成立。
例5 试判断p是q的什么条件，并简单说明理由。
（1）
（2）
（3）
解：（1）p是q的充分非必要条件
p，这里实际上是对“或”和“且”的理解为判断前题。
（2）p是q的必要非充分条件，x<9成立，则反之则不成立。此题的关键是对“”这个不等号的理解，“”是小于或等于即小于等于中至少有一个成立，则称“”成立。
（3）p是q的充要条件，由多边形内角和公式可得即多边形为三角形，反之显然成立。
小结：充要条件知识涉及高中各章知识，因此对充要条件的判断，除了正确使用充要条件概念本身外，还要注意其它知识的使用，才能保证判断的正确性。
例6 如果命题甲为命题乙为那么乙是甲的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
解析：由于
因此本题应选B。
小结：把比较复杂的条件或结论先等价变换成较简单的形式后再作判断，这是充要条件判断中常用的方法。
答案：B。
例7 判断A是B的什么条件（充分非必要、必要非充分、充要、既不充分也不必要条件）
（1）A： B：
（2）A： B：
解析：（1）此题可应用集合的图示法帮助解决。满足的关系只可能是如图中二种情况之一，而这两种情形均满足由此可判断的充要条件。
（2）此题可以先解两个不等式，求出相应的解，因为解不等式实际上就是对不等式进行等价变换，所以相当于先对条件和结论进行等价变换得到A：B：，继而可以在数轴上将A和B表示出来，从而可以得到A是B的既不充分也不必要条件。
小结：数形结合是判断充要条件的又一种思想方法。
答案：（1）的充要条件。
（2）A是B的既不充分也不必要条件。
例8 求证的充分条件。
解析：首先应搞清这里约定的条件，结论各是什么，此题即证
。
证明：法一
法二
小结：（1）充要条件的证明实际上就是把判断中的思考过程写出来。
（2）以上两种方法分别用到分析与综合法，从条件出发不断向结论靠拢叫综合法, 从结论入手不断变形并用上条件叫分析法。
例9 求证实系数一元二次方程有两个异号根的充要条件是
解析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。
证明：（1）先证充分性
（2）再证必要性
由（1）（2）原命题得证。
小结：对充分性证明要特别注意是证两件事：一是有两个实根；二是两根异号。
例10 求证
分析: 求证B成立的必要条件是A, 又需证B成立时A成立。
证明：∵2－3 = a
小结：此题主要目的在于让学生复习已学过的指数运算为进一步学习指数有关内容作好必要的复习与准备。
例11 求下列各式的值
（1）
解：（1）原式=
（2）原式 （4）原式
小结：（1）为进一步学习指数才需引入根式的概念。因此对根式的运算不展开介绍，只给出两种最简单的运算根据。
（2）在介绍根式的同时产生了次方根的概念，在学习中要注意区分次方根与根式这两个概念，准确理解符号的含义。
（3）在理解次方根概念时，注意把次方根是什么和次方根有几个分清楚。
例12 用分数指数幂的形式表示下列各式（式中）。
（1） （2） （3） （4）
解析：从概念上讲，根式与分指数幂就是一回事，形式上的改写为了不同问题的需要。
解：（1）
小结：分式的引入将指数由正整数扩展到了负整数，根式的引入完成了指数由整数向有理数的扩展。
例13 计算（1）
（2）
解：（1）原式
（2）原式
小结：对于指数运算，要把有关定义和运算法则结合起来使用。
例14 计算（1）
（2）
解析：对于这种混合运算关键是把握运算顺序，然后对系数及各字母分别进行运算。
解：（1）原式=
（2）原式
小结：熟练掌握指数运算是学好对数的前提。
【专项训练】：
一、选择题：
1、已知全集为I，集合, 那么
A． B． C． D．
2、设成立的一个必要非充分条件是
A． B． C． D．
3、集合的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、已知
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5、的计算结果为
A． B． C． D．
二、填空题：
6、 ；
7、使式子有意义的x取值集合是 ；
8、 条件；
9、 ；
10、已知全集 条件。
三、解答题：
11、
12、求证成立的必要条件。
13、求证关于有一个根为1的充要条件是
【答案】：
一、
1、C 2、A 3、B 4、B 5、D
二、
6、－1 7、
8、必要非充分 9、 10、充要
三、
11、 12、略 13、略。
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第一章 幂、指、对数函数专项训练（五）
第六节 函数性质（一）
【例题精选】：
例1 试从代数，几何角度，判断一个函数在定义域内某个区间上是否单调。
分析：函数单调性是中学阶段函数重要性质之一，对它的研究应从数和形两个角度去认识。
从代数角度粗略讲，当x在此区间内随着x的增大，相应的y值也随着增大，就说函数在这个区间上是增函数。或者说，对定义域内某个区间上任意两个自变量的值在这个区间上是增函数。
从几何角度讲，单调性是研究函数图象的升降性，即如果图象是上升的，则称为增函数，如果图象是下降的，说明函数为减函数。
代数角度的精确刻画就是单调性定义，是说明函数单调性的根据，因此要注意对定义中关键词语的把握与理解。
例2 用单调性定义证明
分析：从函数图象上观察是一种常用但较为粗略的方法，用单调性定义证明才是严格的理论论证，这是一种纯代数证明。
证明：任取
小结：
把繁琐的比较过程转化为计算过程，即，
例3 根据函数单调性的定义证明函数
证明：
小结：证明过程要求逻辑推理严谨。这种严谨不仅体现在表达的规范，还体现在推理过程中依据的准确性。在上述证明中
例4 判断下列函数的奇偶性：
（1）
分析：函数的奇偶性是函数整体（整个定义域）性质与单调性不同[单调性是函数的局部（某一个区间）性质]。根据函数奇偶性定义，判定一个函数的奇偶性，首先要研究其定义域是否关于原点对称，因为定义域中有的存在，进而才能研究它与间的关系。因此函数定义域关于原点对称是一个函数具备奇偶性的必要非充分条件。其次再对定义域内任意等价变换，看是否与
解：（1）定义域是是偶函数
（2）定义域是是偶函数
（3）定义域是不是奇函数也不是偶函数
（4）定义域为R，且既是奇函数又是偶函 数。
小结：按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数也不是偶函数。一个函数既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零。
例5 判断下列函数奇偶性，说明理由。
分析：（1）为偶函数是不正确的。因为函数的定义域为这里的变换是不等价的。由于的定义域不是关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数。
（2）此函数定义域为
=
要经过种种变形才发现它是奇函数，这一点要特别引起重视，有时为了变形方便，可以这样
是奇函数。
由此我们引出：
=0。
（3）
当
综上可得：对任意是奇函数。
判断函数奇偶性有两种方法，代数方法利用奇偶性定义，几何角度根据图象对称性进行判断，也就是说函数是奇函数的充要条件是图象关于原点对称；函数是偶函数的充要条件是图象关于y轴对称。
小结：判断函数奇偶性的步骤是先看定义域是否关于原点对称，再看是否成立，如果易知图象，也可看图象是否关于原点或轴对称。
例6 判断函数的奇偶性：
分析：（1）是奇函数。当时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。
（2）是偶函数不是奇函数;当
既是奇函数也是偶函数。
（3）是偶函数，当既不是奇函数也不是偶函数。
小结：上述各条结论，可以通过函数图象的特征予以说明。（1）
是一次函数，其图象是一条过时直线通过原点，关于原点对称；不过原点，既不关于原点对称，也不关于是x轴，既关于原点对称又关于轴对称，对于是二次函数其图象是对对称轴为时对称轴为轴，即图象关于轴对称。
例7
分析：这里应先求的解析式。当x = 0时，因为f(x)为奇函数，∴f(0) = 0。
解：由于
于是有
小结：本例体现化归的思想，把时的定义联系起来，并作出转化。
例8 已知函数上的奇函数，而且在上是减函数，试讨论上是增函数还是减函数，并加以证明。
解：任取
小结：函数单调性的定义是探索函数单调性的最基本的依据，应重视运用概念解决问题。在证明过程中，要在论证域上任取x 1 < x2，不要在已知域上取。
例9 若奇函数的取值范围。
分析：由函数值的大小关系求自变量的变化范围，应是以函数单调性为重要根据，是单调性概念的反用。
解：
小结：由函数的单调性可以判断自变量的大小关系。
例10 求下列函数的最值：
分析：首先要搞清最值概念，定义在集合F上的函数的含义即存在（最小值概念略）。在初等数学的范围内，求函数的最值没有一般通用方法，只能解决一些特殊情况，在现阶段可以介绍两种常用方法：a、配方法；b、判别式法。
解：（1）。此函数没有最 小值。
（2）
，没有最大值。
小结：利用换元思想把函数转化为二次函数型，再利用配方法求最值，换元时要注意变量范围的限制。
（3） 有最大值
说明：对于函数在某个区间上求最值问题可结合函数图象，观察图象最高点和最低点，从而找到最大值和最小值。
例11 已知函数，求函数的最大值和最小值。
分析：形如的分式函数一般可考虑用判别式法。
解：
的二次方程，这个二次方程有实根，所以判别式大于或等于零）
例12 菱形
的面积的最大值。
分析：求的面积的最大值，首先要求出以这面积数为因变量的函数关系式，选择自变量时，既要使此变量能反映动的变化规律。又要便于用此量表示的面积，选法是不唯一的。
解：如图设，
又这函数的定义域为（0，1]
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第一章 幂、指、对数函数综合练习(2)
一元二次不等式映射与函数
【例题精选】：
例1：解不等式①
②
解：①由原不等式可得
各加上得
即
各除以2，得
原不等式的解集为
②由原不等式可得
解得
原不等式的解集为
例2：解不等式
分析：由于，所以可把原不等式化为，再转化为不含绝对值的不等式，可避免不等式两边乘以同一个负数时可能引起的错误。
解：原不等式可以化为
解得
∴原不等式的解集是
评述：绝对值不等式中的x可能是代数式，cx + d，…，可以把这个代数式视为“x”，直接代入表示前面基本不等式的解集的不等式中，再利用不等式的三条基本性质逐步来求解。
例3：解不等式
解：
又
方程的根是
∴不等式的解集是
例4：解不等式
解：
故不等式的解集为
例5：解不等式
解：两边都乘以－1，得
，方程无实根。
即不等式的解集是空集。
∴原不等式的解集是空集。
另解：两边都乘以－1，得
∴不存在实数x，使
∴原不等式的解集是空集。
评述：不等式两边同乘以负数时，不等号方向要改变。
例6：下列对应是不是从集合A到集合B的映射，为什么？
（1）的对应法则：取倒数；
（2）的对应法则：开平方。
解：（1）不是，∵，而0的倒数不存在，即在B中不存在元素与A中的0相对应，即A中元素在B中没有象；
（2）是，表示正实数集和负实数集，表示非正实数集，表示非负实数集。
经过开平方运算后，对于A中（即）每个正数元素（例如4），本来有两个元素（2，－2）和它对应，但是本题中，限定，只有，故而的对应法则：在限定条件下开平方是映射。
评述：若（2）中的对应法则：开平方就不是映射，因为此时对于A中每个正数元素（例如）在B中都有2个元素和它对应，所以这不是从集合A到集合B的映射。
例7：已知：，那么f这个对应法则是什么？
分析：括号内x +1表示自变量，
∴根据函数的定义，需把x +3变形，使它变成x +1的形式。
∴由，
得
∴法则f是，即将集合A中的元素x加2后对应集合B中的x +2。
简单说对应法则：加2，即。
例8：求下列函数的定义域。
（1）函数
（2）函数
解：（1）自变量x必须满足：
∴函数y的定义域是
（2）自变量x应满足下列条件：
即
∴定义域为
例9：若的定义域为，则的定义域是 ，的定义域是 。
解：由
∴的定义域是[－3，0]
由
∴的定义域是[－1，1]
例10：求不等式的整数解。
解：由原不等式，可得：
∴原不等式的解集是
例11：解不等式
分析：二次方程的二根为，二次函数的二次项数为1，是正数，故不等式应在二根之间，但－a与1的大小比较是需要讨论的。
解：二次方程的二根为：
i） 当，即时，原不等式解集为
ii） 当，即时，原不等式的解集为
iii）当即时，原不等式变为，此时不等式解集为空集。
故不等式的解集为
当时，解集为
当时，解集为
当时，解集为
评述：当二次方程的二根之中，含有参数时，必须讨论二根之大小，如解不等式，此时，二次方程的二根为a，2a，当时，，当时，，当时，，不等式的解在二根之外，当，二次方程有等根时，抛物线与x轴相切于点（a，0），不等式的解为。
例12：求下列函数的值域：
解：（1）
（配方法）
∴函数的值域为
（2）
∵
∴
即的值域为
（3）将原函数变形为：
两边平方，得
整理，得
∴
即，当时，，即时函数可取值。
∴函数值域为
（3）另解：变形为：
令，则
故的值域为。
评述：（3）解称为判别式法，（3）另解为创造条件使用配方法。
例13：求函数的值域
分析：直接求此函数的值域不容易，因此通过换元，使函数得以转化为常见函数，令。
函数转化为：
解：由分析知，原函数转化为
变形为
又，即关于t的一元二次方程有实根，
即，又
且时，，（此时）
时，，（此时）
故原函数的值域为
例14：已知
问a为何值时，。
分析：表示集合A、B没有公共元素具体到本题，是不等式与没有公共解，或是不等式无解。
解：∵
i） 当时，
ii） 当时，
iii）当时，
∴当时，即时，。
当时，即时，
时，。
综上所述：当时，。
评述：，当不等式无解时，此时，否则易漏解。
例15：如果，则
分析：这是求函数的解析表达式的问题，其实质是确定对应法则，即原象x通过f对应集合B中元素y（x的象）。因此，解决这类问题的关键是弄清楚对于“x”的而言，“f”是怎样的对应法则。
解法1：令，则，代入原式得
故
解法2：
∴
评述：解法1应用换元法，转化为寻找，即寻找的表达式，而解法2它是由原象为，象为，直接找出对应法则。此外待定系数法也是求函数解析式的方法之一。请见下例。
例16：求一个一次函数，使得：
分析：是一次函数，可设
对应法则
由已知
即
所求一次函数是：
【综合练习】：
1、判断正误（对的打√，错的打×）
（1）如果，那么 （ ）
（2）如果，那么 （ ）
（3）如果，那么 （ ）
（4）如果，那么 （ ）
（5）如果，那么 （ ）
（6）如果，那么 （ ）
2、解下列不等式：
（1） （2）
（3） （4）
3、解下列不等式：
（1） （2）
（3） （4）
4、下列对应是不是从集合A到集合B的映射？
（1）的对应法则：先平方再取倒数。
（2）的对应法则：先平方，再减1。
5、函数的定义域是 ，值域是 。
6、求函数的定义域。
7、若
8、若
9、解下列不等式：
（1） （2）
10、要使不等式有解，同时要使方程
有解，求的取值范围。
11、k为何值时，二次函数的图象与x轴的负半轴交于两个不同点。
12、当为何值时，代数式的值永远是正值？
13、已知，求。
14、当时，函数的值域为
A． B．
C． D．
【答案】：
1、 （1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）× （6）√
2、 （1） （2）
（3） （4）
3、 （1） （2）
（3） （4）
4、 （1）是映射 （2）不是映射
5、
6、
7、 8、4
9、 （1）
提示：两边平方。
（2）
提示：，分别解出①及②再求其交集即
可。或①或②，分别解
出①、②并求其并集。
10、
提示：要使不等式有解，必须
（1）
要使方程有解，必须
（2）
分别解不等式（1）和（2）并求其交集即可。
11、
提示：原题转化为k为何值时，一元二次方程有两
个不相等的负根，即……
12、
提示：
13、
提示：令，则代入原式可得。
14、C
提示：又，
所以当时，有最小值。
由于，当时，最大，因此是它的最大值。
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第一章 幂、指、对数函数综合练习(5)
函数（二）
【例题精选】：
例1：判断下列函数的奇偶性。
（1）
解：（1）∵,定义域不关于原点对称
∴函数不具有奇偶性
（2）定义域为
∴ 函数是奇函数
（3）定义域为R
∴ 函数是偶函数
评述： （1）本题主要考查对函数奇偶性的理解。
（2）判断奇偶性时，要注意以下两点
①先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称。
②判断f (-x)与 之间的关系。
例2：证明函数是奇函数。
分析： 本题主要是判断：与 之间的关系。= 是否成立不易判断，联想到找其等价形式+=或此式成立，则可判断出函数为奇函数。
证明：函数的定义域为R
∴ =－
∴ 函数为奇函数
评述： （1）本题主要考查奇偶性的判定方法。
（2）判断奇偶性时还可以通过等价命题来判断。
奇函数 +=0
偶函数－=0
例3：的定义域是R，且是奇函数，当x>0时，x<0，求 的解析式。
显然为段函数，只要求出和 时 的解析式即可,
由于 是奇数，所以x<0时的解析式通过x>0时 的解析式来求。
评述： （1）本题主要考查函数奇偶性的应用。
（2）本题要注意 在0处有定义，即f (0 )=0
例4：证明函数上是增函数。
分析：若只要证明即可，不易直接比较出与的大小，联想到转化为与0比较大小。
解：设
评述：（1）本题主要考查函数单调性的意义和转化思想
（2） 判断函数的单调性时主要是判断与，一般将其转化为－与零比较大小来解决问题。作差时一般对－进行化简，整理成几个因式的积或几个非负数的和来判断与零的大小。
例5：已知二次函数上单调递减，求a的取值范围。
解：
在（上单调递减
又∵ y在（-5，a]上单调递减
∴
评述：本题主要考查二次函数的单调性
八、掌握函数图象的各种变换，
基本变换：①平移变换 ：
②对称变换：
EMBED Equation.3
把的在轴的下方的图象，从x轴的对称轴翻折 到x轴的上方，其余部分不 变。
基本要求： （1）掌握图象的各种变换以及图象与数量之间的关系，
（2）能利用函数的图象解决函数的有关问题（数形结合思想）
例6：函数的图象是（ ）
A B C D
分析：图象可以看作由的图象向左平移1个单位所得到的，因此 选答案B。
例7：将曲线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C，如果曲线 与C关于原点对称，求曲线所对应的函数式。
分析： 曲线C为：，由于C与关于原点对称，
所以曲线为：
例8：求函数
分析：函数的单调区间不能直接求出，如果能画出图象则可能判断出函数的单调性，因此本题只要把图象画出来后，问题就解决了。
解：，对称轴为顶点为（2,－9）,与x轴的交点为 （5,0）,（-1,0）画出的图象C，将x轴下方的图象翻折到x轴上方， 其余图象不变，得到的图象，由图象可知：
函数的单调减区为：
评述： （1）以上三题主要考查函数图象变换。
（2）研究函数单调性时，有时通过图象更能直观地判断出。
例9：求下列函数的反函数。
① ②
① 解②
评述： （1）本题主要考查对反函数的理解
（2）求反函数的步骤
①求出函数的值域，即反函数的定义域
②反解，即求出
③改写：把并注明定义域，
例10：设
分析：法一：已知，只要求出即可
法二：根据之间的关系可知，求的值，就是求
解：法一：可求得反函数
法二：
评述：本题主要考查 之间的关系。
例11：如图，曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取，四个值，则相应于曲线的n依次为（ ）
A． B．
C． D．
评述：本题主要考查幂函数的图象。
例12：比较大小
① ② ③ ④
解：（1）
（2）
评述：这是幂形式的数比较大小的基本类型，关键在于构造适当的函数；若底数相同，指数不同，考虑指数函数，若底数不同，指数相同，考虑幂函数。
（3）分析：给出的两个数不同底，也不同指，看能不能转化成同底数或同指数的问题，则选取参量.
(4)分析：按照（3）的方法选取中间的是则有无法判断与之间的大小，参量选取不恰当。从函数的性质可知，
评述：（3）、（4）中，关键在于选取恰当的参量，从而使参量起到桥的作用。
例13：解方程：
① ② ③
解：①原方程可化为 解②：原方程变形为
解③：原方程两边取对数 得
评述：本例主要考查简单指数方程的三程基本方法，即同底比较法，换元法，取对数法。
例14：解方程：
① ②
③
解：①由定义得：
经检验是原方程的解
②原方程可化为：
经检验：是原方程的解。
③令则原方程变形为
评述： ①本例主要考查简单对数方程的解法即定义法，同底比较法，换元法，
②解对数方程时一定要验根
例15：求函数单调区间：
分析：①y= 是增函数，指y随着x的增大而增大，y随着x的减小而减小
y= 是减函数，指y随着000x的增大而减小，y随着x的减小而增大
②本题是复合函数问题，用换元法解决
设
评述： ①本题主要考查复合函数的单调性
②由本例可以得到复合函数的单调性法则 的定义域是M，g（x）的定义域是N，则的单调如下：
③这类题且通过列表能比较容易地判断出函数的单调性，例如本例可这样列表：
x [
u=-x2+3x-2
例16：求函数
分析：复合函数问题用换元法
评述：本题主要考查复命函数的性质。由此可见换元法是解决复合函数问题的关键。
【综合练习】：
1．判断函数的奇偶性：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
2．证明函数上是增函数
3．求函数的反函数
4．将函数的图象（ ）
（A）先向左平移1个单位 （B）先向右平移1个单位
（C）先向上平移1个单位 （D）先向下平移1个单位
再作关于直线对称的图象，可得到的图象。
5．已知函数的图象经过点（1，3），其反函数的图象经过点 （2,0）,求的解析式。
6．求函数的单调区间和值域。
7．比较的大小。
8．解方程：① ②
9．设，其中 满足，讨论 的奇偶性和 单调性
【答案】：（略解）
1．①偶函数 ②即是奇函数，又是偶函数（）
③b=0时，为奇函数， 非奇非偶 ④b=0时为偶数，时非奇非偶。 ⑤奇函数 ⑥偶函数
2．略证：设◎
3．反函数
4．D 分析：问题转化为由怎么变换到
5． 分析：（2,0）在
6．解：设
x (-1,2 ] [ 2, 5)
u
y
∴ 当时，y是增函数
当时，y是减函数
s
7．
8．① ②
9．
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第一章 幂、指、对数函数综合练习
集合
【例题精选】：
例1：下列四句话能表示集合的是：
A．一些四边形 B．平面内的全体
C．一切很大的数 D．所有3的倍数
解：“一些四边形”不能构成集合，因为到底哪些四边形不确定，范围不能定，淘汰A。
“平面内的全体”也不能构成集合，原因是元素不确定，淘汰B。
“一切很大的数”，什么数是“很大的数”不确定、即属性（特征）不明确，淘汰C。
“所有3的倍数”能表示成集合“某种属性”——3的倍数。“确定的对象”——数，“范围”——所有的。即所有的3的整数倍的数构成集合。选D。
评述：构成一个集合，必须从三个方面即（1）特征（某种属性）；（2）确定的对象（元素）；（3）范围加以考虑，凡是三者确定的，才保证集合是确定的，否则，就不能构成集合。“所有3的倍数”，用描述法可表示为。
例2：四个关系式正确的个数是：
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵空集不含任何元素，①正确；空集是任何非空集合的真子集，故③④正确；是“0”为元素的单元素集合，②正确。故选D，4个全正确。
评述：搞清空集的意义，中没有任何元素，“0”是一个数，是0为元素的集合。
例3：下面表示同一集合的是：
A．
B．
C．
D．
解：A中M，N是不同的两个点，B中N为一个点，M中是两个数，C中M是空集，N是以0为元素的集合，D中，M = {1，2}与N完全相同，故选D。
评述：分清数集、点集、空集的表示是解决此题的关键。
例4：把大于－5小于5的奇数集用描述法和列举法表示出来。
解：描述法：
列举法：
评述：对于有限集用列举法更方便些。
例5：已知全集
，那么集合{2，7，8}是：
A． B． C． D．
解：由已知，得：={1，3，4，5，6}，={3}而，显然={2，7，8}，选D。
评述：已知I，M，N，分别考虑，，，应基本题。
例6：试用集合A、B及它们的补集，将图形中的阴影部分表示出来。
解：阴影部分在集合A中，不在集合B中，在集合中，∴阴影部分应为。
例7：已知：，且A=B，求x，y的值。
解：A=B，0B，只能，因此且x，y同号，因，∴。
若y=1，因同号，知，∴ 这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有， ，可得 ，即，，此。
评述：集合，则其中M、N中元素必须相同集合中的元素除了无序性，确定性外，还有互异性，根据互异性，本题淘汰，确定。
例8：设，又且 ，求和 。
分析：此小题涉及到一元二次方程中根与系数的关系（韦达定理），同时涉及到两个集合的交集及并集的概念。
解：由可知
由可知
又∵且
∴上述两个方程有一个公共根3。
不妨令
评述：由，可知两个方程有公共根3，然后再用韦达定理求出方程的另外的根及其它系数。
例9：设A、B、M、N为非空集合，，，，求。
分析：集合M、N中的元素是由A集合的真子集及B集合的真子集合组成，因此M、N的元素都是集合。
解：∵，即说明A、B中没有公共元素，故集合A的真子集与集合B的真子集为M、N的公共元素，其他不存在公共元素。
∴
评述：与是不同的两个概念，前者指M，N无公共元素，后者指两个集合有公共元素，公共元素是以空集为元素的集合。
例如：，B=，且，显然：M =，故，理解为以空集为元素组成的集合。
例10：选择题：满足的M，N的解答共有：
A．9组 B．8组 C．7组 D．6组
分析：不妨列出M，N的各种可能情况：
M {1} {1} {2} {2} {1，2} {1，2} {1，2} {1，2}
N {1，2} {2} {1，2} {1} {1，2} {1} {2} {1，2}
故选A。
例11：已知方程的解集是A，方程的解集是B，又，则是：
A． B．
C． D．
分析：由，将代入两个方程即由方程的解的意义，得到关于的两个一次方程， 从而解出最后确定集合A与B及。
解：将代入两个方程得：
例12：数集与数集之间的关系是：
A． B． C． D．
解1：当，
又或，
即为或合起来为
∴ 故选C。
解2：（数形结合）。在直角坐标系中作出角的集合，其终边相同且周期亦相同，故数集合相等，选C。
例13：已知：，，，求A，B。
解：∵
故而，又
评述：此题中将转化为从而知道、又从及可求出A继而求得B。
例14：求证=
证明：设则，即或。
即或，即
∴
设，那么或
即或，∴。∴
评述：类似地可以证明：。
【综合练习】：
1、下列给出的四类对象中，可以构成集合的是：
A．“某班学习好的同学”
B．“一些实数组成的整数”
C．“平面内的全体”
D．“满足的实数”
2、下列各表示式中，正确的是：
A．
B．
C．
D．
3、已知分别为：
A．{梯形}；{平行四边形} B．{平行四边形}；{梯形}
C．；{平行四边形或梯形} D．；{平行四边形且梯形}
4、设，则集合M、N间的关系是：
A． B． C． D．
5、已知全集
，，则A= ，B= 。
6、实数集合中元素满足的条件是 。
7、，则= ，= 。
8、若二次方程的解集分别为M，N，且，，求M、N及p、q的值。
9、已知集合A={1，2}与集合，则它们之间的关系是：
A． B． C． D．
10、设全集为I，，在集合中非空集合的个数是：
A．1 B．2 C．3 D．4
11、设，，则A、B两个集合的关系是：
A． B． C． D．以上都不对
12、若且


求实数a的值。
13、试用集合A、B、C及它们的补集，将图形中的阴影部分表示出来。
14、如图，I是全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 。
【答案】：
1、D 2、C 3、C 4、A
5、
6、
7、{过M点且过N点的圆}，{过M点的圆或过N点的圆}。
8、
9、A，因为集合B是由集合A的子集合为元素组成的集合，故。
10、C，利用文氏图可知，除掉集合是空集外，其余均是非空集合。
11、D由于M是点集，N是数集，故M、N不存在包含关系，也不是元素与集合之间的关系，故选D。
12、，由
∴或 ，但将代入B中的二个元素不能得 2，5，而当时，，满足
∴。
13、
14、
【综合练习二】：
例1：已知，且。，且,，
又元素之和为224，
求：（1）；（2）；（3）；（4）。
解：（1）因为，而B中元素是完全平方整数，且，又故；
（2）。由已知得由（1）知
故。
（3）由已知，∴，如果，则，这是不可能的。∴；
（4）由。
可知
评述：利用集合的交与并，在并集中要考虑元素的互异性，确定是本题的关键。
例2：设集合
则
A． B． C． D．以上都不对
分析：是属于不定方程问题。
解：由任∴
∴。故…………（1）
又由，∵
若同时为奇或同时为偶。
则
若为一奇一偶，则为奇数。
有
得…………（2）
由（1）（2）知，故选C。
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