奇偶性

课件28张PPT。学点一学点二学点三学点四学点五1.偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.
2.奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数.
3.奇偶性： 那么，就说函数f(x)具有奇偶性.
4.奇函数的图象关于 对称,反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是 ；偶函数的图象关于 对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是 .f(-x)=f(x)f(-x)= -f(x)如果函数f(x)是奇函数或偶函数原点任意任意奇函数y轴偶函数5.若奇函数f(x)在［a,b］上是增函数，且有最大值M，则f(x)在［-b,-a］上是 函数，且有 .
6.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)= .
7.若y=f(x)是偶函数，则f(x)与f(|x|)的大小关系是 .
8.若f(x)是奇函数或偶函数，则其定义域关于 对称.增最小值-M0f(x)=f(|x|)原点学点一 奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性:
（1）f(x)=(x-1)· ;
（2）f(x)= .【分析】先观察定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与f(x)之间的关系.若f(x)本身能化简，应先化简，再进行判断，可避免失误.【解析】（1）先确定函数的定义域，
由 ≥0得-1≤x<1，其定义域不关于原点对称，
∴f(x)=(x-1) 既不是奇函数,也不是偶函数.
（2）函数f(x)的定义域为［-1,0)∪(0,1］,关于原点对称，
∵f(x)= =
∴f(-x)= = = -f(x),
即函数f(x)是奇函数.【评析】（1）判断函数奇偶性分两步：一是定义域是否关于原点对称；二是判断f(-x)=f(x)还是f(-x)=-f(x).
（2）如果一个函数的定义域关于原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数.
（3）定义域关于原点对称，满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数，既是奇函数，又是偶函数，如f(x)=0,x∈R.判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=x+ ; （2）f(x)=x2+ ;
（3）f(x)=x+ ; （4）f(x)= .(1)定义域为A={x|x∈R，且x≠0}.
因此,当x∈A时，-x∈A.∵f(-x)= -x+ = -(x+ ) = -f(x),∴f(x)为奇函数.
(2)定义域为A={x|x∈R，且x≠0}.
因此,当x∈A时，-x∈A.
f(-x)=(-x)2+ =x2+ =f(x).
∴函数f(x)=x2+ 为偶函数.（3）函数的定义域为A={x|x>0}，关于原点不对称，
∴函数f(x)= 为非奇非偶函数.
（4）由 1-x2≥0
x2-1≥0
∴x=±1.
∴函数的定义域为{-1,1},
于是f(x)=0,x∈{-1,1}.
满足f(-x)=f(x)=0,f(-x)=-f(x)=0.
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数.学点二 奇偶性的证明函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，
求证：f(x)为奇函数.【分析】因为对于a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，所以可以令a,b为某些特殊值，得出f(-x)=-f(x).【证明】令a=0，则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.
又令a=-x,b=x，代入f(a+b)=f(a)+f(b)得
f(-x+x)=f(-x)+f(x), 即0=f(-x)+f(x), ∴f(-x)= -f(x),
∴f(x)为奇函数.【评析】证明函数的奇偶性，即证明f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立.这需要对给定函数方程中的x,y赋值，使其变成含f(x),f(-x)的式子，然后判定.证明:由于对任意的x∈ ，必有-x∈ .
可见f(-x)的定义域也是 .
若设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x).
则F(x)与G(x)的定义域也是 ，显然是关于原点对称的区间,而且F(-x)=f(-x)+f［-(-x)］
=f(x)+f(-x)=F(x),
G(-x)=f(-x)-f［-(-x)］=f(-x)-f(x)
=-［f(x)-f(-x)］=-G(x).
所以F（x）为偶函数，而G（x）为奇函数.设函数f(x)定义在 上.证明：f(x)+f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数.
学点三 由奇偶性求函数解析式设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= x2 +x+1,求函数解析式.【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找x≥0和x<0时解析式间的联系.【解析】当x<0时，-x>0，由已知得f(-x)=x2-x+1,∵f(x)为R上
的奇函数，
∴f(-x)=-f(x)=x2-x+1,∴f(x)=-x2+x-1,又∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0.
x2+x+1，x>0，
∴ 0，x=0，
-x2+x-1，x<0.【评析】（1）求f(x)在什么范围上的解析式，则取x为这一范围上的任一值，再转化为条件.
（2）在求函数的解析式时，应紧扣题目中的已知条件，当求自变量在不同区间上的不同表达式时，要用分段函数的形式表示出来.已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|，求当x<0时，f(x)的表达式.
设x<0，则-x>0，且满足表达式f(x)=x|x-2|,
∴f(-x)= -x|-x-2|=-x|x+2|.
又∵f(x)是奇函数，∴f(-x)= -f(x),
∴-f(x)= -x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|.
故当x<0时，f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.学点四 奇偶性在求变量范围中的应用设f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上递增，且有
f(2a2+a+1)因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体
的代数不等式”是关键.【解析】由f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上递增知 f(x)在(0,+∞)上递减.
∵2a2+a+1=2（a+ ）2+ >0,
2a2-2a+3=2（a - ）2+ >0,
且f(2a2+a+1)∴2a2+a+1>2a2-2a+3,
即3a-2>0,
解之得a> .
∴a的取值范围是a> .【评析】该例在求解过程中用到了前面提到的减函数定义的逆命题.因为函数g(x)在［-2,2］上是偶函数，则由g(1-m)又当x≥0时，g(x)为减函数，得到 |1-m|≤2
|m|≤2
|1-m|>|m|,.
解之得-1≤m<
定义在［-2,2］上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，
若g(1-m)在(0,+∞)上是减函数，且f(x)<0，试判断函数F(x)=
在(-∞,0)上的单调性，并给出证明.【分析】F（x）的单调性的判定与f(x1),f(x2)的大小有关，而f(x)在(0,+∞)上为减函数，可由此建立关系.【解析】F(x)在(-∞,0)上是增函数，以下进行证明：
设x1,x2∈(-∞,0)，x10，且-x1,-x2∈(0,+∞),且-x1>-x2,
∴(-x2)-(-x1)=x1-x2<0,
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴f(-x2)-f(-x1)>0①
又∵f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数，
∴f(-x1)= -f(x1),f(-x2)= -f(x2),
由①式得-f(x2)+f(x1)>0,
F(x2)-F(x1)=又∵f(x)在(0,+∞)上总小于0，
∴f(x1)=-f(-x1)>0,
f(x2)=-f(-x2)>0,
f(x1)·f(x2)>0,
又∵f(x1)-f(x2)>0,
∴F(x2)-F(x1)>0，且x2-x1>0,
故F(x)= 在(-∞,0)上是增函数.【评析】解决综合性问题，关键是熟练掌握函数的性质.已知函数f(x)在(-1,1)上有定义，f（ ） = -1，当且仅当
0f（ ），试证明：
（1）f(x)为奇函数；
（2）f(x)在(-1,1)上单调递减.
证明:（1）由f(x)+f(y)=f（ ）,
令x=y=0，得f(0)=0.
令y=-x，得f(x)+f(-x)=f（ ）=f(0)=0,
∴f(x)=-f(-x)，
∴f(x)为奇函数.
（2）先证f(x)在(0,1)上单调递减，
令00,
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f（ ） ,∵00,1-x1x2>0,
∴ >0,
又∵(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,
∴0∴0< <1,
由题意知 <0，即f(x2)-f(x1)<0,
∴f(x)在(0,1)上为减函数.
又∵f(x)为奇函数，且f(0)=0,∴f(x)在(-1,1)上单调递减.1.在函数的奇偶性中应注意什么问题？
（1）对于函数奇偶性的理解
①函数的奇偶性与单调性的差异:函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个值x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）,才能说f(x)是奇（或偶）函数.
②奇（或偶）函数的定义域必须是关于原点对称的，如果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数.
2.奇偶函数的图象有什么几何性质？
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
（2）若奇函数y=f(x)在x=0时有定义，则由奇函数定义知f(-0)=-f(0)，即f(0)=-f(0),所以f(0)=0.
（3）奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致，偶函数则相反.1.如果已知函数具有奇偶性，只要画出它在y轴一侧的图象，则另一侧的图象可对称画出.
2.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
3.判断函数的奇偶性时，我们可以根据f(-x)=±f(x)，或是根据f(-x)±f(x)=0，或是根据f(-x)f(x)=±1等途径来判断.
4.利用定义判断函数的奇偶性时，既要判断f(x)与f(-x)的关系，又不能忽略与定义域有关的问题，如关于原点对称、x的任意性等.
因此，在解题中先确定函数的定义域不仅是解题程序的需要，可以避免许多错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题的过程.祝同学们学习上天天有进步！