函数的表示法三
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课件20张PPT。学点一学点二学点三学点四1.设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关
系f,使对于集合A中的 ，在集合B中都有
的 元素y与之对应，那么就称 对
应为从集合A到集合B的一个映射.
2.由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，
是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合
A，B必须是 .任意一个元素x唯一确定f:A→B函数函数非空数集
学点一 判断对应是否为映射判断下列对应是否构成映射.
（1）A={1,2,3},B={7,8,9},f(1)=f(2)=7,f(3)=8;
（2）A=Z，B={-1,1},当n为奇数时，f(n)=-1,当n为偶数时，f(n)=1;
（3）A=B={1,2,3},f(x)=2x-1;
（4）A=B={x|x≥-1},f(x)=2x+1.【分析】判断一个对应f是否为从A到B的映射，主要从映射的定义入手，看集合A中的任意一个元素，在对应关系f之下,在集合B中是否有唯一的对应元素.【解析】对于（1）,集合A中的元素在集合B中都有唯一的对应元素，因而能构成映射；对于（2）,集合A中的任一元素x在对应关系f之下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映射；对于（3）,由于当x=3时，f(3)=2×3-1=5.在集合B中无对应元素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射;对于(4),满足映射的定义，因而能构成映射.【评析】判定两个集合能否构成映射，一般从映射的定义入手.若满足映射定义就能构成映射，若不满足映射的定义，只要举一反例，即说明集合A中的某一元素在B中无对应元素即可.在下列各题中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是？
(1)A=R,B={y|y≥0},f:x→y=x2;
(2)A={x|x≥3},B={y|y≥0},f:x→y= ;
(3)A=N,B=R,f:x→y= .(1)是映射,因为对任意x∈A,在f:x→y=x2下,在集合B中都有唯一确定的元素和它对应.
(2)是映射.因为对任意x∈A,在f:x→y= 下,在集合B中都有唯一确定的元素和它对应.
(3)不是映射.因为集合A中的元素0在f:x→y= 下,在集合B中没有元素和它对应.学点二 映射中的象与原象【分析】明确本题映射f:A→B的两个集合为有序实数对组成的集合,即点集,明确本题对应法则为f:(x,y)→(3x-2y+1,4x+3y-1).已知映射f:A→B中，A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:A中的元素，(x,y)对应到B中的元素(3x-2y+1,4x+3y-1).
(1)求A中元素(-1,2)在f的作用下与B中对应的元素;
(2)若A中的元素在f的作用下,在B中与之对应的元素为(-1,2),求A中的这个元素.【解析】(1)∵x=-1,y=2,
∴3x-2y+1=3x(-1)-2×2+1=-3-4+1=-6,
4x+3y-1=4×(-1)+3×2-1=-4+6-1=1.
∴所求的B中元素为(-6,1).
3x-2y+1=-1 x=0
4x+3y-1=2, y=1.
∴所求的A中元素为(0,1).【评析】由映射中一个集合的元素,求出与之对应的另一个
集合中的元素,应紧扣映射定义,注意映射的对应法则.(2)∵ ∴设集合A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f是A到B的一个映射,并满足f:(x,y)→(-xy,x-y).
(1)求B中元素(3,-4)在A中的原象;
(2)试探索B中元素满足什么条件时在A中存在原象;
(3)求B中元素(a,b)在A中有且只有一个原象时,a,b所满足的关系式. -xy=3 x=-1 x=-3
x-y=-4, y=3 y=1,
所以B中元素(3,-4)在A中的原象为(-1,3)和(-3,1).(1)由题意知 解得 或(2)设任意(a,b)∈B,则它在A中的原象(x,y)应满足
-xy=a ①
x-y=b ②
由②得y=x-b代入①式化简,
得x2-bx+a=0.③
当且仅当b2-4a≥0时,方程③有实根,
所以,只有当B中元素(a,b)满足b2-4a≥0时,在A中才有原象.
(3)由以上(2)的解题过程可知,只有当B中元素(a,b)满足b2=4a时,它在A中有且只有一个原象.学点三 映射与函数【分析】映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映
射，要判断是否是映射、函数,应从定义入手.下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？
（1）A=R，B=R，f:x→y= ;
（2）A={a|a=n,n∈N+},
B={b|b= ,n∈N+},f:a→b= ;
（3）A=［0,+∞),B=R,f:x→y2=x.【解析】（1）因为当x=-1时，y的值不存在，所以不是映射，更不是函数.
（2）是映射，也是函数，因为A中所有的元素的倒数都是B中的元素.
（3）因为当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数.【评析】函数是一种特殊的映射，只有当构成映射的两个
集合都是非空数集时，该映射才能构成函数.给出下列四个对应关系，能构成函数的是 .（填序号）
①A=N*，B=Z，f:x→y=2x-3;
②A={1,2,3,4,5,6},B={y|y∈N*,y≤5},f:x→y=|x-1|;
③A={x|x≥2},B={y|y=x2-4x+3},f:x→y=x-3;
④A=N*,B={y∈N*|y=2x,x∈N*},f:x→y=2x-1.①③①由函数定义知f是A到B的函数.
②∵当x=1时，由f:x→y=|x-1|知y=0?B，
∴不是A到B的函数.
③B={y|y=(x-2)2-1}={y|y≥-1}.由f:x→y=x-3知是A
到B的函数.
④∵B={偶数}，而f:x→y=2x-1为奇数，∴f不是A
到B的函数.已知A={a,b,c},B={-2,0,2},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求满足条件的映射的个数.(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)+f(b)=0+0=0=f(c)有一个映射.
(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个，分别为2+0=2,-2+0=-2,0+2=2,0+(-2)=-2.（3）当A中三个元素对应B中三个元素时，满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有2个，分别为-2+2=0,2+(-2)=0,
∴满足条件的映射共有7个.学点四 映射的应用【分析】建立A到B的映射，需A中每一元素在f下都有唯一的元素与之对应.【评析】求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的
定义处理，必要时要进行分类讨论.已知A={1,2},B={a,b}，可以建立多少个从A到B的映射.由定义，映射f使A中每一元素在B中都有元素 和它对应，故所有的对应关系有以下几组：
1→a 1→a 1→b 1→b
2→a 2→b 2→b 2→a.
∴建立的A到B的映射有4个.(1)映射是一种特殊的对应.对应有一对多、一对一、多对一等.
(2)映射定义中的两个集合A，B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的.
(3)映射是由集合A，B以及从A到B的对应关系f所确定的.
(4)一个映射中，在对应关系f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B中的元素b,b具有唯一性，但与B中元素b对应的A中元素可以不唯一.
(5)在一个映射中，集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A，B也可以是同一集合.但在确定的映射中，集合A，B的地位一般是不要求对等的.1.怎样理解映射的概念？2.怎样判定一个对应是映射？
按照定义，一个对应是一个从A到B的映射,需满足：
（1）A中元素在B中都有元素和它对应,且唯一.
（2）对应是一对一或多对一.1.判断某个对应是否为映射，必须严格根据定义，而说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可.映射实质上是“多对一”或“一对一”的对应，但不包括“一对多”.
2.解决映射一类问题时，注意要回到定义中去，需要注意的是要深刻理解概念，只有领会了概念的实质，才能使解题有思维基础和理论根据.
3.映射的概念是在函数的概念的基础上定义、扩展的，函数是一个特殊的映射.
4.函数是非空数集A到非空数集B的映射，而对于映射来说，A，B不一定都是数集. 祝同学们学习上天天有进步！
系f,使对于集合A中的 ，在集合B中都有
的 元素y与之对应，那么就称 对
应为从集合A到集合B的一个映射.
2.由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，
是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合
A，B必须是 .任意一个元素x唯一确定f:A→B函数函数非空数集
学点一 判断对应是否为映射判断下列对应是否构成映射.
（1）A={1,2,3},B={7,8,9},f(1)=f(2)=7,f(3)=8;
（2）A=Z，B={-1,1},当n为奇数时，f(n)=-1,当n为偶数时，f(n)=1;
（3）A=B={1,2,3},f(x)=2x-1;
（4）A=B={x|x≥-1},f(x)=2x+1.【分析】判断一个对应f是否为从A到B的映射，主要从映射的定义入手，看集合A中的任意一个元素，在对应关系f之下,在集合B中是否有唯一的对应元素.【解析】对于（1）,集合A中的元素在集合B中都有唯一的对应元素，因而能构成映射；对于（2）,集合A中的任一元素x在对应关系f之下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映射；对于（3）,由于当x=3时，f(3)=2×3-1=5.在集合B中无对应元素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射;对于(4),满足映射的定义，因而能构成映射.【评析】判定两个集合能否构成映射，一般从映射的定义入手.若满足映射定义就能构成映射，若不满足映射的定义，只要举一反例，即说明集合A中的某一元素在B中无对应元素即可.在下列各题中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是？
(1)A=R,B={y|y≥0},f:x→y=x2;
(2)A={x|x≥3},B={y|y≥0},f:x→y= ;
(3)A=N,B=R,f:x→y= .(1)是映射,因为对任意x∈A,在f:x→y=x2下,在集合B中都有唯一确定的元素和它对应.
(2)是映射.因为对任意x∈A,在f:x→y= 下,在集合B中都有唯一确定的元素和它对应.
(3)不是映射.因为集合A中的元素0在f:x→y= 下,在集合B中没有元素和它对应.学点二 映射中的象与原象【分析】明确本题映射f:A→B的两个集合为有序实数对组成的集合,即点集,明确本题对应法则为f:(x,y)→(3x-2y+1,4x+3y-1).已知映射f:A→B中，A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:A中的元素，(x,y)对应到B中的元素(3x-2y+1,4x+3y-1).
(1)求A中元素(-1,2)在f的作用下与B中对应的元素;
(2)若A中的元素在f的作用下,在B中与之对应的元素为(-1,2),求A中的这个元素.【解析】(1)∵x=-1,y=2,
∴3x-2y+1=3x(-1)-2×2+1=-3-4+1=-6,
4x+3y-1=4×(-1)+3×2-1=-4+6-1=1.
∴所求的B中元素为(-6,1).
3x-2y+1=-1 x=0
4x+3y-1=2, y=1.
∴所求的A中元素为(0,1).【评析】由映射中一个集合的元素,求出与之对应的另一个
集合中的元素,应紧扣映射定义,注意映射的对应法则.(2)∵ ∴设集合A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f是A到B的一个映射,并满足f:(x,y)→(-xy,x-y).
(1)求B中元素(3,-4)在A中的原象;
(2)试探索B中元素满足什么条件时在A中存在原象;
(3)求B中元素(a,b)在A中有且只有一个原象时,a,b所满足的关系式. -xy=3 x=-1 x=-3
x-y=-4, y=3 y=1,
所以B中元素(3,-4)在A中的原象为(-1,3)和(-3,1).(1)由题意知 解得 或(2)设任意(a,b)∈B,则它在A中的原象(x,y)应满足
-xy=a ①
x-y=b ②
由②得y=x-b代入①式化简,
得x2-bx+a=0.③
当且仅当b2-4a≥0时,方程③有实根,
所以,只有当B中元素(a,b)满足b2-4a≥0时,在A中才有原象.
(3)由以上(2)的解题过程可知,只有当B中元素(a,b)满足b2=4a时,它在A中有且只有一个原象.学点三 映射与函数【分析】映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映
射，要判断是否是映射、函数,应从定义入手.下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？
（1）A=R，B=R，f:x→y= ;
（2）A={a|a=n,n∈N+},
B={b|b= ,n∈N+},f:a→b= ;
（3）A=［0,+∞),B=R,f:x→y2=x.【解析】（1）因为当x=-1时，y的值不存在，所以不是映射，更不是函数.
（2）是映射，也是函数，因为A中所有的元素的倒数都是B中的元素.
（3）因为当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数.【评析】函数是一种特殊的映射，只有当构成映射的两个
集合都是非空数集时，该映射才能构成函数.给出下列四个对应关系，能构成函数的是 .（填序号）
①A=N*，B=Z，f:x→y=2x-3;
②A={1,2,3,4,5,6},B={y|y∈N*,y≤5},f:x→y=|x-1|;
③A={x|x≥2},B={y|y=x2-4x+3},f:x→y=x-3;
④A=N*,B={y∈N*|y=2x,x∈N*},f:x→y=2x-1.①③①由函数定义知f是A到B的函数.
②∵当x=1时，由f:x→y=|x-1|知y=0?B，
∴不是A到B的函数.
③B={y|y=(x-2)2-1}={y|y≥-1}.由f:x→y=x-3知是A
到B的函数.
④∵B={偶数}，而f:x→y=2x-1为奇数，∴f不是A
到B的函数.已知A={a,b,c},B={-2,0,2},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求满足条件的映射的个数.(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)+f(b)=0+0=0=f(c)有一个映射.
(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个，分别为2+0=2,-2+0=-2,0+2=2,0+(-2)=-2.（3）当A中三个元素对应B中三个元素时，满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有2个，分别为-2+2=0,2+(-2)=0,
∴满足条件的映射共有7个.学点四 映射的应用【分析】建立A到B的映射，需A中每一元素在f下都有唯一的元素与之对应.【评析】求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的
定义处理，必要时要进行分类讨论.已知A={1,2},B={a,b}，可以建立多少个从A到B的映射.由定义，映射f使A中每一元素在B中都有元素 和它对应，故所有的对应关系有以下几组：
1→a 1→a 1→b 1→b
2→a 2→b 2→b 2→a.
∴建立的A到B的映射有4个.(1)映射是一种特殊的对应.对应有一对多、一对一、多对一等.
(2)映射定义中的两个集合A，B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的.
(3)映射是由集合A，B以及从A到B的对应关系f所确定的.
(4)一个映射中，在对应关系f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B中的元素b,b具有唯一性，但与B中元素b对应的A中元素可以不唯一.
(5)在一个映射中，集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A，B也可以是同一集合.但在确定的映射中，集合A，B的地位一般是不要求对等的.1.怎样理解映射的概念？2.怎样判定一个对应是映射？
按照定义，一个对应是一个从A到B的映射,需满足：
（1）A中元素在B中都有元素和它对应,且唯一.
（2）对应是一对一或多对一.1.判断某个对应是否为映射，必须严格根据定义，而说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可.映射实质上是“多对一”或“一对一”的对应，但不包括“一对多”.
2.解决映射一类问题时，注意要回到定义中去，需要注意的是要深刻理解概念，只有领会了概念的实质，才能使解题有思维基础和理论根据.
3.映射的概念是在函数的概念的基础上定义、扩展的，函数是一个特殊的映射.
4.函数是非空数集A到非空数集B的映射，而对于映射来说，A，B不一定都是数集. 祝同学们学习上天天有进步！