单调性与最大(小)值

课件29张PPT。学点一学点二学点三学点四学点五1.一般地,设函数f(x)的定义域为I:
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x1,x2,当x1(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x12.如果函数y=f(x)在区间D上是 ，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的区间 .任意f(x1)f(x2)单调3.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）①对于 ，都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得 .那么，称M为函数y=f(x)的最大值，记为ymax=M.
(2)①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;② ，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最小值，记为ymin=M.
4.函数的最大（小）值反映在图象上 ，是函数图象的纵坐标.任意的x∈If(x0)=M最高（低）点存在x0∈I学点一 判定函数的单调性【分析】熟练掌握基本初等函数的图象和单调性，有利于更好地掌握复杂的复合函数的单调性.【评析】判定函数的单调性，可以从图象上直观看出，也可以利用函数本身的性质得出.下列函数中,在区间（0,+∞）上是增函数的是( )
A.y=x2-2x+1 B.y=
C.y D.y【解析】y=x2-2x+1在［1,+∞)上递增,而在(0,1］上递减;y= 在(0,+∞)上是减函数；y = 在［0,1］上递增,在［1,2］上递减.只有y= 在(-∞,-1)上递增,在(-1,+∞)上递增,从而在(0,+∞)上递增.
故应选C.C下列函数，在区间(0,2)上是增函数的是（ ）
A.y= B.y=2x-1
C.y=1-2x D.y=(2x-1)2B(y= 在(0,+∞)上是减函数，排除A；y=2x-1在R上是增
函数，故在(0,2)上也是增函数；y=1-2x在(0,+∞)上是减函
数，排除C;y=(2x-1)2在(0 , ), 上是减函数， 在( , 2 )上是增函数.
故应选B.)B
学点二 单调性的判定与证明【分析】用函数单调性定义证明.求证：函数f(x)=- -1在区间(-∞,0)上是单调增函数.【证明】对于区间(-∞,0)内的任意两个值x1,x2，且x10,x1x2>0,
因为f(x2)-f(x1)=(- -1)(- -1 )
= - = ,
所以f(x2)-f(x1)>0，即f(x1)故f(x)= - -1 在区间(-∞,0)上是单调增函数.【评析】证明函数在某个区间上是增函数或减函数，用定义证明是最基本的方法，步骤是：设值、作差、变形、判断符号、下结论.设x1,x2是(-∞,+∞)内的任意两个实数，且x1f(x1)-f(x2)=(- +1)-(- +1)
=(x2-x1)( +x2x1+ )
=(x2-x1)
∵x2-x1>0, >0,
∴(x2-x1)( + x2x1 + ) >0,
即f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.根据函数单调性的定义证明：函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.学点三 利用图象求函数单调区间【分析】先将函数解析式化简，变为熟悉的基本函数.作出函数f(x)= 的图象，并指出函数f(x)的单调区间.【解析】原函数可化为
f(x)=|x-3|+|x+3|
-2x,x≤-3,
6,-3 2x,x>3.【评析】（1）利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法：先化简函数式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间.显然函数的增区间为［x2,x3］,［x4,x5］,减区间为［x1,x2］,［x3,x4］,［x5,x6］.（ 2）利用图象求函数单调区间是最基本、最直观的方法，只要作出图象，求单调区间很容易，如y=f(x).图象如下图所示：求函数y=-x2+2|x|+3的单调区间.如图所示，在(-∞,-1］，［0,1］上，函数是增函数；在［-1,0］,［1,+∞)上，函数是减函数.学点四 利用单调性求变量范围(一）在具体函数中利用单调性求变量范围
（1）已知f(x)=x2+2(1-a)x+2在(-∞,4］上是减函数，求实数a的取值范围;
（2）已知f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数，求实数a的取值范围.【分析】二次函数是我们最熟悉的函数，只要遇到二次函数就画图象，也可以不将图象画出，而在脑海中出现，就会给我们研究问题带来方便.对于不熟悉的函数，可以利用单调函数的定义去研究与单调性有关的问题.【解析】（1）要使f(x)在(-∞,4］上是减函数，由二次函数的图象可知，
只要对称轴x 即可，
解得a≥5.
（2）设00,
f(x2)-f(x1)=(- +ax2)-(- +ax1)=( - )+a(x2-x1)
=(x1-x2)( +x1x2+ -a)>0,
∵f(x)在(0,1)上是增函数,
又∵x2-x1>0,
∴ +x1x2+ -a<0,
则a> +x1x2+ ,
又∵0∴ +x1x2+ <3,
∴a≥3.【评析】（1）二次函数问题要注意三点：一是开口方向；二是对称轴；三是顶点坐标.
（2）有关单调性的问题，当我们感觉太陌生、不熟悉、走投无路时，“回到单调函数的定义去”的方法，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.若函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在［1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.
（ 1）当a=0时,f(x)=x在［1,+∞)上是增函数.
（ 2）当a>0时，要使f(x)在［1,+∞)上是增函数，
a>0
≤1?
（ 3）当a<0时，由二次函数图象可知f(x)不能在［1,+∞)上是增函数.
综上所述，a的取值范围为［0,1］.（二）在抽象函数中利用单调性求变量范围
设f(x)是定义在(0,+∞)内的增函数，且f(xy)=f(x)+f(y)，
若f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范围.【分析】从两点考虑：一是常数2与f(3)是什么关系？
可由f(xy)=f(x)+f(y)找出；二是在不等式f(a)>f(a-1)+2
中怎样“脱”去“f”.【解析】∵f(xy)=f(x)+f(y)，且f(3)=1,
∴f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=2f(3)=2.
又∵f(a)>f(a-1)+2, ∴f(a)>f(a-1)+f(9),
即f(a)>f［9(a-1)］,【评析】（1）抽象函数不等式的一般解答方法是利用单调性“脱号”.
（2）“脱号”时莫忘定义域对自变量的限制.
由单调函数的概念得
解得1∴a的取值范围是10,求实数m的取值范围.由f(m)+f(2m-1)>0得f(m)>-f(2m-1),
∵f(-x)=-f(x)，∴f(m)>f(1-2m).
由f(x)是(-2,2)上的减函数可得
解得- < m < .
∴所求实数m的取值范围是- < m < .【解析】(1)当a= 时,f(x)=x+ +2.任取x2>x1≥1，则
f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+
=(x2-x1)（1- ）.
∵x2>x1≥1,
∴x2-x1>0,x1x2>1,
∴ < 1,学点五 利用单调性研究函数最值【分析】利用函数单调性求函数最值.已知函数f(x)= ,x∈［1,+∞).
(1)当a= 时,求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈［1,+∞),f(x)＞0恒成立,试求实数a的取值范围.【评析】函数f(x)在区间［a,b］(a∴1- >0,
∴f(x2)-f(x1)>0,
∴f(x)在区间［1,+∞)上为增函数,
∴f(x)在区间［1,+∞)上的最小值为f(1)= .
(2)在区间［1,+∞)上,f(x)= ＞0恒成立?x2+2x+a＞0恒成立. 设y=x2+2x+a ,x∈［1,+∞),则y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1递增. ∴当x=1时,ymin=3+a, 于是,当且仅当ymin=3+a＞0时,函数f(x)＞0恒成立,故a＞-3.求函数f(x)=x2-2ax-1在区间［0,2］上的最值.由f(x)=(x-a)2-a2-1，因为x∈［0,2］,
(1)当0≤a≤2时，f (x) min=f(a)= -a2-1.
①当0≤a≤1时，f (x) max=f(2)=22-4a-1=3-4a；
②当1(2)当a<0时，f (x) min=f(0)=-1, f (x) max=f(2)=3-4a.
(3)当a>2时，f(x)min= f(2)=3-4a, f(x) max=f(0)= -1.（1）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言，有的函数在整个定义域内具有单调性，如一次函数y=2x+6等.有的函数分别在定义域内的某些区间上单调，但在整个定义域上却不单调，如反比例函数y= 等，所以函数f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势，是函数的局部性质.
（2）函数在某一点处的单调性无意义，书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间. （3）函数定义中的x1,x2应深刻理解，一是任意性，即“任意取x1,x2”,“任意”两个字绝不能丢掉，不能为某两个特殊值；二是x1,x2有大小，通常规定x2-x1>0;三是同属于一个单调区间.1.在函数单调性中应注意什么问题？2.证明函数单调性的方法和步骤是什么？
证明函数单调性只能用定义来证明，不能用复合函数单调性证明.
证明函数单调性的步骤：
第一步：任意取值x1,x2(在某单调区间I上)，且x1第二步：变形，通过通分、因式分解、配方、有理化等手段，将等式f(x2)-f(x1)的右边变形；
第三步：定号，判断f(x2)-f(x1)的符号；
第四步：下结论.（4）若函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增（减）函数，一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增（减）函数，如f(x)= 在(-∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上也是减函数，但不能说它在定义域（-∞,0）∪(0,+∞)上是减函数.
（5）函数单调性的几何意义：反映在图象上，若f(x)在区间I上为增（减）函数，则图象在I上的对应部分从左向右是上升（下降）的.3.函数单调性的判断方法有哪些？
（1）定义法.前面已作过叙述.
（2）直接法.运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可直接说出.了解以下一些结论，对于判断函数单调性有一定好处：
①函数y=-f(x)与y=f(x)的单调性相反.
②当f(x)>0时，函数y=1f(x)与y=f(x)的单调性相反.对于f(x)<0也成立.
③在公共区域内，两增函数的和仍为增函数，增函数减去一个减函数所得函数为增函数.
（3）图象法.通过函数图象直接判断.4.求函数最值的常用方法有哪些？
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.
（2）换元法：通过变量代换转化为求二次函数在某区间上的最值.
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求最值.
（4）函数单调性法.1.函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分，对于具体函数而言，可能有单调区间，也可能无单调区间,不是所有的函数都具有单调性.
2.利用函数的图象判断函数的单调区间是一种比较直观的方法，就是由函数y=f(x)的图象，从左向右看，在定义域（某个区间）上是上升的，还是下降的.若图象是上升的，就可以说它在这个区间上是增函数；若图象是下降的，则可以判断它在这个区间上是减函数.也就是说，要判断函数在定义域（某个区间）上的单调性，只要能作出函数的图象，就会一目了然.3.对于最大值定义的理解：
（1）M首先是一个函数值，它是值域的一个元素.如f(x)=-x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)=0，注意对定义第二条中“存在”一词的理解.
（2）对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式.
（3）这两条缺一不可，若只有定义中的第一条，M不是最大值.如f(x)=-x2(x∈R),对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值；否则大于零的任意实数都是最大值了；最大值的核心就是不等式f(x)≤M，故不能只有定义中的第二条.
（4）若将定义中(1)中的“f(x)≤M”,改为“f(x)≥M”，则需将最大值定义中的“最大值”改为“最小值”，这就是函数f(x)的最小值的定义.4.函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值.合理选择适当方法解决具体问题是学好本学案的关键.
5.注意函数的单调性对函数最值的影响，尤其是对于闭区间上函数的最值.
函数f(x)=a(x-t)2+s(a>0),x∈［m,n］的最值问题，若当t∈［m,n］,x=t时，有最小值s，最大值是f(m),f(n)中较大者；若t?［m,n］，则f(m),f(n)中较小者是最小值，较大者是最大值.当a<0时，仿此讨论.祝同学们学习上天天有进步！