课件28张PPT。学点一学点二学点三学点四学点五1.偶函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做偶函数.
2.奇函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数.
3.奇偶性: 那么,就说函数f(x)具有奇偶性.
4.奇函数的图象关于 对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是 ;偶函数的图象关于 对称,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是 .f(-x)=f(x)f(-x)= -f(x)如果函数f(x)是奇函数或偶函数原点任意任意奇函数y轴偶函数5.若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上是 函数,且有 .
6.若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)= .
7.若y=f(x)是偶函数,则f(x)与f(|x|)的大小关系是 .
8.若f(x)是奇函数或偶函数,则其定义域关于 对称.增最小值-M0f(x)=f(|x|)原点学点一 奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=(x-1)· ;
(2)f(x)= .【分析】先观察定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)之间的关系.若f(x)本身能化简,应先化简,再进行判断,可避免失误.【解析】(1)先确定函数的定义域,
由 ≥0得-1≤x<1,其定义域不关于原点对称,
∴f(x)=(x-1) 既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,
∵f(x)= =
∴f(-x)= = = -f(x),
即函数f(x)是奇函数.【评析】(1)判断函数奇偶性分两步:一是定义域是否关于原点对称;二是判断f(-x)=f(x)还是f(-x)=-f(x).
(2)如果一个函数的定义域关于原点不对称,那么这个函数既不是奇函数,也不是偶函数.
(3)定义域关于原点对称,满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数,既是奇函数,又是偶函数,如f(x)=0,x∈R.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x+ ; (2)f(x)=x2+ ;
(3)f(x)=x+ ; (4)f(x)= .(1)定义域为A={x|x∈R,且x≠0}.
因此,当x∈A时,-x∈A.∵f(-x)= -x+ = -(x+ ) = -f(x),∴f(x)为奇函数.
(2)定义域为A={x|x∈R,且x≠0}.
因此,当x∈A时,-x∈A.
f(-x)=(-x)2+ =x2+ =f(x).
∴函数f(x)=x2+ 为偶函数.(3)函数的定义域为A={x|x>0},关于原点不对称,
∴函数f(x)= 为非奇非偶函数.
(4)由 1-x2≥0
x2-1≥0
∴x=±1.
∴函数的定义域为{-1,1},
于是f(x)=0,x∈{-1,1}.
满足f(-x)=f(x)=0,f(-x)=-f(x)=0.
∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.学点二 奇偶性的证明函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),
求证:f(x)为奇函数.【分析】因为对于a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),所以可以令a,b为某些特殊值,得出f(-x)=-f(x).【证明】令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.
又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b)得
f(-x+x)=f(-x)+f(x), 即0=f(-x)+f(x), ∴f(-x)= -f(x),
∴f(x)为奇函数.【评析】证明函数的奇偶性,即证明f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立.这需要对给定函数方程中的x,y赋值,使其变成含f(x),f(-x)的式子,然后判定.证明:由于对任意的x∈ ,必有-x∈ .
可见f(-x)的定义域也是 .
若设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x).
则F(x)与G(x)的定义域也是 ,显然是关于原点对称的区间,而且F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]
=f(x)+f(-x)=F(x),
G(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)
=-[f(x)-f(-x)]=-G(x).
所以F(x)为偶函数,而G(x)为奇函数.设函数f(x)定义在 上.证明:f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.
学点三 由奇偶性求函数解析式设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)= x2 +x+1,求函数解析式.【分析】由奇函数的图象关于原点对称,找x≥0和x<0时解析式间的联系.【解析】当x<0时,-x>0,由已知得f(-x)=x2-x+1,∵f(x)为R上
的奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=x2-x+1,∴f(x)=-x2+x-1,又∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0.
x2+x+1,x>0,
∴ 0,x=0,
-x2+x-1,x<0.【评析】(1)求f(x)在什么范围上的解析式,则取x为这一范围上的任一值,再转化为条件.
(2)在求函数的解析式时,应紧扣题目中的已知条件,当求自变量在不同区间上的不同表达式时,要用分段函数的形式表示出来.已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时,f(x)的表达式.
设x<0,则-x>0,且满足表达式f(x)=x|x-2|,
∴f(-x)= -x|-x-2|=-x|x+2|.
又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)= -f(x),
∴-f(x)= -x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|.
故当x<0时,f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.学点四 奇偶性在求变量范围中的应用设f(x)在R上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,且有
f(2a2+a+1)因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体
的代数不等式”是关键.【解析】由f(x)在R上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增知 f(x)在(0,+∞)上递减.
∵2a2+a+1=2(a+ )2+ >0,
2a2-2a+3=2(a - )2+ >0,
且f(2a2+a+1)∴2a2+a+1>2a2-2a+3,
即3a-2>0,
解之得a> .
∴a的取值范围是a> .【评析】该例在求解过程中用到了前面提到的减函数定义的逆命题.因为函数g(x)在[-2,2]上是偶函数,则由g(1-m)又当x≥0时,g(x)为减函数,得到 |1-m|≤2
|m|≤2
|1-m|>|m|,.
解之得-1≤m<
定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)为减函数,
若g(1-m)在(0,+∞)上是减函数,且f(x)<0,试判断函数F(x)=
在(-∞,0)上的单调性,并给出证明.【分析】F(x)的单调性的判定与f(x1),f(x2)的大小有关,而f(x)在(0,+∞)上为减函数,可由此建立关系.【解析】F(x)在(-∞,0)上是增函数,以下进行证明:
设x1,x2∈(-∞,0),x10,且-x1,-x2∈(0,+∞),且-x1>-x2,
∴(-x2)-(-x1)=x1-x2<0,
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴f(-x2)-f(-x1)>0①
又∵f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数,
∴f(-x1)= -f(x1),f(-x2)= -f(x2),
由①式得-f(x2)+f(x1)>0,
F(x2)-F(x1)=又∵f(x)在(0,+∞)上总小于0,
∴f(x1)=-f(-x1)>0,
f(x2)=-f(-x2)>0,
f(x1)·f(x2)>0,
又∵f(x1)-f(x2)>0,
∴F(x2)-F(x1)>0,且x2-x1>0,
故F(x)= 在(-∞,0)上是增函数.【评析】解决综合性问题,关键是熟练掌握函数的性质.已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f( ) = -1,当且仅当
0f( ),试证明:
(1)f(x)为奇函数;
(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.
证明:(1)由f(x)+f(y)=f( ),
令x=y=0,得f(0)=0.
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f( )=f(0)=0,
∴f(x)=-f(-x),
∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减,
令00,
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f( ) ,∵00,1-x1x2>0,
∴ >0,
又∵(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,
∴0∴0< <1,
由题意知 <0,即f(x2)-f(x1)<0,
∴f(x)在(0,1)上为减函数.
又∵f(x)为奇函数,且f(0)=0,∴f(x)在(-1,1)上单调递减.1.在函数的奇偶性中应注意什么问题?
(1)对于函数奇偶性的理解
①函数的奇偶性与单调性的差异:函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对函数定义域内的每一个值x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(或偶)函数.
②奇(或偶)函数的定义域必须是关于原点对称的,如果函数的定义域不关于原点对称,则此函数既不是奇函数,也不是偶函数.
2.奇偶函数的图象有什么几何性质?
(1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数,则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.
(2)若奇函数y=f(x)在x=0时有定义,则由奇函数定义知f(-0)=-f(0),即f(0)=-f(0),所以f(0)=0.
(3)奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致,偶函数则相反.1.如果已知函数具有奇偶性,只要画出它在y轴一侧的图象,则另一侧的图象可对称画出.
2.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
3.判断函数的奇偶性时,我们可以根据f(-x)=±f(x),或是根据f(-x)±f(x)=0,或是根据f(-x)f(x)=±1等途径来判断.
4.利用定义判断函数的奇偶性时,既要判断f(x)与f(-x)的关系,又不能忽略与定义域有关的问题,如关于原点对称、x的任意性等.
因此,在解题中先确定函数的定义域不仅是解题程序的需要,可以避免许多错误,而且有时还可以避开讨论,简化解题的过程.祝同学们学习上天天有进步!