集合间的基本关系

课件19张PPT。学点一学点二学点三学点四2.(1)对于两个集合A，B，若 ,则称集合A与集合B相等.
（2）如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，则称集合A是集合B的 ，记作 .
（3）不含任何元素的集合叫做 ，记作 ,并规定：空集是任何集合的子集. 1.一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素
都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集
合A为集合B的 ，记作 .子集真子集空集3.任何一个集合是它本身的 ，即 ；对于集合
A，B，C，如果 ，且 ，那么 .子集学点一 集合间的关系集合A={ (x,y)|y= }，集合B={(x,y)|y=x-1},集合A，B有什么关系？【分析】本题主要考查集合与集合之间关系的判断能力.【评析】判断A是否为B的真子集应严格执行两步：一是 ，即A的元素
全在B中；二是A≠B，即B中至少有一个元素不在A中，两者缺一不可.【解析】集合A的元素是函数y= =x-1(x≠-1)图象上的点，是一
条直线上去掉了点(-1, -2)后剩余的所有点，集合B的元素是函数y=x-1(x∈R)图象上的所有点.
显然，集合A的所有元素都在集合B中，即有 ，而集合A≠B，所以有A B，即A是B的真子集.判断下列集合A与B的关系：
（1）A={x|0（2）A={(x,y)|xy>0}, B={(x,y)|x>0,y>0};
（3）A={a∈R|a≥0}, B={a∈R|方程x2+x-a=0有实根}解：（1）因为0（2）因为xy>0 x>0,y>0或x<0,y<0,由x>0,y>0?xy>0,所以B A
（3）因为方程x2+x-a=0有实根，
所以Δ=1+4a≥0,解得a≥ , B= ,
【评析】（1）写出集合的所有子集时,一定按顺序、规律写出,避免遗漏或重复;
(2)一般地,如果一个集合有n个元素,则子集有2n个,非空子集有2n -1个.写出集合{a,b,c}的子集.【分析】按集合中元素的个数分类写,以防遗漏、重复.学点二 子 集 ∵P?M,∴P是M的子集，而M中有四个元素，∴M的子集有 =16个.故集合N的元素个数为16个. 故应选C.已知集合M={a,b,c,d},N={P|P?M},则集合N的元素个数为( )
A.4个 B.8个 C.16个 D.32个C【评析】两集合相等指元素个数不但相同，而且元素还完全相等，求解此类问题要注意集合性质的运用.学点三 集合的相等【分析】依题意所给两个集合相等，依集合相等的条件列式求解，但应注意元素的顺序可以不同.含有三个实数的集合可表示为｛a, ,1｝,也可表示为{a2,a+b,0},求a,b.【解析】由集合中元素的确定性,得
{a, ,1 } ={a2,a+b,0}①
从而有0∈ { a, ,1 }. ∵a≠0, ∴ =0, ∴b=0.
将b=0代入①得{a,0,1}={a2,a,0}.易知a2=1,∴a=±1.
当a=1时, { a, ,1}={1,0,1}与集合中元素的互异性矛盾,舍去;
当a=-1时,b=0. ∴a=-1, b=0.
解：由题意得
解得
由集合中元素的互异性知已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},且M=N.求a,b的值.【解析】A={x|x2+4x=0}={-4,0},
∵B?A,∴分B=A，B?A两种情况讨论.
（1）当A=B时，B={-4,0},
即-4,0是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，于是得a=1.
（2）当B?A时，若B=?,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1;
若B≠?，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,
验证知B={0}满足条件.
综上可知，所求实数a的值为a=1或a≤-1.设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R}，若B?A，求实数a的值.【分析】B?A可分为B?A,B=A两种情况. A={0,-4}，因此，
关键是对x2+2(a+1)x+a2-1=0的根的情况讨论.学点四 子集的应用【评析】（1）当B?A时，要特别注意B=?的情况不能漏 掉，否则就会得出a=±1 的错误结论.
（2）分类讨论要结合实际，做到不重、不漏.此题既有集合的讨论，又有一元二次方程根的讨论，有时需对结果进行验证.本学案在学习中应注意以下几个问题:
(1)由于空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以在看到类似“A?B”“A?B”“B≠?”这种相关条件时,要注意讨论A=?和A≠?的情况.
(2)要注意区分一些容易混淆的符号.
①“∈”与“?”的区别:∈表示元素与集合之间的从属关系,例如1∈N,-1?N等; “ ”表示集合与集合之间的包含关系,例如N?R,??R等.
②“a”与“{a}”的区别:一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a的集合.
③“{0}”与“?”的区别:“{0}”是含有一个元素0的集合,?是不含任何元素的集合,因此，?与{0},不能写成?={0},?∈{0}.2.怎样用Venn图和数轴来理解集合的关系？
用Venn图表示集合具有直观、形象的特点，这种方法严格地说应称为示意法，有一定的局限性，但它的直观性能帮助人们思考，是集合问题的一种解法， 要在后面学习中不断体会它的重要性.
图示如下：④子集、真子集的区别:如果A是B的子集,即A?B,那么存在两种情况:一是A=B,一是A?B,二者必居其一;反之,若A?B,也可以说A?B;A=B也可以说成A?B.
(3)非空集合A={x1,x2,…,xn}有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.1.理解子集、真子集的概念,正确运用有关的术语、符号和图示方法,正确区分术语“包含于”与“包含”以及符号“?”与“?”的不同意义.
2.空集就是不含任何元素的集合,空集对高中数学的“危害”不亚于数“0”对初中数学的“危害”,要处处设防,时刻提高警惕,才不致于掉进空集这一陷阱之中,另外还要注意0,?，{0}三者之间的区别和联系.即0是元素,?,{0}是两个集合;0??,0∈{0},?和{0}是两个不同的集合.3.掌握子集的有关性质:
(1)??A(空集是任何集合的子集,当然也是空集的子集,且是任何非空集合的真子集);
(2)A?A(任何非空集合A都有两个特殊的子集?,A);
(3)传递性:若A?B,B?C,则A?C;
(4)相等:若A?B,且B?A,则A=B(即相等的两个集合的元素完全相同).4.有些集合问题比较抽象,解题时若借助Venn图进行数形分析，或利用数轴、图象采取数形结合的思想方法，往往可将问题直观化、形象化，使问题简捷的获解.
5.对于和实数有关的集合问题,借助于数轴将集合语言转化为图形语言,观察图形使问题获解.可见,数形结合思想是解决数学问题的重要思想方法.祝同学们学习上天天有进步！