函数的概念
图片预览
文档简介
课件28张PPT。学点一学点二学点三学点四学点五1.设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中 的，在集合B中都有 和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，
记作 .
2.（1）对于函数y=f(x),x∈A，其中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做 ；与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 .
（2）函数的三要素： 、 、 .
3.对于函数y=f(x)，以下说法正确的有 .（填正确选项的序号）
①y是x的函数；②对于不同的x,y的值也不同；③f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.y=f(x),x∈A函数的定义域函数值值域定义域A值域B对应关系①③任意一个数x唯一确定的数f(x)4.函数y=x2(x∈R)，表明的“对应关系”是 ，它的定义域是 ，值域是 .
5.设a,b是两个实数，而且a（1）我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 ；满足不等式a（2）实数集R可以用区间表示为 ,“∞”读作“无穷大”.
（3）我们可以把满足x≥a,x6.求函数定义域的主要依据：整式函数的定义域为 ，分式的分母
，偶次方根的被开方数是 ，求函数的值域主要有观察分析法、二次函数的 法、二次方程的 法等.取平方R{y|y≥0}［a,b］开区间(a,b)半开半闭区间(-∞,+∞)［a,+∞)R非负实数配方判别式不等于0学点一 函数的概念【分析】两个函数是否为同一函数,取决于函数的定义域、值域、对应法则是否相同，故只需由此判定.下列各组函数中,表示同一函数的是 .(填正确选项的序号)
(1)f(x)=|x|,g(x)=x2;
(2)f(x)= ,g(x)=x+1;
(3) .【评析】当两个函数相同时,需定义域、值域、对应法则分别相同，而当定义域相同，对应法则也相同时，值域必相同，故只需判定定义域和对应法则相同即可，若否定相同的函数可以从定义域、值域、对应法则三方面中找不同，只要找到一方面不同即可.【解析】(1)f(x)=|x|与g(x)=x2=|x|的解析式和定义域完全相同,所以是同一函数.
(2)f(x)= =x+1(x≠1)与函数g(x)=x+1的解析式相同,
但定义域却不同,所以不是同一函数.
(3)求f(x)= 的定义域,由x2-1≥0得{x|x≥1或x≤-1},而g(x)= 的定义域,由x-1≥0, x+1≥0,得x≥1,
即{x|x≥1},所以两函数定义域不同,故不是同一函数.下列函数中，哪个与函数 相同？
（1）y=x ;（2）y=-x ;
（3）y= ;（4）y= .
解：1）y= x = (x≤0)与y= 定义域相同，但对应法则不相同，所以这两个函数是不同的.
2）y=-x = (x≤0)与y= 对应法则是相同的，定义域也是相同的，所以这两个函数是相同的.
(3)y= (x≥0)与函数y= 对应法则不同，定义域也不相同，所以这两个函数是不同的.
4）y= = (x<0)与函数y= (x≤0)对应法则是相同的，
但它们的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数.学点二 求具体函数的定义域【分析】要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组.求函数的定义域：【评析】求函数的定义域主要是解不等式（组）或方程
来获得.如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使
函数式有意义的集合.
（1）若f(x)为整式，则定义域为R.
（2）若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的x的集合.
（3）若f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方式非负的x的集合.学点三 抽象函数的定义域【分析】正确理解函数定义域的概念，理解函数f(x)定义域 是x的取值范围.（1）已知函数f(x)的定义域是［0,4］，求函数f(x2)的定义域；
（2）已知函数f(2x+1)的定义域是［-1,3］，求函数f(x)的定义域;
（3）已知函数f(x2-2)的定义域是［1,+∞)，求函数 的定义域.【评析】（1）已知f(x)的定义域，求f［g(x)］的定义域，一般设u=g(x)，则u的取值范围就是f(x)的定义域，通过解不等式可求；
（2）已知f［g(x)］的定义域为D，求f(x)的定义域，就是求g(x)在D上的值域.【解析】（1）∵f(x)的定义域为［0,4］, ∴0≤x2≤4,
∴x∈［-2,0］∪［0,2］. ∴f(x2)的定义域为［-2,2］.
（2）∵f(2x+1)的定义域为［-1,3］,
∴-1≤x≤3，∴-1≤2x+1≤7. ∴f(x)的定义域为［-1,7］.
（3）∵f(x2-2)的定义域为［1,+∞), ∴x≥1,∴x2-2≥-1.
∴x2≥-1,即x≥-2. ∴ 的定义域为［-2,+∞).
(1)∵f(x)的定义域为［1,4］，
∴使f(x+2)有意义的条件是1≤x+2≤4，即-1≤x≤2.
故f(x+2)的定义域为［-1，2］.
(2)∵ 的定义域为［0,3］,
∴1≤x+1≤4, ∴1≤ ≤2.
∴f(x)的定义域为［1,2］.
(1)若函数f(x)的定义域为［1,4］，求f(x+2)的定义域;
(2)若f 的定义域为［0,3］，求f(x)的定义域.
学点四 函数的值域【分析】根据各个式子不同的结构特点,选择不同的方法.求下列函数的值域:
(1)y=x2-4x+6,x∈［1,5); (2)y= ;
(3)y= ; (4)y= ;
(5)y= .【解析】(1)配方得y=(x-2)2+2.
∵x∈［1,5),由图可知函数的值域为{y|2≤y<11}.(2)借助反比例函数的特征求解.
∴函数的值域为
(3)
又∵当x=1时,原式 .
∴函数的值域为(5)函数关系式中有根式,去掉根号的常用方法就是换元法.
令x-1=t,则t≥0,x=t2+1.
∴y=2(t2+1)-t=2t2-t+2= .
∵t≥0,∴y≥
∴函数y=2x-x-1的值域是[ ,+∞).(4)该函数的分子、分母分别是关于x的二次式,因而可考虑转化为关于x的二次方程,然后利用判别式法求值域.
已知函数式可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7.
即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,
当y≠2时,将上式视为关于x的一元二次方程.
∵x∈R,∴Δ≥0, 即［2(y-2)］2-4(y-2)(3y+7)≥0，解得 ≤y<2.
当y=2时,3×2+7≠0, ∵y≠2,∴函数的值域为 .
【评析】求函数的值域是一个比较复杂的问题,要通过不断练习及时总结,根据不同的题目类型选择不同的方法.
(1)与二次函数有关的函数,可用配方法(注意定义域);
(2)形如y=ax+b± 的形式,可用换元法.即设t= ,转化成二次函数，再求值域(注意t≥0);
(3)形如y= 型的函数可借助反比例函数,求其值域,这种函数的值域为 ;
(4)形如y= (a,m中至少有一个不为零)的函数
求值域,可用判别式法求值域,但要注意以下三个问题:一是检验当二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或使函数无意义,都应从值域中去掉该值;二是闭区间的边界值也要考查达到该值的x是否存在;三是分子分母必须无公因式.求下列函数的值域:
(1)y=x2-2x,x∈［0,3］; (2)y=x+ ;
(3)y=|x+1|+|x-2|.(1)y=x2-2x=(x-1)2-1,如图所示,
函数的值域为［-1,3］.(3)解法一:运用绝对值的几何意义.
|x+1|+|x-2|的几何意义表示数轴上的动点x与-1以及2的距离的和,结合数轴,易得|x+1|+|x-2|≥3,
∴函数的值域为［3,+∞).(2)换元法.
令 =t,t≥0,则x= ,函数化为
∵t≥0,∴y≥ ,∴函数y=x+ 的值域为[ ,+∞).解法二:转化为函数图象,运用数形结合法.
在函数y=|x+1|+|x-2|中，由|x+1|=0，|x-2|=0得x=-1，2.
把定义域分成三个区间：(-∞,-1］,(-1,2］,(2,+∞).
∴
该函数图象如图所示.由图象
知函数的值域为［3,+∞).
学点五 函数定义域、值域的应用 【分析】利用函数定义域为R,mx2-6mx+m+8≥0在R上恒成立建立不等式或不等式组求m.【评析】二次函数定义域为R，二次不等式在R上恒成立，也可转化为二次函数与二次方程关系求解.函数y= 的定义域是R,求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=0时，y= ,定义域为R.
(2)当m≠0时,由已知得
∴0综上所述,m的取值范围为［0,1］.若函数 的定义域为R,求实数a的取值范围.依题意得当x∈R时,(a2-1)x2+(a-1)x+ ≥0恒成立.
(1)当a2-1=0,即当a2-1=0 由a+1≠0时,有a=1,此时有
(a2-1)x2+(a-1)x+ =1.可知当x∈R时,(a2-1)x2+(a-1)x+ ≥0恒成立,
∴a=1.
(2)当a2-1≠0,即当a2-1>0
Δ=(a-1)2-4(a2-1)· ≤0时,
有a2>1 a2-10a+9≤0,∴1综上所述,当x∈R时,a的取值范围为［1,9］
.判断两个函数是否是同一函数,主要看定义域及化简后的解析式是否相同.该类问题主要考查对函数三要素的理解.1.如何判断两个函数是否相同?2.怎样求函数的定义域?应注意什么问题?求函数的定义域主要是通过解不等式(组)或方程来获得.
一般地,我们约定:如果不加说明,函数的定义域就是自变量中使函数的解析式有意义的自变量的集合.
（1）若f(x)是整式,则定义域为R.
（2）若y= ,则g(x)≠0，且f(x)有意义.
（3）若y= 则f(x)≥0.求函数的值域是一个比较复杂的问题,虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后,值域就应该完全确定了,但求值域特别要注意方法,常用的方法有
(1)观察法.通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域,这就是观察法.
(2)配方法.对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次函数的值域的方法求函数的值域,这就是配方法.
(3)判别式法.将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于求一些“分式”函数、无理函数等的值域,使用此法要特别注意自变量的取值范围.3.求函数的值域的方法有哪些?(4)换元法.通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基本函数的取值范围求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,要靠自己在解题过程中进行进一步探索和积累,除了上述常用的方法外,还有最值法、数形结合法等,应注意选择最优的解法.总之,求函数的值域关键是要重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.为便于判断两个函数解析式是否是同一个函数,对于复杂的解析式可先化简,再比较.化简时,应保持同解变形,也就是说既不能扩大也不能缩小未知数的允许值的范围.函数与其自变量用什么字母表示无关,只要定义域与对应法则相同就是相同的函数,这就是说: (1)定义域不同的函数,不是相同函数; (2)对应法则不同,两个函数也是不同的; (3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.所谓抽象函数是指用f(x),g(x)或F(x),G(x)等表示的函数,而没有具体解析式的函数类型.此类题目关键是注意对应法则,在同一对应法则作用下,不管接受法则的对象是什么字母或代数式,其制约条件是一致的,即都在同一取值范围内.祝同学们学习上天天有进步！
记作 .
2.（1）对于函数y=f(x),x∈A，其中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做 ；与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 .
（2）函数的三要素： 、 、 .
3.对于函数y=f(x)，以下说法正确的有 .（填正确选项的序号）
①y是x的函数；②对于不同的x,y的值也不同；③f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.y=f(x),x∈A函数的定义域函数值值域定义域A值域B对应关系①③任意一个数x唯一确定的数f(x)4.函数y=x2(x∈R)，表明的“对应关系”是 ，它的定义域是 ，值域是 .
5.设a,b是两个实数，而且a
（3）我们可以把满足x≥a,x
，偶次方根的被开方数是 ，求函数的值域主要有观察分析法、二次函数的 法、二次方程的 法等.取平方R{y|y≥0}［a,b］开区间(a,b)半开半闭区间(-∞,+∞)［a,+∞)R非负实数配方判别式不等于0学点一 函数的概念【分析】两个函数是否为同一函数,取决于函数的定义域、值域、对应法则是否相同，故只需由此判定.下列各组函数中,表示同一函数的是 .(填正确选项的序号)
(1)f(x)=|x|,g(x)=x2;
(2)f(x)= ,g(x)=x+1;
(3) .【评析】当两个函数相同时,需定义域、值域、对应法则分别相同，而当定义域相同，对应法则也相同时，值域必相同，故只需判定定义域和对应法则相同即可，若否定相同的函数可以从定义域、值域、对应法则三方面中找不同，只要找到一方面不同即可.【解析】(1)f(x)=|x|与g(x)=x2=|x|的解析式和定义域完全相同,所以是同一函数.
(2)f(x)= =x+1(x≠1)与函数g(x)=x+1的解析式相同,
但定义域却不同,所以不是同一函数.
(3)求f(x)= 的定义域,由x2-1≥0得{x|x≥1或x≤-1},而g(x)= 的定义域,由x-1≥0, x+1≥0,得x≥1,
即{x|x≥1},所以两函数定义域不同,故不是同一函数.下列函数中，哪个与函数 相同？
（1）y=x ;（2）y=-x ;
（3）y= ;（4）y= .
解：1）y= x = (x≤0)与y= 定义域相同，但对应法则不相同，所以这两个函数是不同的.
2）y=-x = (x≤0)与y= 对应法则是相同的，定义域也是相同的，所以这两个函数是相同的.
(3)y= (x≥0)与函数y= 对应法则不同，定义域也不相同，所以这两个函数是不同的.
4）y= = (x<0)与函数y= (x≤0)对应法则是相同的，
但它们的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数.学点二 求具体函数的定义域【分析】要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组.求函数的定义域：【评析】求函数的定义域主要是解不等式（组）或方程
来获得.如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使
函数式有意义的集合.
（1）若f(x)为整式，则定义域为R.
（2）若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的x的集合.
（3）若f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方式非负的x的集合.学点三 抽象函数的定义域【分析】正确理解函数定义域的概念，理解函数f(x)定义域 是x的取值范围.（1）已知函数f(x)的定义域是［0,4］，求函数f(x2)的定义域；
（2）已知函数f(2x+1)的定义域是［-1,3］，求函数f(x)的定义域;
（3）已知函数f(x2-2)的定义域是［1,+∞)，求函数 的定义域.【评析】（1）已知f(x)的定义域，求f［g(x)］的定义域，一般设u=g(x)，则u的取值范围就是f(x)的定义域，通过解不等式可求；
（2）已知f［g(x)］的定义域为D，求f(x)的定义域，就是求g(x)在D上的值域.【解析】（1）∵f(x)的定义域为［0,4］, ∴0≤x2≤4,
∴x∈［-2,0］∪［0,2］. ∴f(x2)的定义域为［-2,2］.
（2）∵f(2x+1)的定义域为［-1,3］,
∴-1≤x≤3，∴-1≤2x+1≤7. ∴f(x)的定义域为［-1,7］.
（3）∵f(x2-2)的定义域为［1,+∞), ∴x≥1,∴x2-2≥-1.
∴x2≥-1,即x≥-2. ∴ 的定义域为［-2,+∞).
(1)∵f(x)的定义域为［1,4］，
∴使f(x+2)有意义的条件是1≤x+2≤4，即-1≤x≤2.
故f(x+2)的定义域为［-1，2］.
(2)∵ 的定义域为［0,3］,
∴1≤x+1≤4, ∴1≤ ≤2.
∴f(x)的定义域为［1,2］.
(1)若函数f(x)的定义域为［1,4］，求f(x+2)的定义域;
(2)若f 的定义域为［0,3］，求f(x)的定义域.
学点四 函数的值域【分析】根据各个式子不同的结构特点,选择不同的方法.求下列函数的值域:
(1)y=x2-4x+6,x∈［1,5); (2)y= ;
(3)y= ; (4)y= ;
(5)y= .【解析】(1)配方得y=(x-2)2+2.
∵x∈［1,5),由图可知函数的值域为{y|2≤y<11}.(2)借助反比例函数的特征求解.
∴函数的值域为
(3)
又∵当x=1时,原式 .
∴函数的值域为(5)函数关系式中有根式,去掉根号的常用方法就是换元法.
令x-1=t,则t≥0,x=t2+1.
∴y=2(t2+1)-t=2t2-t+2= .
∵t≥0,∴y≥
∴函数y=2x-x-1的值域是[ ,+∞).(4)该函数的分子、分母分别是关于x的二次式,因而可考虑转化为关于x的二次方程,然后利用判别式法求值域.
已知函数式可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7.
即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,
当y≠2时,将上式视为关于x的一元二次方程.
∵x∈R,∴Δ≥0, 即［2(y-2)］2-4(y-2)(3y+7)≥0，解得 ≤y<2.
当y=2时,3×2+7≠0, ∵y≠2,∴函数的值域为 .
【评析】求函数的值域是一个比较复杂的问题,要通过不断练习及时总结,根据不同的题目类型选择不同的方法.
(1)与二次函数有关的函数,可用配方法(注意定义域);
(2)形如y=ax+b± 的形式,可用换元法.即设t= ,转化成二次函数，再求值域(注意t≥0);
(3)形如y= 型的函数可借助反比例函数,求其值域,这种函数的值域为 ;
(4)形如y= (a,m中至少有一个不为零)的函数
求值域,可用判别式法求值域,但要注意以下三个问题:一是检验当二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或使函数无意义,都应从值域中去掉该值;二是闭区间的边界值也要考查达到该值的x是否存在;三是分子分母必须无公因式.求下列函数的值域:
(1)y=x2-2x,x∈［0,3］; (2)y=x+ ;
(3)y=|x+1|+|x-2|.(1)y=x2-2x=(x-1)2-1,如图所示,
函数的值域为［-1,3］.(3)解法一:运用绝对值的几何意义.
|x+1|+|x-2|的几何意义表示数轴上的动点x与-1以及2的距离的和,结合数轴,易得|x+1|+|x-2|≥3,
∴函数的值域为［3,+∞).(2)换元法.
令 =t,t≥0,则x= ,函数化为
∵t≥0,∴y≥ ,∴函数y=x+ 的值域为[ ,+∞).解法二:转化为函数图象,运用数形结合法.
在函数y=|x+1|+|x-2|中，由|x+1|=0，|x-2|=0得x=-1，2.
把定义域分成三个区间：(-∞,-1］,(-1,2］,(2,+∞).
∴
该函数图象如图所示.由图象
知函数的值域为［3,+∞).
学点五 函数定义域、值域的应用 【分析】利用函数定义域为R,mx2-6mx+m+8≥0在R上恒成立建立不等式或不等式组求m.【评析】二次函数定义域为R，二次不等式在R上恒成立，也可转化为二次函数与二次方程关系求解.函数y= 的定义域是R,求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=0时，y= ,定义域为R.
(2)当m≠0时,由已知得
∴0
(1)当a2-1=0,即当a2-1=0 由a+1≠0时,有a=1,此时有
(a2-1)x2+(a-1)x+ =1.可知当x∈R时,(a2-1)x2+(a-1)x+ ≥0恒成立,
∴a=1.
(2)当a2-1≠0,即当a2-1>0
Δ=(a-1)2-4(a2-1)· ≤0时,
有a2>1 a2-10a+9≤0,∴1
.判断两个函数是否是同一函数,主要看定义域及化简后的解析式是否相同.该类问题主要考查对函数三要素的理解.1.如何判断两个函数是否相同?2.怎样求函数的定义域?应注意什么问题?求函数的定义域主要是通过解不等式(组)或方程来获得.
一般地,我们约定:如果不加说明,函数的定义域就是自变量中使函数的解析式有意义的自变量的集合.
（1）若f(x)是整式,则定义域为R.
（2）若y= ,则g(x)≠0，且f(x)有意义.
（3）若y= 则f(x)≥0.求函数的值域是一个比较复杂的问题,虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后,值域就应该完全确定了,但求值域特别要注意方法,常用的方法有
(1)观察法.通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域,这就是观察法.
(2)配方法.对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次函数的值域的方法求函数的值域,这就是配方法.
(3)判别式法.将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于求一些“分式”函数、无理函数等的值域,使用此法要特别注意自变量的取值范围.3.求函数的值域的方法有哪些?(4)换元法.通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基本函数的取值范围求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,要靠自己在解题过程中进行进一步探索和积累,除了上述常用的方法外,还有最值法、数形结合法等,应注意选择最优的解法.总之,求函数的值域关键是要重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.为便于判断两个函数解析式是否是同一个函数,对于复杂的解析式可先化简,再比较.化简时,应保持同解变形,也就是说既不能扩大也不能缩小未知数的允许值的范围.函数与其自变量用什么字母表示无关,只要定义域与对应法则相同就是相同的函数,这就是说: (1)定义域不同的函数,不是相同函数; (2)对应法则不同,两个函数也是不同的; (3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.所谓抽象函数是指用f(x),g(x)或F(x),G(x)等表示的函数,而没有具体解析式的函数类型.此类题目关键是注意对应法则,在同一对应法则作用下,不管接受法则的对象是什么字母或代数式,其制约条件是一致的,即都在同一取值范围内.祝同学们学习上天天有进步！